測(cè)量結(jié)果的評(píng)定和不確定度

測(cè)量結(jié)果的評(píng)定和不確定度
測(cè)量的目的是不但要測(cè)量待測(cè)物理量的近似值，而且要對(duì)近似真實(shí)值的可靠性做出評(píng)定（即指出誤差范圍），這就要求我們還必須掌握不確定度的有關(guān)概念。下面將結(jié)合對(duì)測(cè)量結(jié)果的評(píng)定對(duì)不確定度的概念、分類、合成等問題進(jìn)行討論。
一、不確定度的含義
在物理實(shí)驗(yàn)中，常常要對(duì)測(cè)量的結(jié)果做出綜合的評(píng)定，采用不確定度的概念。不確定度是“誤差可能數(shù)值的測(cè)量程度”，表征所得測(cè)量結(jié)果代表被測(cè)量的程度。也就是因測(cè)量誤差存在而對(duì)被測(cè)量不能肯定的程度，因而是測(cè)量質(zhì)量的表征，用不確定度對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)做出比較合理的評(píng)定。對(duì)一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)的具體數(shù)據(jù)來說，不確定度是指測(cè)量值（近真值）附近的一個(gè)范圍，測(cè)量值與真值之差（誤差）可能落于其中，不確定度小，測(cè)量結(jié)果可信賴程度高；不確定度大，測(cè)量結(jié)果可信賴程度低。在實(shí)驗(yàn)和測(cè)量工作中，不確定度一詞近似于不確知，不明確，不可靠，有質(zhì)疑，是作為估計(jì)而言的；因?yàn)檎`差是未知的，不可能用指出誤差的方法去說明可信賴程度，而只能用誤差的某種可能的數(shù)值去說明可信賴程度，所以不確定度更能表示測(cè)量結(jié)果的性質(zhì)和測(cè)量的質(zhì)量。用不確定度評(píng)定實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差，其中包含了各種來源不同的誤差對(duì)結(jié)果的影響，而它們的計(jì)算又反映了這些誤差所服從的分布規(guī)律，這是更準(zhǔn)確地表述了測(cè)量結(jié)果的可靠程度，因而有必要采用不確定度的概念。
二、測(cè)量結(jié)果的表示和合成不確定度
在做物理實(shí)驗(yàn)時(shí)，要求表示出測(cè)量的最終結(jié)果。在這個(gè)結(jié)果中既要包含待測(cè)量的近似真實(shí)值 ，又要包含測(cè)量結(jié)果的不確定度σ，還要反映出物理量的單位。因此，要寫成物理含意深刻的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)形式，即
（單位）
式中x為待測(cè)量； 是測(cè)量的近似真實(shí)值,σ是合成不確定度，一般保留一位有效數(shù)字。這種表達(dá)形式反應(yīng)了三個(gè)基本要素：測(cè)量值、合成不確定度和單位。
在物理實(shí)驗(yàn)中，直接測(cè)量時(shí)若不需要對(duì)被測(cè)量進(jìn)行系統(tǒng)誤差的修正，一般就取多次測(cè)量的算術(shù)平均值 作為近似真實(shí)值；若在實(shí)驗(yàn)中有時(shí)只需測(cè)一次或只能測(cè)一次，該次測(cè)量值就為被測(cè)量的近似真實(shí)值。如果要求對(duì)被測(cè)量進(jìn)行一定系統(tǒng)誤差的修正，通常是將一定系統(tǒng)誤差（即絕對(duì)值和符號(hào)都確定的可估計(jì)出的誤差分量）從算術(shù)平均值 或一次測(cè)量值中減去，從而求得被修正后的直接測(cè)量結(jié)果的近似真實(shí)值。例如，用螺旋測(cè)微器來測(cè)量長(zhǎng)度時(shí)，從被測(cè)量結(jié)果中減去螺旋測(cè)微器的零誤差。在間接測(cè)量中,  即為被測(cè)量的計(jì)算值。
在測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式中，給出了一個(gè)范圍 ，它表示待測(cè)量的真值在 范圍之間的概率為68.3％, 不要誤認(rèn)為真值一定就會(huì)落在 之間。認(rèn)為誤差在 之間是錯(cuò)誤的。
在上述的標(biāo)準(zhǔn)式中，近似真實(shí)值、合成不確定度、單位三個(gè)要素缺一不可，否則就不能全面表達(dá)測(cè)量結(jié)果。同時(shí)，近似真實(shí)值 的末尾數(shù)應(yīng)該與不確定度的所在位數(shù)對(duì)齊，近似真實(shí)值 與不確定度σ的數(shù)量級(jí)、單位要相同。在開始實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量結(jié)果的正確表示是一個(gè)難點(diǎn)，要引起重視，從開始就注意糾正，培養(yǎng)良好的實(shí)驗(yàn)習(xí)慣，才能逐步克服難點(diǎn)，正確書寫測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)形式。
在不確定度的合成問題中，主要是從系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差等方面進(jìn)行綜合考慮的，提出了統(tǒng)計(jì)不確定度和非統(tǒng)計(jì)不確定度的概念。合成不確定度σ是由不確定度的兩類分量（A類和B類）求“方和根”計(jì)算而得。為使問題簡(jiǎn)化，本書只討論簡(jiǎn)單情況下（即A類、B類分量保持各自獨(dú)立變化，互不相關(guān)）的合成不確定度。
A 類不確定度（統(tǒng)計(jì)不確定度）用 表示，B類不確定度（非統(tǒng)計(jì)不確定度）用 表示，合成不確定度為
                       
