誤差合成的新理論——交叉系數與方根法

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                          誤差合成的新理論
                                     ——交叉系數與方根法
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                                                                                              史錦順
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序言   誤差合成的應用場合
       誤差，表示測得值與實際值的差距。
       誤差的概念，有三層意思：誤差元、誤差范圍，或泛指二者。“分析誤差”中的“誤差”指誤差元；“儀器誤差”中的“誤差”指誤差范圍；“誤差理論”中的“誤差”既包括誤差元也包括誤差范圍。
       誤差元定義為測得值減真值。
       通常說：誤差等于測得值減真值，這里的“誤差”是誤差元。誤差元，可正可負。
       恒值的誤差元，稱系統誤差；隨機變化的誤差元稱為隨機誤差。系統誤差與隨機誤差，同時存在，只是比重不同。當系統誤差比重大時，系統誤差可以單獨表達。隨機誤差的大小、正負都隨時變化，因此隨機誤差元不能單獨表達。
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       誤差范圍定義為誤差元的絕對值的一定概率（大于99%）意義上的最大可能值。
       隨機誤差是統計變量。隨機誤差的分散性表征量是標準偏差σ。隨機誤差范圍是3σ（包含概率大于99%）。
       誤差范圍這個表征量，貫通于研制、計量、應用測量三大場合。
       誤差范圍是測量儀器的測得值函數的簡化表達，是測得值區間、被測量真值區間的特征值。
       測得值與誤差范圍構成測量結果。
       誤差范圍是計量標準、測量儀器的性能水平的標志。
       誤差范圍是測量技術、計量技術的能力水平的標志。
       誤差范圍又稱準確度、準確度等級、極限誤差、最大允許誤差等。
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       誤差合成是由誤差元求誤差范圍，或由分項誤差求總誤差范圍。
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       誤差分析與誤差合成，主要應用于研制場合與間接測量場合。
       研制測量儀器與計量標準，必須掌握誤差理論，必須能正確分析誤差、合成誤差。
       計量是檢驗與公證測量儀器的誤差范圍，靠標準、憑實測。通常的計量業務，執行規程，照章辦理。計量工作的本質是測定誤差量。要提高計量工作的水平，就要熟悉誤差理論。掌握誤差分析與誤差合成的理論與方法，對計量工作者是十分重要的。
       測量理論，是科學技術工作的基礎知識。
       直接測量，主要是根據任務要求，選用測量儀器。測量者在得到測得值的同時，是知道該直接測量的誤差范圍的，就是所用測量儀器的誤差范圍指標值。
       間接測量，要根據所求量對各個直接測量的函數關系，分析函數的誤差元，并合成誤差范圍。誤差合成，是測量技術的基礎知識與技能。
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1 誤差合成的兩種思路
       經典誤差理論的誤差合成，隨機誤差自身用“均方根法”（對同一量的多次重復采樣值，平方、平均、開方），隨機誤差間用“方和根法”（幾個不同量，每個量平方、求和、開方），系統誤差間用“絕對和法”（各量絕對值之和）。方法沒能統一。
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       GUM為代表的不確定度理論，統一采用“方和根法”，對隨機誤差的處理與經典誤差理論相同，沒有問題；但對系統誤差的處理，出現嚴重問題。為實行“方和根法”，產生五項難題：（1）認知誤差量的分布規律、（2）化系統誤差為隨機誤差、（3）假設不相關、（4）范圍與方差間的往返折算、（5）計算自由度。其中有的很難，如（1）（4）（5）；有的多數情況不對，如（3）；有的不可能，如（2）。
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       本文在網上討論的基礎上，提出統一處理誤差合成的“方根法”。這是關于誤差合成方法的新理論。新理論的特點如下。
       1）著眼于“范圍”。進行各誤差元到誤差范圍的合成；進行分項誤差范圍到總誤差范圍的合成。
       2）體現誤差量的兩大特點：絕對性和上限性。
       3）合成中，只需辨別誤差的性質（隨機誤差還是系統誤差），大系統誤差還是小系統誤差；不需辨別相關性；與分布無關。
       4）公式可以推導。
       5）操作簡易。
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       “方根法”體現誤差量的“絕對性”與“上限性”兩個特點，著眼于誤差范圍，統籌隨機誤差與系統誤差的處理，把系統誤差元與隨機誤差元都變成是誤差范圍的直接構成單元，用取“方根”的辦法實現誤差的絕對值化。為此，用或正或負的恒值β代表系統誤差元；用三倍的隨機誤差元3ξi 代表隨機誤差對誤差范圍的貢獻單元。這樣，系統誤差β與隨機誤差元3ξ對誤差范圍的貢獻權重相同，都是1。于是，公式推導與合成處理，都方便；給出的處理辦法，十分簡潔。
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       不確定度論的思路是著眼于“方差”，處理辦法是將眾多的系統誤差化向隨機誤差。各系統誤差、隨機誤差都按“方差”合成。此乃“眾歸一”。但系統誤差多種多樣，化向隨機誤差很難，甚至不可能。這就是不確定理論煩難乃至不成立的根源。
       本文新理論的思路是著眼于“范圍”，各系統誤差、隨機誤差都按“范圍”合成。此乃“一從眾”。達到此目的的方法極其簡單，就是對隨機誤差元乘以3。
       新理論提出交叉系數的概念，指出合成方法區分的本質。公式的推導與應用，簡單明確。應用方便。
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       兩種思路，導致處理方法一繁一簡，難易分明。不確定度理論的煩難方法，基于不符合實際的臆想（用生產廠家不同、原理不同的多套儀器測量同一個量，系統誤差有分布）；本文的方法是基于客觀實際（用同一套測量儀器，重復測量中系統誤差為恒值）的嚴格推導。是非曲直，昭然若揭。
       不確定度的合成方法，五大難關，如陷阱，如枷鎖，何其蒙人！
       明白交叉系數的道理，五大難關一風吹，豈不快哉！
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2 隨機誤差元構成的誤差范圍
       隨機誤差的處理，經典誤差理論有成熟、完美的處理方法。
       測量實踐中，人們易于認識隨機誤差。對常量的重復測量中，測得值的隨機變化就是隨機誤差。
       隨機誤差元可大可小，可正可負。有四個特性：
       1）單峰性：小誤差概率大；大誤差概率小；
       2）對稱性：數值相同的正負誤差概率大致相等；
       3）抵消性：求平均值時正負誤差可以抵消或大部分抵消；
       4）有界性：以3σ為半寬的區間，包含概率99.73%。
       按統計理論，隨機誤差是正態分布。
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       對隨機誤差，有如下定義與關系：
       1）隨機誤差元等于測得值減測得值的期望值（當無系統誤差時，測得值的期望值是真值）。隨機誤差元的期望值是零。隨機誤差元為：
               ξi = Xi - EX                                                                            （1）
       2）標準誤差定義為
                σ = √(1/N)∑ξi   
                   = √(1/N)∑(Xi-EX)                                                               （2）
       3）貝塞爾公式用測得值的平均值代換（2）式中的期望值，得到：
                σ =√{[1/(N-1)]∑[X-X(平)]^2}                                                 （3）
       4）隨機誤差范圍
                R = 3σ =3√(1/N)∑ξi^2
                  =√(1/N)∑(3ξi)^2                                                                 （4）
       5）由公式（4），有：
                R=3σ(ξ)= σ(3ξ)                                                                      （5）
      隨機誤差元的3倍值（3ξ），其統計意義上的方根值等于誤差范圍值。3ξ 對誤差范圍的權重為1。因此3ξ 在構成誤差范圍時與系統誤差的權重相同。就是說，系統誤差的權重為1，而隨機誤差元對誤差范圍的權重為1/3。        
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3 單項系統誤差元構成的誤差范圍
       系統誤差元用β表示。β是或正或負的恒值。
       單個系統誤差構成的誤差范圍
               R =√(1/N)∑(βi)^2   
                  = |β|                                                                                  （6）
       單個系統誤差對誤差范圍的貢獻是該系統誤差的絕對值。
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4 誤差合成的理論基礎
       函數的改變量，等于函數對各個自變量偏微分的和。就是泰勒展開的一級近似。
               f(x,y) = f(xo,yo)+ (?f/?x) (x-xo)+ (?f/?y) (y-yo)                         （7）
               f(x,y) - f(xo,yo) =(?f/?x) Δx+ (?f/?y) Δy                                    （8）
               Δf =(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy                                                        （9）
       公式（9）是偏差關系的普遍形式。對所研究的特定函數來說，?f/?x、?f/?y是常數。
       偏差關系用于測量計量領域，x是測得值，xo是真值, Δx是測得值x的誤差元；y是測得值，yo是真值，Δy是測得值y的誤差元；f(x,y)是代表被測量的函數值， f(xo,yo) 是函數的真值，Δf= f(x,y)-f(xo,yo) 是函數值的誤差元。
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5 交叉系數的一般表達
       設函數的誤差由兩項誤差Δx、Δy引起。由此，函數的兩項誤差元為：
              Δf(x) = (?f/?x) Δx
              Δf(y) = (?f/?y) Δy
       把分項誤差作用的靈敏系數與該項誤差歸并，記為：
              Δf(x) =ΔX
              Δf(y) = ΔY

