測量結(jié)果的評定和不確定度

測量結(jié)果的評定和不確定度
測量的目的是不但要測量待測物理量的近似值，而且要對近似真實值的可靠性做出評定（即指出誤差范圍），這就要求我們還必須掌握不確定度的有關(guān)概念。下面將結(jié)合對測量結(jié)果的評定對不確定度的概念、分類、合成等問題進行討論。
一、不確定度的含義
在物理實驗中，常常要對測量的結(jié)果做出綜合的評定，采用不確定度的概念。不確定度是“誤差可能數(shù)值的測量程度”，表征所得測量結(jié)果代表被測量的程度。也就是因測量誤差存在而對被測量不能肯定的程度，因而是測量質(zhì)量的表征，用不確定度對測量數(shù)據(jù)做出比較合理的評定。對一個物理實驗的具體數(shù)據(jù)來說，不確定度是指測量值（近真值）附近的一個范圍，測量值與真值之差（誤差）可能落于其中，不確定度小，測量結(jié)果可信賴程度高；不確定度大，測量結(jié)果可信賴程度低。在實驗和測量工作中，不確定度一詞近似于不確知，不明確，不可靠，有質(zhì)疑，是作為估計而言的；因為誤差是未知的，不可能用指出誤差的方法去說明可信賴程度，而只能用誤差的某種可能的數(shù)值去說明可信賴程度，所以不確定度更能表示測量結(jié)果的性質(zhì)和測量的質(zhì)量。用不確定度評定實驗結(jié)果的誤差，其中包含了各種來源不同的誤差對結(jié)果的影響，而它們的計算又反映了這些誤差所服從的分布規(guī)律，這是更準確地表述了測量結(jié)果的可靠程度，因而有必要采用不確定度的概念。
二、測量結(jié)果的表示和合成不確定度
在做物理實驗時，要求表示出測量的最終結(jié)果。在這個結(jié)果中既要包含待測量的近似真實值 ，又要包含測量結(jié)果的不確定度σ，還要反映出物理量的單位。因此，要寫成物理含意深刻的標準表達形式，即
（單位）
式中x為待測量； 是測量的近似真實值,σ是合成不確定度，一般保留一位有效數(shù)字。這種表達形式反應了三個基本要素：測量值、合成不確定度和單位。
在物理實驗中，直接測量時若不需要對被測量進行系統(tǒng)誤差的修正，一般就取多次測量的算術(shù)平均值 作為近似真實值；若在實驗中有時只需測一次或只能測一次，該次測量值就為被測量的近似真實值。如果要求對被測量進行一定系統(tǒng)誤差的修正，通常是將一定系統(tǒng)誤差（即絕對值和符號都確定的可估計出的誤差分量）從算術(shù)平均值 或一次測量值中減去，從而求得被修正后的直接測量結(jié)果的近似真實值。例如，用螺旋測微器來測量長度時，從被測量結(jié)果中減去螺旋測微器的零誤差。在間接測量中,  即為被測量的計算值。
在測量結(jié)果的標準表達式中，給出了一個范圍 ，它表示待測量的真值在 范圍之間的概率為68.3％, 不要誤認為真值一定就會落在 之間。認為誤差在 之間是錯誤的。
在上述的標準式中，近似真實值、合成不確定度、單位三個要素缺一不可，否則就不能全面表達測量結(jié)果。同時，近似真實值 的末尾數(shù)應該與不確定度的所在位數(shù)對齊，近似真實值 與不確定度σ的數(shù)量級、單位要相同。在開始實驗中，測量結(jié)果的正確表示是一個難點，要引起重視，從開始就注意糾正，培養(yǎng)良好的實驗習慣，才能逐步克服難點，正確書寫測量結(jié)果的標準形式。
在不確定度的合成問題中，主要是從系統(tǒng)誤差和隨機誤差等方面進行綜合考慮的，提出了統(tǒng)計不確定度和非統(tǒng)計不確定度的概念。合成不確定度σ是由不確定度的兩類分量（A類和B類）求“方和根”計算而得。為使問題簡化，本書只討論簡單情況下（即A類、B類分量保持各自獨立變化，互不相關(guān)）的合成不確定度。
A 類不確定度（統(tǒng)計不確定度）用 表示，B類不確定度（非統(tǒng)計不確定度）用 表示，合成不確定度為
                       