三、合成不確定度的兩類分量
物理實(shí)驗(yàn)中的不確定度，一般主要來源于測(cè)量方法、測(cè)量人員、環(huán)境波動(dòng)、測(cè)量對(duì)象變化等等。計(jì)算不確定度是將可修正的系統(tǒng)誤差修正后，將各種來源的誤差按計(jì)算方法分為兩類，即用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算的不確定度（A類）和非統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算的不確定度（B類）。
A類  統(tǒng)計(jì)不確定度，是指可以采用統(tǒng)計(jì)方法（即具有隨機(jī)誤差性質(zhì)）計(jì)算的不確定度，如測(cè)量讀數(shù)具有分散性，測(cè)量時(shí)溫度波動(dòng)影響等等。這類統(tǒng)計(jì)不確定度通常認(rèn)為它是服從正態(tài)分布規(guī)律，因此可以像計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差那樣，用“貝塞爾公式”計(jì)算被測(cè)量的A類不確定度。A類不確定度 為
                       
式中i＝1 , 2 , 3 , … n , 表示測(cè)量次數(shù)。
在計(jì)算A類不確定度時(shí)，也可以用最大偏差法、極差法、最小二乘法等，本書只采用“貝塞爾公式法”，并且著重討論讀數(shù)分散對(duì)應(yīng)的不確定度。用“貝塞爾公式”計(jì)算A類不確定度，可以用函數(shù)計(jì)算器直接讀取，十分方便。
B類  非統(tǒng)計(jì)不確定度，是指用非統(tǒng)計(jì)方法求出或評(píng)定的不確定度，如實(shí)驗(yàn)室中的測(cè)量?jī)x器不準(zhǔn)確，量具磨損老化等等。評(píng)定B類不確定度常用估計(jì)方法，要估計(jì)適當(dāng)，需要確定分布規(guī)律，同時(shí)要參照標(biāo)準(zhǔn)，更需要估計(jì)者的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、學(xué)識(shí)水平等。因此，往往是意見紛紜，爭(zhēng)論頗多。本書對(duì)B類不確定度的估計(jì)同樣只作簡(jiǎn)化處理。儀器不準(zhǔn)確的程度主要用儀器誤差來表示，所以因儀器不準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)的B類不確定度為
                             