       函數的誤差元式（9）變為：
              Δf=ΔX +ΔY                                                                            （10）
       對（10）式兩邊平方并求和、平均：
             (1/N)∑Δf^2=(1/N)∑(ΔXi +ΔYi)^2
                               =(1/N)∑ΔXi^2 + 2(1/N)∑ΔXiΔYi+(1/N)∑ΔYi^2          （11）
       （11）式右邊的第一項為σ(X)^2；第三項為σ(Y)^2；第二項是交叉項，是我們研究的重點對象。交叉項為
             2(1/N)∑ΔXiΔYi =2【(1/N)(∑ΔXiΔYi) / {√[(1/N)∑ΔXi^2]√[(1/N)∑ΔYi^2]}】×
                                           {√[(1/N)∑ΔXi^2]√[(1/N)∑ΔYi^2]}
                                  = 2J σ(X) σ(Y)]                                                  （12）
       （12）式中的J為：
               J =(1/N)(∑ΔXiΔYi ) / σ(X) σ(Y)                                                （13）
       稱J為交叉系數。
      （注：此前，J記為r，稱為相關系數。這和統計理論的相關系數，物理意義有差別。為澄清已有的混淆，本文稱J為交叉系數。）
       當交叉系數J為零或很小時，合成公式為
               σ(f) =√[σ(X)^2+ σ(Y)^2]                                                      （14）
      （14）式是“方和根”合成公式。
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6 隨機誤差間合成的交叉系數
       對隨機誤差的合成，ΔX是ξx, 代換為[X-X(平)]；ΔY是ξy，代換為[Y-Y(平)]，有：
               J =[1/(N-1)][∑[Xi-X(平)][(Yj-Y(平))] / [σ(X) σ(Y)]                      （15）
       由于ξx、ξy是隨機誤差，可正可負，可大可小，有對稱性與有界性，多次測量，是大量的，因此，隨機誤差間的合成的交叉系數為零（或可以忽略）。（15）式是當前不確定度論引用的統計理論的相關系數公式。
       隨機誤差合成，（14）成立。即隨機誤差的合成公式是“方和根”：
               σ(f) =√ [σ(x )^2+ σ(y )^2]                                                  （14.1）
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7 隨機誤差與系統誤差合成的交叉系數
       兩個分項誤差，一個是隨機的，記為ξ，考慮到對誤差范圍的權重，取單元量為3ξ（ΔX）；一個是系統的（重復測量中不變），記為β（ΔY）。
       代入公式（13），有
                J =(1/N)(∑3ξiβ) / [σ(X) σ(Y)]                                                 （16）
       系統誤差元是常數可以提出來，有
                J =(1/N) (3β∑ξi) / [σ(X) σ(Y)]                                                （17）
       大量重復測量（例如N=20，N不得小于10）中，（17）式的∑ξi等于零或可以忽略，因此J近似為0，可以忽略。“方和根法”成立：
                 σ(f) =√[β^2+ (3σ)^2]                                                       （14.2）
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8 系統誤差與系統誤差合成的交叉因子
       設（13）式中ΔX為系統誤差βx ，ΔY為系統誤差βy，有
                √[(1/N)∑ΔXi^2]= |βx|                                                          （18）
                √[(1/N)∑ΔYi^2]= |βy|                                                          （19）
       則系統誤差的交叉系數為
                J =(1/N)(∑βxiβyi) / [|βx| |βy|]    
                   =βxβy / [ |βx| |βy| ]
                   =±1                                                                                 （20）  
       即有
                 |J|=1                                                                                  （21）
       當βx與βy同號時，系統誤差的交叉系數J為+1；當βx與βy異號時，系統誤差的交叉系數J為-1。
       當系統誤差的交叉系數為+1時，（11）式變為：
                 Δf ^2=|βx^2|+2|βx||βy| +|βy|^2   
       即有      
                 | Δf | =|βx|+|βy|                                                                  （22）
      （22）式就是絕對值合成公式。
       當系統誤差的交叉因子為-1時，（22）式變為二量差的公式。因為通常只是知道系統誤差之誤差范圍，又鑒于誤差量“上限性”的特點，二量差的公式不能用。
       測量儀器的性能指標，給出的都是誤差范圍。
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       測量儀器的誤差范圍指標值由生產廠家給出，由計量部門公證，測量者按儀器指標應用。直接測量，測量儀器的指標，就可看作是測量的誤差范圍（只要符合儀器使用條件，環境等的影響已包含在儀器的指標中）。間接測量，要按間接測量的函數關系進行誤差合成。測量儀器的誤差范圍指標值因以系統誤差為主，要視其為系統誤差值，按系統誤差處理。
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9 關于合成方法的主張
       誤差合成，統一按“方根法”。對特定的誤差種類，“方根法”分化為“均方根法”、“方和根法”、“絕對和法”、“混合法”。
       通常，測量儀器以系統誤差為主。不能無視系統誤差的存在。考慮到系統誤差、隨機誤差都是客觀存在，提出如下主張：
       1）隨機誤差序列，用“均方根法”，隨機誤差范圍之間，用“方和根法”；
       2）隨機誤差范圍與系統誤差范圍之間，用“方和根法”；
       3）有多項中小系統誤差項，僅有一項大系統誤差（或沒有大系統誤差），它們之間的交叉系數，可能是+1，也可能是-1，有相互抵消、或部分抵消的作用，這樣，可以用“方和根法”。
       4）直接測量僅有兩三項系統誤差，要用“絕對和法”（適用于研制中確定儀器指標）；
       5）間接測量，僅有兩三項測量儀器的誤差范圍，要用“絕對和法”；
       6）有多項誤差，在兩項或三項大系統誤差之間用“絕對和法”，其余的各種處理，用“方和根法”。總稱謂是“混合法”。
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10 間接測量的誤差合成例說
       間接測量由若干直接測量構成。各直接測量的誤差，都是間接測量的誤差因素。還加一些綜合性因素。
       間接測量，要進行若干項分項誤差的合成。
       設函數誤差由以下8項誤差構成：
       大系統誤差項β(1大)、β(2大)
       中小系統誤差項β(3小)、β(4小)、β(5小)、β(6小)、
       隨機誤差項ξ(7隨)、ξ(8隨)
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       注：
       分項系統誤差的傳遞系數是函數對該自變量的偏微商。
       分項隨機誤差的傳遞系數是函數對該自變量的偏微商的3倍（包含概率99%）。
       本文中分項誤差項的值，指單項誤差與傳遞系數的乘積。
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       函數誤差元
                Δf =(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy……   
                Δf =β(1大)+β(2大)
                      +β(3小)+β(4小)+β(5小)+β(6小)
                      +3ξi(7隨)+3ξi(8隨)
       求“函數誤差元的平方”的統計平均
                [(1/N)∑Δfi^2]
                     = (1/N)∑[β(1大)+β(2大)
                      +β(3小)+β(4小)+β(5小)+β(6小)
                       +3ξi(7隨)+3ξi(8隨)]^2
                R^2 = (1/N)∑{(1大)^2+2J(大)β(1大)β(2大) +β(2大)^2
                         +β(3小)^2+β(4小)^2+β(5小)^2+β(6小)^2
                         +[3σ(7隨)]^2+[3σ(8隨)]^2+其他交叉項}                      （23）
       大系統誤差項的交叉系數J(大)等于+1或-1；因誤差范圍是誤差元的最大可能值，故取+1。由此，大誤差間取絕對和。其他交叉項的交叉因子，凡有隨機誤差項的，交叉因子為零。沒有隨機誤差的，是系統誤差之間的交叉系數，可以是+1，也可以是-1；由于交叉項的數量大，可認為正負項近似抵消，因而其他交叉項之和可略。
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       合成誤差范圍公式
                R =√ {[R(1大) +R(2大)]^2
                      +R(3小) ^2+ R(4小) ^2 +R(5小) ^2+ R(6小) ^2
                      + [3σ(7隨)]^2+[3σ(8隨)]^2}                                            （24）
       二、三項大系統誤差間取“絕對和”；此“絕對和”與所有其他系統誤差、隨機誤差范圍之間，取方和根。
       由于測量儀器的誤差范圍，以系統誤差為主，且因誤差范圍是誤差元絕對值的一定概率（99%）意義上的最大可能值，因此某項直接測量的測量儀器誤差范圍指標值，視為間接測量的該項系統誤差。
       當分項誤差僅有一項大誤差，或有4項以上大誤差時，考慮交叉項的可能抵消作用，公式（10）變成純“方和根”。
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規矩灣錦苑 發表于 2016-5-3 10:36
　　我的“姊妹說”與你所說的“相似”說并無矛盾。姊妹本來就具有相似性，但相似的姊妹是兩個獨立個體， ...

不確定度和誤差理論并不是非此即彼的對立關系，有個詞叫“微創新”，不確定度評定指南在原來誤差合成的基礎上對評定工作進行了一定程度的規范，即使只有一點小進步，也不能否定它的意義，既然有所改進，改個名也無可厚非。

規矩灣錦苑 發表于 2016-4-27 01:06
　　你說“史老師提出‘不確定度’就是‘極限誤差’”，我有同感，所以我一再強調理論研究必須先把概念的 ...

是不是一回事，版主可以自己仔細比較，反正我是沒有比較出什么大的區別，您要是有什么新發現咱們再議。至于該不該廢除其中某一個名稱或內容，這不是咱們能決定的，只要理論方法內容沒問題，政府文件讓我們用哪個我們就用哪個。

以往所說的“誤差合成”、現在常做的“不確定合成”，其實質都是“（可能）范圍（半寬）”的“合成”，要想“合成”結果合理，就繞不開“相關性”問題。實用的方案不外對“相關性”做了些“實用的簡化處理”……尊重“機理”，沒有“一律”可循。

補充內容 (2016-4-13 13:29):
“不確定合成”應為“不確定度合成”

因1#文修改時間已過，現將修改部分復制如下。

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序言   誤差合成的意義
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                 R(f) = √ [σ(X)^2+ σ(Y)^2]                                                      （14）
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                 σ(f) = √ [σ(x )^2+ σ(y )^2]                                                     （14.1）
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                 R(f) = √ [β^2+ (3σ)^2]                                                           （14.2）
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                 R(f) = |βx|+|βy|                                                                       （22）
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njlyx 發表于 2016-4-12 16:42
以往所說的“誤差合成”、現在常做的“不確定合成”，其實質都是“（可能）范圍（半寬）”的“合成”，要想 ...

