誤差合成的新理論——交叉系數(shù)與方根法

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                          誤差合成的新理論
                                     ——交叉系數(shù)與方根法
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                                                                                              史錦順
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序言   誤差合成的應(yīng)用場(chǎng)合
       誤差，表示測(cè)得值與實(shí)際值的差距。
       誤差的概念，有三層意思：誤差元、誤差范圍，或泛指二者。“分析誤差”中的“誤差”指誤差元；“儀器誤差”中的“誤差”指誤差范圍；“誤差理論”中的“誤差”既包括誤差元也包括誤差范圍。
       誤差元定義為測(cè)得值減真值。
       通常說(shuō)：誤差等于測(cè)得值減真值，這里的“誤差”是誤差元。誤差元，可正可負(fù)。
       恒值的誤差元，稱(chēng)系統(tǒng)誤差；隨機(jī)變化的誤差元稱(chēng)為隨機(jī)誤差。系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差，同時(shí)存在，只是比重不同。當(dāng)系統(tǒng)誤差比重大時(shí)，系統(tǒng)誤差可以單獨(dú)表達(dá)。隨機(jī)誤差的大小、正負(fù)都隨時(shí)變化，因此隨機(jī)誤差元不能單獨(dú)表達(dá)。
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       誤差范圍定義為誤差元的絕對(duì)值的一定概率（大于99%）意義上的最大可能值。
       隨機(jī)誤差是統(tǒng)計(jì)變量。隨機(jī)誤差的分散性表征量是標(biāo)準(zhǔn)偏差σ。隨機(jī)誤差范圍是3σ（包含概率大于99%）。
       誤差范圍這個(gè)表征量，貫通于研制、計(jì)量、應(yīng)用測(cè)量三大場(chǎng)合。
       誤差范圍是測(cè)量?jī)x器的測(cè)得值函數(shù)的簡(jiǎn)化表達(dá)，是測(cè)得值區(qū)間、被測(cè)量真值區(qū)間的特征值。
       測(cè)得值與誤差范圍構(gòu)成測(cè)量結(jié)果。
       誤差范圍是計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)、測(cè)量?jī)x器的性能水平的標(biāo)志。
       誤差范圍是測(cè)量技術(shù)、計(jì)量技術(shù)的能力水平的標(biāo)志。
       誤差范圍又稱(chēng)準(zhǔn)確度、準(zhǔn)確度等級(jí)、極限誤差、最大允許誤差等。
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       誤差合成是由誤差元求誤差范圍，或由分項(xiàng)誤差求總誤差范圍。
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       誤差分析與誤差合成，主要應(yīng)用于研制場(chǎng)合與間接測(cè)量場(chǎng)合。
       研制測(cè)量?jī)x器與計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)，必須掌握誤差理論，必須能正確分析誤差、合成誤差。
       計(jì)量是檢驗(yàn)與公證測(cè)量?jī)x器的誤差范圍，靠標(biāo)準(zhǔn)、憑實(shí)測(cè)。通常的計(jì)量業(yè)務(wù)，執(zhí)行規(guī)程，照章辦理。計(jì)量工作的本質(zhì)是測(cè)定誤差量。要提高計(jì)量工作的水平，就要熟悉誤差理論。掌握誤差分析與誤差合成的理論與方法，對(duì)計(jì)量工作者是十分重要的。
       測(cè)量理論，是科學(xué)技術(shù)工作的基礎(chǔ)知識(shí)。
       直接測(cè)量，主要是根據(jù)任務(wù)要求，選用測(cè)量?jī)x器。測(cè)量者在得到測(cè)得值的同時(shí)，是知道該直接測(cè)量的誤差范圍的，就是所用測(cè)量?jī)x器的誤差范圍指標(biāo)值。
       間接測(cè)量，要根據(jù)所求量對(duì)各個(gè)直接測(cè)量的函數(shù)關(guān)系，分析函數(shù)的誤差元，并合成誤差范圍。誤差合成，是測(cè)量技術(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)與技能。
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1 誤差合成的兩種思路
       經(jīng)典誤差理論的誤差合成，隨機(jī)誤差自身用“均方根法”（對(duì)同一量的多次重復(fù)采樣值，平方、平均、開(kāi)方），隨機(jī)誤差間用“方和根法”（幾個(gè)不同量，每個(gè)量平方、求和、開(kāi)方），系統(tǒng)誤差間用“絕對(duì)和法”（各量絕對(duì)值之和）。方法沒(méi)能統(tǒng)一。
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       GUM為代表的不確定度理論，統(tǒng)一采用“方和根法”，對(duì)隨機(jī)誤差的處理與經(jīng)典誤差理論相同，沒(méi)有問(wèn)題；但對(duì)系統(tǒng)誤差的處理，出現(xiàn)嚴(yán)重問(wèn)題。為實(shí)行“方和根法”，產(chǎn)生五項(xiàng)難題：（1）認(rèn)知誤差量的分布規(guī)律、（2）化系統(tǒng)誤差為隨機(jī)誤差、（3）假設(shè)不相關(guān)、（4）范圍與方差間的往返折算、（5）計(jì)算自由度。其中有的很難，如（1）（4）（5）；有的多數(shù)情況不對(duì)，如（3）；有的不可能，如（2）。
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       本文在網(wǎng)上討論的基礎(chǔ)上，提出統(tǒng)一處理誤差合成的“方根法”。這是關(guān)于誤差合成方法的新理論。新理論的特點(diǎn)如下。
       1）著眼于“范圍”。進(jìn)行各誤差元到誤差范圍的合成；進(jìn)行分項(xiàng)誤差范圍到總誤差范圍的合成。
       2）體現(xiàn)誤差量的兩大特點(diǎn)：絕對(duì)性和上限性。
       3）合成中，只需辨別誤差的性質(zhì)（隨機(jī)誤差還是系統(tǒng)誤差），大系統(tǒng)誤差還是小系統(tǒng)誤差；不需辨別相關(guān)性；與分布無(wú)關(guān)。
       4）公式可以推導(dǎo)。
       5）操作簡(jiǎn)易。
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       “方根法”體現(xiàn)誤差量的“絕對(duì)性”與“上限性”兩個(gè)特點(diǎn)，著眼于誤差范圍，統(tǒng)籌隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差的處理，把系統(tǒng)誤差元與隨機(jī)誤差元都變成是誤差范圍的直接構(gòu)成單元，用取“方根”的辦法實(shí)現(xiàn)誤差的絕對(duì)值化。為此，用或正或負(fù)的恒值β代表系統(tǒng)誤差元；用三倍的隨機(jī)誤差元3ξi 代表隨機(jī)誤差對(duì)誤差范圍的貢獻(xiàn)單元。這樣，系統(tǒng)誤差β與隨機(jī)誤差元3ξ對(duì)誤差范圍的貢獻(xiàn)權(quán)重相同，都是1。于是，公式推導(dǎo)與合成處理，都方便；給出的處理辦法，十分簡(jiǎn)潔。
