本帖最后由 史錦順 于 2016-1-30 15:34 編輯
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關于交叉系數論
—— 答qcdc（1）
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史錦順
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【qcdc質疑】
《費書》的例3-7是講圓柱體體積的誤差合成與分配，您可能沒有看仔細，測量直徑和高是用了兩種不同的儀器，即分別用了2級的千分尺和分度值為0.10mm的游標卡尺，請問這兩個量怎么相關？怎么用相關系數？最近您發明了“交叉系數”，等于+1或-1，似乎為您的取“絕對和法”找到了理論依據，但是，“交叉系數”理論是不存在的，請您三思！
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【史答】
《費書》例3-7的測量工具本身誤差的獨立性，我并未忽視。
以往的理解，受“相關性”的影響很深。來自統計理論的“相關性”，被用來考慮“協方差”（錢鐘泰稱“交叉矩”）是否可忽略，人們習以為常，似乎既然來自統計理論，就必定是真理，毋容置疑。其實，對系統誤差（包括以系統誤差為主的測量儀器的誤差范圍）來說，這是個歷史性的錯誤。
原來，決定誤差合成方式的依據是“交叉系數”而不是“相關系數”。人們會明白，這項揭示，對誤差理論，對整個測量學理論都是重要的。
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我知道，你對“以交叉系數代替相關系數”的觀點，持否定態度。沒關系，可以慢慢講道理、辯論。
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我不是一眼就看穿這個問題的，而是經過了長時間的思考。經歷了幾個階段。對相關系數的求法、作用，不僅是三思，而是百思不得其解。而在追本溯源的探討中，得知本質是交叉項的問題，可以用交叉系數來描述，此后便一順百順。
有一位叫physics的網友，五個月前給我寫了一封信（在我不熟悉的欄目中，昨天才看到），表示愿意學習老史的理論。今天我把個人的觀點與有關交叉系數的理論，較詳細的寫出來（大部分是復制），一方面答復qcdc,也是對physics網友的體現尊師重道精神的來信的回復。至于某些不禮貌的帖子，我不想回應，由他去吧。不正視客觀規律，到頭來，吃虧的是他自己。
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1 對相關系數公式的適用范圍的突破
科學不能憑印象，不能憑主觀估計。測量計量學是關于“量”的科學，評估不行，必須嚴格計算。計算依據公式。現行的相關系數公式為：
r=[1/(N-1)][∑[Xi-X(平)][(Yi-Y(平))] / [σ(X) σ(Y)] （a）
這個來自統計理論的公式（a），僅適用于隨機變量。
公式（a）對系統誤差的靈敏度為零。Xi加A，則X(平)也加A，Xi-X(平)必然消掉A。同樣，Yi加B，則Y(平)也加B，Yi-Y(平)必然消掉B。就是說系統誤差A、B不論是何值，不論A與B相關還是不相關，相關系數都是零。
因此，相關系數公式（a）不能用于對系統誤差合成問題的分析。于是，只得追根溯源，從頭分析。只得重新推導公式。
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2 關于費先生的實例
圓柱體的兩個尺寸的測量誤差，可以說沒有關系，因為是不同測量工具測量出來的。也可以說有極強的關系，因為體積公式決定，直徑D與高度H，必須相乘才能求得體積，高度H與直徑D共同決定體積的大小。直徑D的誤差范圍與高度H的誤差范圍，共同決定體積值的誤差范圍。微分原理決定要取兩個誤差元的代數和。必須放在一起計算，就不能說它們間不相關。
H與D只知道誤差范圍，因此有誤差合成的求法問題。其實，相關還是不相關，對誤差合成問題都沒關系，本質是“交叉矩”能否忽略。系統誤差的交叉系數是±1，僅能取+1。《費書》的例子，誤差項只有兩項，必須取+1，因而必須取絕對和。取方和根是錯誤的。
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3 要正視現實
史錦順的關于“誤差合成方式取決于交叉系數”的理論（簡稱“交叉系數論”）已在網上公布，這是客觀事實。你可以贊成，更可以反對，但說“不存在”，是不應該的。創辦《奇跡文庫》的旅美博士王彥宏介紹過，國際上，凡在學術專業網上發表文章，就被認定是已經發表。不能說紙上印的才有效，那是老黃歷。
任何理論都是人創造的。正確還是錯誤，取決于是否符合客觀規律。先生似乎認為只有前人的、被公認的理論才算“存在”，這是阻礙科學發展的狹隘觀點。