為儀器誤差或儀器的基本誤差，或允許誤差，或顯示數(shù)值誤差。一般的儀器說明書中都以某種方式注明儀器誤差，是制造廠或計(jì)量檢定部門給定。物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，由實(shí)驗(yàn)室提供。對(duì)于單次測(cè)量的隨機(jī)誤差一般是以最大誤差進(jìn)行估計(jì)，以下分兩種情況處理。
已知儀器準(zhǔn)確度時(shí)，這時(shí)以其準(zhǔn)確度作為誤差大小。如一個(gè)量程150mA，準(zhǔn)確度0.2級(jí)的電流表，測(cè)某一次電流，讀數(shù)為131.2mA。為估計(jì)其誤差，則按準(zhǔn)確度0.2級(jí)可算出最大絕對(duì)誤差為0.3mA，因而該次測(cè)量的結(jié)果可寫成I＝131.2±0.3mA。又如用物理天平稱量某個(gè)物體的質(zhì)量，當(dāng)天平平衡時(shí)砝碼為P＝145.02克，讓游碼在天平橫梁上偏離平衡位置一個(gè)刻度（相當(dāng)于0.05克），天平指針偏過1.8分度，則該天平這時(shí)的靈敏度為（1.8÷0.05）分度/克，其感量為0.03克/分度，就是該天平稱衡物體質(zhì)量時(shí)的準(zhǔn)確度，測(cè)量結(jié)果可寫成P＝145.02±0.03克。
未知儀器準(zhǔn)確度時(shí)，這時(shí)單次測(cè)量誤差的估計(jì)，應(yīng)根據(jù)所用儀器的精密度、儀器靈敏度、測(cè)試者感覺器官的分辨能力以及觀測(cè)時(shí)的環(huán)境條件等因素具體考慮，以使估計(jì)誤差的大小盡可能符合實(shí)際情況。一般說，最大讀數(shù)誤差對(duì)連續(xù)讀數(shù)的儀器可取儀器最小刻度值的一半，而無(wú)法進(jìn)行估計(jì)的非連續(xù)讀數(shù)的儀器，如數(shù)字式儀表，則取其最末位數(shù)的一個(gè)最小單位。
四、直接測(cè)量的不確定度
在對(duì)直接測(cè)量的不確定度的合成問題中，對(duì)A類不確定度主要討論在多次等精度測(cè)量條件下，讀數(shù)分散對(duì)應(yīng)的不確定度，并且用“貝塞爾公式”計(jì)算A類不確定度。對(duì)B類不確定度，主要討論儀器不準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)的不確定度，將測(cè)量結(jié)果寫成標(biāo)準(zhǔn)形式。因此，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的獲得，應(yīng)包括待測(cè)量近似真實(shí)值的確定，A、B兩類不確定度以及合成不確定度的計(jì)算。增加重復(fù)測(cè)量次數(shù)對(duì)于減小平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差，提高測(cè)量的精密度有利。但是注意到當(dāng)次數(shù)增大時(shí)，平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差減小漸為緩慢，當(dāng)次數(shù)大于十時(shí)平均值的減小便不明顯了。通常取測(cè)量次數(shù)為五至十為宜。下面通過兩個(gè)例子加以說明。
例1．采用感量為0.1g的物理天平稱量某物體的質(zhì)量，其讀數(shù)值為35.41g ,求物體質(zhì)量的測(cè)量結(jié)果。
[解]：采用物理天平稱物體的質(zhì)量，重復(fù)測(cè)量讀數(shù)值往往相同，故一般只須進(jìn)行單次測(cè)量即可。單次測(cè)量的讀數(shù)即為近似真實(shí)值，m＝35.41g。
物理天平的“示值誤差”通常取感量的一半，并且作為儀器誤差，即
                 ＝0.05（g）＝σ
測(cè)量結(jié)果為
                    m＝35.41±0.05（g）
在例1中，因?yàn)槭菃未螠y(cè)量（n＝1）,合成不確定度 中的 ＝0 ,所以σ＝ 即單次測(cè)量的合成不確定度等于非統(tǒng)計(jì)不確定度。但是這個(gè)結(jié)論并不表明單次測(cè)量的σ就小，因?yàn)?n ＝1時(shí), 發(fā)散。其隨機(jī)分布特征是客觀存在的，測(cè)量次數(shù)n越大，置信概率就越高，因而測(cè)量的平均值就越接近真值。

例2．用螺旋測(cè)微器測(cè)量小鋼球的直徑，五次的測(cè)量值分別為
d（mm）＝11.922,11.923,11.922,11.922,11.922
螺旋測(cè)微器的最小分度數(shù)值為0.01mm 試寫出測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)式。
[解]：（1）求直徑 d 的算術(shù)平均值
               