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       不確定度論的思路是著眼于“方差”，處理辦法是將眾多的系統(tǒng)誤差化向隨機(jī)誤差。各系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差都按“方差”合成。此乃“眾歸一”。但系統(tǒng)誤差多種多樣，化向隨機(jī)誤差很難，甚至不可能。這就是不確定理論煩難乃至不成立的根源。
       本文新理論的思路是著眼于“范圍”，各系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差都按“范圍”合成。此乃“一從眾”。達(dá)到此目的的方法極其簡(jiǎn)單，就是對(duì)隨機(jī)誤差元乘以3。
       新理論提出交叉系數(shù)的概念，指出合成方法區(qū)分的本質(zhì)。公式的推導(dǎo)與應(yīng)用，簡(jiǎn)單明確。應(yīng)用方便。
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       兩種思路，導(dǎo)致處理方法一繁一簡(jiǎn)，難易分明。不確定度理論的煩難方法，基于不符合實(shí)際的臆想（用生產(chǎn)廠家不同、原理不同的多套儀器測(cè)量同一個(gè)量，系統(tǒng)誤差有分布）；本文的方法是基于客觀實(shí)際（用同一套測(cè)量?jī)x器，重復(fù)測(cè)量中系統(tǒng)誤差為恒值）的嚴(yán)格推導(dǎo)。是非曲直，昭然若揭。
       不確定度的合成方法，五大難關(guān)，如陷阱，如枷鎖，何其蒙人！
       明白交叉系數(shù)的道理，五大難關(guān)一風(fēng)吹，豈不快哉！
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2 隨機(jī)誤差元構(gòu)成的誤差范圍
       隨機(jī)誤差的處理，經(jīng)典誤差理論有成熟、完美的處理方法。
       測(cè)量實(shí)踐中，人們易于認(rèn)識(shí)隨機(jī)誤差。對(duì)常量的重復(fù)測(cè)量中，測(cè)得值的隨機(jī)變化就是隨機(jī)誤差。
       隨機(jī)誤差元可大可小，可正可負(fù)。有四個(gè)特性：
       1）單峰性：小誤差概率大；大誤差概率小；
       2）對(duì)稱(chēng)性：數(shù)值相同的正負(fù)誤差概率大致相等；
       3）抵消性：求平均值時(shí)正負(fù)誤差可以抵消或大部分抵消；
       4）有界性：以3σ為半寬的區(qū)間，包含概率99.73%。
       按統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)誤差是正態(tài)分布。
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       對(duì)隨機(jī)誤差，有如下定義與關(guān)系：
       1）隨機(jī)誤差元等于測(cè)得值減測(cè)得值的期望值（當(dāng)無(wú)系統(tǒng)誤差時(shí)，測(cè)得值的期望值是真值）。隨機(jī)誤差元的期望值是零。隨機(jī)誤差元為：
               ξi = Xi - EX                                                                            （1）
       2）標(biāo)準(zhǔn)誤差定義為
                σ = √(1/N)∑ξi   
                   = √(1/N)∑(Xi-EX)                                                               （2）
       3）貝塞爾公式用測(cè)得值的平均值代換（2）式中的期望值，得到：
                σ =√{[1/(N-1)]∑[X-X(平)]^2}                                                 （3）
       4）隨機(jī)誤差范圍
                R = 3σ =3√(1/N)∑ξi^2
                  =√(1/N)∑(3ξi)^2                                                                 （4）
       5）由公式（4），有：
                R=3σ(ξ)= σ(3ξ)                                                                      （5）
      隨機(jī)誤差元的3倍值（3ξ），其統(tǒng)計(jì)意義上的方根值等于誤差范圍值。3ξ 對(duì)誤差范圍的權(quán)重為1。因此3ξ 在構(gòu)成誤差范圍時(shí)與系統(tǒng)誤差的權(quán)重相同。就是說(shuō)，系統(tǒng)誤差的權(quán)重為1，而隨機(jī)誤差元對(duì)誤差范圍的權(quán)重為1/3。        
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3 單項(xiàng)系統(tǒng)誤差元構(gòu)成的誤差范圍
       系統(tǒng)誤差元用β表示。β是或正或負(fù)的恒值。
       單個(gè)系統(tǒng)誤差構(gòu)成的誤差范圍
               R =√(1/N)∑(βi)^2   
                  = |β|                                                                                  （6）
       單個(gè)系統(tǒng)誤差對(duì)誤差范圍的貢獻(xiàn)是該系統(tǒng)誤差的絕對(duì)值。
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4 誤差合成的理論基礎(chǔ)
       函數(shù)的改變量，等于函數(shù)對(duì)各個(gè)自變量偏微分的和。就是泰勒展開(kāi)的一級(jí)近似。
               f(x,y) = f(xo,yo)+ (?f/?x) (x-xo)+ (?f/?y) (y-yo)                         （7）
               f(x,y) - f(xo,yo) =(?f/?x) Δx+ (?f/?y) Δy                                    （8）
               Δf =(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy                                                        （9）
       公式（9）是偏差關(guān)系的普遍形式。對(duì)所研究的特定函數(shù)來(lái)說(shuō)，?f/?x、?f/?y是常數(shù)。
       偏差關(guān)系用于測(cè)量計(jì)量領(lǐng)域，x是測(cè)得值，xo是真值, Δx是測(cè)得值x的誤差元；y是測(cè)得值，yo是真值，Δy是測(cè)得值y的誤差元；f(x,y)是代表被測(cè)量的函數(shù)值， f(xo,yo) 是函數(shù)的真值，Δf= f(x,y)-f(xo,yo) 是函數(shù)值的誤差元。
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5 交叉系數(shù)的一般表達(dá)
       設(shè)函數(shù)的誤差由兩項(xiàng)誤差Δx、Δy引起。由此，函數(shù)的兩項(xiàng)誤差元為：
              Δf(x) = (?f/?x) Δx
              Δf(y) = (?f/?y) Δy
       把分項(xiàng)誤差作用的靈敏系數(shù)與該項(xiàng)誤差歸并，記為：
              Δf(x) =ΔX
              Δf(y) = ΔY