三、合成不確定度的兩類分量
物理實驗中的不確定度，一般主要來源于測量方法、測量人員、環(huán)境波動、測量對象變化等等。計算不確定度是將可修正的系統(tǒng)誤差修正后，將各種來源的誤差按計算方法分為兩類，即用統(tǒng)計方法計算的不確定度（A類）和非統(tǒng)計方法計算的不確定度（B類）。
A類  統(tǒng)計不確定度，是指可以采用統(tǒng)計方法（即具有隨機誤差性質(zhì)）計算的不確定度，如測量讀數(shù)具有分散性，測量時溫度波動影響等等。這類統(tǒng)計不確定度通常認為它是服從正態(tài)分布規(guī)律，因此可以像計算標準偏差那樣，用“貝塞爾公式”計算被測量的A類不確定度。A類不確定度 為
                       
式中i＝1 , 2 , 3 , … n , 表示測量次數(shù)。
在計算A類不確定度時，也可以用最大偏差法、極差法、最小二乘法等，本書只采用“貝塞爾公式法”，并且著重討論讀數(shù)分散對應的不確定度。用“貝塞爾公式”計算A類不確定度，可以用函數(shù)計算器直接讀取，十分方便。
B類  非統(tǒng)計不確定度，是指用非統(tǒng)計方法求出或評定的不確定度，如實驗室中的測量儀器不準確，量具磨損老化等等。評定B類不確定度常用估計方法，要估計適當，需要確定分布規(guī)律，同時要參照標準，更需要估計者的實踐經(jīng)驗、學識水平等。因此，往往是意見紛紜，爭論頗多。本書對B類不確定度的估計同樣只作簡化處理。儀器不準確的程度主要用儀器誤差來表示，所以因儀器不準確對應的B類不確定度為
                             
為儀器誤差或儀器的基本誤差，或允許誤差，或顯示數(shù)值誤差。一般的儀器說明書中都以某種方式注明儀器誤差，是制造廠或計量檢定部門給定。物理實驗教學中，由實驗室提供。對于單次測量的隨機誤差一般是以最大誤差進行估計，以下分兩種情況處理。
已知儀器準確度時，這時以其準確度作為誤差大小。如一個量程150mA，準確度0.2級的電流表，測某一次電流，讀數(shù)為131.2mA。為估計其誤差，則按準確度0.2級可算出最大絕對誤差為0.3mA，因而該次測量的結(jié)果可寫成I＝131.2±0.3mA。又如用物理天平稱量某個物體的質(zhì)量，當天平平衡時砝碼為P＝145.02克，讓游碼在天平橫梁上偏離平衡位置一個刻度（相當于0.05克），天平指針偏過1.8分度，則該天平這時的靈敏度為（1.8÷0.05）分度/克，其感量為0.03克/分度，就是該天平稱衡物體質(zhì)量時的準確度，測量結(jié)果可寫成P＝145.02±0.03克。
未知儀器準確度時，這時單次測量誤差的估計，應根據(jù)所用儀器的精密度、儀器靈敏度、測試者感覺器官的分辨能力以及觀測時的環(huán)境條件等因素具體考慮，以使估計誤差的大小盡可能符合實際情況。一般說，最大讀數(shù)誤差對連續(xù)讀數(shù)的儀器可取儀器最小刻度值的一半，而無法進行估計的非連續(xù)讀數(shù)的儀器，如數(shù)字式儀表，則取其最末位數(shù)的一個最小單位。
四、直接測量的不確定度
在對直接測量的不確定度的合成問題中，對A類不確定度主要討論在多次等精度測量條件下，讀數(shù)分散對應的不確定度，并且用“貝塞爾公式”計算A類不確定度。對B類不確定度，主要討論儀器不準確對應的不確定度，將測量結(jié)果寫成標準形式。因此，實驗結(jié)果的獲得，應包括待測量近似真實值的確定，A、B兩類不確定度以及合成不確定度的計算。增加重復測量次數(shù)對于減小平均值的標準誤差，提高測量的精密度有利。但是注意到當次數(shù)增大時，平均值的標準誤差減小漸為緩慢，當次數(shù)大于十時平均值的減小便不明顯了。通常取測量次數(shù)為五至十為宜。下面通過兩個例子加以說明。
例1．采用感量為0.1g的物理天平稱量某物體的質(zhì)量，其讀數(shù)值為35.41g ,求物體質(zhì)量的測量結(jié)果。
[解]：采用物理天平稱物體的質(zhì)量，重復測量讀數(shù)值往往相同，故一般只須進行單次測量即可。單次測量的讀數(shù)即為近似真實值，m＝35.41g。
物理天平的“示值誤差”通常取感量的一半，并且作為儀器誤差，即
                 ＝0.05（g）＝σ
測量結(jié)果為
                    m＝35.41±0.05（g）
在例1中，因為是單次測量（n＝1）,合成不確定度 中的 ＝0 ,所以σ＝ 即單次測量的合成不確定度等于非統(tǒng)計不確定度。但是這個結(jié)論并不表明單次測量的σ就小，因為 n ＝1時, 發(fā)散。其隨機分布特征是客觀存在的，測量次數(shù)n越大，置信概率就越高，因而測量的平均值就越接近真值。

