最大、最小示值誤差應該怎樣理解？

近兩天突然對這個問題拿不準了。以前，我認為最大示值誤差是絕對值最大的那個示值誤差，最小示值誤差是絕對值最小的那個示值誤差。這與示值誤差最大值、最小值是不一樣的。可最近一位老前輩告訴我，最大示值誤差就是示值誤差最大值，最小示值誤差就是示值誤差最小值，這里指的是代數值。迷惑了，真的是這樣嗎？
比如，幾個測量點的示值誤差分別為：0.1mm、0.0mm、-0.2mm、-0.3mm、-0.5mm。老前輩說最大示值誤差是0.1mm，最小示值誤差是-0.5mm，示值誤差指的是代數值。可我一直認為最大示值誤差是-0.5mm，最小示值誤差是0.0mm；示值誤差最大值是0.1mm、最小值是-0.5mm。老前輩說示值誤差和誤差不是一個概念，要說最小誤差是0.0mm，最大誤差是-0.5mm是正確的。
我所接觸的計量基礎知識里不曾記得有過這樣的介紹，因此想問問前輩們以前是不是有這樣的規定。

你碰到的那位前輩理解有問題，他用了數學的思維，而忘記了自己是一名計量工作者。無論是示值誤差還是別的什么誤差都是以趨近0為誤差變小，以0為最小。誤差為正其絕對值變大，我們說誤差變大，這很好理解；但是，誤差為負其絕對值變大，我們說誤差變小，你不覺得別扭嗎？測量儀器給出的最大允許誤差，多數都是正負多少，也有不對稱的，就是給出了正的最大和負的最大。

“幾個測量點的示值誤差分別為：0.1mm、0.0mm、-0.2mm、-0.3mm、-0.5mm”；我同意在這五個測量點中示值誤差最大值為-0.5mm，最小值為0.0mm的說法。對于你提到的最大、最小示值誤差各項計量標準中確實沒有具體定義，其實也沒有必要對此進行定義和討論！掌握關鍵的一點，示值誤差絕對值必須不大于對應最大允許誤差絕對值的原則即可。

你碰到的那位前輩理解有問題，他用了數學的思維，而忘記了自己是一名計量工作者。無論是示值誤差還是別的什么誤差都是以趨近0為誤差變小，以0為最小。誤差為正其絕對值變大，我們說誤差變大，這很好理解；但是，誤差為負其絕對值變大，我們說誤差變小，你不覺得別扭嗎？測量儀器給出的最大允許誤差，多數都是正負多少，也有不對稱的，就是給出了正的最大和負的最大。

回復 4# 都成


他是一位資深老前輩，在咱們國家幾何量領域應該算得上是先驅，1958年起草了我國第一套計量檢定規程，為長度專業的幾項計量檢定規程。因此他這么說，我就試著去理解和思考，但還是不能接受這種說法。老前輩也說了，離真值越遠，誤差越大。但他說示值誤差和誤差不是一個概念，示值誤差指的是代數值，誤差應該說是咱們認為的以絕對值大的為大，以絕對值小的為小。還是比如這個例子“幾個測量點的示值誤差分別為：0.1mm、0.0mm、-0.2mm、-0.3mm、-0.5mm”，他說誤差最大的是-0.5mm，因為偏離真值最遠；但它的示值誤差最小，-0.5在代數值上是最小的。我說計量基礎知識上講了，儀器的示值誤差越小，準確度越高，示值誤差越大，準確度越低。他說那指的是儀器總示值誤差，對于各個點的示值誤差，最大、最小示值誤差應該是代數值上的最大、最小。我就納悶了，難道示值誤差和誤差真的要區分來理解？不是一回事？

回復 3# lzl_1972


可能是咱們的計量專業不同，這個問題在我們幾何量專業還是要弄清楚的。比如，讀數顯微鏡檢定規程規定：以各檢定點中最大、最小正向示值誤差之差作為正向行程的示值誤差。按同樣方法計算反向行程示值誤差，取正、反行程示值誤差中較大者作為儀器的示值誤差。
那么，就要搞清楚最大示值誤差、最小示值誤差是哪一個。假如幾個測量點的示值誤差分別為：0μm、1μm、-1μm、-2μm、-4μm，按它的規定應該是-4-0=-4μm，但實際上應該是1-（-4）=5μm。是規程描述有誤，應該以代數值最大減最小才對。但有人認為最大示值誤差就是1μm，最小示值誤差就是-4μm，因此認為規程描述是沒有問題的。難道最大示值誤差就是代數值上最大的那一個，最小示值誤差就是代數值上最小的那一個嗎？示值誤差與誤差不是一回事么？