       函數(shù)的誤差元式（9）變?yōu)椋?br />               Δf=ΔX +ΔY                                                                            （10）
       對(duì)（10）式兩邊平方并求和、平均：
             (1/N)∑Δf^2=(1/N)∑(ΔXi +ΔYi)^2
                               =(1/N)∑ΔXi^2 + 2(1/N)∑ΔXiΔYi+(1/N)∑ΔYi^2          （11）
       （11）式右邊的第一項(xiàng)為σ(X)^2；第三項(xiàng)為σ(Y)^2；第二項(xiàng)是交叉項(xiàng)，是我們研究的重點(diǎn)對(duì)象。交叉項(xiàng)為
             2(1/N)∑ΔXiΔYi =2【(1/N)(∑ΔXiΔYi) / {√[(1/N)∑ΔXi^2]√[(1/N)∑ΔYi^2]}】×
                                           {√[(1/N)∑ΔXi^2]√[(1/N)∑ΔYi^2]}
                                  = 2J σ(X) σ(Y)]                                                  （12）
       （12）式中的J為：
               J =(1/N)(∑ΔXiΔYi ) / σ(X) σ(Y)                                                （13）
       稱(chēng)J為交叉系數(shù)。
      （注：此前，J記為r，稱(chēng)為相關(guān)系數(shù)。這和統(tǒng)計(jì)理論的相關(guān)系數(shù)，物理意義有差別。為澄清已有的混淆，本文稱(chēng)J為交叉系數(shù)。）
       當(dāng)交叉系數(shù)J為零或很小時(shí)，合成公式為
               σ(f) =√[σ(X)^2+ σ(Y)^2]                                                      （14）
      （14）式是“方和根”合成公式。
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6 隨機(jī)誤差間合成的交叉系數(shù)
       對(duì)隨機(jī)誤差的合成，ΔX是ξx, 代換為[X-X(平)]；ΔY是ξy，代換為[Y-Y(平)]，有：
               J =[1/(N-1)][∑[Xi-X(平)][(Yj-Y(平))] / [σ(X) σ(Y)]                      （15）
       由于ξx、ξy是隨機(jī)誤差，可正可負(fù)，可大可小，有對(duì)稱(chēng)性與有界性，多次測(cè)量，是大量的，因此，隨機(jī)誤差間的合成的交叉系數(shù)為零（或可以忽略）。（15）式是當(dāng)前不確定度論引用的統(tǒng)計(jì)理論的相關(guān)系數(shù)公式。
       隨機(jī)誤差合成，（14）成立。即隨機(jī)誤差的合成公式是“方和根”：
               σ(f) =√ [σ(x )^2+ σ(y )^2]                                                  （14.1）
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7 隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差合成的交叉系數(shù)
       兩個(gè)分項(xiàng)誤差，一個(gè)是隨機(jī)的，記為ξ，考慮到對(duì)誤差范圍的權(quán)重，取單元量為3ξ（ΔX）；一個(gè)是系統(tǒng)的（重復(fù)測(cè)量中不變），記為β（ΔY）。
       代入公式（13），有
                J =(1/N)(∑3ξiβ) / [σ(X) σ(Y)]                                                 （16）
       系統(tǒng)誤差元是常數(shù)可以提出來(lái)，有
                J =(1/N) (3β∑ξi) / [σ(X) σ(Y)]                                                （17）
       大量重復(fù)測(cè)量（例如N=20，N不得小于10）中，（17）式的∑ξi等于零或可以忽略，因此J近似為0，可以忽略。“方和根法”成立：
                 σ(f) =√[β^2+ (3σ)^2]                                                       （14.2）
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8 系統(tǒng)誤差與系統(tǒng)誤差合成的交叉因子
       設(shè)（13）式中ΔX為系統(tǒng)誤差βx ，ΔY為系統(tǒng)誤差βy，有
                √[(1/N)∑ΔXi^2]= |βx|                                                          （18）
                √[(1/N)∑ΔYi^2]= |βy|                                                          （19）
       則系統(tǒng)誤差的交叉系數(shù)為
                J =(1/N)(∑βxiβyi) / [|βx| |βy|]    
                   =βxβy / [ |βx| |βy| ]
                   =±1                                                                                 （20）  
       即有
                 |J|=1                                                                                  （21）
       當(dāng)βx與βy同號(hào)時(shí)，系統(tǒng)誤差的交叉系數(shù)J為+1；當(dāng)βx與βy異號(hào)時(shí)，系統(tǒng)誤差的交叉系數(shù)J為-1。
       當(dāng)系統(tǒng)誤差的交叉系數(shù)為+1時(shí)，（11）式變?yōu)椋?br />                  Δf ^2=|βx^2|+2|βx||βy| +|βy|^2   
       即有      
                 | Δf | =|βx|+|βy|                                                                  （22）
      （22）式就是絕對(duì)值合成公式。
       當(dāng)系統(tǒng)誤差的交叉因子為-1時(shí)，（22）式變?yōu)槎坎畹墓健Ｒ驗(yàn)橥ǔＶ皇侵老到y(tǒng)誤差之誤差范圍，又鑒于誤差量“上限性”的特點(diǎn)，二量差的公式不能用。
       測(cè)量?jī)x器的性能指標(biāo)，給出的都是誤差范圍。
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       測(cè)量?jī)x器的誤差范圍指標(biāo)值由生產(chǎn)廠家給出，由計(jì)量部門(mén)公證，測(cè)量者按儀器指標(biāo)應(yīng)用。直接測(cè)量，測(cè)量?jī)x器的指標(biāo)，就可看作是測(cè)量的誤差范圍（只要符合儀器使用條件，環(huán)境等的影響已包含在儀器的指標(biāo)中）。間接測(cè)量，要按間接測(cè)量的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行誤差合成。測(cè)量?jī)x器的誤差范圍指標(biāo)值因以系統(tǒng)誤差為主，要視其為系統(tǒng)誤差值，按系統(tǒng)誤差處理。
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9 關(guān)于合成方法的主張
       誤差合成，統(tǒng)一按“方根法”。對(duì)特定的誤差種類(lèi)，“方根法”分化為“均方根法”、“方和根法”、“絕對(duì)和法”、“混合法”。
       通常，測(cè)量?jī)x器以系統(tǒng)誤差為主。不能無(wú)視系統(tǒng)誤差的存在。考慮到系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差都是客觀存在，提出如下主張：
       1）隨機(jī)誤差序列，用“均方根法”，隨機(jī)誤差范圍之間，用“方和根法”；
       2）隨機(jī)誤差范圍與系統(tǒng)誤差范圍之間，用“方和根法”；
       3）有多項(xiàng)中小系統(tǒng)誤差項(xiàng)，僅有一項(xiàng)大系統(tǒng)誤差（或沒(méi)有大系統(tǒng)誤差），它們之間的交叉系數(shù)，可能是+1，也可能是-1，有相互抵消、或部分抵消的作用，這樣，可以用“方和根法”。
       4）直接測(cè)量?jī)H有兩三項(xiàng)系統(tǒng)誤差，要用“絕對(duì)和法”（適用于研制中確定儀器指標(biāo)）；
       5）間接測(cè)量，僅有兩三項(xiàng)測(cè)量?jī)x器的誤差范圍，要用“絕對(duì)和法”；
       6）有多項(xiàng)誤差，在兩項(xiàng)或三項(xiàng)大系統(tǒng)誤差之間用“絕對(duì)和法”，其余的各種處理，用“方和根法”。總稱(chēng)謂是“混合法”。
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10 間接測(cè)量的誤差合成例說(shuō)
       間接測(cè)量由若干直接測(cè)量構(gòu)成。各直接測(cè)量的誤差，都是間接測(cè)量的誤差因素。還加一些綜合性因素。
       間接測(cè)量，要進(jìn)行若干項(xiàng)分項(xiàng)誤差的合成。
       設(shè)函數(shù)誤差由以下8項(xiàng)誤差構(gòu)成：
       大系統(tǒng)誤差項(xiàng)β(1大)、β(2大)
       中小系統(tǒng)誤差項(xiàng)β(3小)、β(4小)、β(5小)、β(6小)、
       隨機(jī)誤差項(xiàng)ξ(7隨)、ξ(8隨)
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       注：
       分項(xiàng)系統(tǒng)誤差的傳遞系數(shù)是函數(shù)對(duì)該自變量的偏微商。
       分項(xiàng)隨機(jī)誤差的傳遞系數(shù)是函數(shù)對(duì)該自變量的偏微商的3倍（包含概率99%）。
       本文中分項(xiàng)誤差項(xiàng)的值，指單項(xiàng)誤差與傳遞系數(shù)的乘積。
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       函數(shù)誤差元
                Δf =(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy……   
                Δf =β(1大)+β(2大)
                      +β(3小)+β(4小)+β(5小)+β(6小)
                      +3ξi(7隨)+3ξi(8隨)
       求“函數(shù)誤差元的平方”的統(tǒng)計(jì)平均
                [(1/N)∑Δfi^2]
                     = (1/N)∑[β(1大)+β(2大)
                      +β(3小)+β(4小)+β(5小)+β(6小)
                       +3ξi(7隨)+3ξi(8隨)]^2
                R^2 = (1/N)∑{(1大)^2+2J(大)β(1大)β(2大) +β(2大)^2
                         +β(3小)^2+β(4小)^2+β(5小)^2+β(6小)^2
                         +[3σ(7隨)]^2+[3σ(8隨)]^2+其他交叉項(xiàng)}                      （23）
       大系統(tǒng)誤差項(xiàng)的交叉系數(shù)J(大)等于+1或-1；因誤差范圍是誤差元的最大可能值，故取+1。由此，大誤差間取絕對(duì)和。其他交叉項(xiàng)的交叉因子，凡有隨機(jī)誤差項(xiàng)的，交叉因子為零。沒(méi)有隨機(jī)誤差的，是系統(tǒng)誤差之間的交叉系數(shù)，可以是+1，也可以是-1；由于交叉項(xiàng)的數(shù)量大，可認(rèn)為正負(fù)項(xiàng)近似抵消，因而其他交叉項(xiàng)之和可略。
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       合成誤差范圍公式
                R =√ {[R(1大) +R(2大)]^2
                      +R(3小) ^2+ R(4小) ^2 +R(5小) ^2+ R(6小) ^2
                      + [3σ(7隨)]^2+[3σ(8隨)]^2}                                            （24）
       二、三項(xiàng)大系統(tǒng)誤差間取“絕對(duì)和”；此“絕對(duì)和”與所有其他系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差范圍之間，取方和根。
       由于測(cè)量?jī)x器的誤差范圍，以系統(tǒng)誤差為主，且因誤差范圍是誤差元絕對(duì)值的一定概率（99%）意義上的最大可能值，因此某項(xiàng)直接測(cè)量的測(cè)量?jī)x器誤差范圍指標(biāo)值，視為間接測(cè)量的該項(xiàng)系統(tǒng)誤差。
       當(dāng)分項(xiàng)誤差僅有一項(xiàng)大誤差，或有4項(xiàng)以上大誤差時(shí)，考慮交叉項(xiàng)的可能抵消作用，公式（10）變成純“方和根”。
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規(guī)矩灣錦苑 發(fā)表于 2016-5-3 10:36
　　我的“姊妹說(shuō)”與你所說(shuō)的“相似”說(shuō)并無(wú)矛盾。姊妹本來(lái)就具有相似性，但相似的姊妹是兩個(gè)獨(dú)立個(gè)體， ...

