統計測量的新概念—兼論測量的分類

    摘要  區分測量為兩類：常規測量和統計測量。給出測量分類的標準，提出統計測量這個新概念。指出國際標準化組織等七個國際組織推薦的且已風行于世的不確定度概念，僅適用于如基準測量一類的特種發散型統計測量，且應改進統計方法。對常規測量、常規統計測量、一般發散型統計測量，對基準以外的標準、測量儀器，都必須講究準確度，而不能用不確定度。
關鍵詞  常規測量  統計測量   不確定度  準確度
    在我國計量界，有按專業分類的傳統，如長、熱、力、電、時頻、電子、光學、聲學、化學、電離輻射等十大專業。計量是管測量的，測量也就沿循此例。這是按業務領域的一種分類方法。
本文提出另一種關于測量分類的概念。按測量本身的性質和特點，將測量區分為常規測量和統計測量；對統計測量又區分為常規統計測量和發散型統計測量；對發散型統計測量再區分為有標稱值的一般型和無標稱值的特殊型。提出區分的標準。說明在實際應用中，常規測量與統計測量的綜合與轉化。
    統計測量概念的提出，反映了現代測量技術與測量理論的發展，可以幫助人們分辨一些引起爭議的概念。
1 測量與計量
    測量是人們對客觀事物取得定量認識的一種手段。測量是個比較過程：將被測量同已知量相比較，以確定被測量與選定單位的比值。這個比值(數值)同單位結合在一起稱量值。量值是物理量的表征。
計量是規范測量的測量。計量依法監督測量工具的準確性與測量行為的規范性。使用有溯源性的標準與測量儀器、按照規程、由資格被確認的人員進行的以判別測量器具合格性為目的的測量，是計量。建立基準，即復現單位，建立各級計量標準與量值傳遞網，定期檢定測量工具，進行量值統一，是計量的基本業務。計量依法行事。
    測量與計量的具體工作對象不同。測量的直接目的是得到測得值。計量的目的是保證測量的準確。
    測量與計量的劃分，以測量工具的作用為界。測量是用測量工具認識物理量，相信的是測量工具，目的是得到被測量的量值；計量的目的是檢查測量工具的合格性，相信的是標準。簡言之，相信測量工具的是測量；檢查測量工具的是計量。
在計量與測量的關系上，有兩點值得我們探討。第一點：計量通常是測量的逆操作。測量是用測量工具去考察、認識未知量值，相信的是測量工具；計量是拿標準（已知的量值）來被測量工具測量，以考察測量工具是否準確，相信的是標準。例如，用卡尺量鋼棍的長度
和截面直徑是測量，是普通的操作；而以卡尺測量量塊（長度標準），以考察卡尺的誤差，則是計量，是專業人員的事。第二點：計量之所以存在，所以必要，其技術原因是通常的測量都存在系統誤差。測量用工具、量具或測量儀器，需經檢定，即履行計量手續，以保證其準                                       
確。測量者自身經多次測量可以發現并減小隨機誤差，但通常不能發現系統誤差。計量中所使用標準的量值，對被檢儀器來說相當于真值，有真值才能求得被檢儀器的系統誤差。否定真值，否定準確度，也就從根本上否定了計量存在的必要。
2 測量與統計
    典型的測量問題是這樣的：客觀物理量值不變，測量儀器有誤差。相應的理論是誤差理論。典型的統計問題是另一種情況：客觀物理量的大小以一定的概率出現，而測量儀器無誤差，相應的理論是統計理論。
    所謂物理量值不變或儀器無誤差，都是相對的，絕對的“不變”或“無誤差”都是不可能的。
    設物理量值的相對變化量為Δ物，測量儀器的相對誤差為Δ測，若
        Δ物 ＜＜　Δ測                                                       (1)
即物理量值的相對變化遠小于測量儀器的相對誤差，這種情況稱常規測量，適用理論是經典測量學。
    如果考察對象是物理量的變化，且有
        Δ測　＜＜　Δ物                                                      (2)