回復 6# 長度室

　　老前輩的話是正確的。要搞清楚這個問題就必須扣一扣“示值誤差”定義的字眼。JJF1001-2011的7.32條給“示值誤差”的定義是“測量儀器的示值與對應輸入量的參考量值之差”，定義把用哪個值減去哪個值說的一清二白，因此沒必要畫蛇添足再說“代數值”的差。儀器的示值就是被檢儀器的顯示值，對應輸入量的參考量值就是計量標準的輸出量值，假設各測量點（受檢點）的示值誤差分別為：0μm、1μm、-1μm、-2μm、-4μm，這些示值誤差檢定結果就是用儀器顯示值減去計量標準值得到的，這五個受檢點的示值誤差大小一目了然，+1μm最大，-4μm最小也清清楚楚擺在我們眼前。
　　其實，“誤差”的定義指“測量結果減去被測量真值”，也把哪一個減去哪一個說的明明白白。術語“誤差”用于儀器檢定領域，增加了一個定語“示值的”，變成了“示值誤差”，此時“誤差”定義中的“測量結果”即為被檢儀器的顯示值，“真值”即為計量標準值。因此可以說“示值誤差”和“誤差”一脈相承，繼承了“誤差”的全部“基因”，是“誤差”在計量檢定/校準領域中的具體應用。
　　在說到測量設備的“示值誤差允許值”或簡稱“示值允差”時，因絕大多數儀器的最小示值誤差允許值和最大示值誤差允許值對稱于0，人們也就習慣于用“絕對值”的大小來表述“示值允差”了，久而久之，這種不規范的習慣使人逐漸淡忘了示值誤差的真實含義，誤認為示值誤差允許值就是絕對值中的最大值。其實也有不少儀器的最小示值誤差允許值和最大示值誤差允許值并不對稱于0，正負示值允差不一定就哪個的絕對值一定大，甚至可能均為正或均為負，同號而不同大小。檢定結果的絕對值盡管沒有超出最小示值誤差允許值和最大示值誤差允許值中的絕對值最大者，但若示值誤差檢定結果小于最小示值誤差允許值，仍應判為檢定不合格。

回復 7# 規矩灣錦苑


既然“誤差”定義中的“測量結果”即為被檢儀器的顯示值，“真值”即為計量標準值。為什么我們不認為-4μm誤差最小，而是最大呢？你也是老前輩，看來您們的觀點是一樣的。那么，當儀器的示值誤差為負，絕對值變大時，是不是可以理解為誤差變大，而示值誤差變小呢？

回復 8# 長度室

說都老了有點范糊涂可能有點不恭，可是那又怎么說呢？過去他們好像沒有這么說過，現在突然提出這新的觀點，都是計量常識了的東西，當誤差或示值誤差趨向于負無窮大時，他們竟然說變得越來越小。

回復 1# 長度室


   

量的差值是二量之差。甲量減乙量為＋C，乙量減甲量就是 ―C。這里的正號，表明甲量大而乙量小；負號表示甲量小而乙量大。差值的絕對值才能表明差值本身的大小。

誤差就是差值。誤差元定義為測得值減真值，誤差元可正可負。誤差元為正，表明測得值大于真值，誤差元為負表明測得值小于真值。因此，正號與負號，只說明測得值與真值哪個大，那個小，不能說明誤差量本身的大小。誤差量本身的大小取決于誤差元的絕對值。

誤差的正負號與誤差量的大小沒關系，留著有害（相互抵消或誤解大小），因此誤差的表征量，必須去掉誤差元的正負號。

去掉誤差正負符號的第一個辦法是把誤差元平方再開方。初等數學規定：平方根為正值，因此達到了去掉符號的目的。處理隨機誤差的貝塞爾公式，體現了這一點。貝塞爾公式的意義取得分散性的表征量，而去掉正負號也是一個作用。

