本帖最后由 史錦順 于 2016-1-30 15:34 編輯
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關(guān)于交叉系數(shù)論
—— 答qcdc（1）
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史錦順
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【qcdc質(zhì)疑】
《費(fèi)書》的例3-7是講圓柱體體積的誤差合成與分配，您可能沒有看仔細(xì)，測量直徑和高是用了兩種不同的儀器，即分別用了2級(jí)的千分尺和分度值為0.10mm的游標(biāo)卡尺，請問這兩個(gè)量怎么相關(guān)？怎么用相關(guān)系數(shù)？最近您發(fā)明了“交叉系數(shù)”，等于+1或-1，似乎為您的取“絕對和法”找到了理論依據(jù)，但是，“交叉系數(shù)”理論是不存在的，請您三思！
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【史答】
《費(fèi)書》例3-7的測量工具本身誤差的獨(dú)立性，我并未忽視。
以往的理解，受“相關(guān)性”的影響很深。來自統(tǒng)計(jì)理論的“相關(guān)性”，被用來考慮“協(xié)方差”（錢鐘泰稱“交叉矩”）是否可忽略，人們習(xí)以為常，似乎既然來自統(tǒng)計(jì)理論，就必定是真理，毋容置疑。其實(shí)，對系統(tǒng)誤差（包括以系統(tǒng)誤差為主的測量儀器的誤差范圍）來說，這是個(gè)歷史性的錯(cuò)誤。
原來，決定誤差合成方式的依據(jù)是“交叉系數(shù)”而不是“相關(guān)系數(shù)”。人們會(huì)明白，這項(xiàng)揭示，對誤差理論，對整個(gè)測量學(xué)理論都是重要的。
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我知道，你對“以交叉系數(shù)代替相關(guān)系數(shù)”的觀點(diǎn)，持否定態(tài)度。沒關(guān)系，可以慢慢講道理、辯論。
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我不是一眼就看穿這個(gè)問題的，而是經(jīng)過了長時(shí)間的思考。經(jīng)歷了幾個(gè)階段。對相關(guān)系數(shù)的求法、作用，不僅是三思，而是百思不得其解。而在追本溯源的探討中，得知本質(zhì)是交叉項(xiàng)的問題，可以用交叉系數(shù)來描述，此后便一順百順。
有一位叫physics的網(wǎng)友，五個(gè)月前給我寫了一封信（在我不熟悉的欄目中，昨天才看到），表示愿意學(xué)習(xí)老史的理論。今天我把個(gè)人的觀點(diǎn)與有關(guān)交叉系數(shù)的理論，較詳細(xì)的寫出來（大部分是復(fù)制），一方面答復(fù)qcdc,也是對physics網(wǎng)友的體現(xiàn)尊師重道精神的來信的回復(fù)。至于某些不禮貌的帖子，我不想回應(yīng)，由他去吧。不正視客觀規(guī)律，到頭來，吃虧的是他自己。
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1 對相關(guān)系數(shù)公式的適用范圍的突破
科學(xué)不能憑印象，不能憑主觀估計(jì)。測量計(jì)量學(xué)是關(guān)于“量”的科學(xué)，評估不行，必須嚴(yán)格計(jì)算。計(jì)算依據(jù)公式。現(xiàn)行的相關(guān)系數(shù)公式為：
r=[1/(N-1)][∑[Xi-X(平)][(Yi-Y(平))] / [σ(X) σ(Y)] （a）
這個(gè)來自統(tǒng)計(jì)理論的公式（a），僅適用于隨機(jī)變量。
公式（a）對系統(tǒng)誤差的靈敏度為零。Xi加A，則X(平)也加A，Xi-X(平)必然消掉A。同樣，Yi加B，則Y(平)也加B，Yi-Y(平)必然消掉B。就是說系統(tǒng)誤差A(yù)、B不論是何值，不論A與B相關(guān)還是不相關(guān)，相關(guān)系數(shù)都是零。
因此，相關(guān)系數(shù)公式（a）不能用于對系統(tǒng)誤差合成問題的分析。于是，只得追根溯源，從頭分析。只得重新推導(dǎo)公式。
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2 關(guān)于費(fèi)先生的實(shí)例