你應該對老史的“相關系數論”駁斥一番。我必定認真地思考、詳細地說明、嚴肅地辯論。只說一個“不存在”，無效。掛在網上，大家都看得到，怎能說“不存在”？
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附言
再次感謝njlyx（李永新）、崔偉群二位先生。我從他們那里得知：系統誤差的相關系數是+1或-1。這大大促進了我對交叉系數的研究。
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附錄：交叉系數論（史錦順 2015 鄭州）
（一）誤差合成的兩種思路
經典誤差理論的誤差合成，隨機誤差自身用“均方根法”，隨機誤差間用“方和根法”，系統誤差間用“絕對和法”。方法沒能統一。
GUM為代表的不確定度理論，統一采用“方和根法”，對隨機誤差的處理與經典誤差理論相同，沒有問題；但對系統誤差的處理，用“方和根法”，出現嚴重問題。第一，合理性問題。在系統誤差合成的條件下，二量和的平方的展開式的交叉項，不能忽略，交叉系數是+1或-1，因而此時不確定度評定中的“假設不相關”是不成立的。第二，為實行“方和根法”，帶來五項難題：（1）需知誤差量的分布規律、（2）化系統誤差為隨機誤差、（3）假設不相關、（4）范圍與方差間的往返折算、（5）計算自由度。其中有的很難，如（1）（4）（5）；有的多數情況不對，如（3）；有的不可能，如（2）。
筆者在網上討論的基礎上，提出統一處理誤差合成的“方根法”。“方根法”體現誤差量的“絕對性”與“上限性”兩個特點，著眼于誤差范圍，統籌隨機誤差與系統誤差的處理，把系統誤差元與隨機誤差元都變成是誤差范圍的直接構成單元，用取“方根”的辦法實現誤差的絕對值化。為此，用可正可負的恒值β代表系統誤差元；用三倍的隨機誤差元3ξi 代表隨機誤差對誤差范圍的貢獻單元。這樣，系統誤差β與隨機誤差元3ξ對誤差范圍的貢獻權重相同，都是1。于是，公式推導與合成處理，都方便，給出的處理辦法，十分簡潔。
不確定度理論的思路是將眾多的系統誤差化向隨機誤差。此乃“眾歸一”。但系統誤差多種多樣，化向隨機誤差很難，甚至不可能。這就是不確定理論煩難乃至不成立的根源。
本文的思路是使隨機誤差對誤差范圍的權重為“1”，使其與系統誤差權重相同。此乃“一從眾”。達到此目的的方法極其簡單，就是對隨機誤差元乘以3。
兩種思路，導致處理方法一繁一簡，難易分明。不確定度理論的煩難方法，基于不符合實際的臆想（用生產廠家不同、原理不同的多套儀器測量同一個量，系統誤差有分布）；本文的方法是基于客觀實際（用同一套測量儀器，重復測量中系統誤差為恒值）的嚴格推導。是非曲直，昭然若揭。
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（二）隨機誤差元構成的誤差范圍
隨機誤差的處理，經典誤差理論有成熟、完美的處理方法。
測量實踐中，人們易于認識隨機誤差。對常量的重復測量中，測得值的隨機變化就是隨機誤差。
隨機誤差元可大可小，可正可負。有四個特性：
（1） 單峰性：小誤差概率大；大誤差概率小
（2） 對稱性：數值相同的正負誤差概率大致相等
（3） 抵消性：求平均值時正負誤差可以抵消或大部分抵消
（4） 有界性：很大的誤差概率很小。（以3σ為半寬的區間，包含概率99.73）。
按統計理論，隨機誤差是正態分布。
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對隨機誤差，有如下定義與關系：
1 隨機誤差元等于測得值減測得值的期望值（當無系統誤差時，期望值是真值）。隨機誤差元的期望值是零。隨機誤差元為：
ξi = Xi - EX （1）
2 標準誤差定義為
σ =√(1/N)∑ξi
=√(1/N)∑(Xi-EX) （2）
3 貝塞爾公式用測得值的平均值代換（2）式中的期望值，得到：
σ =√{[1/(N-1)]∑[X-X(平)]^2} （3）
4 隨機誤差范圍
R = 3σ =3√(1/N)∑ξi^2
=√(1/N)∑(3ξi)^2 （4）
5 由公式（4），有：
R=3σ(ξ)= σ(3ξ) （5）
隨機誤差元的3倍值（3ξ），其統計意義的方根值等于誤差范圍值。因此3ξ對誤差范圍的權重為1。因此3ξ在構成誤差范圍時與系統誤差的權重相同。以后，我們把隨機誤差元對誤差范圍的貢獻因子取為1/3，而系統誤差的貢獻因子取為1。
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（三）單項系統誤差元構成的誤差范圍
系統誤差元用β表示。β是可正可負的恒值。
單個系統誤差構成的誤差范圍
R =√(1/N)∑(βi)^2
= |β| （6）
單個系統誤差對誤差范圍的貢獻是該系統誤差的絕對值。
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（四）誤差合成的理論基礎