不確定度和誤差理論并不是非此即彼的對(duì)立關(guān)系，有個(gè)詞叫“微創(chuàng)新”，不確定度評(píng)定指南在原來(lái)誤差合成的基礎(chǔ)上對(duì)評(píng)定工作進(jìn)行了一定程度的規(guī)范，即使只有一點(diǎn)小進(jìn)步，也不能否定它的意義，既然有所改進(jìn)，改個(gè)名也無(wú)可厚非。

規(guī)矩灣錦苑 發(fā)表于 2016-4-27 01:06
　　你說(shuō)“史老師提出‘不確定度’就是‘極限誤差’”，我有同感，所以我一再?gòu)?qiáng)調(diào)理論研究必須先把概念的 ...

是不是一回事，版主可以自己仔細(xì)比較，反正我是沒(méi)有比較出什么大的區(qū)別，您要是有什么新發(fā)現(xiàn)咱們?cè)僮h。至于該不該廢除其中某一個(gè)名稱(chēng)或內(nèi)容，這不是咱們能決定的，只要理論方法內(nèi)容沒(méi)問(wèn)題，政府文件讓我們用哪個(gè)我們就用哪個(gè)。

以往所說(shuō)的“誤差合成”、現(xiàn)在常做的“不確定合成”，其實(shí)質(zhì)都是“（可能）范圍（半寬）”的“合成”，要想“合成”結(jié)果合理，就繞不開(kāi)“相關(guān)性”問(wèn)題。實(shí)用的方案不外對(duì)“相關(guān)性”做了些“實(shí)用的簡(jiǎn)化處理”……尊重“機(jī)理”，沒(méi)有“一律”可循。

補(bǔ)充內(nèi)容 (2016-4-13 13:29):
“不確定合成”應(yīng)為“不確定度合成”

因1#文修改時(shí)間已過(guò)，現(xiàn)將修改部分復(fù)制如下。

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序言   誤差合成的意義
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                 R(f) = √ [σ(X)^2+ σ(Y)^2]                                                      （14）
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                 σ(f) = √ [σ(x )^2+ σ(y )^2]                                                     （14.1）
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                 R(f) = √ [β^2+ (3σ)^2]                                                           （14.2）
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                 R(f) = |βx|+|βy|                                                                       （22）
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njlyx 發(fā)表于 2016-4-12 16:42
以往所說(shuō)的“誤差合成”、現(xiàn)在常做的“不確定合成”，其實(shí)質(zhì)都是“（可能）范圍（半寬）”的“合成”，要想 ...

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【njlyx質(zhì)疑】
       以往所說(shuō)的“誤差合成”、現(xiàn)在常做的“不確定合成”，其實(shí)質(zhì)都是“（可能）范圍（半寬）”的“合成”，要想“合成”結(jié)果合理，就繞不開(kāi)“相關(guān)性”問(wèn)題。
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【史辯】
       誤差合成中的所謂“相關(guān)性”，其實(shí)質(zhì)是交叉矩（協(xié)方差）的取值問(wèn)題。交叉矩的大小，可以用交叉系數(shù)來(lái)唯一地描述。交叉矩與交叉系數(shù)有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。交叉矩對(duì)應(yīng)交叉系數(shù)，而交叉系數(shù)可以反過(guò)來(lái)對(duì)應(yīng)交叉矩。
       過(guò)去，把交叉矩（協(xié)方差）用相關(guān)系數(shù)來(lái)描述，出了嚴(yán)重錯(cuò)位。交叉矩可能用相關(guān)系數(shù)來(lái)表達(dá)，此時(shí)的相關(guān)系數(shù)就是交叉系數(shù)。但“相關(guān)系數(shù)”一詞，人們通常有另外的理解，即相關(guān)系數(shù)是相關(guān)性的表達(dá)，并不一定想到交叉項(xiàng)的大小。而從本質(zhì)上說(shuō)，交叉矩本來(lái)僅僅是二項(xiàng)和展開(kāi)式中，交叉項(xiàng)的取值問(wèn)題，什么相關(guān)不相關(guān)，談不上。既然兩個(gè)項(xiàng)能往一起加，就不可能不相關(guān)。說(shuō)兩項(xiàng)相關(guān)，而對(duì)隨機(jī)誤差來(lái)說(shuō)，交差項(xiàng)之和的統(tǒng)計(jì)值卻可能是零。因此，“相關(guān)性”不是“不能繞開(kāi)”的問(wèn)題；而是必須避開(kāi)。
       以往用相關(guān)系數(shù)，《JJF1001》就錯(cuò)把任何兩項(xiàng)系統(tǒng)誤差，都當(dāng)成不相關(guān)了——而實(shí)質(zhì)上，兩項(xiàng)系統(tǒng)誤差的相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值是1（先生登于網(wǎng)上，老史才知道）。國(guó)家規(guī)范尚且如此，許多人（如費(fèi)業(yè)泰等名人、寫(xiě)過(guò)多本書(shū)的qcdc）出錯(cuò)，也就難免了。那都是“相關(guān)系數(shù)”導(dǎo)致的弊病。
       本文用“交叉系數(shù)”，就可避免由“相關(guān)性”導(dǎo)致的混淆。難道不行嗎？
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史錦順 發(fā)表于 2016-4-13 10:36
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【njlyx質(zhì)疑】
       以往所說(shuō)的“誤差合成”、現(xiàn)在常做的“不確定合成”，其實(shí)質(zhì)都是“（可能）范圍（ ...

“交叉矩（協(xié)方差）”不為零的物理實(shí)質(zhì)或就是兩者“相關(guān)”？？.....一個(gè)是數(shù)值表現(xiàn)，一個(gè)是物理含義，兩者不宜割裂。您用“交叉系數(shù)”表達(dá)，或不算錯(cuò)誤，但可能不比用“相關(guān)系數(shù)”更確切！

有人“錯(cuò)把任何兩項(xiàng)系統(tǒng)誤差，都當(dāng)成不相關(guān)了”，是誤解了“系統(tǒng)誤差”的本質(zhì)，并不恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用“皮爾蓀公式”來(lái)“計(jì)算”所導(dǎo)致的錯(cuò)誤？！

如果對(duì)“系統(tǒng)誤差”的本質(zhì)沒(méi)有正確的認(rèn)識(shí)，僅改個(gè)“交叉系數(shù)”的稱(chēng)謂是不能解決問(wèn)題的——【任何兩項(xiàng)系統(tǒng)誤差的“交叉系數(shù)”都取1】與【任何兩項(xiàng)系統(tǒng)誤差的“相關(guān)系數(shù)”都取0】是同樣荒唐的“方案”！

所謂“系統(tǒng)誤差”，并不是個(gè)亙古不變的“常量”！  對(duì)于“系統(tǒng)誤差”之間的“相關(guān)系數(shù)”，實(shí)用中是不可能靠“皮爾蓀公式”計(jì)算出來(lái)的！——因?yàn)椴豢赡艿玫健白銐蛉娴摹睒颖荆?.....“系統(tǒng)誤差”之間的“相關(guān)系數(shù)”，實(shí)用中只能依靠“機(jī)理分析”及經(jīng)驗(yàn)適當(dāng)取值！您把它叫做“交叉系數(shù)”后也只能如此。

njlyx 發(fā)表于 2016-4-13 13:25
“交叉矩（協(xié)方差）”不為零的物理實(shí)質(zhì)或就是兩者“相關(guān)”？？.....一個(gè)是數(shù)值表現(xiàn)，一個(gè)是物理含義，兩 ...

