測量結果的評定和不確定度

測量結果的評定和不確定度
測量的目的是不但要測量待測物理量的近似值，而且要對近似真實值的可靠性做出評定（即指出誤差范圍），這就要求我們還必須掌握不確定度的有關概念。下面將結合對測量結果的評定對不確定度的概念、分類、合成等問題進行討論。
一、不確定度的含義
在物理實驗中，常常要對測量的結果做出綜合的評定，采用不確定度的概念。不確定度是“誤差可能數值的測量程度”，表征所得測量結果代表被測量的程度。也就是因測量誤差存在而對被測量不能肯定的程度，因而是測量質量的表征，用不確定度對測量數據做出比較合理的評定。對一個物理實驗的具體數據來說，不確定度是指測量值（近真值）附近的一個范圍，測量值與真值之差（誤差）可能落于其中，不確定度小，測量結果可信賴程度高；不確定度大，測量結果可信賴程度低。在實驗和測量工作中，不確定度一詞近似于不確知，不明確，不可靠，有質疑，是作為估計而言的；因為誤差是未知的，不可能用指出誤差的方法去說明可信賴程度，而只能用誤差的某種可能的數值去說明可信賴程度，所以不確定度更能表示測量結果的性質和測量的質量。用不確定度評定實驗結果的誤差，其中包含了各種來源不同的誤差對結果的影響，而它們的計算又反映了這些誤差所服從的分布規律，這是更準確地表述了測量結果的可靠程度，因而有必要采用不確定度的概念。
二、測量結果的表示和合成不確定度
在做物理實驗時，要求表示出測量的最終結果。在這個結果中既要包含待測量的近似真實值 ，又要包含測量結果的不確定度σ，還要反映出物理量的單位。因此，要寫成物理含意深刻的標準表達形式，即
（單位）
式中x為待測量； 是測量的近似真實值,σ是合成不確定度，一般保留一位有效數字。這種表達形式反應了三個基本要素：測量值、合成不確定度和單位。
在物理實驗中，直接測量時若不需要對被測量進行系統誤差的修正，一般就取多次測量的算術平均值 作為近似真實值；若在實驗中有時只需測一次或只能測一次，該次測量值就為被測量的近似真實值。如果要求對被測量進行一定系統誤差的修正，通常是將一定系統誤差（即絕對值和符號都確定的可估計出的誤差分量）從算術平均值 或一次測量值中減去，從而求得被修正后的直接測量結果的近似真實值。例如，用螺旋測微器來測量長度時，從被測量結果中減去螺旋測微器的零誤差。在間接測量中,  即為被測量的計算值。
在測量結果的標準表達式中，給出了一個范圍 ，它表示待測量的真值在 范圍之間的概率為68.3％, 不要誤認為真值一定就會落在 之間。認為誤差在 之間是錯誤的。
在上述的標準式中，近似真實值、合成不確定度、單位三個要素缺一不可，否則就不能全面表達測量結果。同時，近似真實值 的末尾數應該與不確定度的所在位數對齊，近似真實值 與不確定度σ的數量級、單位要相同。在開始實驗中，測量結果的正確表示是一個難點，要引起重視，從開始就注意糾正，培養良好的實驗習慣，才能逐步克服難點，正確書寫測量結果的標準形式。
在不確定度的合成問題中，主要是從系統誤差和隨機誤差等方面進行綜合考慮的，提出了統計不確定度和非統計不確定度的概念。合成不確定度σ是由不確定度的兩類分量（A類和B類）求“方和根”計算而得。為使問題簡化，本書只討論簡單情況下（即A類、B類分量保持各自獨立變化，互不相關）的合成不確定度。
A 類不確定度（統計不確定度）用 表示，B類不確定度（非統計不確定度）用 表示，合成不確定度為
                       
三、合成不確定度的兩類分量
物理實驗中的不確定度，一般主要來源于測量方法、測量人員、環境波動、測量對象變化等等。計算不確定度是將可修正的系統誤差修正后，將各種來源的誤差按計算方法分為兩類，即用統計方法計算的不確定度（A類）和非統計方法計算的不確定度（B類）。
A類  統計不確定度，是指可以采用統計方法（即具有隨機誤差性質）計算的不確定度，如測量讀數具有分散性，測量時溫度波動影響等等。這類統計不確定度通常認為它是服從正態分布規律，因此可以像計算標準偏差那樣，用“貝塞爾公式”計算被測量的A類不確定度。A類不確定度 為
                       