函數的改變量，等于函數對各個自變量偏微分的和。就是泰勒展開的一級近似。
f(x,y) = f(xo,yo)+ (?f/?x) (x-xo)+ (?f/?y) (y-yo) （7）
f(x,y) - f(xo,yo) =(?f/?x) Δx+ (?f/?y) Δy （8）
Δf =(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy （9）
公式（9）是偏差關系的普遍形式。對所研究的特定函數來說，?f/?x、?f/?y是常數。
偏差關系用于測量計量領域，x是測得值，xo是真值, Δx是測得值x的誤差元；y是測得值，yo是真值，Δy是測得值y的誤差元；f(x,y)是代表被測量的函數值， f(xo,yo) 是函數的真值，Δf= f(x,y)-f(xo,yo) 是函數值的誤差元。
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（五）交叉系數的一般表達
設函數的誤差由兩項誤差Δx、Δy引起。由此，函數的兩項誤差元為：
Δf(x) = (?f/?x) Δx
Δf(y) = (?f/?y) Δy
把分項誤差作用的靈敏系數與該項誤差歸并，記為：
Δf(x) =ΔX
Δf(y) = ΔY
函數的誤差元式（9）變為：
Δf=ΔX +ΔY （10）
對（10）式兩邊平方并求和、平均：
(1/N)∑Δf^2=(1/N)∑(ΔX +ΔY)^2
=(1/N)∑ΔX^2 + 2(1/N)∑ΔXΔY+(1/N)∑ΔY^2 （11）
（11）式右邊的第一項為σ(X)^2，第三項為σ(Y)^2; （11）式右邊的第二項是交叉項，是我們研究的重點對象。交叉項 為
2(1/N)∑ΔXΔY =2【(1/N)(∑ΔXΔY) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}】
×{√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}
= 2J√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2] （12）
（12）式中的J為：
J =(1/N)(∑ΔXΔY) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]} （13）
稱J為交叉系數。
（注：J在此前記為r，稱為相關系數。這和統計理論的相關系數，物理意義不一致。為澄清已有的混淆，本文稱J為交叉系數。）
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（六）隨機誤差間合成的交叉系數
對隨機誤差的合成，ΔX是ξx, 代換為[X-X(平)]；ΔY是ξy，代換為[Y-Y(平)]，有：
J =[1/(N-1)][∑[Xi-X(平)][(Yj-Y(平))] / [σ(X) σ(Y)] （14）
由于ξx、ξy是隨機誤差，可正可負，可大可小，有對稱性與有界性，多次測量，是大量的，因此，隨機誤差間的合成的交叉系數為零（或可以忽略）。（14）式是當前不確定度論引用的統計理論的相關系數公式。
隨機誤差合成，“方和根法”成立，有
σ(f) =√[σ(X)^2+ σ(Y)^2] （15）
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（七）隨機誤差與系統誤差合成的交叉系數
兩個分項誤差，一個是隨機的，記為ξ，考慮到對誤差范圍的權重，取單元量為3ξ（ΔX）；一個是系統的（重復測量中不變），記為β（ΔY）。
代入公式（13），有
J =(1/N)(∑3ξiβ) / [σ(X) σ(Y)] （16）
系統誤差元是常數可以提出來，有
J =(1/N) (3β∑ξi) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]} （17）
大量重復測量（例如N=20，N不得小于10）中，（17）式的∑ξi等于零或可以忽略，因此J近似為0，可以忽略。“方和根法”成立。
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（八）系統誤差與系統誤差合成的交叉系數
設（13）式中ΔX為系統誤差βx ，ΔY為系統誤差βy，有
√[(1/N)∑ΔX^2]= |βx| （18）
√[(1/N)∑ΔY^2]= |βy| （19）
則系統誤差的交叉系數為
J =(1/N)(∑βxβy) / [|βx| |βy|] （20）
=(1/N) (∑βxβy) / [ |βx| |βy| ]
=±1
即有
|J|=1 （21）
當βx與βy同號時，系統誤差的交叉系數為+1；當βx與βy異號時，系統誤差的交叉系數為-1.