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【njlyx質疑】
       以往所說的“誤差合成”、現在常做的“不確定合成”，其實質都是“（可能）范圍（半寬）”的“合成”，要想“合成”結果合理，就繞不開“相關性”問題。
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【史辯】
       誤差合成中的所謂“相關性”，其實質是交叉矩（協方差）的取值問題。交叉矩的大小，可以用交叉系數來唯一地描述。交叉矩與交叉系數有一一對應關系。交叉矩對應交叉系數，而交叉系數可以反過來對應交叉矩。
       過去，把交叉矩（協方差）用相關系數來描述，出了嚴重錯位。交叉矩可能用相關系數來表達，此時的相關系數就是交叉系數。但“相關系數”一詞，人們通常有另外的理解，即相關系數是相關性的表達，并不一定想到交叉項的大小。而從本質上說，交叉矩本來僅僅是二項和展開式中，交叉項的取值問題，什么相關不相關，談不上。既然兩個項能往一起加，就不可能不相關。說兩項相關，而對隨機誤差來說，交差項之和的統計值卻可能是零。因此，“相關性”不是“不能繞開”的問題；而是必須避開。
       以往用相關系數，《JJF1001》就錯把任何兩項系統誤差，都當成不相關了——而實質上，兩項系統誤差的相關系數絕對值是1（先生登于網上，老史才知道）。國家規范尚且如此，許多人（如費業泰等名人、寫過多本書的qcdc）出錯，也就難免了。那都是“相關系數”導致的弊病。
       本文用“交叉系數”，就可避免由“相關性”導致的混淆。難道不行嗎？
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史錦順 發表于 2016-4-13 10:36
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【njlyx質疑】
       以往所說的“誤差合成”、現在常做的“不確定合成”，其實質都是“（可能）范圍（ ...

“交叉矩（協方差）”不為零的物理實質或就是兩者“相關”？？.....一個是數值表現，一個是物理含義，兩者不宜割裂。您用“交叉系數”表達，或不算錯誤，但可能不比用“相關系數”更確切！

有人“錯把任何兩項系統誤差，都當成不相關了”，是誤解了“系統誤差”的本質，并不恰當的應用“皮爾蓀公式”來“計算”所導致的錯誤？！

如果對“系統誤差”的本質沒有正確的認識，僅改個“交叉系數”的稱謂是不能解決問題的——【任何兩項系統誤差的“交叉系數”都取1】與【任何兩項系統誤差的“相關系數”都取0】是同樣荒唐的“方案”！

所謂“系統誤差”，并不是個亙古不變的“常量”！  對于“系統誤差”之間的“相關系數”，實用中是不可能靠“皮爾蓀公式”計算出來的！——因為不可能得到“足夠全面的”樣本！......“系統誤差”之間的“相關系數”，實用中只能依靠“機理分析”及經驗適當取值！您把它叫做“交叉系數”后也只能如此。

njlyx 發表于 2016-4-13 13:25
“交叉矩（協方差）”不為零的物理實質或就是兩者“相關”？？.....一個是數值表現，一個是物理含義，兩 ...

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                                 相關性的誤導
                                             —— 同njlyx先生辯論（1）
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                                                                                                   史錦順
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前言  感謝與希望
       在本網討論中，我得知njlyx的“系統誤差的相關系數絕對值為1”的說法（此后又見崔偉群的同一說法與推導），覺得這一點十分重要，于是仔細研究誤差合成理論的問題，提出用“方根法”來統一處理隨機誤差與系統誤差的合成問題。其要點是著眼于“范圍”，提出“交叉系數”的概念。
       我再次表示對李永新（njlyx）崔偉群二位學者的感謝。沒有他們的“系統誤差相關系數絕對值為1”的論斷，我不可能推演出以“統一方根法”與“交叉系數”等為主要內容的一套關于誤差合成的新理論。
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       新理論的核心是用交叉系數代替原來的“相關系數”。指出：誤差合成方法的選取（取“方和根”還是“絕對和”），關鍵是交叉矩（協方差）的取值，而不是誤差量間的相關性。就是說，用交叉系數來表征交叉矩（協方差），可以避免以往用相關系數來表征而導致的嚴重誤解和多種錯誤。從而使測量計量理論與技術中的誤差合成（不確定度合成），簡單、清晰、正確。
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       我本來預計新理論能得到李、崔二位先生的支持，能得到較快的推廣；不略，二位學者都不認可。崔先生尚未表達深入的意見，而李先生已明確講了許多否定意見。我是不怕有不同意見的。辯論可以明是非。好，對李先生的主要觀點，我將答辯幾次。我對李、崔二位的希望是：認真對待這個理論問題。這是有關測量計量理論的重要問題，討論一番是必要的，是有意義的。也歡迎其他網友發表意見。
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1  GUM與《JJF1059》關于相關性可略的條款
1.1 GUM（JCGM 100：2008）
F.1.2.1 The covariance associated with the estimates of two input quantities Xi and Xj may be taken to be zero or treated as insignificant if
       兩個輸入量Xi和Xj 估計值的協方差在以下情況下可以取為零或忽略不計：
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a) Xi and Xj are uncorrelated (the random variables, not the physical quantities that are assumed to be invariants — see 4.1.1, Note 1), for example, because they have been repeatedly but not simultaneously measured in different independent experiments or because they represent resultant quantities of different evaluations that have been made independently, or if
       Xi和Xj不相關（隨機變量，不是假設為不變的物理量——見4.1.1注1）。例如它們是重復地但是在不同的獨立實驗中不同時測量的量，或它們代表了獨立進行的不同評定的結果量；
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b) either of the quantities Xi or Xj can be treated as a constant, or if
       Xi或Xj量中的任一個可以作為常數處理；
       （史錦順譯：兩者中, Xi或Xj任一個可以作為常數處理）；
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c) there is insufficient information to evaluate the covariance associated with the estimates of Xi and Xj.
       評定Xi和Xj的估計值的協方差所需的信息不足。
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       （譯文除注明史錦順譯的一句外，引自葉德培《測量不確定度》p78）
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1.2 計量規范《JJF 1059.1-2012》的表述
（協方差可略的三條）
4.4.4.1 協方差的估計方法
       a）兩個輸入量的估計值xi與xj的協方差在以下情況時可取零或忽略不計：
       1）xi和xj中任意一個量可作為常數處理；
       2）在不同實驗室用不同測量設備、不同時間測得的量值；
       3）獨立測量的不同量的測量結果。
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2 《JJF1059.1-2012》（觀點源自GUM）置疑

      【JJF1059.1-2012條款】
       1）xi和xj中任意一個量可作為常數處理；協方差可以忽略。
      【史評】
       這條的意思，是說：xi與xj中，有一個是常量，協方差就可忽略。兩個都是常量，則更可忽略。在討論誤差合成中，系統誤差是常量。本條款說：二分項誤差中，有一個是系統誤差，則協方差可略。二誤差都是系統誤差，則協方差當然可略。
       由史文（主帖）的推導可知：兩個誤差都是隨機誤差，協方差可略；兩誤差中有一個是隨機誤差，另一個是系統誤差，協方差也可略。當二量都是系統誤差時，協方差不可略。
       可見，史文的協方差忽略條件是有一個是純隨機誤差；而《JJF1059》GUM卻說協方差的忽略條件是有一個是系統誤差。
       兩種說法有本質區別。規范條款認為協方差通常可以忽略（GUM甚至認為信息不足時即可略）；因此通常可用“方和根法”；本文分析則說明，“方和根法”成立是有條件的。測量儀器的誤差，不僅有系統誤差，而且通常是以系統誤差為主的，在有兩項大系統誤差的情況下，“方和根”法是不成立的，而必須取“絕對和”（隨機誤差項與眾多小系統誤差項取“方和根”）。
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      【JJF1059.1-2012條款】
       2）在不同實驗室用不同測量設備、不同時間測得的量值；協方差可以忽略。
      【史評】
       不同實驗室、不同測量設備、不同時間的測量，都避免不了有系統誤差存在，而且測量儀器一般是以系統誤差為主。僅有一項系統誤差而另一項是隨機誤差（或隨機誤差占絕大比例），才能忽略協方差。因此，在不同實驗室用不同測量設備、不同時間測得的兩個量值，只要系統誤差占主導（例如儀器給出最大允許誤差），就不能忽略協方差。   
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      【JJF1059.1-2012條款】
       3）獨立測量的不同量的測量結果；協方差可以忽略。      
      【史評】
       此條不妥。理由同上。
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       總之，《JJF1059-2012》為宣揚GUM的“方和根法”而強調的“協方差可忽略”的三項條款，是不對的，是一種誤導。
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3  “相關性”是誤導
       這里強調指出：
       在討論合成方法中，把交叉項能否忽略，說成是相關不相關，這本身就是一種誤導。兩個完全不相關的量，只要取這二量的和的平方，平方的展開式中，就必然有交叉項。此交叉項能不能忽略，不是二量是否相關的問題，而是必須有一個量可正可負地變化，或兩個量都可正可負的變化，才能忽略交叉項。如果兩個量都是常量，交叉項必定不能忽略。同號為正，而異號為負，正負號只有一種，不存在抵消的問題。不確定度論出世以來（包括1980年后的一些誤差理論書籍），把交叉項同“相關性”聯系起來，造成嚴重的誤導。許多人在此誤導之下，以為二量不相關就可以忽略交叉項，其實，這是錯誤的。
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4 “誤差量不相關”說法的嚴重性
       認為“不相關”、假設“不相關”，對以系統誤差為主的測量儀器的誤差合成，包括儀器制造中的誤差合成，以及實用中間接測量的誤差合成，都是錯誤的。
       GUM等國際規范強調“不相關”，國家計量規范《JJF1059》強調“不相關”，于是，大量的書籍、文章、樣板評定，到處是“不相關”的說教與應用。這是錯誤的。錯誤是廣泛的、嚴重的。
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      李、崔二人揭示“系統誤差間強相關”是重要的。老史分析以往的誤解與錯誤，指出其來源正是把交叉矩的問題誤解為相關性的問題。為了糾正已經發生、并影響廣泛的錯誤認識，用“交叉系數”代替“相關系數”，是必要的、是必須的。下文再比較這兩個系數名稱的優缺點。
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1.“系統誤差”不是“常量”；2.在評估“測量不確定度”階段，“測量誤差”的“均值”被認為是0，數學上常用的線性相關系數（全值相關）與皮爾蓀相關系數已無差異