圓柱體的兩個(gè)尺寸的測量誤差，可以說沒有關(guān)系，因?yàn)槭遣煌瑴y量工具測量出來的。也可以說有極強(qiáng)的關(guān)系，因?yàn)轶w積公式?jīng)Q定，直徑D與高度H，必須相乘才能求得體積，高度H與直徑D共同決定體積的大小。直徑D的誤差范圍與高度H的誤差范圍，共同決定體積值的誤差范圍。微分原理決定要取兩個(gè)誤差元的代數(shù)和。必須放在一起計(jì)算，就不能說它們間不相關(guān)。
H與D只知道誤差范圍，因此有誤差合成的求法問題。其實(shí)，相關(guān)還是不相關(guān)，對誤差合成問題都沒關(guān)系，本質(zhì)是“交叉矩”能否忽略。系統(tǒng)誤差的交叉系數(shù)是±1，僅能取+1。《費(fèi)書》的例子，誤差項(xiàng)只有兩項(xiàng)，必須取+1，因而必須取絕對和。取方和根是錯(cuò)誤的。
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3 要正視現(xiàn)實(shí)
史錦順的關(guān)于“誤差合成方式取決于交叉系數(shù)”的理論（簡稱“交叉系數(shù)論”）已在網(wǎng)上公布，這是客觀事實(shí)。你可以贊成，更可以反對，但說“不存在”，是不應(yīng)該的。創(chuàng)辦《奇跡文庫》的旅美博士王彥宏介紹過，國際上，凡在學(xué)術(shù)專業(yè)網(wǎng)上發(fā)表文章，就被認(rèn)定是已經(jīng)發(fā)表。不能說紙上印的才有效，那是老黃歷。
任何理論都是人創(chuàng)造的。正確還是錯(cuò)誤，取決于是否符合客觀規(guī)律。先生似乎認(rèn)為只有前人的、被公認(rèn)的理論才算“存在”，這是阻礙科學(xué)發(fā)展的狹隘觀點(diǎn)。
你應(yīng)該對老史的“相關(guān)系數(shù)論”駁斥一番。我必定認(rèn)真地思考、詳細(xì)地說明、嚴(yán)肅地辯論。只說一個(gè)“不存在”，無效。掛在網(wǎng)上，大家都看得到，怎能說“不存在”？
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附言
再次感謝njlyx（李永新）、崔偉群二位先生。我從他們那里得知：系統(tǒng)誤差的相關(guān)系數(shù)是+1或-1。這大大促進(jìn)了我對交叉系數(shù)的研究。
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附錄：交叉系數(shù)論（史錦順 2015 鄭州）
（一）誤差合成的兩種思路
經(jīng)典誤差理論的誤差合成，隨機(jī)誤差自身用“均方根法”，隨機(jī)誤差間用“方和根法”，系統(tǒng)誤差間用“絕對和法”。方法沒能統(tǒng)一。
GUM為代表的不確定度理論，統(tǒng)一采用“方和根法”，對隨機(jī)誤差的處理與經(jīng)典誤差理論相同，沒有問題；但對系統(tǒng)誤差的處理，用“方和根法”，出現(xiàn)嚴(yán)重問題。第一，合理性問題。在系統(tǒng)誤差合成的條件下，二量和的平方的展開式的交叉項(xiàng)，不能忽略，交叉系數(shù)是+1或-1，因而此時(shí)不確定度評定中的“假設(shè)不相關(guān)”是不成立的。第二，為實(shí)行“方和根法”，帶來五項(xiàng)難題：（1）需知誤差量的分布規(guī)律、（2）化系統(tǒng)誤差為隨機(jī)誤差、（3）假設(shè)不相關(guān)、（4）范圍與方差間的往返折算、（5）計(jì)算自由度。其中有的很難，如（1）（4）（5）；有的多數(shù)情況不對，如（3）；有的不可能，如（2）。
筆者在網(wǎng)上討論的基礎(chǔ)上，提出統(tǒng)一處理誤差合成的“方根法”。“方根法”體現(xiàn)誤差量的“絕對性”與“上限性”兩個(gè)特點(diǎn)，著眼于誤差范圍，統(tǒng)籌隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差的處理，把系統(tǒng)誤差元與隨機(jī)誤差元都變成是誤差范圍的直接構(gòu)成單元，用取“方根”的辦法實(shí)現(xiàn)誤差的絕對值化。為此，用可正可負(fù)的恒值β代表系統(tǒng)誤差元；用三倍的隨機(jī)誤差元3ξi 代表隨機(jī)誤差對誤差范圍的貢獻(xiàn)單元。這樣，系統(tǒng)誤差β與隨機(jī)誤差元3ξ對誤差范圍的貢獻(xiàn)權(quán)重相同，都是1。于是，公式推導(dǎo)與合成處理，都方便，給出的處理辦法，十分簡潔。