去掉誤差正負符號的第二個辦法是取絕對值。測量儀器合格性判別中的|Δ|就是對示值與標準值之差取絕對值。

測量儀器的指標表征量最大允許誤差，符號為MPEV，第四個符號是絕對值。因此，儀器指標MPEV說全，應為：最大允許誤差的絕對值。

因此，計量中實測的值|Δ|，以及指標值MPEV都是絕對值，沒有正負號存在的地方。（見《JJF1094-2002 測量儀器特性評定》）

如上，稱說與比較誤差的大小，必須是誤差量的絕對值。與符號無關。

都成說得對，誤差量的最小值是零。因而沒必要說誤差量的最小值。

誤差范圍是誤差元的絕對值的一定概率（99%）意義下的最大可能值。由于誤差量的絕對值的上限性的特點，誤差范圍的概念，貫通于測量儀器研制、計量、測量這三大領域。

既然儀器合格性判別把MPEV當做測量儀器的性能指標，因此，任何測量儀器都不能給出不對稱的指標。不對稱的區間，在機械零件尺寸的公差帶表達中，是存在的，那是客觀量值的存在的統計問題，不是測量問題；測量問題中，沒有不對稱的區間

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示值就是測得值。示值減真值與測得值減真值，沒有區別。因此，示值誤差就是誤差。

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敬老是必要的。但對誰的話也得鑒別，如果什么都以老者的認識為標準，那科技就沒法前進了。從“小黃莊回憶”（安外小黃莊是國家計量院地址的舊稱）系列文章中，我大致知道你提到的老者或那一代人的水平。都過了八十歲了，諒解他們吧。

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回復 8# 長度室

　　有人之所以不認為-4μm誤差最小，而是最大，是因為人們已經淡忘了“示值誤差”的定義，而習慣于把“示值誤差的絕對值”當作“示值誤差”，這些同仁概念的淡忘或概念模糊使用習慣造成了這一奇特現象。
　　這種現象在“示值允差”的認識上也有類似現象，例如樓上史錦順老師提到的MPEV就是示值允差的“絕對值”，而非示值允差MPE。MPE和示值誤差都有正負號，MPEV和示值誤差絕對值都沒有正負號，有人偏偏不愿意關注絕對值“V”的存在與否。正如9樓所說，這本來“都是計量常識了的東西”，由于人們不規范使用術語的習慣，導致了“當誤差或示值誤差趨向于負無窮大時”，明明是越來越小，他們竟然說變得越來越大，乃至于出現了負數比0大，欠債越多反而越富有的奇特現象。
　　計量工作者應該以嚴謹、嚴密、嚴格、一絲不茍、遵規守法為自己的工作作風，我們一定要根據國家的正式定義的規定，而不是以不良習慣的想當然理解為依據，要嚴格識別誤差、示值誤差、示值誤差允許值到底規定的是誰減去誰。減法和除法相類似，前后順序顛倒就會南轅北轍。兩數相減要嚴格區分減數和被減數，兩數相減的“差”與兩數相減的“絕對值”含義截然不同。
　　因此，在幾何量計量中，嚴格來說應該在整個計量學領域中，當儀器的示值誤差EI（error of indication）為負，絕對值變大時，應理解為示值誤差變小，而變大的是示值誤差的絕對值EIV。當說到最大示值誤差與最小示值誤差的差值時，無論最大示值誤差的絕對值再小，最小示值誤差的絕對值再大，最大示值誤差都大于最小示值誤差，都應該是用前者減去后者。

回復 10# 史錦順


謝謝史老師的講解，我看過了感覺有收獲。

回復 11# 規矩灣錦苑


這么說來，編寫計量基礎知識的人員也是在用他們的習慣給我們產生誤解了吧？我們可以看到，在注冊計量時基礎知識及專業實務上，應該在其他的教材、資料上也都有這樣的介紹，在測量儀器的計量特性中的測量儀器的示值誤差中說：測量儀器的示值誤差也簡稱為測量儀器的誤差，這是測量儀器的最主要的計量特性之一，其實質反映了測量儀器準確度的大小，示值誤差大，則其準確度低，示值誤差小，則其準確度高。按您說這是在誤導人么？是不是應該是示值誤差的絕對值大，則其準確度低，示值誤差的絕對值小，則其準確度高？如果說示值誤差為負數絕對值變大是示值誤差在變小，那豈不是準確度在變高？