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                                 相關(guān)性的誤導(dǎo)
                                             —— 同njlyx先生辯論（1）
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                                                                                                   史錦順
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前言  感謝與希望
       在本網(wǎng)討論中，我得知njlyx的“系統(tǒng)誤差的相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值為1”的說(shuō)法（此后又見(jiàn)崔偉群的同一說(shuō)法與推導(dǎo)），覺(jué)得這一點(diǎn)十分重要，于是仔細(xì)研究誤差合成理論的問(wèn)題，提出用“方根法”來(lái)統(tǒng)一處理隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差的合成問(wèn)題。其要點(diǎn)是著眼于“范圍”，提出“交叉系數(shù)”的概念。
       我再次表示對(duì)李永新（njlyx）崔偉群二位學(xué)者的感謝。沒(méi)有他們的“系統(tǒng)誤差相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值為1”的論斷，我不可能推演出以“統(tǒng)一方根法”與“交叉系數(shù)”等為主要內(nèi)容的一套關(guān)于誤差合成的新理論。
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       新理論的核心是用交叉系數(shù)代替原來(lái)的“相關(guān)系數(shù)”。指出：誤差合成方法的選取（取“方和根”還是“絕對(duì)和”），關(guān)鍵是交叉矩（協(xié)方差）的取值，而不是誤差量間的相關(guān)性。就是說(shuō)，用交叉系數(shù)來(lái)表征交叉矩（協(xié)方差），可以避免以往用相關(guān)系數(shù)來(lái)表征而導(dǎo)致的嚴(yán)重誤解和多種錯(cuò)誤。從而使測(cè)量計(jì)量理論與技術(shù)中的誤差合成（不確定度合成），簡(jiǎn)單、清晰、正確。
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       我本來(lái)預(yù)計(jì)新理論能得到李、崔二位先生的支持，能得到較快的推廣；不略，二位學(xué)者都不認(rèn)可。崔先生尚未表達(dá)深入的意見(jiàn)，而李先生已明確講了許多否定意見(jiàn)。我是不怕有不同意見(jiàn)的。辯論可以明是非。好，對(duì)李先生的主要觀點(diǎn)，我將答辯幾次。我對(duì)李、崔二位的希望是：認(rèn)真對(duì)待這個(gè)理論問(wèn)題。這是有關(guān)測(cè)量計(jì)量理論的重要問(wèn)題，討論一番是必要的，是有意義的。也歡迎其他網(wǎng)友發(fā)表意見(jiàn)。
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1  GUM與《JJF1059》關(guān)于相關(guān)性可略的條款
1.1 GUM（JCGM 100：2008）
F.1.2.1 The covariance associated with the estimates of two input quantities Xi and Xj may be taken to be zero or treated as insignificant if
       兩個(gè)輸入量Xi和Xj 估計(jì)值的協(xié)方差在以下情況下可以取為零或忽略不計(jì)：
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a) Xi and Xj are uncorrelated (the random variables, not the physical quantities that are assumed to be invariants — see 4.1.1, Note 1), for example, because they have been repeatedly but not simultaneously measured in different independent experiments or because they represent resultant quantities of different evaluations that have been made independently, or if
       Xi和Xj不相關(guān)（隨機(jī)變量，不是假設(shè)為不變的物理量——見(jiàn)4.1.1注1）。例如它們是重復(fù)地但是在不同的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中不同時(shí)測(cè)量的量，或它們代表了獨(dú)立進(jìn)行的不同評(píng)定的結(jié)果量；
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b) either of the quantities Xi or Xj can be treated as a constant, or if
       Xi或Xj量中的任一個(gè)可以作為常數(shù)處理；
       （史錦順譯：兩者中, Xi或Xj任一個(gè)可以作為常數(shù)處理）；
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c) there is insufficient information to evaluate the covariance associated with the estimates of Xi and Xj.
       評(píng)定Xi和Xj的估計(jì)值的協(xié)方差所需的信息不足。
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       （譯文除注明史錦順譯的一句外，引自葉德培《測(cè)量不確定度》p78）
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1.2 計(jì)量規(guī)范《JJF 1059.1-2012》的表述
（協(xié)方差可略的三條）
4.4.4.1 協(xié)方差的估計(jì)方法
       a）兩個(gè)輸入量的估計(jì)值xi與xj的協(xié)方差在以下情況時(shí)可取零或忽略不計(jì)：
       1）xi和xj中任意一個(gè)量可作為常數(shù)處理；
       2）在不同實(shí)驗(yàn)室用不同測(cè)量設(shè)備、不同時(shí)間測(cè)得的量值；
       3）獨(dú)立測(cè)量的不同量的測(cè)量結(jié)果。
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2 《JJF1059.1-2012》（觀點(diǎn)源自GUM）置疑

      【JJF1059.1-2012條款】
       1）xi和xj中任意一個(gè)量可作為常數(shù)處理；協(xié)方差可以忽略。
      【史評(píng)】
       這條的意思，是說(shuō)：xi與xj中，有一個(gè)是常量，協(xié)方差就可忽略。兩個(gè)都是常量，則更可忽略。在討論誤差合成中，系統(tǒng)誤差是常量。本條款說(shuō)：二分項(xiàng)誤差中，有一個(gè)是系統(tǒng)誤差，則協(xié)方差可略。二誤差都是系統(tǒng)誤差，則協(xié)方差當(dāng)然可略。
       由史文（主帖）的推導(dǎo)可知：兩個(gè)誤差都是隨機(jī)誤差，協(xié)方差可略；兩誤差中有一個(gè)是隨機(jī)誤差，另一個(gè)是系統(tǒng)誤差，協(xié)方差也可略。當(dāng)二量都是系統(tǒng)誤差時(shí)，協(xié)方差不可略。
       可見(jiàn)，史文的協(xié)方差忽略條件是有一個(gè)是純隨機(jī)誤差；而《JJF1059》GUM卻說(shuō)協(xié)方差的忽略條件是有一個(gè)是系統(tǒng)誤差。
       兩種說(shuō)法有本質(zhì)區(qū)別。規(guī)范條款認(rèn)為協(xié)方差通常可以忽略（GUM甚至認(rèn)為信息不足時(shí)即可略）；因此通常可用“方和根法”；本文分析則說(shuō)明，“方和根法”成立是有條件的。測(cè)量?jī)x器的誤差，不僅有系統(tǒng)誤差，而且通常是以系統(tǒng)誤差為主的，在有兩項(xiàng)大系統(tǒng)誤差的情況下，“方和根”法是不成立的，而必須取“絕對(duì)和”（隨機(jī)誤差項(xiàng)與眾多小系統(tǒng)誤差項(xiàng)取“方和根”）。
-
      【JJF1059.1-2012條款】
       2）在不同實(shí)驗(yàn)室用不同測(cè)量設(shè)備、不同時(shí)間測(cè)得的量值；協(xié)方差可以忽略。
      【史評(píng)】
       不同實(shí)驗(yàn)室、不同測(cè)量設(shè)備、不同時(shí)間的測(cè)量，都避免不了有系統(tǒng)誤差存在，而且測(cè)量?jī)x器一般是以系統(tǒng)誤差為主。僅有一項(xiàng)系統(tǒng)誤差而另一項(xiàng)是隨機(jī)誤差（或隨機(jī)誤差占絕大比例），才能忽略協(xié)方差。因此，在不同實(shí)驗(yàn)室用不同測(cè)量設(shè)備、不同時(shí)間測(cè)得的兩個(gè)量值，只要系統(tǒng)誤差占主導(dǎo)（例如儀器給出最大允許誤差），就不能忽略協(xié)方差。   
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      【JJF1059.1-2012條款】
       3）獨(dú)立測(cè)量的不同量的測(cè)量結(jié)果；協(xié)方差可以忽略。      
      【史評(píng)】
       此條不妥。理由同上。
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       總之，《JJF1059-2012》為宣揚(yáng)GUM的“方和根法”而強(qiáng)調(diào)的“協(xié)方差可忽略”的三項(xiàng)條款，是不對(duì)的，是一種誤導(dǎo)。
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3  “相關(guān)性”是誤導(dǎo)
       這里強(qiáng)調(diào)指出：
       在討論合成方法中，把交叉項(xiàng)能否忽略，說(shuō)成是相關(guān)不相關(guān)，這本身就是一種誤導(dǎo)。兩個(gè)完全不相關(guān)的量，只要取這二量的和的平方，平方的展開(kāi)式中，就必然有交叉項(xiàng)。此交叉項(xiàng)能不能忽略，不是二量是否相關(guān)的問(wèn)題，而是必須有一個(gè)量可正可負(fù)地變化，或兩個(gè)量都可正可負(fù)的變化，才能忽略交叉項(xiàng)。如果兩個(gè)量都是常量，交叉項(xiàng)必定不能忽略。同號(hào)為正，而異號(hào)為負(fù)，正負(fù)號(hào)只有一種，不存在抵消的問(wèn)題。不確定度論出世以來(lái)（包括1980年后的一些誤差理論書(shū)籍），把交叉項(xiàng)同“相關(guān)性”聯(lián)系起來(lái)，造成嚴(yán)重的誤導(dǎo)。許多人在此誤導(dǎo)之下，以為二量不相關(guān)就可以忽略交叉項(xiàng)，其實(shí)，這是錯(cuò)誤的。
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4 “誤差量不相關(guān)”說(shuō)法的嚴(yán)重性
       認(rèn)為“不相關(guān)”、假設(shè)“不相關(guān)”，對(duì)以系統(tǒng)誤差為主的測(cè)量?jī)x器的誤差合成，包括儀器制造中的誤差合成，以及實(shí)用中間接測(cè)量的誤差合成，都是錯(cuò)誤的。
       GUM等國(guó)際規(guī)范強(qiáng)調(diào)“不相關(guān)”，國(guó)家計(jì)量規(guī)范《JJF1059》強(qiáng)調(diào)“不相關(guān)”，于是，大量的書(shū)籍、文章、樣板評(píng)定，到處是“不相關(guān)”的說(shuō)教與應(yīng)用。這是錯(cuò)誤的。錯(cuò)誤是廣泛的、嚴(yán)重的。
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      李、崔二人揭示“系統(tǒng)誤差間強(qiáng)相關(guān)”是重要的。老史分析以往的誤解與錯(cuò)誤，指出其來(lái)源正是把交叉矩的問(wèn)題誤解為相關(guān)性的問(wèn)題。為了糾正已經(jīng)發(fā)生、并影響廣泛的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，用“交叉系數(shù)”代替“相關(guān)系數(shù)”，是必要的、是必須的。下文再比較這兩個(gè)系數(shù)名稱(chēng)的優(yōu)缺點(diǎn)。
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1.“系統(tǒng)誤差”不是“常量”；2.在評(píng)估“測(cè)量不確定度”階段，“測(cè)量誤差”的“均值”被認(rèn)為是0，數(shù)學(xué)上常用的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)（全值相關(guān)）與皮爾蓀相關(guān)系數(shù)已無(wú)差異