即測量儀器的相對誤差（包括系統誤差與隨機誤差）遠小于物理量的相對變化，這類問題是統計問題。這種場合忽略測量誤差。測得值的變化，反映被測量值本身的變化。
3 測量類型的區分
    從伽利略（十七世紀）到高斯、貝賽爾（十九世紀），形成經典測量理論，并一直沿用至今。
    單純的測量是認識一個量的量值，講究的是測準。統計是對許多值的測量，首先要各個測準，而重點是認識這些值的規律。這就是測量領域的統計，用經典統計理論。
二十世紀六十年代后，隨著原子鐘的出現，隨著極精確的時間頻率測量技術的發展，產生了經典測量理論或經典統計理論難以處理的問題，主要是發散困難（采樣次數N越大，方差越大）。阿侖方差就是為克服發散困難而提出的。阿侖方差的出現，標志著新的測量學說的登臺。隨后，出現“不確定度”論，這套主張在國際計量會議上的爭論與通過，已經突破經典測量理論與經典統計理論的框架。
    當今的不確定度論者，全面否定經典測量理論，取消真值、誤差、準確度這些基本概念。近20年的歷史表明，這是不應該的，也是辦不到的。
筆者認為，研究問題，不能囫圇吞棗，要分清對象。既不能只看一般，忽視特殊；更不該把局部當整體，把特殊情況當作普遍情況。要弄清出現了什么新情況，經典理論在什么情況下能用，什么情況下不能用；而新理論又能不能適應一切情況，是否帶來新問題等等。
    分清情況，分清對象，十分重要。
    測量分為兩種情況。第一種，測量誤差遠大于被測量值的變化，這種情況被典型化為“量值本身不變而測量有誤差”，稱常規測量，其理論稱經典測量理論；第二種，被測量值本身的變化遠大于測量誤差，這種情況被典型化為“測得值是被測量的實際值，求量值及其變化”，這種測量稱為統計測量。
    當今，測量可分為四種類型：
    ① 常規測量：得到多個測得值，存在期望值，貝塞爾公式成立；用測得值的平均值代表代表真值，用平均值的標準誤差（常取其3倍）表示隨機誤差范圍；存在唯一真值，講究準確度。
    ② 常規統計測量：測得到的多個值，每個值都是被測量的實際值；存在期望值，貝塞爾公式成立；用單個值的標準偏差；有標稱值（目標值），講究準確度。
    ③ 一般發散型統計：測得到的多個值，每個值都是真值；存在發散困難，無數學期望，貝塞爾公式不成立；有標稱值（目標值），講究準確度。
    ④ 特種發散型統計：得到的多個值，每個都是真值；存在發散困難，無數學期望，貝塞爾公式不成立；無標準，用不確定度。
    本章提出這樣的觀點：當今世界上的測量學理論問題，首先是分辨測量類型的問題。對不同的測量場合，要認清問題的性質，表征方法要符合實際需要。
各種測量類型的關系如下圖。
      測量         常規測量   
                   統計測量          常規統計測量            
                                     發散型統計測量          一般發散型統計
                                                             特種發散型統計
4常規測量及對常規測量理論的修正意見
    常規測量的目的是求得接近真值的準確值，于是必須考究測量誤差（略稱誤差，實際指誤差范圍），追求測量準確度。常規測量的特征是測量誤差遠大于量值本身的變化。真值、誤差、準確度是常規測量及其理論經典測量學（又稱計量學）的三大標志。
    常規測量的要點是：①多次測量求平均值，用平均值表征真值；② 用貝塞爾公式計算單個測得值的標準誤差σ（過程量），除以    得平均值的標準誤差    (表達結果用)；③綜合系統誤差與隨機誤差范圍（如3     ），合理表達誤差范圍；用誤差范圍表征準確度；④正確運用有效數字。
    常規測量是往昔的基本測量，也是現在和將來的基本測量。常規測量理論是經典測量學或經典計量學。下面對經典測量理論提出一點修正意見。