例2．用螺旋測微器測量小鋼球的直徑，五次的測量值分別為
d（mm）＝11.922,11.923,11.922,11.922,11.922
螺旋測微器的最小分度數(shù)值為0.01mm 試寫出測量結(jié)果的標準式。
[解]：（1）求直徑 d 的算術(shù)平均值
               
   
（2）計算B類不確定度
螺旋測微器的儀器誤差為 ＝0.005（mm）
                ＝0.005（mm）
（3）計算A類不確定度
               
      
                  
（4）合成不確定度
               
式中，由于0.0005＜ ×0.005 , 故可略去 ,于是：
             σ＝0.005（mm）
5．測量結(jié)果為
              
從上例中可以看出，當有些不確定度分量的數(shù)值很小時，相對而言可以略去不計。在計算合成不確定度中求“方和根”時，若某一平方值小于另一平方值的 ，則這一項就可以略去不計。這一結(jié)論叫做微小誤差準則。在進行數(shù)據(jù)處理時，利用微小誤差準則可減少不必要的計算。不確定度的計算結(jié)果，一般應保留一位有效數(shù)字，多余的位數(shù)按有效數(shù)字的修約原則進行取舍。評價測量結(jié)果，有時候需要引入相對不確定度的概念。相對不確定度定義為
              
的結(jié)果一般應取2位有效數(shù)字。此外，有時候還需要將測量結(jié)果的近似真實值 與公認值 進行比較，得到測量結(jié)果的百分偏差B。百分偏差定義為
            
百分偏差其結(jié)果一般應取2位有效數(shù)字。
測量不確定度表達涉及到深廣的知識領(lǐng)域和誤差理論問題，大大超出了本課程的教學范圍。同時，有關(guān)它的概念、理論和應用規(guī)范還在不斷地發(fā)展和完善。因此，我們在教學中也在進行摸索，以期在保證科學性的前提下，盡量把方法簡化，為初學者易于接受。教學重點放在建立必要的概念，有一個初步的基礎。以后在工作需要時，可以參考有關(guān)文獻繼續(xù)深入學習。
五、間接測量結(jié)果的合成不確定度
間接測量的近似真實值和合成不確定度是由直接測量結(jié)果通過函數(shù)式計算出來的，既然直接測量有誤差，那么間接測量也必有誤差，這就是誤差的傳遞。由直接測量值及其誤差來計算間接測量值的誤差之間的關(guān)系式稱為誤差的傳遞公式。設間接測量的函數(shù)式為
            N＝F（x , y , z , …）
N為間接測量的量，它有K個直接測量的物理量x , y , z , … ，各直接觀測量的測量結(jié)果分別為