只要不把“系統(tǒng)誤差”與“誤差的均值（數(shù)學(xué)期望）”拉扯關(guān)系，“相關(guān)系數(shù)”的應(yīng)用就不會(huì)出錯(cuò)。

  【李、崔二人揭示“系統(tǒng)誤差間強(qiáng)相關(guān)”是重要的】……本人當(dāng)初一時(shí)未能明辨“系統(tǒng)誤差”與“常量”的本質(zhì)差異！

njlyx 發(fā)表于 2016-4-13 13:25
“交叉矩（協(xié)方差）”不為零的物理實(shí)質(zhì)或就是兩者“相關(guān)”？？.....一個(gè)是數(shù)值表現(xiàn)，一個(gè)是物理含義，兩 ...

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                            交叉系數(shù)與相關(guān)系數(shù)的不同
                                          —— 同njlyx先生辯論（2）
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                                                                                                   史錦順
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【njlyx質(zhì)疑】
       “任何兩項(xiàng)系統(tǒng)誤差的‘交叉系數(shù)’都取1”與“任何兩項(xiàng)系統(tǒng)誤差的‘相關(guān)系數(shù)’都取0”是同樣荒唐的“方案”！
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【史辯】
       njlyx表達(dá)的觀點(diǎn)，包括兩層意思：第一點(diǎn)：“任何兩項(xiàng)系統(tǒng)誤差的‘相關(guān)系數(shù)’都是零”是錯(cuò)誤的。
       國(guó)際規(guī)范GUM、中國(guó)規(guī)范JJF1059都說(shuō)“系統(tǒng)誤差協(xié)方差可略”（參見(jiàn)上文《CGM 100：2008》之F.1.2.1 b的條款）、《JJF 1059.1-2012》4.4.4.1條款），也就是兩個(gè)系統(tǒng)誤差的相關(guān)系數(shù)為零。先生的第一點(diǎn)判斷，批駁了當(dāng)今主導(dǎo)規(guī)范的說(shuō)法，這是正確的，是我們的共識(shí)。相同的觀點(diǎn)指明即可，就不多說(shuō)了。
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       njlyx觀點(diǎn)的第二點(diǎn)意思是：“任何兩項(xiàng)系統(tǒng)誤差的‘交叉系數(shù)’都取1”也是錯(cuò)誤的。
       這是我們之間的分歧點(diǎn)。下面重點(diǎn)論述。
       我的觀點(diǎn)是：誤差合成公式的選取與相關(guān)性無(wú)關(guān)；因而以往關(guān)于“相關(guān)性”的說(shuō)法，是不成立的。誤差合成中，交叉矩的取值，是決定誤差合成公式取舍的本質(zhì)，因此，交叉系數(shù)的大小是誤差合成理論的本質(zhì)問(wèn)題。
       交叉系數(shù)是決定誤差合成公式的本質(zhì)因素，必須抓住。
       相關(guān)性與誤差合成公式無(wú)關(guān)。對(duì)誤差合成來(lái)說(shuō)，相關(guān)系數(shù)的概念無(wú)用。
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（一）兩項(xiàng)系統(tǒng)誤差的交叉系數(shù)絕對(duì)值是1，是嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)的結(jié)果
       交叉系數(shù)不是設(shè)想，而是嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)的結(jié)果。這些數(shù)學(xué)推導(dǎo)，是嚴(yán)格物理概念下的一些列嚴(yán)密的邏輯思維的產(chǎn)物。因而它是客觀的。
       交叉系數(shù)得出的邏輯如下。
       1 誤差元定義：測(cè)得值減真值
           1.1 隨機(jī)誤差元：重復(fù)測(cè)量中，誤差元可大可小，隨機(jī)變化；
           1.2 系統(tǒng)誤差元：重復(fù)測(cè)量中，誤差元是恒值：絕對(duì)值大小與正負(fù)符號(hào)不變。
       2 誤差范圍定義：誤差元的絕對(duì)值的一定概率（99%）意義上的最大可能值。
       3 由2），誤差量的兩個(gè)特點(diǎn)：絕對(duì)性與上限性。
       4 誤差合成：由誤差元求誤差范圍。
           4.1 均方根法（對(duì)隨機(jī)誤差的序列測(cè)得值，平方、平均、開(kāi)方）。用于單項(xiàng)隨機(jī)誤差的表達(dá)；
           4.2 方和根法（對(duì)各項(xiàng)隨機(jī)誤差元平方、求和、開(kāi)方）。用于隨機(jī)誤差間的合成。
           4.3 “絕對(duì)和法”，取各項(xiàng)的絕對(duì)值之和，體現(xiàn)的是最大可能值。經(jīng)典誤差理論用于系統(tǒng)誤差合成。方法可用，但計(jì)算值偏大，是保守的作法。
       以上是經(jīng)典誤差理論的作法。其缺點(diǎn)是，沒(méi)有對(duì)隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差通用的方法。
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       5 誤差合成的統(tǒng)一方法是取方根。
       史錦順提出的統(tǒng)一方法是：著眼于“范圍”，取方根的最大值。取方根，體現(xiàn)誤差量的絕對(duì)性（初等數(shù)學(xué)規(guī)定，方根定義為取正值，方根就是絕對(duì)值）；取最大值，符合誤差量的上限性。
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       6 隨機(jī)誤差取方根的結(jié)果是“均方根法”（一項(xiàng)隨機(jī)誤差的系列測(cè)得值），和“方和根法”（多項(xiàng)隨機(jī)誤差間合成），這兩點(diǎn)與經(jīng)典誤差理論相同。
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       方根法的新推導(dǎo)結(jié)果為：
       7 隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差合成，交叉系數(shù)可略，“方和根法”成立。
       8 兩項(xiàng)系統(tǒng)誤差間合成，交叉系數(shù)為+1或-1。鑒于誤差范圍是誤差元絕對(duì)值的最大可能值，就是體現(xiàn)誤差量的上限性，要取交叉系數(shù)是+1。此時(shí)，合成公式是“絕對(duì)和”。
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       由上可知，兩項(xiàng)系統(tǒng)誤差合成要取交叉系數(shù)為+1，公式是絕對(duì)和，這是一系列邏輯思維與嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)的結(jié)果。要推翻它，就必須指出哪個(gè)環(huán)節(jié)有問(wèn)題。
       在具體環(huán)節(jié)上找不出問(wèn)題，就說(shuō)明推導(dǎo)是嚴(yán)格的，結(jié)果是正確的。
       正確的東西是不怕罵的。“荒唐”之說(shuō)，不成立。
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（二）“系統(tǒng)誤差是恒值”的相對(duì)性與正確性
       搞測(cè)量計(jì)量的人，對(duì)隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差的客觀性是清楚的。
       系統(tǒng)誤差是“恒值”，這是與隨機(jī)誤差相比較而言的。有區(qū)別，才有認(rèn)識(shí)，否定隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差的區(qū)別，這是不確定度論的糊涂認(rèn)識(shí)。