不確定度理論的思路是將眾多的系統(tǒng)誤差化向隨機(jī)誤差。此乃“眾歸一”。但系統(tǒng)誤差多種多樣，化向隨機(jī)誤差很難，甚至不可能。這就是不確定理論煩難乃至不成立的根源。
本文的思路是使隨機(jī)誤差對誤差范圍的權(quán)重為“1”，使其與系統(tǒng)誤差權(quán)重相同。此乃“一從眾”。達(dá)到此目的的方法極其簡單，就是對隨機(jī)誤差元乘以3。
兩種思路，導(dǎo)致處理方法一繁一簡，難易分明。不確定度理論的煩難方法，基于不符合實(shí)際的臆想（用生產(chǎn)廠家不同、原理不同的多套儀器測量同一個(gè)量，系統(tǒng)誤差有分布）；本文的方法是基于客觀實(shí)際（用同一套測量儀器，重復(fù)測量中系統(tǒng)誤差為恒值）的嚴(yán)格推導(dǎo)。是非曲直，昭然若揭。
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（二）隨機(jī)誤差元構(gòu)成的誤差范圍
隨機(jī)誤差的處理，經(jīng)典誤差理論有成熟、完美的處理方法。
測量實(shí)踐中，人們易于認(rèn)識(shí)隨機(jī)誤差。對常量的重復(fù)測量中，測得值的隨機(jī)變化就是隨機(jī)誤差。
隨機(jī)誤差元可大可小，可正可負(fù)。有四個(gè)特性：
（1） 單峰性：小誤差概率大；大誤差概率小
（2） 對稱性：數(shù)值相同的正負(fù)誤差概率大致相等
（3） 抵消性：求平均值時(shí)正負(fù)誤差可以抵消或大部分抵消
（4） 有界性：很大的誤差概率很小。（以3σ為半寬的區(qū)間，包含概率99.73）。
按統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)誤差是正態(tài)分布。
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對隨機(jī)誤差，有如下定義與關(guān)系：
1 隨機(jī)誤差元等于測得值減測得值的期望值（當(dāng)無系統(tǒng)誤差時(shí)，期望值是真值）。隨機(jī)誤差元的期望值是零。隨機(jī)誤差元為：
ξi = Xi - EX （1）
2 標(biāo)準(zhǔn)誤差定義為
σ =√(1/N)∑ξi
=√(1/N)∑(Xi-EX) （2）
3 貝塞爾公式用測得值的平均值代換（2）式中的期望值，得到：
σ =√{[1/(N-1)]∑[X-X(平)]^2} （3）
4 隨機(jī)誤差范圍
R = 3σ =3√(1/N)∑ξi^2
=√(1/N)∑(3ξi)^2 （4）
5 由公式（4），有：
R=3σ(ξ)= σ(3ξ) （5）
隨機(jī)誤差元的3倍值（3ξ），其統(tǒng)計(jì)意義的方根值等于誤差范圍值。因此3ξ對誤差范圍的權(quán)重為1。因此3ξ在構(gòu)成誤差范圍時(shí)與系統(tǒng)誤差的權(quán)重相同。以后，我們把隨機(jī)誤差元對誤差范圍的貢獻(xiàn)因子取為1/3，而系統(tǒng)誤差的貢獻(xiàn)因子取為1。
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（三）單項(xiàng)系統(tǒng)誤差元構(gòu)成的誤差范圍
系統(tǒng)誤差元用β表示。β是可正可負(fù)的恒值。
單個(gè)系統(tǒng)誤差構(gòu)成的誤差范圍
R =√(1/N)∑(βi)^2
= |β| （6）
單個(gè)系統(tǒng)誤差對誤差范圍的貢獻(xiàn)是該系統(tǒng)誤差的絕對值。
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（四）誤差合成的理論基礎(chǔ)
函數(shù)的改變量，等于函數(shù)對各個(gè)自變量偏微分的和。就是泰勒展開的一級(jí)近似。
f(x,y) = f(xo,yo)+ (?f/?x) (x-xo)+ (?f/?y) (y-yo) （7）
f(x,y) - f(xo,yo) =(?f/?x) Δx+ (?f/?y) Δy （8）
Δf =(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy （9）
公式（9）是偏差關(guān)系的普遍形式。對所研究的特定函數(shù)來說，?f/?x、?f/?y是常數(shù)。
偏差關(guān)系用于測量計(jì)量領(lǐng)域，x是測得值，xo是真值, Δx是測得值x的誤差元；y是測得值，yo是真值，Δy是測得值y的誤差元；f(x,y)是代表被測量的函數(shù)值， f(xo,yo) 是函數(shù)的真值，Δf= f(x,y)-f(xo,yo) 是函數(shù)值的誤差元。