只要不把“系統誤差”與“誤差的均值（數學期望）”拉扯關系，“相關系數”的應用就不會出錯。

  【李、崔二人揭示“系統誤差間強相關”是重要的】……本人當初一時未能明辨“系統誤差”與“常量”的本質差異！

njlyx 發表于 2016-4-13 13:25
“交叉矩（協方差）”不為零的物理實質或就是兩者“相關”？？.....一個是數值表現，一個是物理含義，兩 ...

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                            交叉系數與相關系數的不同
                                          —— 同njlyx先生辯論（2）
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                                                                                                   史錦順
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【njlyx質疑】
       “任何兩項系統誤差的‘交叉系數’都取1”與“任何兩項系統誤差的‘相關系數’都取0”是同樣荒唐的“方案”！
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【史辯】
       njlyx表達的觀點，包括兩層意思：第一點：“任何兩項系統誤差的‘相關系數’都是零”是錯誤的。
       國際規范GUM、中國規范JJF1059都說“系統誤差協方差可略”（參見上文《CGM 100：2008》之F.1.2.1 b的條款）、《JJF 1059.1-2012》4.4.4.1條款），也就是兩個系統誤差的相關系數為零。先生的第一點判斷，批駁了當今主導規范的說法，這是正確的，是我們的共識。相同的觀點指明即可，就不多說了。
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       njlyx觀點的第二點意思是：“任何兩項系統誤差的‘交叉系數’都取1”也是錯誤的。
       這是我們之間的分歧點。下面重點論述。
       我的觀點是：誤差合成公式的選取與相關性無關；因而以往關于“相關性”的說法，是不成立的。誤差合成中，交叉矩的取值，是決定誤差合成公式取舍的本質，因此，交叉系數的大小是誤差合成理論的本質問題。
       交叉系數是決定誤差合成公式的本質因素，必須抓住。
       相關性與誤差合成公式無關。對誤差合成來說，相關系數的概念無用。
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（一）兩項系統誤差的交叉系數絕對值是1，是嚴格數學推導的結果
       交叉系數不是設想，而是嚴格數學推導的結果。這些數學推導，是嚴格物理概念下的一些列嚴密的邏輯思維的產物。因而它是客觀的。
       交叉系數得出的邏輯如下。
       1 誤差元定義：測得值減真值
           1.1 隨機誤差元：重復測量中，誤差元可大可小，隨機變化；
           1.2 系統誤差元：重復測量中，誤差元是恒值：絕對值大小與正負符號不變。
       2 誤差范圍定義：誤差元的絕對值的一定概率（99%）意義上的最大可能值。
       3 由2），誤差量的兩個特點：絕對性與上限性。
       4 誤差合成：由誤差元求誤差范圍。
           4.1 均方根法（對隨機誤差的序列測得值，平方、平均、開方）。用于單項隨機誤差的表達；
           4.2 方和根法（對各項隨機誤差元平方、求和、開方）。用于隨機誤差間的合成。
           4.3 “絕對和法”，取各項的絕對值之和，體現的是最大可能值。經典誤差理論用于系統誤差合成。方法可用，但計算值偏大，是保守的作法。
       以上是經典誤差理論的作法。其缺點是，沒有對隨機誤差與系統誤差通用的方法。
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       5 誤差合成的統一方法是取方根。
       史錦順提出的統一方法是：著眼于“范圍”，取方根的最大值。取方根，體現誤差量的絕對性（初等數學規定，方根定義為取正值，方根就是絕對值）；取最大值，符合誤差量的上限性。
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       6 隨機誤差取方根的結果是“均方根法”（一項隨機誤差的系列測得值），和“方和根法”（多項隨機誤差間合成），這兩點與經典誤差理論相同。
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       方根法的新推導結果為：
       7 隨機誤差與系統誤差合成，交叉系數可略，“方和根法”成立。
       8 兩項系統誤差間合成，交叉系數為+1或-1。鑒于誤差范圍是誤差元絕對值的最大可能值，就是體現誤差量的上限性，要取交叉系數是+1。此時，合成公式是“絕對和”。
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       由上可知，兩項系統誤差合成要取交叉系數為+1，公式是絕對和，這是一系列邏輯思維與嚴格數學推導的結果。要推翻它，就必須指出哪個環節有問題。
       在具體環節上找不出問題，就說明推導是嚴格的，結果是正確的。
       正確的東西是不怕罵的。“荒唐”之說，不成立。
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（二）“系統誤差是恒值”的相對性與正確性
       搞測量計量的人，對隨機誤差與系統誤差的客觀性是清楚的。
       系統誤差是“恒值”，這是與隨機誤差相比較而言的。有區別，才有認識，否定隨機誤差與系統誤差的區別，這是不確定度論的糊涂認識。

       一場測量，重復測量N次，稱N次測量。測得值N個，也就有N個誤差元。誤差元的不同，是隨機誤差的表現。
       有時，N個測得值是同一值，即隨機誤差可略。如果被測量是一個計量標準，且標準自身的誤差可略，則測得值與標準值（相對真值）之差就是系統誤差。系統誤差不許有大的變化（在儀器壽命期內，或至少在檢定周期內，變化量可略，或變化量與系統誤差之和不大于儀器誤差范圍指標值）。系統誤差的恒定性是儀器示值修正與計量檢定的基本前提。
       誤差合成公式推導中，系統誤差一段，要用到系統誤差為恒值，這個條件是滿足或基本滿足的。
       在研究誤差合成的場合，所謂“恒值”，能恒定到“變化量不超過自身的1/10，就足夠了”。
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       一說“真”，就要求絕對的真；一說“恒值”就要求是絕對的“常量”，這是不確定度論的“絕對化的”、脫離實踐的空想，是十分有害的。
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       正確認識“絕對”與“相對”的關系；正確區分“近似”與錯誤，乃科學研究之根本。交叉系數，有近似，但它是正確的；相關系數與誤差合成問題無關；用“相關性”考察問題，必然出錯。
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1.技術名稱的物理含義至關重要，“交叉系數”的物理含義是什么呢？——相關性！2.所謂“誤差合成”，實質是“隨機量合成”，人們對此“合成”的“關注點”是“變化范圍”（標準偏差、不確定度之類），“相關性”決定了“范圍（寬度）”的合理合成方式——由“相關系數”（-1～+1）參與的統一公式近似表述（線性合成時較精確）；3.“系統誤差合成”依然是關注的“范圍（寬度）”合成；5.“系統誤差”之間的“相關系數”實用中不可能利用“皮爾蓀公式”算出來；6.“合成”時的傳遞系數是有正有負的，“相關系數”（“交叉系數”？）強取+1也并不是“勇于擔當”的做法。

njlyx 發表于 2016-4-17 13:51
1.技術名稱的物理含義至關重要，“交叉系數”的物理含義是什么呢？——相關性！2.所謂“誤差合成”，實質是 ...

補充：
4. 在“測量誤差理論”中，所謂“系統誤差”與“隨機誤差”，其本質區別是相應誤差序列的“自相關性”，在實用的時間（時延）范圍內，理想化“系統誤差”的“自相關系數”為1，而理想化“隨機誤差”的“自相關系數”為0——為“白噪聲”。......對于用“同一套測量系統（方案）”先后測出的兩個“測量結果”，其中由“測量系統（方案）”引起的兩個“測量誤差”的“系統（測量）誤差分量”，其實就是“該測量系統（方案）”所致“系統（測量）誤差分量”序列的兩個樣本，它們之間的所謂“（互）相關系數”其實就是“測量系統（方案）”所致“系統（測量）誤差分量”的“自相關系數”——理應取為1，無須再“論證”或找“公式”計算！

njlyx 發表于 2016-4-17 13:51
1.技術名稱的物理含義至關重要，“交叉系數”的物理含義是什么呢？——相關性！2.所謂“誤差合成”，實質是 ...