弱弱的說一句，好像JJF1001中沒有誤差這個概念了，只有示值誤差

弱弱的說一句，好像JJF1001中沒有誤差這個概念了，只有示值誤差

回復 14# laofan1201

　　5.3條是“誤差”的定義，7.32條是“示值誤差”的定義。兩個定義的共同點是兩個量值相減得到的差值，不同點是被減數和減數對于示值誤差而言，在誤差的被減數和減數基礎上針對儀器檢定工作落到了實處。

回復 13# 長度室

　　你說的很對。“測量儀器的示值誤差也簡稱為測量儀器的誤差，這是測量儀器的最主要的計量特性之一，其實質反映了測量儀器準確度的大小，示值誤差大，則其準確度低，示值誤差小，則其準確度高”。這的確是按人們的不良習慣在使用術語，沒有正確使用“示值誤差”和“示值誤差的絕對值”，這句話有誤導人的嫌疑。這種模糊使用術語的不良習慣比較容易被人們所接受，因為人們平時在比較兩個量值大小時，遇到的都是“正量值”，往往忽略正負號。但站在計量學科學的角度上看，這種習慣真的有害，很容易讓人們忘記術語的定義本質。準確的說法應該是：
　　儀器示值誤差的絕對值（而不是示值誤差）決定了儀器的準確度，示值誤差的絕對值越大，則其準確度越低，示值誤差的絕對值越小，則其準確度越高。如果示值誤差均為負數，雖然越遠離0示值誤差就越小，但示值誤差的絕對值卻會越大，因此，這種情況下的示值誤差盡管越變越小，儀器準確度卻不取決于示值誤差，仍然只受示值誤差的絕對值所左右，會越變越低。

回復 15# laofan1201


應該有的。請看JJF 1001-2011 的5.3 測量誤差，簡稱誤差。

回復 17# 規矩灣錦苑


假如說我出一個題：兩塊電流表，檢定10A測量點的示值誤差，標準值是10A，A表的指示值是10.1A，B表的指示值是9.8A，那么，在10A這一點上，哪塊表的示值誤差小，哪塊表的準確度高？
可以看出，A表在該點的示值誤差是0.1A，B表是-0.2A。不只是我，我相信絕大多數人的答案是在10A點A表的示值誤差小，A表的準確度高。通過幾貼的回復，我相信您認為是B表的示值誤差小，而A表的準確度高。是這樣么。

回復 19# 長度室

　　檢定10A測量點的示值誤差，標準值是10A，A表的指示值是10.1A，B表的指示值是9.8A，那么，根據國家規范給定的定義，儀器顯示值減去標準值為示值誤差，則在10A這一點上，A表示值誤差為＋0.1A，B表示值誤差為-0.2A。理所當然就示值誤差而言-0.2＜+0.1，但就示值誤差的絕對值而言，∣-0.2∣＞∣+0.1∣。
　　因此，準確的說法應該是：B表的示值誤差小于A表的示值誤差，B表的示值誤差絕對值大于A表的示值誤差絕對值，所以A表的準確度高于B表的準確度。只不過人們，包括一些教材和資料背離了嚴密、嚴肅、嚴謹的計量工作精神，試圖用“誤差”頂替“誤差絕對值”使用，有意混淆誤差與誤差絕對值的界限，從而把人們帶入了示值誤差就是示值誤差絕對值的誤區，于是得到B表的示值誤差大于A表的示值誤差，即 -0.2＞+0.1 的違反科學的結論。

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                                          比較誤差大小要看絕對值

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表達一個人的經濟情況，在錢財的數軸上，正表示積蓄，負表示負債，這時，正負號有意義。甲+100萬元；乙+10萬元；丙-50萬元。財富排行榜：1甲，2乙，3丙。甲的錢最多，丙的錢最少，乙的錢居中。正負符號起重要作用。

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現在比較他們財富的差距。1號統計員讓每人以自己為標準。于是得他人與自己之差，清單如下：