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（五）交叉系數(shù)的一般表達(dá)
設(shè)函數(shù)的誤差由兩項(xiàng)誤差Δx、Δy引起。由此，函數(shù)的兩項(xiàng)誤差元為：
Δf(x) = (?f/?x) Δx
Δf(y) = (?f/?y) Δy
把分項(xiàng)誤差作用的靈敏系數(shù)與該項(xiàng)誤差歸并，記為：
Δf(x) =ΔX
Δf(y) = ΔY
函數(shù)的誤差元式（9）變?yōu)椋?br />
Δf=ΔX +ΔY （10）
對（10）式兩邊平方并求和、平均：
(1/N)∑Δf^2=(1/N)∑(ΔX +ΔY)^2
=(1/N)∑ΔX^2 + 2(1/N)∑ΔXΔY+(1/N)∑ΔY^2 （11）
（11）式右邊的第一項(xiàng)為σ(X)^2，第三項(xiàng)為σ(Y)^2; （11）式右邊的第二項(xiàng)是交叉項(xiàng)，是我們研究的重點(diǎn)對象。交叉項(xiàng) 為
2(1/N)∑ΔXΔY =2【(1/N)(∑ΔXΔY) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}】
×{√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}
= 2J√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2] （12）
（12）式中的J為：
J =(1/N)(∑ΔXΔY) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]} （13）
稱J為交叉系數(shù)。
（注：J在此前記為r，稱為相關(guān)系數(shù)。這和統(tǒng)計(jì)理論的相關(guān)系數(shù)，物理意義不一致。為澄清已有的混淆，本文稱J為交叉系數(shù)。）
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（六）隨機(jī)誤差間合成的交叉系數(shù)
對隨機(jī)誤差的合成，ΔX是ξx, 代換為[X-X(平)]；ΔY是ξy，代換為[Y-Y(平)]，有：
J =[1/(N-1)][∑[Xi-X(平)][(Yj-Y(平))] / [σ(X) σ(Y)] （14）
由于ξx、ξy是隨機(jī)誤差，可正可負(fù)，可大可小，有對稱性與有界性，多次測量，是大量的，因此，隨機(jī)誤差間的合成的交叉系數(shù)為零（或可以忽略）。（14）式是當(dāng)前不確定度論引用的統(tǒng)計(jì)理論的相關(guān)系數(shù)公式。
隨機(jī)誤差合成，“方和根法”成立，有
σ(f) =√[σ(X)^2+ σ(Y)^2] （15）
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（七）隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差合成的交叉系數(shù)
兩個(gè)分項(xiàng)誤差，一個(gè)是隨機(jī)的，記為ξ，考慮到對誤差范圍的權(quán)重，取單元量為3ξ（ΔX）；一個(gè)是系統(tǒng)的（重復(fù)測量中不變），記為β（ΔY）。
代入公式（13），有
J =(1/N)(∑3ξiβ) / [σ(X) σ(Y)] （16）
系統(tǒng)誤差元是常數(shù)可以提出來，有
J =(1/N) (3β∑ξi) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]} （17）
大量重復(fù)測量（例如N=20，N不得小于10）中，（17）式的∑ξi等于零或可以忽略，因此J近似為0，可以忽略。“方和根法”成立。
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（八）系統(tǒng)誤差與系統(tǒng)誤差合成的交叉系數(shù)
設(shè)（13）式中ΔX為系統(tǒng)誤差βx ，ΔY為系統(tǒng)誤差βy，有
√[(1/N)∑ΔX^2]= |βx| （18）
√[(1/N)∑ΔY^2]= |βy| （19）
則系統(tǒng)誤差的交叉系數(shù)為
J =(1/N)(∑βxβy) / [|βx| |βy|] （20）
=(1/N) (∑βxβy) / [ |βx| |βy| ]
=±1
即有
|J|=1 （21）
當(dāng)βx與βy同號(hào)時(shí)，系統(tǒng)誤差的交叉系數(shù)為+1；當(dāng)βx與βy異號(hào)時(shí)，系統(tǒng)誤差的交叉系數(shù)為-1.