       一場(chǎng)測(cè)量，重復(fù)測(cè)量N次，稱(chēng)N次測(cè)量。測(cè)得值N個(gè)，也就有N個(gè)誤差元。誤差元的不同，是隨機(jī)誤差的表現(xiàn)。
       有時(shí)，N個(gè)測(cè)得值是同一值，即隨機(jī)誤差可略。如果被測(cè)量是一個(gè)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)，且標(biāo)準(zhǔn)自身的誤差可略，則測(cè)得值與標(biāo)準(zhǔn)值（相對(duì)真值）之差就是系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差不許有大的變化（在儀器壽命期內(nèi)，或至少在檢定周期內(nèi)，變化量可略，或變化量與系統(tǒng)誤差之和不大于儀器誤差范圍指標(biāo)值）。系統(tǒng)誤差的恒定性是儀器示值修正與計(jì)量檢定的基本前提。
       誤差合成公式推導(dǎo)中，系統(tǒng)誤差一段，要用到系統(tǒng)誤差為恒值，這個(gè)條件是滿(mǎn)足或基本滿(mǎn)足的。
       在研究誤差合成的場(chǎng)合，所謂“恒值”，能恒定到“變化量不超過(guò)自身的1/10，就足夠了”。
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       一說(shuō)“真”，就要求絕對(duì)的真；一說(shuō)“恒值”就要求是絕對(duì)的“常量”，這是不確定度論的“絕對(duì)化的”、脫離實(shí)踐的空想，是十分有害的。
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       正確認(rèn)識(shí)“絕對(duì)”與“相對(duì)”的關(guān)系；正確區(qū)分“近似”與錯(cuò)誤，乃科學(xué)研究之根本。交叉系數(shù)，有近似，但它是正確的；相關(guān)系數(shù)與誤差合成問(wèn)題無(wú)關(guān)；用“相關(guān)性”考察問(wèn)題，必然出錯(cuò)。
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1.技術(shù)名稱(chēng)的物理含義至關(guān)重要，“交叉系數(shù)”的物理含義是什么呢？——相關(guān)性！2.所謂“誤差合成”，實(shí)質(zhì)是“隨機(jī)量合成”，人們對(duì)此“合成”的“關(guān)注點(diǎn)”是“變化范圍”（標(biāo)準(zhǔn)偏差、不確定度之類(lèi)），“相關(guān)性”決定了“范圍（寬度）”的合理合成方式——由“相關(guān)系數(shù)”（-1～+1）參與的統(tǒng)一公式近似表述（線(xiàn)性合成時(shí)較精確）；3.“系統(tǒng)誤差合成”依然是關(guān)注的“范圍（寬度）”合成；5.“系統(tǒng)誤差”之間的“相關(guān)系數(shù)”實(shí)用中不可能利用“皮爾蓀公式”算出來(lái)；6.“合成”時(shí)的傳遞系數(shù)是有正有負(fù)的，“相關(guān)系數(shù)”（“交叉系數(shù)”？）強(qiáng)取+1也并不是“勇于擔(dān)當(dāng)”的做法。

njlyx 發(fā)表于 2016-4-17 13:51
1.技術(shù)名稱(chēng)的物理含義至關(guān)重要，“交叉系數(shù)”的物理含義是什么呢？——相關(guān)性！2.所謂“誤差合成”，實(shí)質(zhì)是 ...

補(bǔ)充：
4. 在“測(cè)量誤差理論”中，所謂“系統(tǒng)誤差”與“隨機(jī)誤差”，其本質(zhì)區(qū)別是相應(yīng)誤差序列的“自相關(guān)性”，在實(shí)用的時(shí)間（時(shí)延）范圍內(nèi)，理想化“系統(tǒng)誤差”的“自相關(guān)系數(shù)”為1，而理想化“隨機(jī)誤差”的“自相關(guān)系數(shù)”為0——為“白噪聲”。......對(duì)于用“同一套測(cè)量系統(tǒng)（方案）”先后測(cè)出的兩個(gè)“測(cè)量結(jié)果”，其中由“測(cè)量系統(tǒng)（方案）”引起的兩個(gè)“測(cè)量誤差”的“系統(tǒng)（測(cè)量）誤差分量”，其實(shí)就是“該測(cè)量系統(tǒng)（方案）”所致“系統(tǒng)（測(cè)量）誤差分量”序列的兩個(gè)樣本，它們之間的所謂“（互）相關(guān)系數(shù)”其實(shí)就是“測(cè)量系統(tǒng)（方案）”所致“系統(tǒng)（測(cè)量）誤差分量”的“自相關(guān)系數(shù)”——理應(yīng)取為1，無(wú)須再“論證”或找“公式”計(jì)算！

njlyx 發(fā)表于 2016-4-17 13:51
1.技術(shù)名稱(chēng)的物理含義至關(guān)重要，“交叉系數(shù)”的物理含義是什么呢？——相關(guān)性！2.所謂“誤差合成”，實(shí)質(zhì)是 ...

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                                三論交叉系數(shù)
                                            —— 同njlyx先生辯論（3）
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                                                                                                   史錦順
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（一）為什么會(huì)有分歧？
       拙文《誤差合成的新理論——交叉系數(shù)與方根法》在本欄目貼出后，得到njlyx先生的認(rèn)真回應(yīng)。言辭不多，涉及范圍卻很廣。其實(shí)，有些內(nèi)容，主帖已經(jīng)說(shuō)得很清楚，但主要觀點(diǎn)連博導(dǎo)都不理解，老史就不能不認(rèn)真思考一番，究竟是怎么回事。簡(jiǎn)單的學(xué)術(shù)問(wèn)題，為什么會(huì)有這么大的分歧？
       可能A：不確定度論的一套（包括1980年后的大部分誤差理論書(shū)籍）本來(lái)是正確的。相關(guān)系數(shù)是合成法區(qū)分的物理本質(zhì)，是你史錦順違反了物理本質(zhì)，錯(cuò)的是老史你自己。
       不確定度論的一套是對(duì)的嗎？
       不用老史講理由，njlyx論斷的本身就否定了可能A。
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       怎樣判別兩個(gè)誤差量的相關(guān)性？當(dāng)然不能憑估計(jì)，而必須用公式，沒(méi)有恰當(dāng)?shù)墓娇捎茫偷弥匦逻M(jìn)行公式推導(dǎo)。沒(méi)有數(shù)學(xué)推導(dǎo)的、估計(jì)的相關(guān)還是不相關(guān)，都是不足信的，甚至可能是誤導(dǎo)。
       njlyx說(shuō)：“‘系統(tǒng)誤差’之間的‘相關(guān)系數(shù)’實(shí)用中不可能利用‘皮爾蓀公式’算出來(lái)”。
       是的，只適應(yīng)于隨機(jī)變量理論的統(tǒng)計(jì)學(xué)公式——皮爾遜公式，其基本單元是統(tǒng)計(jì)變量與其平均值之差。兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)性，取決于二量各自對(duì)平均值偏差的乘積的統(tǒng)計(jì)平均值。
       對(duì)于系統(tǒng)誤差，由于是恒值，各個(gè)系統(tǒng)誤差元都等于誤差元的平均值，于是誤差元與誤差元的平均值之差就是0。兩個(gè)系統(tǒng)誤差的情況，皮爾遜公式的分子為0，就是說(shuō)皮爾遜公式對(duì)系統(tǒng)誤差的靈敏度為零。因而皮爾遜公式對(duì)系統(tǒng)誤差無(wú)效。
       對(duì)系統(tǒng)誤差來(lái)說(shuō)，既然皮爾遜公式無(wú)效，那就是說(shuō)明以往的有關(guān)系統(tǒng)誤差的相關(guān)性的討論都是不對(duì)的。這不是老史的錯(cuò)，是不確定度論用皮爾遜公式的錯(cuò)。這一點(diǎn)，其實(shí)是我與njlyx的共識(shí)。
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       可能B，老史的推導(dǎo)是正確的。但njlyx囿于相關(guān)性的說(shuō)教，雖然明明看到了問(wèn)題，卻不能承認(rèn)新理論。甚至否定自己關(guān)于“系統(tǒng)誤差之間相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值為1”的本來(lái)正確的觀點(diǎn)。自然科學(xué)的探討研究，必須抓住基本點(diǎn)不放，才能獨(dú)立地立論。任何些許猶豫，就可能否定客觀，甚至否定自己。我對(duì)njlyx這樣輕率地否定自己的正確觀點(diǎn)，很遺憾。
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       我的觀點(diǎn)，再說(shuō)，自己也覺(jué)得重復(fù)。但由于不被承認(rèn)；而老史又堅(jiān)信自己的一套是有理有據(jù)的，是計(jì)量界所必要的，那就只好不厭其煩地多說(shuō)幾次。
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（二）交叉系數(shù)的本質(zhì)
【njlyx質(zhì)疑】
     1.技術(shù)名稱(chēng)的物理含義至關(guān)重要，“交叉系數(shù)”的物理含義是什么呢？——相關(guān)性！
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【史辯】
       二項(xiàng)和的平方，展開(kāi)式中必然出現(xiàn)交叉項(xiàng)。