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                                三論交叉系數
                                            —— 同njlyx先生辯論（3）
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                                                                                                   史錦順
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（一）為什么會有分歧？
       拙文《誤差合成的新理論——交叉系數與方根法》在本欄目貼出后，得到njlyx先生的認真回應。言辭不多，涉及范圍卻很廣。其實，有些內容，主帖已經說得很清楚，但主要觀點連博導都不理解，老史就不能不認真思考一番，究竟是怎么回事。簡單的學術問題，為什么會有這么大的分歧？
       可能A：不確定度論的一套（包括1980年后的大部分誤差理論書籍）本來是正確的。相關系數是合成法區分的物理本質，是你史錦順違反了物理本質，錯的是老史你自己。
       不確定度論的一套是對的嗎？
       不用老史講理由，njlyx論斷的本身就否定了可能A。
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       怎樣判別兩個誤差量的相關性？當然不能憑估計，而必須用公式，沒有恰當的公式可用，就得重新進行公式推導。沒有數學推導的、估計的相關還是不相關，都是不足信的，甚至可能是誤導。
       njlyx說：“‘系統誤差’之間的‘相關系數’實用中不可能利用‘皮爾蓀公式’算出來”。
       是的，只適應于隨機變量理論的統計學公式——皮爾遜公式，其基本單元是統計變量與其平均值之差。兩個隨機變量的相關性，取決于二量各自對平均值偏差的乘積的統計平均值。
       對于系統誤差，由于是恒值，各個系統誤差元都等于誤差元的平均值，于是誤差元與誤差元的平均值之差就是0。兩個系統誤差的情況，皮爾遜公式的分子為0，就是說皮爾遜公式對系統誤差的靈敏度為零。因而皮爾遜公式對系統誤差無效。
       對系統誤差來說，既然皮爾遜公式無效，那就是說明以往的有關系統誤差的相關性的討論都是不對的。這不是老史的錯，是不確定度論用皮爾遜公式的錯。這一點，其實是我與njlyx的共識。
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       可能B，老史的推導是正確的。但njlyx囿于相關性的說教，雖然明明看到了問題，卻不能承認新理論。甚至否定自己關于“系統誤差之間相關系數絕對值為1”的本來正確的觀點。自然科學的探討研究，必須抓住基本點不放，才能獨立地立論。任何些許猶豫，就可能否定客觀，甚至否定自己。我對njlyx這樣輕率地否定自己的正確觀點，很遺憾。
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       我的觀點，再說，自己也覺得重復。但由于不被承認；而老史又堅信自己的一套是有理有據的，是計量界所必要的，那就只好不厭其煩地多說幾次。
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（二）交叉系數的本質
【njlyx質疑】
     1.技術名稱的物理含義至關重要，“交叉系數”的物理含義是什么呢？——相關性！
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【史辯】
       二項和的平方，展開式中必然出現交叉項。

               (a+b)^2=a^2+2ab+b^2                                                    （1）

       交叉項2ab是數學關系，是平方計算的必有項。不是物理問題，不必強湊物理意義。
       數學意義是比物理意義更概括、更普適的意義。
       交叉項能不能忽略，取決于二量是隨機變量，還是恒值。
       交叉項能不能忽略，與相關性無關。在誤差合成的公式選取上，考究相關性是歧途。
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       交叉系數的本質是說明有沒有抵消性。就是在求和統計中有沒有抵消作用。
       分化為兩種情況：交叉系數近于零與交叉系數近于1.
       簡化為兩種情況：有抵消性，交叉系數近于零，則取方和根；沒有抵消性，交叉系數絕對值為1，則取絕對和。
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       微分原理決定：在小變化量的條件下，函數的改變量，等于各分項作用的代數和。
       誤差量的特點是絕對性與上限性。實現取絕對性可用“方根法”（平方再開方得絕對值）；要在各種可能值中取最大值，實現誤差量的上限性。
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       誤差合成的新理論，要點是：
       1 著眼于“范圍”（不確定度論著眼于方差），以隨機誤差元的3倍值為隨機誤差作用單元。
       2 對隨機誤差、系統誤差統一用“方根法”以實現取絕對值。再注意選可能值的大者。這樣既實現了誤差表達量（誤差范圍）的絕對性，也實現了誤差表達量的上限性。
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       二量和的平方的展開式中，必有交叉項，這是數學問題。關注點是：求統計和時，有沒有抵消作用。交叉矩的大小，取決于二量的性質，就是二量是統計變量還是恒值。交叉矩的取值與二量之間是相關還是不相關，沒有一 一對應關系。
       因此說“交叉系數”的物理意義是“相關性”，沒道理。數的平方，就是兩個數相乘，沒有專門的物理意義。平方再開方，就是取絕對值，是數學，沒有專門的物理意義。兩個量之和的平方再開方，是純數學處理，就是取二量和的絕對值，沒有專門的物理意義。二量之和的平方展開式中的交叉項，是數學運算的產物。也沒有專門的物理意義。交叉項在統計時有沒有抵消作用，取決于量本身的變化特性，與二量的相關情況無關。
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       例如一個量用同一測量儀器測量。有系統誤差與隨機誤差。二者是同一測量儀器測量的，似乎二者必然強相關。其實一個恒定的誤差值乘以一個隨機變化的誤差值，恒定的值可以提出來，而隨機誤差項求和為零。交叉系數為零是本質，而分析的“相關”不能用。
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       不同量具測得的二誤差量能往一起加，就說明二量必有某種相關性。兩個隨機變量的交叉項，求“統計和時可以抵消，甚至為零，卻不能說此二量無關——無關怎能相加？
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       兩項系統誤差，可能完全無關。例如，用中國的卡尺測量矩形面積的寬邊，長度為L，系統誤差為ΔL(系)，系統誤差相對值為1.0%；用美國的千分尺測量矩形的寬度，寬度為w，系統誤差為Δw(系)，系統誤差相對值也是1.0%。（隨機誤差可略。長度約為寬度的10倍）。
       此題按不確定度的分析，長度、寬度分別用中美兩國的準確度等級不同的尺子測量，誤差量間“不相關”，要按“方和根”計算，面積的相對誤差是1.4%。注意，這個解是不對的。
       由于系統誤差的交叉系數是-1或+1，按誤差范圍定義的要求，必須取最大可能值，因此交叉系數該取+1，于是合成公式應為“絕對和”。面積的相對誤差是2.0%.這個解是對的，極易用長寬可能的極限值來進行檢驗。
       此題，按交叉系數計算，就對；而按“相關性”的分析，必錯。
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       結論：要著眼于交叉系數；而“相關性”是誤導。
       交叉系數與相關性，對不上號。不能把交叉系數說成是“相關性”！
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史錦順 發表于 2016-4-20 18:05
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                                三論交叉系數
                                            —— 同n ...

【二項和的平方，展開式中必然出現交叉項。
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2   （1）
交叉項2ab是數學關系，是平方計算的必有項。不是物理問題，不必強湊物理意義。
數學意義是比物理意義更概括、更普適的意義。
交叉項能不能忽略，取決于二量是隨機變量，還是恒值。
交叉項能不能忽略，與相關性無關。在誤差合成的公式選取上，考究相關性是歧途。

交叉系數的本質是說明有沒有抵消性。就是在求和統計中有沒有抵消作用。
分化為兩種情況：交叉系數近于零與交叉系數近于1.
簡化為兩種情況：有抵消性，交叉系數近于零，則取方和根；沒有抵消性，交叉系數絕對值為1，則取絕對和。】

“‘交叉系數’的本質是說明有沒有抵消性。就是在求和統計中有沒有抵消作用。”，“抵消”也是有“緣由”的——
考慮兩個“隨機量”（總體）A、B，各自的“樣本”分別為
A：a1,a2,a3,……;  B：b1,b2,b3,……;
兩個“隨機量”A、B之和A+B的“樣本”將為
A+B：a1+ b1,a2+ b2,a3+ b3,……
A+B的“均方根值”
g[A+B]= √(｛（a1+ b1）^2+（a2+ b2）^2+（a3+ b3）^2+….+（aN+ bN）^2｝/N)
=√(g[A]^2+｛2a1* b1+2a2* b2+2a3* b3+….+2aN*bN｝/N+ g[B] ^2)
其中N是“足夠大”的“樣本數”;
g[A]= √(｛a1^2+a2^2+a3^2+….+ aN^2｝/N)，是A的“均方根值”
g[B]= √(｛b1^2 + b2^2 + b3^2+….+ bN^2｝/N)，是B的“均方根值”
定義“交叉系數”r=（｛a1* b1+a2* b2+a3* b3+….+aN*bN｝/N）/ ( g[A] g[B])
便有         g[A+B]= √(g[A]^2+ 2 r*g[A] g[B])+ g[B]^2)
（1） 如果能找到任意常數C >0,使得 bk≡C*ak,k=1~N——A與B“完全正相關”，則
r=1——g[A+B]=| g[A] + g[B] |
（2） 如果能找到任意常數C <0,使得 bk≡C*ak,k=1~N——A與B“完全負相關”，則
r=-1——g[A+B]=| g[A] - g[B] |
（3） 如果找不到任何常數C,使得 bk≡C*ak,k=1~N；但能找到某個非零的常數D,使得 ∑（bk-D*ak）^2取極小(其值小于∑（bk）^2),即bk≈D*ak,k=1~N——A與B“部分相關”，則
-1<r<1
（4） 如果使∑（bk-D*ak）^2取極小的常數D=0——A與B“完全無關”，則
r=0——g[A+B]= √(g[A]^2+ g[B]^2)


補充內容 (2016-4-22 13:14):
補充說明： 請忽略此樓，其內容已由18#覆蓋（略有修繕）。

njlyx說：“‘系統誤差’之間的‘相關系數’實用中不可能利用‘皮爾蓀公式’算出來”。……是因為實用中得不到所謂“系統誤差‘’的充分樣本，并非說那公式有什么錯誤！