   
（2）計(jì)算B類不確定度
螺旋測(cè)微器的儀器誤差為 ＝0.005（mm）
                ＝0.005（mm）
（3）計(jì)算A類不確定度
               
      
                  
（4）合成不確定度
               
式中，由于0.0005＜ ×0.005 , 故可略去 ,于是：
             σ＝0.005（mm）
5．測(cè)量結(jié)果為
              
從上例中可以看出，當(dāng)有些不確定度分量的數(shù)值很小時(shí)，相對(duì)而言可以略去不計(jì)。在計(jì)算合成不確定度中求“方和根”時(shí)，若某一平方值小于另一平方值的 ，則這一項(xiàng)就可以略去不計(jì)。這一結(jié)論叫做微小誤差準(zhǔn)則。在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)，利用微小誤差準(zhǔn)則可減少不必要的計(jì)算。不確定度的計(jì)算結(jié)果，一般應(yīng)保留一位有效數(shù)字，多余的位數(shù)按有效數(shù)字的修約原則進(jìn)行取舍。評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果，有時(shí)候需要引入相對(duì)不確定度的概念。相對(duì)不確定度定義為
              
的結(jié)果一般應(yīng)取2位有效數(shù)字。此外，有時(shí)候還需要將測(cè)量結(jié)果的近似真實(shí)值 與公認(rèn)值 進(jìn)行比較，得到測(cè)量結(jié)果的百分偏差B。百分偏差定義為
            
百分偏差其結(jié)果一般應(yīng)取2位有效數(shù)字。
測(cè)量不確定度表達(dá)涉及到深廣的知識(shí)領(lǐng)域和誤差理論問題，大大超出了本課程的教學(xué)范圍。同時(shí)，有關(guān)它的概念、理論和應(yīng)用規(guī)范還在不斷地發(fā)展和完善。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中也在進(jìn)行摸索，以期在保證科學(xué)性的前提下，盡量把方法簡(jiǎn)化，為初學(xué)者易于接受。教學(xué)重點(diǎn)放在建立必要的概念，有一個(gè)初步的基礎(chǔ)。以后在工作需要時(shí)，可以參考有關(guān)文獻(xiàn)繼續(xù)深入學(xué)習(xí)。
五、間接測(cè)量結(jié)果的合成不確定度
間接測(cè)量的近似真實(shí)值和合成不確定度是由直接測(cè)量結(jié)果通過函數(shù)式計(jì)算出來的，既然直接測(cè)量有誤差，那么間接測(cè)量也必有誤差，這就是誤差的傳遞。由直接測(cè)量值及其誤差來計(jì)算間接測(cè)量值的誤差之間的關(guān)系式稱為誤差的傳遞公式。設(shè)間接測(cè)量的函數(shù)式為
            N＝F（x , y , z , …）
N為間接測(cè)量的量，它有K個(gè)直接測(cè)量的物理量x , y , z , … ，各直接觀測(cè)量的測(cè)量結(jié)果分別為




（1）若將各個(gè)直接測(cè)量量的近似真實(shí)值 代入函數(shù)表達(dá)式中，即可得到間接測(cè)量的近似真實(shí)值。
               
（2）求間接測(cè)量的合成不確定度，由于不確定度均為微小量，相似于數(shù)學(xué)中的微小增量，對(duì)函數(shù)式N＝F（x , y , z , …）求全微分，即得
              
式中dN , dx , dy , dz , … 均為微小量，代表各變量的微小變化，dN 的變化由各自變量的變化決定, 為函數(shù)對(duì)自變量的偏導(dǎo)數(shù),記為 。將上面全微分式中的微分符號(hào)d改寫為不確定度符號(hào)σ，并將微分式中的各項(xiàng)求“方和根”，即為間接測(cè)量的合成不確定度
                   （4）
K為直接測(cè)量量的個(gè)數(shù)，A代表 x , y , z , … 各個(gè)自變量（直接觀測(cè)量）。
上式表明，間接測(cè)量的函數(shù)式確定后，測(cè)出它所包含的直接觀測(cè)量的結(jié)果，將各個(gè)直接觀測(cè)量的不確定度 乘以函數(shù)對(duì)各變量（直測(cè)量）的偏導(dǎo)數(shù) ，求“方和根”，即 就是間接測(cè)量結(jié)果的不確定度。
當(dāng)間接測(cè)量的函數(shù)表達(dá)式為積和商（或含和差的積商形式）的形式時(shí)，為了使運(yùn)算簡(jiǎn)便起見，可以先將函數(shù)式兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，然后再求全微分。即
            