甲：乙―甲  -90萬元

        丙―甲  -150萬元

乙：甲―乙  +90萬元

        丙―乙  -60萬元

丙：甲―丙  +150萬元

        乙―丙  +60萬元

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2號統計員，著眼點是一個人與其他人之差，于是得另一清單。

甲：甲―乙  +90萬元

        甲―丙  +150萬元

乙：乙―甲  -90萬元

        乙―丙  60萬元

丙：丙―甲  -150萬元

        丙―乙  -60萬元

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各次計算差值的結果，列在數軸上，為：

         -150萬元，-90萬元，-60萬元，+60萬元，+90萬元，+150萬元

說三人財富的最小差值是-150萬元，這顯然是錯誤說法。

正負號的不同，不說明差值的大小，僅能說明以哪方為參考點。

差值的絕對值才表明差值的大小。+150萬元是最大差值，-150萬元的絕對值是150萬元，它就是最大差值。在這個題目中，就表現差值的大小來說，-150萬元與+150萬元的意義相同，作用等效。有個正號、負號，毫無意義；因此要取絕對值，即去掉正號與負號。

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表明財富差大小的是財富差的絕對值。甲和丙的差距最大，以自己為比較標準，在甲看來是-150萬元，在丙看來是+150萬元。而當以對方為標準時，在甲看來是+150萬元，在丙看來是-150萬元，這里的正負號只表明以誰為標準，富與貧，不只取決于正負號，還有以哪方為標準。以自己為標準，負號表示別人貧，而自己富；以對方為標準，負號表示自己貧而別人富。

可見，表明差距大小的是絕對值，不能單看符號，只憑符號論差值大小，必然出錯。上例，不論表成-150萬元，還是表成+150萬元，都是最大差距。-150萬元與最小差無關。

用絕對值表達財富差，簡單而明確。三人間的財富差分別是150萬元（甲丙間）、90萬元（甲乙間）、60萬元（乙丙間）。財富差距的最大值是150萬元，最小差距是60萬元。

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回到誤差問題。

誤差的概念，是個泛指概念。包括誤差元與誤差范圍的概念。這既是誤差概念的歷史，也是誤差概念的現實。

誤差元定義為測得值減真值的差值，它是誤差概念的物理基礎，也是分析計算的基礎。誤差元可正，可負，也可以是零。。

由誤差元構成誤差范圍。

誤差范圍是誤差元的絕對值的一定概率（99%）意義下的最大可能值。恒正。

誤差范圍是區間，誤差元是區間中的點；誤差范圍是集合，誤差元是集合的元素。

計量中有標準。標準的標稱值代表標準的真值。用被檢儀器測量計量標準，示值與標準標稱值之差就是示值誤差元，可正可負，也可以為零。

計量時的區間是示值的區間。以標準標稱值為中心的、以測量儀器誤差范圍的指標值為半寬的示值區間必定包含示值。也就是說，實測的示值在示值區間中，則測量儀器合格；如果有示值出現在區間外，則儀器不合格。

誤差量的大小，取決于誤差元的絕對值，而與誤差元的符號無關。

有兩個誤差元，+2mm和-10mm。有資深計量專家說：-10mm誤差小，而+2mm誤差大。這是錯話。該專家忘了誤差是差值，而差值的正負號，只表明計算差值的那甲乙二量，以哪個為標準，正負號與甲乙二量差別之大小無關。差值的絕對值才表明甲乙二量差別的大小。誤差量的大小，要看誤差元的絕對值。因此那項標有-10mm的誤差是大誤差，而標有+2mm的誤差是小誤差。

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誤差值的正負，可理解為測得值相對于基準的偏離方向，誤差大小由偏離程度決定，只能看誤差的絕對值大小，這一點有別于數學中有理數的定義，有理數需要看符號，正數永遠大于負數，但誤差的大小應該不是這樣的，誤差顯然是偏離基準越遠才越大。

回復 20# 規矩灣錦苑


看了樓下史老師的話，我清楚了，您還在堅持么？

回復 22# 星空漫步


謝謝，我一直還是比較清楚的。只是最近跟一位老前輩討論一個問題時，他說誤差是這樣的，但示值誤差跟誤差不是一個概念，示值誤差指的是代數值，即負的示值誤差永遠比正的示值誤差小。

回復 21# 史錦順


我同意您的觀點，不接受那種說法。