（1）若將各個直接測量量的近似真實值 代入函數(shù)表達式中，即可得到間接測量的近似真實值。
               
（2）求間接測量的合成不確定度，由于不確定度均為微小量，相似于數(shù)學中的微小增量，對函數(shù)式N＝F（x , y , z , …）求全微分，即得
              
式中dN , dx , dy , dz , … 均為微小量，代表各變量的微小變化，dN 的變化由各自變量的變化決定, 為函數(shù)對自變量的偏導數(shù),記為 。將上面全微分式中的微分符號d改寫為不確定度符號σ，并將微分式中的各項求“方和根”，即為間接測量的合成不確定度
                   （4）
K為直接測量量的個數(shù)，A代表 x , y , z , … 各個自變量（直接觀測量）。
上式表明，間接測量的函數(shù)式確定后，測出它所包含的直接觀測量的結(jié)果，將各個直接觀測量的不確定度 乘以函數(shù)對各變量（直測量）的偏導數(shù) ，求“方和根”，即 就是間接測量結(jié)果的不確定度。
當間接測量的函數(shù)表達式為積和商（或含和差的積商形式）的形式時，為了使運算簡便起見，可以先將函數(shù)式兩邊同時取自然對數(shù)，然后再求全微分。即
            
同樣改寫微分符號為不確定度符號，再求其“方和根”，即為間接測量的相對不確定度 ，即
            
                                              （5）
已知 、 ，由（5）式可以求出合成不確定度
                                                     （6）
這樣計算間接測量的統(tǒng)計不確定度時，特別對函數(shù)表達式很復雜的情況，尤其顯示出它的優(yōu)越性。今后在計算間接測量的不確定度時，對函數(shù)表達式僅為“和差”形式，可以直接利用（4）式，求出間接測量的合成不確定度 ，若函數(shù)表達式為積和商（或積商和差混合）等較為復雜的形式，可直接采用（5）式，先求出相對不確定度，再求出合成不確定度 。
例1．已知電阻 ＝50.2±0.5（Ω）,  ＝149.8±0.5（Ω）, 求它們串聯(lián)的電阻R和合成不確定度 。
[解]：串聯(lián)電阻的阻值為
R＝ ＋ ＝50.2＋149.8＝200.0（Ω）
合成不確定度
               
                  
相對不確定度
               
測量結(jié)果為
               R＝200.0±0.7（Ω）
在例1中，由于  R的總合成不確定度為各個直接觀測量的不確定度平方求和后再開方。
間接測量的不確定度計算結(jié)果一般應保留一位有效數(shù)字，相對不確定度一般應保留2 位有效數(shù)字。
例2．測量金屬環(huán)的內(nèi)徑 ＝2.880±0.004（cm），外徑 ＝3.600±0.004（cm）, 厚度 h＝2.575±0.004（cm）。試求環(huán)的體積V和測量結(jié)果。
[解]：環(huán)體積公式為
               
（1）環(huán)體積的近似真實值為
               
      
（2）首先將環(huán)體積公式兩邊同時取自然對數(shù)后，再求全微分
               
               
則相對不確定度為
               
                  
  
（3）總合成不確定度為

（4）環(huán)體積的測量結(jié)果為
                 V＝9.44 0.08
V的標準式中， 應與不確定度的位數(shù)取齊，因此將小數(shù)點后的第三位數(shù)6，按照數(shù)字修約原則進到百分位，故為9.44 。                                   
間接測量結(jié)果的誤差，常用兩種方法來估計：算術(shù)合成（最大誤差法）和幾何合成（標準誤差）。誤差的算術(shù)合成將各誤差取絕對值相加，是從最不利的情況考慮，誤差合成的結(jié)果是間接測量的最大誤差，因此是比較粗略的，但計算較為簡單，它常用于誤差分析、實驗設計或粗略的誤差計算中；上面例子采用幾何合成的方法，計算較麻煩，但誤差的幾何合成較為合理。

:$ 有沒有電子天平的??？寫個上來看看撒

請多來點實例分析，便于實際操作。

計算B類不確定度分量是直接引用儀器的誤差嗎？不確定度的計算結(jié)果，一般應保留1至2位有效數(shù)字。

hao 我很贊同

[ 本帖最后由 duomeiti 于 2007-3-3 20:22 編輯 ]