式中i＝1 , 2 , 3 , … n , 表示測量次數。
在計算A類不確定度時，也可以用最大偏差法、極差法、最小二乘法等，本書只采用“貝塞爾公式法”，并且著重討論讀數分散對應的不確定度。用“貝塞爾公式”計算A類不確定度，可以用函數計算器直接讀取，十分方便。
B類  非統計不確定度，是指用非統計方法求出或評定的不確定度，如實驗室中的測量儀器不準確，量具磨損老化等等。評定B類不確定度常用估計方法，要估計適當，需要確定分布規律，同時要參照標準，更需要估計者的實踐經驗、學識水平等。因此，往往是意見紛紜，爭論頗多。本書對B類不確定度的估計同樣只作簡化處理。儀器不準確的程度主要用儀器誤差來表示，所以因儀器不準確對應的B類不確定度為
                             
為儀器誤差或儀器的基本誤差，或允許誤差，或顯示數值誤差。一般的儀器說明書中都以某種方式注明儀器誤差，是制造廠或計量檢定部門給定。物理實驗教學中，由實驗室提供。對于單次測量的隨機誤差一般是以最大誤差進行估計，以下分兩種情況處理。
已知儀器準確度時，這時以其準確度作為誤差大小。如一個量程150mA，準確度0.2級的電流表，測某一次電流，讀數為131.2mA。為估計其誤差，則按準確度0.2級可算出最大絕對誤差為0.3mA，因而該次測量的結果可寫成I＝131.2±0.3mA。又如用物理天平稱量某個物體的質量，當天平平衡時砝碼為P＝145.02克，讓游碼在天平橫梁上偏離平衡位置一個刻度（相當于0.05克），天平指針偏過1.8分度，則該天平這時的靈敏度為（1.8÷0.05）分度/克，其感量為0.03克/分度，就是該天平稱衡物體質量時的準確度，測量結果可寫成P＝145.02±0.03克。
未知儀器準確度時，這時單次測量誤差的估計，應根據所用儀器的精密度、儀器靈敏度、測試者感覺器官的分辨能力以及觀測時的環境條件等因素具體考慮，以使估計誤差的大小盡可能符合實際情況。一般說，最大讀數誤差對連續讀數的儀器可取儀器最小刻度值的一半，而無法進行估計的非連續讀數的儀器，如數字式儀表，則取其最末位數的一個最小單位。
四、直接測量的不確定度
在對直接測量的不確定度的合成問題中，對A類不確定度主要討論在多次等精度測量條件下，讀數分散對應的不確定度，并且用“貝塞爾公式”計算A類不確定度。對B類不確定度，主要討論儀器不準確對應的不確定度，將測量結果寫成標準形式。因此，實驗結果的獲得，應包括待測量近似真實值的確定，A、B兩類不確定度以及合成不確定度的計算。增加重復測量次數對于減小平均值的標準誤差，提高測量的精密度有利。但是注意到當次數增大時，平均值的標準誤差減小漸為緩慢，當次數大于十時平均值的減小便不明顯了。通常取測量次數為五至十為宜。下面通過兩個例子加以說明。
例1．采用感量為0.1g的物理天平稱量某物體的質量，其讀數值為35.41g ,求物體質量的測量結果。
[解]：采用物理天平稱物體的質量，重復測量讀數值往往相同，故一般只須進行單次測量即可。單次測量的讀數即為近似真實值，m＝35.41g。
物理天平的“示值誤差”通常取感量的一半，并且作為儀器誤差，即
                 ＝0.05（g）＝σ
測量結果為
                    m＝35.41±0.05（g）
在例1中，因為是單次測量（n＝1）,合成不確定度 中的 ＝0 ,所以σ＝ 即單次測量的合成不確定度等于非統計不確定度。但是這個結論并不表明單次測量的σ就小，因為 n ＝1時, 發散。其隨機分布特征是客觀存在的，測量次數n越大，置信概率就越高，因而測量的平均值就越接近真值。

例2．用螺旋測微器測量小鋼球的直徑，五次的測量值分別為
d（mm）＝11.922,11.923,11.922,11.922,11.922
螺旋測微器的最小分度數值為0.01mm 試寫出測量結果的標準式。
[解]：（1）求直徑 d 的算術平均值
               
   
（2）計算B類不確定度
螺旋測微器的儀器誤差為 ＝0.005（mm）
                ＝0.005（mm）
（3）計算A類不確定度
               
      
                  
（4）合成不確定度
               
式中，由于0.0005＜ ×0.005 , 故可略去 ,于是：
             σ＝0.005（mm）
5．測量結果為
              
從上例中可以看出，當有些不確定度分量的數值很小時，相對而言可以略去不計。在計算合成不確定度中求“方和根”時，若某一平方值小于另一平方值的 ，則這一項就可以略去不計。這一結論叫做微小誤差準則。在進行數據處理時，利用微小誤差準則可減少不必要的計算。不確定度的計算結果，一般應保留一位有效數字，多余的位數按有效數字的修約原則進行取舍。評價測量結果，有時候需要引入相對不確定度的概念。相對不確定度定義為
              