    經典測量理論通常講：“當系統誤差不存在時，平均值的數學期望是真值”。經典測量學適用的范圍內，主要是系統誤差，但經典測量學理論一開頭就假定系統誤差不存在。這種講法不好。基本表達式沒留系統誤差的位置。
經典講法有客觀原因：隨機誤差理論是通論，系統誤差理論是個論，系統誤差的內容對各種儀器、各種測量都各不相同，不好講。但是，畢竟系統誤差十分重要，系統誤差的消除或減小是儀器設計或測量方案制定的基本任務，任何一種新的消除或減小系統誤差的方法都是一項發明。系統誤差決不可忽視。測量理論的研究與發展，最大的工作量是對系統誤差的研究。隨機誤差理論之花開在系統誤差的枝干上，才能燦爛；否定系統誤差，測量理論就失去根基了。
    通用測量理論重點講隨機誤差，但不能削弱系統誤差的重要性，建議按如下方式處理。
    設物理量的真值為A，測得值為X1，X2，… XN，測得值的平均值為    ，    的數學期望是E 。E稱期望值，期望值E與真值A之差是系統誤差。常規測量以期望值的近似值即平均值    來表征真值。多次測量取平均值所接近的是期望值，而不是真值，要接近真值，必須講究系統誤差。測得值的“分散性”只說明測得值對期望值的離散性，不能說明測得值對真值的偏差即準確性。
    有期望值概念后，推導貝塞爾公式時用期望值，而不用真值。講隨機誤差理論只涉及期望值，而不必再做“系統誤差不存在”這種通常既達不到又易產生誤解的假定。明確期望值與真值有差，這就為系統誤差預留了空間，既可以克服經典測量理論表達上的缺點，也可以糾正濫用“不確定度”的弊病。
5 常規統計測量的表征  
    測量，人們熟悉；統計，人們也熟悉。說統計測量，有人可能覺得新穎，其實，人們遇到并處理得最多的，就是統計測量。為什么最常見反覺得不熟悉呢？主要是過去沒在理論上明確測量與統計的區分標準，沒講明二者的分化、轉化與綜合。近代機械與自動化技術大發展，批量生產、市場經濟、規模經濟大發展，原來以手工生產為出發點的思考，在許多場合，不適應了。
    人們在生產、生活中都需要測量，而應用得最多的是商業上的稱量。買米買面買菜要稱重，買布要測長度，看病要量體溫。機加工工人隨時要量機械零件尺寸。粗看起來，這都是常規測量，細一想，竟多數是統計測量。
    比如量面粉，是稱重，很易看作是常規測量。從前確是這樣。張三要賣一袋面，李四愿買，王五用臺秤給稱一下。這是常規測量。這袋面的重量是客觀存在，稱得準不準是秤的問題。以往的測量理論，考慮的是這樣的問題。是手工業時代的思路。
    現代人們食用的面粉是工廠生產的袋裝面。一袋面標稱值25kg，偏差不超過0.2kg。稱重操作是在面粉廠生產車間封袋前完成的。各袋有各袋的量值，實際的量值不再是量值的中心了。量值的中心是標稱值25kg，偏差范圍是0.2kg。這是統計測量。
    若買25kg面粉一袋，到公平秤上稱得24.9kg，這符合偏差范圍，莫怨商店缺斤短兩。
    機械化自動化生產，基本上是統計測量。例如車工加工100根軸，圖紙標度的尺寸為：
        10mm±0.1mm
車床上有尺寸控制標度；操作手用螺旋測微器測量車出的軸，以確保軸徑合格。這是統計測量問題。所用測量工具的誤差必須遠小于偏差范圍（0.1mm），以使每根軸的軸徑測得值都是實際值（即真值）；各軸的值對標稱值（10mm）都有些偏差，但最大不能超過（0.1mm – e）,e是測量儀器的誤差范圍。在此問題中，測量儀器的誤差是可略的，每個軸的測得值即其實際值（真值），共100個值。此100個值的平均值近似為期望值，平均值與標稱值（目標值）的偏差是系統偏差，各值與期望值的偏差是隨機偏差。表明隨機特性的值是單個值的標準偏差σ，而不是平均值的標準偏差    。操作工人（或檢查工）測量過每個零件的尺寸，符合標稱尺寸及允差范圍即可，至于整套統計計算，只在考核機床性能及操作工水平時進行，平時不必。