‘’對于系統誤差，由于是恒值，各個系統誤差元都等于誤差元的平均值，‘’………將“系統誤差”當做“恒量”還有什么“范圍”可言呢？

史先生論斷--
【兩項系統誤差，可能完全無關。例如，用中國的卡尺測量矩形面積的寬邊，長度為L，系統誤差為ΔL(系)，系統誤差相對值為1.0%；用美國的千分尺測量矩形的寬度，寬度為w，系統誤差為Δw(系)，系統誤差相對值也是1.0%。（隨機誤差可略。長度約為寬度的10倍）。
       此題按不確定度的分析，長度、寬度分別用中美兩國的準確度等級不同的尺子測量，誤差量間“不相關”，要按“方和根”計算，面積的相對誤差是1.4%。注意，這個解是不對的。
       由于系統誤差的交叉系數是-1或+1，按誤差范圍定義的要求，必須取最大可能值，因此交叉系數該取+1，于是合成公式應為“絕對和”。面積的相對誤差是2.0%.這個解是對的，極易用長寬可能的極限值來進行檢驗。】

njlyx疑問——
1. 【 按“方和根”計算，面積的相對誤差是1.4%。注意，這個解是不對的。】的依據是什么呢？....無論是中國卡尺測量長度的系統誤差ΔL(系)=1.0%，還是美國卡尺測量寬度的系統誤差ΔW(系)=1.0%，它們都只是實際系統誤差δL(系)、δW(系)之絕對值一個可能最大值吧？δL(系)可能是1.0%、0.5%、-0.9%、-0.3%、0.01%、...，δW(系)亦如此。倘若知道δL(系)、δW(系)，那面積的實際系統誤差δS(系)便沒什么問題了，就等于δL(系)+δW(系)，只可惜沒有人能確定它們究竟是多少？于是才要由ΔL(系)、ΔW(系)來“合成”δS(系)之絕對值的可能最大值ΔS(系)！而ΔS(系)究竟是按“平方和根”取為1.4%較合理？還是按“絕對和”取為2.0%較合理？甚至是按照一個較可靠的“負相關系數”取為0.8%更合理(并非絕無可能，“誤差補償”就是這么成立的)？需要進行較大量的“實驗校核”——用精度已知更高的“方法”測量面積S的“（相對）真值”、考察δS(系)究竟落在什么范圍內。沒有人能憑空斷定的。
2. 【面積的相對誤差是2.0%.這個解是對的，極易用長寬可能的極限值來進行檢驗。】？ 若按照此邏輯，所謂“隨機誤差”的“合成”也只能用“絕對和”才“對”？

史錦順 發表于 2016-4-20 18:05
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                                三論交叉系數
                                            —— 同n ...

【‘交叉系數’的本質是說明有沒有抵消性。就是在求和統計中有沒有抵消作用。】——“抵消性”的“緣由”正是“相關性”——

考慮兩個“隨機量”（總體）A、B，各自的“樣本”分別為
A：a1,a2,a3,……;  B：b1,b2,b3,……;
兩個“隨機量”A、B之和A+B的“樣本”將為
A+B：a1+ b1,a2+ b2,a3+ b3,……
A+B的“均方根值”
g[A+B]= √(｛（a1+ b1）^2+（a2+ b2）^2+（a3+ b3）^2+….+（aN+ bN）^2｝/N)
=√(g[A]^2+｛2a1* b1+2a2* b2+2a3* b3+….+2aN*bN｝/N+ g[B] ^2)
其中N是“足夠大”的“樣本數”;
      g[A]= √(｛a1^2+a2^2+a3^2+….+ aN^2｝/N)，是A的“均方根值”
      g[B]= √(｛b1^2 + b2^2 + b3^2+….+ bN^2｝/N)，是B的“均方根值”
定義“交叉系數”r=（｛a1* b1+a2* b2+a3* b3+….+aN*bN｝/N）/ ( g[A] g[B])
便有         g[A+B]= √(g[A]^2+ 2 r*g[A] g[B])+ g[B]^2)
（1） 如果能找到任意常數C >0,使得 bk≡C*ak,k=1~N——A與B“完全正相關”，則
          r=1——g[A+B]= g[A] + g[B]
（2） 如果能找到任意常數C <0,使得 bk≡C*ak,k=1~N——A與B“完全負相關”，則
          r=-1——g[A+B]=| g[A] - g[B] |
（3） 如果找不到任何常數C,使得 bk≡C*ak,k=1~N；但能找到某個非零的常數D,使得 ∑（bk-D*ak）^2取極小(其值小于∑（bk）^2),即bk≈D*ak,k=1~N——A與B“部分相關”，則
        -1<r<1
（4） 如果使∑（bk-D*ak）^2取極小的常數D=0——A與B“完全無關”，則
          r=0——g[A+B]= √(g[A]^2+ g[B]^2)

另，如果是已知A、B的“標準偏差”σ[A]、σ[B]，要求A+B的“標準偏差”σ[A+B]，那么，相應的所謂“交叉系數”便是“皮爾蓀相關系數”。{注： g[A]^2= E[A]^2+σ[A]^2，其中E[A]為A的均值。 }

史錦順 發表于 2016-4-20 18:05
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                                三論交叉系數
                                            —— 同n ...

【不同量具測得的二誤差量能往一起加，就說明二量必有某種相關性。兩個隨機變量的交叉項，求“統計和時可以抵消，甚至為零，卻不能說此二量無關——無關怎能相加？】——

此“相關性”非彼“相關性”。兩個隨機變量“合成”時，合成量之“標準偏差”計算公式中的“相關系數”（皮爾遜相關系數）考慮的是“兩個隨機變量的對應樣本值與各自均值之間的‘差值’是否存在一致的線性比例關系？ 即，兩個對應‘差值’樣本是否按某個一致的比例跟隨變化？”

14#與18#重復了，請版主刪除14#。（因為14#發后被“審查”久未現，故稍加修繕后發了18#）

njlyx 發表于 2016-4-21 08:32
史先生論斷--
【兩項系統誤差，可能完全無關。例如，用中國的卡尺測量矩形面積的寬邊，長度為L，系統誤差為 ...