同樣改寫微分符號(hào)為不確定度符號(hào)，再求其“方和根”，即為間接測(cè)量的相對(duì)不確定度 ，即
            
                                              （5）
已知 、 ，由（5）式可以求出合成不確定度
                                                     （6）
這樣計(jì)算間接測(cè)量的統(tǒng)計(jì)不確定度時(shí)，特別對(duì)函數(shù)表達(dá)式很復(fù)雜的情況，尤其顯示出它的優(yōu)越性。今后在計(jì)算間接測(cè)量的不確定度時(shí)，對(duì)函數(shù)表達(dá)式僅為“和差”形式，可以直接利用（4）式，求出間接測(cè)量的合成不確定度 ，若函數(shù)表達(dá)式為積和商（或積商和差混合）等較為復(fù)雜的形式，可直接采用（5）式，先求出相對(duì)不確定度，再求出合成不確定度 。
例1．已知電阻 ＝50.2±0.5（Ω）,  ＝149.8±0.5（Ω）, 求它們串聯(lián)的電阻R和合成不確定度 。
[解]：串聯(lián)電阻的阻值為
R＝ ＋ ＝50.2＋149.8＝200.0（Ω）
合成不確定度
               
                  
相對(duì)不確定度
               
測(cè)量結(jié)果為
               R＝200.0±0.7（Ω）
在例1中，由于  R的總合成不確定度為各個(gè)直接觀測(cè)量的不確定度平方求和后再開方。
間接測(cè)量的不確定度計(jì)算結(jié)果一般應(yīng)保留一位有效數(shù)字，相對(duì)不確定度一般應(yīng)保留2 位有效數(shù)字。
例2．測(cè)量金屬環(huán)的內(nèi)徑 ＝2.880±0.004（cm），外徑 ＝3.600±0.004（cm）, 厚度 h＝2.575±0.004（cm）。試求環(huán)的體積V和測(cè)量結(jié)果。
[解]：環(huán)體積公式為
               
（1）環(huán)體積的近似真實(shí)值為
               
      
（2）首先將環(huán)體積公式兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)后，再求全微分
               
               
則相對(duì)不確定度為
               
                  
  
（3）總合成不確定度為

（4）環(huán)體積的測(cè)量結(jié)果為
                 V＝9.44 0.08
V的標(biāo)準(zhǔn)式中， 應(yīng)與不確定度的位數(shù)取齊，因此將小數(shù)點(diǎn)后的第三位數(shù)6，按照數(shù)字修約原則進(jìn)到百分位，故為9.44 。                                   
間接測(cè)量結(jié)果的誤差，常用兩種方法來估計(jì)：算術(shù)合成（最大誤差法）和幾何合成（標(biāo)準(zhǔn)誤差）。誤差的算術(shù)合成將各誤差取絕對(duì)值相加，是從最不利的情況考慮，誤差合成的結(jié)果是間接測(cè)量的最大誤差，因此是比較粗略的，但計(jì)算較為簡(jiǎn)單，它常用于誤差分析、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)或粗略的誤差計(jì)算中；上面例子采用幾何合成的方法，計(jì)算較麻煩，但誤差的幾何合成較為合理。

:$ 有沒有電子天平的啊？寫個(gè)上來看看撒

請(qǐng)多來點(diǎn)實(shí)例分析，便于實(shí)際操作。

計(jì)算B類不確定度分量是直接引用儀器的誤差嗎？不確定度的計(jì)算結(jié)果，一般應(yīng)保留1至2位有效數(shù)字。

hao 我很贊同

[ 本帖最后由 duomeiti 于 2007-3-3 20:22 編輯 ]