經典的測量理論，主要考慮測得值與實際值（真值）的接近程度，那是有前提的，即物理量的量值有唯一的真值，這等于說物理量是恒定不變的。在測量水平不高的時代，這樣講對大多數情況是對的。也有不妥，例如量體溫。水銀體溫計的穩定性，遠比人體溫的穩定性高。用此溫度計測人的體溫，設測10次。示值的不同，表明的是人體溫的變化。這類問題用原有的測量理論即常規測量理論是無法解的。
    隨著機械化、自動化大生產的發展，隨著測量儀器水平的提高與大量精密測量儀器的普及，使得許多原來的常規測量，變成統計測量。也就是說，主要的矛盾是量值本身的變化而不再是儀器誤差；當然，儀器誤差可略，是前提條件。
    統計測量與常規測量的主要不同點在于：被測量變還是不變；被測量的變化與儀器誤差哪個是主要矛盾；表明隨機變化范圍的是3σ，還是3 。  
    如前圖，統計測量還要細分為幾種。先講常規統計測量的表征。
    常規統計測量的目的是通過多次測量求得被測量值的期望值和偏差特性。常規統計測量領域的偏差包括單個量值對期望值的偏差和期望值對目標值的偏差。這類問題承認數學期望存在、方差存在。要點是：①多次測量求平均值，用平均值表征量值的期望值；② 用貝塞爾公式計算單個測得值的標準偏差σ，用σ表示標準偏差或用σ的幾倍表達隨機偏差范圍。注意，這是統計測量與常規測量顯著不同的地方：常規測量用平均值來代表數學期望以表達真值，故用平均值的標準偏差；統計測量中每個值都是真值，用單個值的標準偏差，來表達單個值對期望值的分散性。常規統計測量有標稱值（如源類），或有目標值（如機加工），因而講究準確度。單個值對期望值的偏差是隨機偏差，期望值對目標值的偏差是系統偏差。系統偏差與隨機偏差范圍（如3σ）的綜合稱偏差范圍。用偏差范圍來表征準確度。
6 對發散型統計理論的修正意見
    隨著科學技術的發展，測量技術不斷發展，出現了經典測量學難以處理的新情況。測量深入到接近原子大小的層次，幾何量便出現不確定性。頻率測量達到約10-12量級，統計頻率量值時便出現發散困難。在這個背景下，出現發散型統計理論。一般發散型統計還有標稱值或目標值，也還要講究準確度，而特種發散型統計則既無數學期望也無目標值，不講準確度，而用“不確定度”。
筆者認為真值是客觀存在。由于在特種發散型統計中，測量精度極高，測得值個個是真值，這相當于(2)式表達的一般統計時的條件。“不確定度”學說不承認真值的存在，——在測量的角度上不承認真值，弄清它原來是統計后，便知它實際是否定數學期望的存在。聯系阿侖方差提出的發散困難，對某些特定情況，“不存在數學期望”是有實驗基礎的。
“不確定度”學說不承認標準。只講測量結果的‘分散性’，而不講正確性，準確性，可見，目中無標準。其實，基準之上無標準，對基準不講準確性，只講對分散性的統計，倒也難怪。‘不確定度’表征的是量值本身的變化范圍或人類在一定歷史時期的認識水平。由上，可以承認一種新的測量類型，本文稱其為特種發散型統計，但應嚴格限制其范圍，它僅適用于基準，或者極個別的已完全消除系統誤差的、無標稱值的賦值測量。
    發散型統計不同于常規統計。常規統計有數學期望，有方差，從而有貝塞爾公式。而發散型統計無數學期望，無數學期望就沒有貝塞爾公式。這樣，特種發散型統計用貝塞爾公式計算不確定度，就失去了前提。
    筆者對發散型統計的修正意見（部分是說法）如下。
    A 由于測量水平很高，測量誤差遠小于量值的變化量，處理的問題屬于統計問題。這里包括承認真值的客觀存在，且每個測得值都是真值，真值就是實際量值。
    B 測得值的微小變化主要是量值本身的變化。由于發散困難的存在，測得值無數學期望。
    C 對一般發散型統計測量如對晶振頻率的測量，有標稱值，要講準確度。
    D 在特種發散型統計測量中（例如對基準的測量），由于沒有更高的比較標準，無從談論準確度，可便用‘分散性’，即“不確定度”。