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                                  誤差合成計算例1
                                             —— 同njlyx先生辯論（4）
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                                                                                                     史錦順
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       在測量計量界，通常使用的“誤差”一詞，有三層意思：誤差元、誤差范圍或泛指二者。在特定的語言環境下，區分三層意思是可以的，但有時也產生誤解。所以我專門提出關于誤差元、誤差范圍的概念，用來明確含義，以避免誤解。有了這個基礎性的準備，話就可以說得更明確些。
       我先把我那按通常習慣的說法，重述一遍，大概可以消除由于“詞義”問題產生的誤會。本來是隨便說個例子，既然njlyx認真對待這個例子（我很贊成注意實例）那我就把問題改得更符合實際些。以便較深入地討論。
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       問題的本質是對“測量本身能干什么、不能干什么、通常的要求是什么”的不同理解。不能回避的問題是：在實際工作中，應該怎樣處理？
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（一）史文題目的重新表達
       例1
       求面積測量的誤差范圍。用中國的卡尺測量矩形鋼板條的長度，長度L的測得值為400.00mm,卡尺誤差范圍指標是R(L)=0.04mm (測得值重復性0.01mm,可略)；用美國的千分尺測量矩形的寬度，寬度w的測得值為 40.000mm(測得值重復性0.001mm,可略)，誤差范圍指標是R(w)=0.004mm.
       兩項誤差范圍，完全無關。是取“方和根”，還是取“絕對和”？
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（二）兩種分析計算
       （1）按相關系數分析
       按現行的不確定度的分析，長度、寬度分別用中美兩國的準確度等級不同的尺子測量，誤差量間“不相關”，按“方和根”計算，面積的相對誤差范圍是0.014%.
       按GUM的F.1.2.1條款或按《JJF1059.1-2012》4.4.4.1條款1）：xi和xj中任意一個量可作為常數處理；協方差可以忽略。于是按“方和根”計算，面積的相對誤差范圍是0.014%.
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       （2）按“交叉系數”分析
       要處理的是求間接測量的誤差范圍。而分項誤差是測量儀器的誤差指標值（通常要處理的間接測量的誤差合成，大體就是這樣）。
       測量儀器給出的是誤差范圍（最大允許誤差、準確度）。通常測量儀器的誤差以系統誤差為主。求合成誤差，就是求函數的誤差范圍，即合成誤差絕對值的最大可能值。測量者根據說明書（檢定證書）知道的是儀器的誤差范圍，只能從大估計，認為所用儀器的系統誤差的最大值就是儀器誤差范圍指標值（這是保險的估計，因為測量者沒有標準，也只能這樣認為）。測量者進行多次測量，可以知道隨機誤差情況，但卻不能得知系統誤差的具體值，因為測量現場沒有計量標準。合成誤差范圍的計算，條件就是這樣。
       由上，該面積的長邊系統誤差相對值為0.010%（為結合實際，按國家標準修改原假設，道理相通），而測量窄邊的系統誤差相對值也是0.010%.
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       合成法選取的依據是交叉系數。二系統誤差的交叉系數是-1或+1.誤差范圍的定義是誤差絕對值的最大可能值，因此只能取+1，就是該取絕對和。就是說面積的誤差范圍的相對值應為0.020%.
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（三）間接測量關于誤差合成的要求
       取“絕對和”，得到0.020%的面積測量的誤差范圍相對值，這不是“憑空斷定”，是根據測量儀器指標（又必須有計量部門的公證）的科學計算。不承認這一點，就否定了誤差合成的基本理論。算出0.020%，是對的；不確定度論算出的0.014%，就是錯的。注意到誤差范圍是誤差絕對值的最大可能值，分辨哪個計算結果正確，是容易的。用可能的極端尺寸，算一下面積就知道了。如果這也要爭論，那就否定了數學證明的作用。
-
       在測量場合，進行一項間接測量，就要求動用標準或更高級的測量儀器去敲定這一次測量的準確的誤差值，是嚴重脫離實際的空想。現實能做到的、也必須知道的，是已知分項的測量儀器誤差指標，就該會算間接測量的誤差范圍；由此，也才能根據間接測量結果的誤差范圍要求，來選取分項測量該選用的儀器的規格。這就是實踐的要求。誤差合成的應用場合主要有二：第一是研制場合，那是限制分項誤差的范圍，以保證總誤差范圍。第二種場合就是在進行間接測量時，要根據分項誤差范圍，計算函數的誤差范圍。而分項誤差范圍，就是每項直接測量所用儀器的誤差范圍指標值。把分項測量的儀器誤差指標值，視為系統誤差，是誤差合成處理的要點。
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       至于隨機誤差，精密測量，絕不能只測量一個數（如果數據重復，說明隨機誤差很小，那是另一回事，那時可以忽略隨機誤差），精密測量通常要測量20次以上（不能少于10次），對數據進行統計處理，或取3σ(平)作為函數誤差的隨機誤差范圍，或取各分項隨機誤差范圍的方和根都是可以的。
       經過多次測量，經過統計處理，系統誤差與測量次數無關，兩個系統誤差間不存在抵消作用，所以大系統誤差間合成才取最大值，交叉系數 取“+”，合成方法取“絕對和”。而對隨機誤差來說，統計中隨機誤差間有抵消作用，當然就不必取“絕對和”，因為交叉項的統計和（交叉矩）近似為零。
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       就單項隨機誤差來說，誤差范圍是什么？不是哪個具體值，而是3σ，它以99%以上的概率大于任何一個隨機誤差值。
       一項系統誤差與隨機誤差3σ合成，取絕對和，也是可以的，因為它包容了一切可能的合成誤差值，是符合“誤差范圍”的定義的。在多次測量、隨機誤差可大可小、可正可負、有抵消作用的條件下，在取“方根”時，交叉因子近于零，交叉項可略，于是可取“方和根”。“方和根”，也滿足誤差范圍“絕對性”“上限性”的兩大特點，是符合要求的。這種計算，比取“絕對和”值小，更接近實際，這是誤差理論分析得到的好處。其條件有二：必須有隨機誤差存在；第二測量時必須進行多次測量。有隨機誤差，才有抵消的可能，而只有多次測量取平均，才能使交叉項之“統計均值”近于零。
        而對兩項系統誤差合成，情況卻不同。在多次測量中，系統誤差為恒值，系統誤差的符號與量值不變，沒有抵消作用，交叉系數只能是+1或-1.因為測量場合沒有計量標準，也沒有更高檔的測量儀器，確定不了分項系統誤差的具體符號，也不知道分項系統誤差的具體量值，只知道分項系統誤差的絕對值的上限值，那就是儀器的誤差范圍指標值。這就是通常的測量場合。而又必須合成誤差，那兩項系統誤差合成就只能取“絕對和”。根據“不相關”取“方和根”是錯誤的，因為其不包括有50%概率出現的交叉系數為+1的情況，不是誤差絕對值的最大可能值，不符合誤差范圍的定義。就是說，你用“方和根”算出的誤差范圍是1.0%，而實際的誤差是1.5%，那就絕對不允許。但如果你用“絕對和”算出的是2.0%，而實際的誤差是1.5%，甚至是0.5%，都是可以的。任何測量儀器的出廠誤差范圍指標值，都是有余量的。廠家越有名，這種余量越大。誤差量的特點是“絕對性”與“上限性”；而一般量的特點是“準確性”，這是誤差量與一般量的根本不同。這一點，該提醒研究測量計量的學者們注意！
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      至于對誤差進行高檔次的測定，那就必須有計量標準及高檔的測量儀器。第一，測量現場沒有，這些事不能做。第二，如果有高檔的測量儀器，原測量也就作廢了。計算也沒用了。
      幾項系統誤差一經認定其符號與量值，那就是代數計算了，不是通常誤差合成理論研究的對象。所謂的誤差合成，其條件都是僅知道：1、誤差的性質（隨機的還是系統的）；2、分項誤差范圍指標值是多少。誤差合成理論，不能脫離這個基本條件。
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史錦順 發表于 2016-4-22 09:27
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                                  誤差合成計算例1
                                              ...

【取“絕對和”，得到0.020%的面積測量的誤差范圍相對值，這不是“憑空斷定”，是根據測量儀器指標（又必須有計量部門的公證）的科學計算。不承認這一點，就否定了誤差合成的基本理論。算出0.020%，是對的；不確定度論算出的0.014%，就是錯的。注意到誤差范圍是誤差絕對值的最大可能值，分辨哪個計算結果正確，是容易的。用可能的極端尺寸，算一下面積就知道了。如果這也要爭論，那就否定了數學證明的作用。】————？？？.......... 這似乎只是在“系統誤差的“合成”必須取“絕對和””的前提下的“推論”吧？ 此“前提”正是本人疑問的焦點。

對于處理同一套測量儀器(方案)進行多次測量的誤差“合成”問題，所謂“系統誤差”分量的“合成”采用“絕對和”（確切說應該是按‘傳遞系數’加權和取絕對值——即，按相關系數取1用"合成公式"），因為這各次測量的“系統誤差”分量顯然是“正相關”的——就是同一套測量儀器(方案)的所謂“系統誤差”分量的一系列“樣本”。所謂“系統誤差”，正是從其樣本序列的自相關系數近似為1（變化緩慢、在一定間隔內前后取值基本一致）而“立身”的。

例如，假定某磅秤測量50kg~100kg范圍內人體重的“系統測量誤差分量”為Δ0=10g、“隨機測量誤差分量”為δ0=20g{具體數值是隨意給定，無“規標”及任何經驗依據}，用它先后測量A、B兩人的體重（質量）分別為： mA=67.52kg、mB=65.35kg——
         A、B兩人的體重（質量）之和 m1=mA+mB=132.87kg；
         A、B兩人的體重（質量）之差 m2=mA-mB=2.17kg.

那么，m1的“系統測量誤差分量”Δ1、“隨機測量誤差分量”δ1，m2的“系統測量誤差分量”Δ2、“隨機測量誤差分量”δ2應該各為多少呢？？

“正確”的答案或許應該為：
                                         Δ1=10g+10g=20g.......確實是"絕對和"；
                                         Δ2≈10g-10g=0...........................................！！！
                                         δ1=δ2=√（20^2+20^2)=28.3g。

但是，對于處理不同測量儀器(方案)的測量誤差“合成”問題，其所謂“系統誤差”分量的“合成”好像沒有哪個“經典誤差理論” 指示應該照此（取“絕對和”）辦理 。                             

史錦順 發表于 2016-4-22 09:27
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                                  誤差合成計算例1
                                              ...

【 在測量場合，進行一項間接測量，就要求動用標準或更高級的測量儀器去敲定這一次測量的準確的誤差值，是嚴重脫離實際的空想。現實能做到的、也必須知道的，是已知分項的測量儀器誤差指標，就該會算間接測量的誤差范圍；由此，也才能根據間接測量結果的誤差范圍要求，來選取分項測量該選用的儀器的規格。這就是實踐的要求。誤差合成的應用場合主要有二：第一是研制場合，那是限制分項誤差的范圍，以保證總誤差范圍。第二種場合就是在進行間接測量時，要根據分項誤差范圍，計算函數的誤差范圍。而分項誤差范圍，就是每項直接測量所用儀器的誤差范圍指標值。把分項測量的儀器誤差指標值，視為系統誤差，是誤差合成處理的要點。】—— 沒有人“質疑”這些專業常識。但 “誤差合成”方案應該是個位在綱上、影響深遠的大事，若要推廣，“驗證”它的“合理性”則是必要前提。況且也不是讓大家去“驗證”，推廣者加以“驗證”，讓大家信服就好。


對于您例中的那兩把中、美卡尺，其“系統測量誤差”之間“合成”究竟取什么“相關系數”才“合理”？ 與具體情況密切相關！  倘若兩者原理結構及用材相仿，又用同一套系統加以“校準”，那便應該取“相關系數”=1，即“絕對和”“合成”； 倘若兩者原理結構及用材全然不同，“校準”也是各行其是，那取“相關系數”=0或許比1更“合理”？.....“相關系數”的取值是個繞不開的“難題”，可能需要“專家”根據實際情況把關。

njlyx 發表于 2016-4-22 14:22
【 在測量場合，進行一項間接測量，就要求動用標準或更高級的測量儀器去敲定這一次測量的準確的誤差值， ...