的結果一般應取2位有效數字。此外，有時候還需要將測量結果的近似真實值 與公認值 進行比較，得到測量結果的百分偏差B。百分偏差定義為
            
百分偏差其結果一般應取2位有效數字。
測量不確定度表達涉及到深廣的知識領域和誤差理論問題，大大超出了本課程的教學范圍。同時，有關它的概念、理論和應用規范還在不斷地發展和完善。因此，我們在教學中也在進行摸索，以期在保證科學性的前提下，盡量把方法簡化，為初學者易于接受。教學重點放在建立必要的概念，有一個初步的基礎。以后在工作需要時，可以參考有關文獻繼續深入學習。
五、間接測量結果的合成不確定度
間接測量的近似真實值和合成不確定度是由直接測量結果通過函數式計算出來的，既然直接測量有誤差，那么間接測量也必有誤差，這就是誤差的傳遞。由直接測量值及其誤差來計算間接測量值的誤差之間的關系式稱為誤差的傳遞公式。設間接測量的函數式為
            N＝F（x , y , z , …）
N為間接測量的量，它有K個直接測量的物理量x , y , z , … ，各直接觀測量的測量結果分別為




（1）若將各個直接測量量的近似真實值 代入函數表達式中，即可得到間接測量的近似真實值。
               
（2）求間接測量的合成不確定度，由于不確定度均為微小量，相似于數學中的微小增量，對函數式N＝F（x , y , z , …）求全微分，即得
              
式中dN , dx , dy , dz , … 均為微小量，代表各變量的微小變化，dN 的變化由各自變量的變化決定, 為函數對自變量的偏導數,記為 。將上面全微分式中的微分符號d改寫為不確定度符號σ，并將微分式中的各項求“方和根”，即為間接測量的合成不確定度
                   （4）
K為直接測量量的個數，A代表 x , y , z , … 各個自變量（直接觀測量）。
上式表明，間接測量的函數式確定后，測出它所包含的直接觀測量的結果，將各個直接觀測量的不確定度 乘以函數對各變量（直測量）的偏導數 ，求“方和根”，即 就是間接測量結果的不確定度。
當間接測量的函數表達式為積和商（或含和差的積商形式）的形式時，為了使運算簡便起見，可以先將函數式兩邊同時取自然對數，然后再求全微分。即
            
同樣改寫微分符號為不確定度符號，再求其“方和根”，即為間接測量的相對不確定度 ，即
            
                                              （5）
已知 、 ，由（5）式可以求出合成不確定度
                                                     （6）
這樣計算間接測量的統計不確定度時，特別對函數表達式很復雜的情況，尤其顯示出它的優越性。今后在計算間接測量的不確定度時，對函數表達式僅為“和差”形式，可以直接利用（4）式，求出間接測量的合成不確定度 ，若函數表達式為積和商（或積商和差混合）等較為復雜的形式，可直接采用（5）式，先求出相對不確定度，再求出合成不確定度 。
例1．已知電阻 ＝50.2±0.5（Ω）,  ＝149.8±0.5（Ω）, 求它們串聯的電阻R和合成不確定度 。
[解]：串聯電阻的阻值為
R＝ ＋ ＝50.2＋149.8＝200.0（Ω）
合成不確定度
               
                  
相對不確定度
               
測量結果為
               R＝200.0±0.7（Ω）
在例1中，由于  R的總合成不確定度為各個直接觀測量的不確定度平方求和后再開方。
間接測量的不確定度計算結果一般應保留一位有效數字，相對不確定度一般應保留2 位有效數字。
例2．測量金屬環的內徑 ＝2.880±0.004（cm），外徑 ＝3.600±0.004（cm）, 厚度 h＝2.575±0.004（cm）。試求環的體積V和測量結果。
[解]：環體積公式為
               
（1）環體積的近似真實值為
               
      
（2）首先將環體積公式兩邊同時取自然對數后，再求全微分
               
               
則相對不確定度為
               
                  
  
（3）總合成不確定度為

（4）環體積的測量結果為
                 V＝9.44 0.08
V的標準式中， 應與不確定度的位數取齊，因此將小數點后的第三位數6，按照數字修約原則進到百分位，故為9.44 。                                   
間接測量結果的誤差，常用兩種方法來估計：算術合成（最大誤差法）和幾何合成（標準誤差）。誤差的算術合成將各誤差取絕對值相加，是從最不利的情況考慮，誤差合成的結果是間接測量的最大誤差，因此是比較粗略的，但計算較為簡單，它常用于誤差分析、實驗設計或粗略的誤差計算中；上面例子采用幾何合成的方法，計算較麻煩，但誤差的幾何合成較為合理。

請多來點實例分析，便于實際操作。

計算B類不確定度分量是直接引用儀器的誤差嗎？不確定度的計算結果，一般應保留1至2位有效數字。

hao 我很贊同

[ 本帖最后由 duomeiti 于 2007-3-3 20:22 編輯 ]