當(dāng)系統(tǒng)誤差的交叉系數(shù)為+1時(shí)，（11）式為：
| Δf | =|βx^2|+2|βx||βy| +|βy|^2
即有
| Δf | =|βx|+|βy| （22）
（22）式就是絕對值合成公式。
當(dāng)系統(tǒng)誤差的交叉系數(shù)為-1時(shí)，（22）式變?yōu)槎坎畹墓健Ｒ驗(yàn)橥ǔＶ皇侵老到y(tǒng)誤差之誤差范圍，又鑒于誤差量“上限性”的特點(diǎn)，二量差的公式不能用。
測量儀器的性能指標(biāo)，給出的都是誤差范圍。
單值量具，如果上級(jí)計(jì)量已給出修正值（不是一般的測得值，必須是給出的帶有修正誤差的修正值），并且已按修正值使用，則該量具的隨機(jī)誤差與修正前相同；而修正后的系統(tǒng)誤差等于修正值的誤差[(標(biāo)準(zhǔn)的系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差)+被檢儀器的隨機(jī)誤差]。
測量儀器，通常有幾千到幾十萬個(gè)測量點(diǎn)。上級(jí)計(jì)量部門通常只能給出十幾個(gè)到幾十個(gè)校準(zhǔn)點(diǎn)的修正值。只有這些點(diǎn)（或很接近的點(diǎn)）能修正；杯水車薪，測量儀器的絕大部分的測量點(diǎn)是不能修正的。就是修正過的點(diǎn)，也還是有系統(tǒng)誤差的（等于校準(zhǔn)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)的系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差，再加上被校儀器的隨機(jī)誤差）。由于被檢儀器的隨機(jī)誤差，經(jīng)修正操作后轉(zhuǎn)化為被檢儀器的系統(tǒng)誤差，因此修正并不一定好。除單值量具外，通常，測量儀器是不修正的。
通常，測量儀器的誤差范圍指標(biāo)值由生產(chǎn)廠家給出，由計(jì)量部門公證，測量者按儀器指標(biāo)應(yīng)用。直接測量，測量儀器的指標(biāo)，就可看作是測量的誤差范圍（只要符合儀器使用條件，環(huán)境等的影響，已包含在儀器的指標(biāo)中）。間接測量，要按間接測量的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行誤差合成。測量儀器的誤差范圍指標(biāo)值因以系統(tǒng)誤差為主，要視其為系統(tǒng)誤差值，按系統(tǒng)誤差處理。
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（九）關(guān)于合成方法的主張
誤差合成，統(tǒng)一按“方根法”。對特定的誤差種類，“方根法”分化為“均方根法”、“方和根法”、“絕對和法”、“混合法”。
通常，測量儀器以系統(tǒng)誤差為主。不能無視系統(tǒng)誤差的存在。考慮到系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差都是客觀存在，提出如下主張：
（1）隨機(jī)誤差序列，用“均方根法”，隨機(jī)誤差范圍之間，用“方和根法”；
（2）隨機(jī)誤差范圍與系統(tǒng)誤差范圍之間，用“方和根法”；
（3）有多項(xiàng)中小系統(tǒng)誤差項(xiàng)，僅有一項(xiàng)大系統(tǒng)誤差（或沒有大系統(tǒng)誤差），它們之間的交叉系數(shù)，可能是+1，也可能是-1，有相互抵消、或部分抵消的作用，這樣，可以用“方和根法”。
（4）直接測量僅有兩三項(xiàng)系統(tǒng)誤差，要用“絕對和法”（適用于研制中確定儀器指標(biāo)）；
（5）間接測量，僅有兩三項(xiàng)測量儀器的誤差范圍，要用“絕對和法”；
（6）有多項(xiàng)誤差，在兩項(xiàng)或三項(xiàng)大系統(tǒng)誤差之間用“絕對和法”，其余的各種處理，用“方和根法”。總稱謂是“混合法”。
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補(bǔ)充內(nèi)容 (2016-1-30 16:55):
你應(yīng)該對老史的“相關(guān)系數(shù)論”駁斥一番，改為 你應(yīng)該對老史的“交叉系數(shù)論”駁斥一番。 |
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