    E 表征測量結果的計算方法不能用貝塞爾公式，而要用自差統計法。須知，經典測量理論中用貝塞爾公式，是因為承認有唯一的真值，在假定不存在系統誤差的條件下，用平均值代替真值，才得出貝塞爾公式；常規統計中用貝塞爾公式，前提是承認有數學期望，有方差，用平均值代替數學期望才得出貝塞爾公式。特種發散型統計，由于測量誤差遠小于物理量本身的變化量，它是統計，但存在發散困難（測量次數N越大，σ越大），沒有數學期望，于是就得不出貝塞爾公式。阿侖方差原本是為此而提出的，只是它有錯。
    符合發散型統計理論邏輯一貫性的統計方法是自差統計。自差統計法詳見上篇（方差的新概念—兼論阿侖方差）。
7 常規測量與統計測量的交叉情況
    物理量的變化遠小于測量儀器誤差時，是常規測量，測量誤差范圍由測量儀器誤差決定；測量儀器誤差遠小于物理量的變化時，是統計測量，偏差范圍由物理量的變化決定。隨著測量儀器精度的提高，統計測量越來越多。
    還有一種情況是界于二者之間，物理量的變化與測量儀器的誤差相差不多，屬同一量級，該如何處理？ 1980年，當我提出關于測量與統計的觀點時，曾有人提出這個問題，我當時回答說，我只能處理二者區分的情況，至于如何處理綜合情況，留給別人吧，我解決不了。當時確實認為自己解決不了，一放竟過了20多年。今天九九重陽節（2004年10月22日），卻突然想起可以用類似偏微分的方法處理。
寫在這里，算是慶祝老人節吧。
設物理量為L，物理量的變化為ΔL變，測量儀器的絕對誤差為Δ測，相對誤差為δ測，測得值為L測 ，測得值總偏差為ΔL總 ，
          L測 =  L（1+δ測）
          L測 = （Lo+ΔL變）（1+δ測）
          L o+ ΔL總 = Lo + ΔL變 + Lδ測 +ΔLδ測
          L o+ ΔL總 = Lo + ΔL變+ L（Δ測/L） +ΔLδ測
          ΔL總 = ΔL + Δ測                                          
    注意到誤差與變化量都是可正可負的，這樣，其范圍是
          +│ΔL總 │= +（│ΔL變 │+ │Δ測│）
          -│ΔL總 │= -（│ΔL變│+ │Δ測│）
簡寫為
          ΔL總 =±（│ΔL變│+ │Δ測│）
都表為相對誤差形式，并視為絕對值，有
          δL總 = δL變 + δ測                                         （3）
    常規測量，物理量變化δL變可略，總偏差范圍δL總等于測量誤差范圍δ測；統計測量，測量誤差范圍δ測可略，總偏差范圍δL總等于統計偏差范圍δL變 。常規測量與統計測量臨界的情況，總偏差范圍由測量誤差范圍與量值變化范圍合成。
8 測量與計量的不同要求
    測量的目的是認識被測量的量值，因此要求測量儀器的誤差盡可能小。小到什么程度？小到可略。設儀器的測量誤差范圍是δ測，是而物理量的變化范圍為δ變，對物理量的精度要求是δ精 ，測量儀器的選擇標準為：
            δ測 << δ精                                                （4）
例如稱帶裝大米，標稱值為25kg 允差范圍0.2kg，用臺秤。臺秤的準確度約千分之一，在此量程上誤差范圍大致為0.05kg。稱10克上下的金戒指，要求稱準到千分之一，是10mg，
得用天平，砝碼用4等（誤差1mg）以上。
計量的目的是判別測量儀器的合格性，即測量儀器的誤差是否符合指標。計量工作者知道，計量只判斷該儀器的誤差是否在指定的誤差范圍內，并不給出該儀器測量誤差的具體數值，因為計量是統計的抽樣，不可能保證所有情況下都是這樣。
檢定測量儀器的具體做法是用一個量值標準被測量儀器測。量值標準的偏差遠小于被檢測量儀器的誤差范圍，測得值與量值標準的標稱值之差，就是測量儀器的測量儀器的測量誤差。
史錦順

[ 本帖最后由 duomeiti 于 2007-7-25 22:26 編輯 ]