當系統誤差的交叉系數為+1時，（11）式為：
| Δf | =|βx^2|+2|βx||βy| +|βy|^2
即有
| Δf | =|βx|+|βy| （22）
（22）式就是絕對值合成公式。
當系統誤差的交叉系數為-1時，（22）式變為二量差的公式。因為通常只是知道系統誤差之誤差范圍，又鑒于誤差量“上限性”的特點，二量差的公式不能用。
測量儀器的性能指標，給出的都是誤差范圍。
單值量具，如果上級計量已給出修正值（不是一般的測得值，必須是給出的帶有修正誤差的修正值），并且已按修正值使用，則該量具的隨機誤差與修正前相同；而修正后的系統誤差等于修正值的誤差[(標準的系統誤差與隨機誤差)+被檢儀器的隨機誤差]。
測量儀器，通常有幾千到幾十萬個測量點。上級計量部門通常只能給出十幾個到幾十個校準點的修正值。只有這些點（或很接近的點）能修正；杯水車薪，測量儀器的絕大部分的測量點是不能修正的。就是修正過的點，也還是有系統誤差的（等于校準時標準的系統誤差與隨機誤差，再加上被校儀器的隨機誤差）。由于被檢儀器的隨機誤差，經修正操作后轉化為被檢儀器的系統誤差，因此修正并不一定好。除單值量具外，通常，測量儀器是不修正的。
通常，測量儀器的誤差范圍指標值由生產廠家給出，由計量部門公證，測量者按儀器指標應用。直接測量，測量儀器的指標，就可看作是測量的誤差范圍（只要符合儀器使用條件，環境等的影響，已包含在儀器的指標中）。間接測量，要按間接測量的函數關系進行誤差合成。測量儀器的誤差范圍指標值因以系統誤差為主，要視其為系統誤差值，按系統誤差處理。
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（九）關于合成方法的主張
誤差合成，統一按“方根法”。對特定的誤差種類，“方根法”分化為“均方根法”、“方和根法”、“絕對和法”、“混合法”。
通常，測量儀器以系統誤差為主。不能無視系統誤差的存在。考慮到系統誤差、隨機誤差都是客觀存在，提出如下主張：
（1）隨機誤差序列，用“均方根法”，隨機誤差范圍之間，用“方和根法”；
（2）隨機誤差范圍與系統誤差范圍之間，用“方和根法”；
（3）有多項中小系統誤差項，僅有一項大系統誤差（或沒有大系統誤差），它們之間的交叉系數，可能是+1，也可能是-1，有相互抵消、或部分抵消的作用，這樣，可以用“方和根法”。
（4）直接測量僅有兩三項系統誤差，要用“絕對和法”（適用于研制中確定儀器指標）；
（5）間接測量，僅有兩三項測量儀器的誤差范圍，要用“絕對和法”；
（6）有多項誤差，在兩項或三項大系統誤差之間用“絕對和法”，其余的各種處理，用“方和根法”。總稱謂是“混合法”。
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補充內容 (2016-1-30 16:55):
你應該對老史的“相關系數論”駁斥一番，改為 你應該對老史的“交叉系數論”駁斥一番。 |
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