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                                  要交叉系數，不要相關系數
                                                   —— 同njlyx先生辯論（5）
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                                                                                                        史錦順
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（一）兩項系統誤差合成該取“絕對和”的鑒別
       兩項系統誤差的合成，取公式“絕對和”還是取“方和根”，哪個對，要實驗鑒別，當然不能有“系統誤差的合成必須取絕對和”這個前提。
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       但是，鑒別又必須有鑒別的前提。就是什么是“正”“誤”的標準。
       誤差合成公式正誤的標準，有些特殊。就是必須符合誤差量的兩大特點：絕對性和上限性。
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       一般的情況是，公式計算的結果符合實際量，則公式正確；不符合則公式不對。
       但有時客觀值本身是多值的。此時就要看不同的客觀要求。符合大多數，是最容易被接受的觀點。但有時不行。例如，一座橋，垮塌的重量是100噸到120噸。那必須限制過橋的車小于100噸。
       誤差量的特點是絕對值的上限性。第一要講絕對值，第二要講絕對值的最大可能值（誤差理論講究99%概率意義上的最大可能值）。
       例如，儀器的隨機誤差可大可小，可正可負。在千萬個可能值中，其單值的σ，最科學，最代表大多數（或然誤差為0.6745σ），但是誤差理論的著眼點是隨機誤差范圍，是3σ。因為誤差概念的本質是滿足要求、合格、保險。因此誤差的核心觀念不是誤差量本身的“準確”，而是誤差量的范圍，就是誤差絕對值的最大值。隨機誤差的基本量值是3σ.隨機誤差的誤差范圍是3σ，計算是它，應用是它。
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       一般量要求“準確”，不要大，也不要小。人們的取法就是取中心。考察公式，就是看公式的計算結果是否符合大多數。誤差量的特點，是“絕對值的上限性”，關于誤差的公式，著眼點在絕對值的最大可能值。公式的計算結果等于最大可能值最好，大一些也可以；但如果計算結果小于最大可能值，就不好；如果小得多，那就是不能允許的錯誤。
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       主帖已證明，隨機誤差與系統誤差合成，該用“方和根”，但有人用“絕對和”，數字大些，但不違反“上限性”這個基本點，不能算錯。
       主帖已證明，兩項系統誤差合成，該用“絕對和”，但有人用“方和根”，數字小得多，違反“上限性”這個基本點，那就錯了。
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       話回合成公式正誤的鑒別。
       先要拋開“絕對和”與“方和根”這兩個公式，而用最原始的計算方法，求出具體問題的函數值（面積）的最大最小值來，以確定函數誤差量絕對值的上限值R(S)。哪個公式的計算結果符合R(S),則公式正確；如果計算結果小于R(S)很多，那個公式就是錯誤的。
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       原題 例1
       用中國的卡尺測量矩形鋼板面積的寬邊，長度測得值L為400.00mm,卡尺誤差范圍指標是R(L)=0.04mm (測得值重復性0.01mm,可略)；用美國的千分尺測量矩形的寬度，寬度測得值W為 40.000mm(測得值重復性0.001mm,可略)，誤差范圍指標是R(W)=0.004mm.
       兩項誤差范圍，完全無關。是取“方和根”，還是取“絕對和”？
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       如題，長度的測量結果為:
              L = 400.00mm±0.04mm
       寬度的測量結果為:
              W = 40.000mm±0.004mm
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       A 可能的最大長度
              L(大)=400.04mm
       B 可能的最大寬度
              W(大)=40.004mm
       C 可能的最大面積
              S(大)= 400.04mm×40.004mm   
                   = 16003.2 mm^2
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       D 可能的最小長度
              L(小)=399.96mm
       E 可能的最小寬度
              W(小)=39.996mm
       F 可能的最小面積
              S(小)= 399.96mm×39.996mm   
                   = 15996.8 mm^2
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       G 面積測得值為：
              S(測)= 400.00mm×40.000mm
                   = 16000.0 mm
       H 面積測得值的誤差為
              Δ(+)= S(測)-S(小)= 3.2mm^2
              Δ(-)= S(測)-S(大)= -3.2mm^2
       I 面積測得值的誤差范圍，即誤差絕對值的最大可能值為：
               R=|Δ|max
                = 3.2 mm^2
               R/S = 0.020%                                                                       （1）
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        如上的計算結果，是拋開誤差合成公式，而直接按部就班計算的結果，是誤差范圍的實際值。
        甲 【史氏新理論】：系統誤差合成，交叉系數絕對值為1，用“絕對和法”，算出誤差范圍相對值0.020%，與實際情況（1）相符合。合成公式鑒別結論：正確。
        乙 【不確定度論與80年后的部分誤差理論書籍】：系統誤差合成，二系統誤差不相關，均方合成，算出誤差范圍相對值0.014%，比實際值0.020%小約30%，與（1）式不符合。合成公式鑒別結論：錯誤。
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       如上可知，按交叉系數的分析，取“絕對和法”，計算結果正確；而按相關性分析，取“方和根法”，計算結果錯誤。
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（二）系統誤差合成，與相關性無關
【njlyx觀點】
       倘若兩者原理結構及用材相仿，又用同一套系統加以“校準”，那便應該取“相關系數”=1，即“絕對和”“合成”； 倘若兩者原理結構及用材全然不同，“校準”也是各行其是，那取“相關系數”=0或許比1更“合理”？.....“相關系數”的取值是個繞不開的“難題”，可能需要“專家”根據實際情況把關。
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【史辯】
       先生對老史提出的“交叉系數”的概念，并未認真思考。
       老史對“交叉系數”已有詳盡的說明，對“相關性”的無效性也有不少分析。
       可惜的是，對這些，先生并不認真思考。先生仍是在“相關”“不相關”中轉來轉去，這是自討苦吃。
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       微分原理決定了函數的誤差等于自變量誤差（包含傳遞系數）之和。誤差范圍定義為誤差量絕對值的最大可能值。求函數誤差（誤差合成）就要實現兩點：絕對值化、最大化。實現絕對值化的方法之一是取“方根”。即平方再開方。精密測量要進行多次測量，數據處理就要統計平均。
       二量和平方的展開式中必有交叉項，交叉項能否忽略，決定該取那種合成法。
       二項合成，交叉項能忽略的條件是必須分項誤差間有抵消作用。隨機誤差可正可負，有抵消作用，可取“方和根”；而兩項系統誤差合成，這兩項誤差的符號是確定的，量值是恒定的，對N次測量的統計平均，仍是二者乘積的原值、原符號，沒有抵消作用，推導不出“方和根”來。直接推導結果只有“絕對和”與“絕對差”兩種，可能性各占50%. 鑒于誤差范圍的定義是最大可能值，因此只能取“絕對和”。這就是兩項大系統誤差間必須取“絕對和”的道理。這里與“相關性”無關；“相關性”不是不能繞開，而是必須避開。沒用的東西，不理它就是了，何必作繭自縛？
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       如果系統誤差項很多，有N項，則交叉項有N(N-1)/2項。N=5,交叉項10個；N=10，交叉項45個。考慮到交叉系數有正有負（是+1或是-1，概率各占50%），在N較大時，可以認為交叉項大部分抵消，因而可以用“方和根”。但對僅有兩項系統誤差的情況，或對多項誤差中的兩項大系統誤差，則不能按“方和根”合成。否則就出錯。
       以上討論僅僅涉及誤差的性質（系統誤差還是隨機誤差），誤差大小（是不是大系統誤差），系統誤差項目多少；而不涉及系統誤差間是否相關。
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       結論：誤差合成法的選取，決定于“交叉系數”而與“相關系數”無關！
       要交叉系數，不要相關系數！
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  【原題 例1
       用中國的卡尺測量矩形鋼板面積的寬邊，長度測得值L為400.00mm,卡尺誤差范圍指標是R(L)=0.04mm (測得值重復性0.01mm,可略)；用美國的千分尺測量矩形的寬度，寬度測得值W為 40.000mm(測得值重復性0.001mm,可略)，誤差范圍指標是R(W)=0.004mm.
       兩項誤差范圍，完全無關。是取“方和根”，還是取“絕對和”？
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       如題，長度的測量結果為:
              L = 400.00mm±0.04mm
       寬度的測量結果為:
              W = 40.000mm±0.004mm
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       A 可能的最大長度
              L(大)=400.04mm
       B 可能的最大寬度
              W(大)=40.004mm
       C 可能的最大面積
              S(大)= 400.04mm×40.004mm   
                   = 16003.2 mm^2
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       D 可能的最小長度
              L(小)=399.96mm
       E 可能的最小寬度
              W(小)=39.996mm
       F 可能的最小面積
              S(小)= 399.96mm×39.996mm   
                   = 15996.8 mm^2
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       G 面積測得值為：
              S(測)= 400.00mm×40.000mm
                   = 16000.0 mm
       H 面積測得值的誤差為
              Δ(+)= S(測)-S(小)= 3.2mm^2
              Δ(-)= S(測)-S(大)= -3.2mm^2
       I 面積測得值的誤差范圍，即誤差絕對值的最大可能值為：
               R=|Δ|max
                = 3.2 mm^2
               R/S = 0.020%                                                                       （1）
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        如上的計算結果，是拋開誤差合成公式，而直接按部就班計算的結果，是誤差范圍的實際值。
        甲 【史氏新理論】：系統誤差合成，交叉系數絕對值為1，用“絕對和法”，算出誤差范圍相對值0.020%，與實際情況（1）相符合。合成公式鑒別結論：正確。
        乙 【不確定度論與80年后的部分誤差理論書籍】：系統誤差合成，二系統誤差不相關，均方合成，算出誤差范圍相對值0.014%，比實際值0.020%小約30%，與（1）式不符合。合成公式鑒別結論：錯誤。
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       如上可知，按交叉系數的分析，取“絕對和法”，計算結果正確；而按相關性分析，取“方和根法”，計算結果錯誤。】？？？？

       按這種“證明”方法，所有的“誤差合成”都應該取“絕對和”？！所謂“隨機誤差”的“合成”也逃不過您的“法條”？！多次重復測量取平均值能改善“精度”的事實也將被您的“上限論”顛覆！

      既然討論“隨機量”的問題，成熟、基本的“統計理論”還是應該用的，要在約定的包含概率下說事，95%、99%、99.73%、...，無論（規矩）定什么，都要有個“準數”，籠統的"上限論"是個無邊無際的概念！ 即便是99.73%對應的“正態分布的3σ區間”，與99.9%、99.99%對應的“區間”也有明顯（甚至成倍）的差異！

     對您用“交叉系數”取代“相關系數”進行“誤差合成”的方案不能贊同。