               (a+b)^2=a^2+2ab+b^2                                                    （1）

       交叉項(xiàng)2ab是數(shù)學(xué)關(guān)系，是平方計(jì)算的必有項(xiàng)。不是物理問(wèn)題，不必強(qiáng)湊物理意義。
       數(shù)學(xué)意義是比物理意義更概括、更普適的意義。
       交叉項(xiàng)能不能忽略，取決于二量是隨機(jī)變量，還是恒值。
       交叉項(xiàng)能不能忽略，與相關(guān)性無(wú)關(guān)。在誤差合成的公式選取上，考究相關(guān)性是歧途。
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       交叉系數(shù)的本質(zhì)是說(shuō)明有沒(méi)有抵消性。就是在求和統(tǒng)計(jì)中有沒(méi)有抵消作用。
       分化為兩種情況：交叉系數(shù)近于零與交叉系數(shù)近于1.
       簡(jiǎn)化為兩種情況：有抵消性，交叉系數(shù)近于零，則取方和根；沒(méi)有抵消性，交叉系數(shù)絕對(duì)值為1，則取絕對(duì)和。
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       微分原理決定：在小變化量的條件下，函數(shù)的改變量，等于各分項(xiàng)作用的代數(shù)和。
       誤差量的特點(diǎn)是絕對(duì)性與上限性。實(shí)現(xiàn)取絕對(duì)性可用“方根法”（平方再開(kāi)方得絕對(duì)值）；要在各種可能值中取最大值，實(shí)現(xiàn)誤差量的上限性。
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       誤差合成的新理論，要點(diǎn)是：
       1 著眼于“范圍”（不確定度論著眼于方差），以隨機(jī)誤差元的3倍值為隨機(jī)誤差作用單元。
       2 對(duì)隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差統(tǒng)一用“方根法”以實(shí)現(xiàn)取絕對(duì)值。再注意選可能值的大者。這樣既實(shí)現(xiàn)了誤差表達(dá)量（誤差范圍）的絕對(duì)性，也實(shí)現(xiàn)了誤差表達(dá)量的上限性。
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       二量和的平方的展開(kāi)式中，必有交叉項(xiàng)，這是數(shù)學(xué)問(wèn)題。關(guān)注點(diǎn)是：求統(tǒng)計(jì)和時(shí)，有沒(méi)有抵消作用。交叉矩的大小，取決于二量的性質(zhì)，就是二量是統(tǒng)計(jì)變量還是恒值。交叉矩的取值與二量之間是相關(guān)還是不相關(guān)，沒(méi)有一 一對(duì)應(yīng)關(guān)系。
       因此說(shuō)“交叉系數(shù)”的物理意義是“相關(guān)性”，沒(méi)道理。數(shù)的平方，就是兩個(gè)數(shù)相乘，沒(méi)有專(zhuān)門(mén)的物理意義。平方再開(kāi)方，就是取絕對(duì)值，是數(shù)學(xué)，沒(méi)有專(zhuān)門(mén)的物理意義。兩個(gè)量之和的平方再開(kāi)方，是純數(shù)學(xué)處理，就是取二量和的絕對(duì)值，沒(méi)有專(zhuān)門(mén)的物理意義。二量之和的平方展開(kāi)式中的交叉項(xiàng)，是數(shù)學(xué)運(yùn)算的產(chǎn)物。也沒(méi)有專(zhuān)門(mén)的物理意義。交叉項(xiàng)在統(tǒng)計(jì)時(shí)有沒(méi)有抵消作用，取決于量本身的變化特性，與二量的相關(guān)情況無(wú)關(guān)。
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       例如一個(gè)量用同一測(cè)量?jī)x器測(cè)量。有系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差。二者是同一測(cè)量?jī)x器測(cè)量的，似乎二者必然強(qiáng)相關(guān)。其實(shí)一個(gè)恒定的誤差值乘以一個(gè)隨機(jī)變化的誤差值，恒定的值可以提出來(lái)，而隨機(jī)誤差項(xiàng)求和為零。交叉系數(shù)為零是本質(zhì)，而分析的“相關(guān)”不能用。
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       不同量具測(cè)得的二誤差量能往一起加，就說(shuō)明二量必有某種相關(guān)性。兩個(gè)隨機(jī)變量的交叉項(xiàng)，求“統(tǒng)計(jì)和時(shí)可以抵消，甚至為零，卻不能說(shuō)此二量無(wú)關(guān)——無(wú)關(guān)怎能相加？
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       兩項(xiàng)系統(tǒng)誤差，可能完全無(wú)關(guān)。例如，用中國(guó)的卡尺測(cè)量矩形面積的寬邊，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，系統(tǒng)誤差為ΔL(系)，系統(tǒng)誤差相對(duì)值為1.0%；用美國(guó)的千分尺測(cè)量矩形的寬度，寬度為w，系統(tǒng)誤差為Δw(系)，系統(tǒng)誤差相對(duì)值也是1.0%。（隨機(jī)誤差可略。長(zhǎng)度約為寬度的10倍）。
       此題按不確定度的分析，長(zhǎng)度、寬度分別用中美兩國(guó)的準(zhǔn)確度等級(jí)不同的尺子測(cè)量，誤差量間“不相關(guān)”，要按“方和根”計(jì)算，面積的相對(duì)誤差是1.4%。注意，這個(gè)解是不對(duì)的。
       由于系統(tǒng)誤差的交叉系數(shù)是-1或+1，按誤差范圍定義的要求，必須取最大可能值，因此交叉系數(shù)該取+1，于是合成公式應(yīng)為“絕對(duì)和”。面積的相對(duì)誤差是2.0%.這個(gè)解是對(duì)的，極易用長(zhǎng)寬可能的極限值來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)。
       此題，按交叉系數(shù)計(jì)算，就對(duì)；而按“相關(guān)性”的分析，必錯(cuò)。
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       結(jié)論：要著眼于交叉系數(shù)；而“相關(guān)性”是誤導(dǎo)。
       交叉系數(shù)與相關(guān)性，對(duì)不上號(hào)。不能把交叉系數(shù)說(shuō)成是“相關(guān)性”！
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史錦順 發(fā)表于 2016-4-20 18:05
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                                三論交叉系數(shù)
                                            —— 同n ...

【二項(xiàng)和的平方，展開(kāi)式中必然出現(xiàn)交叉項(xiàng)。
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2   （1）
交叉項(xiàng)2ab是數(shù)學(xué)關(guān)系，是平方計(jì)算的必有項(xiàng)。不是物理問(wèn)題，不必強(qiáng)湊物理意義。
數(shù)學(xué)意義是比物理意義更概括、更普適的意義。
交叉項(xiàng)能不能忽略，取決于二量是隨機(jī)變量，還是恒值。
交叉項(xiàng)能不能忽略，與相關(guān)性無(wú)關(guān)。在誤差合成的公式選取上，考究相關(guān)性是歧途。

交叉系數(shù)的本質(zhì)是說(shuō)明有沒(méi)有抵消性。就是在求和統(tǒng)計(jì)中有沒(méi)有抵消作用。
分化為兩種情況：交叉系數(shù)近于零與交叉系數(shù)近于1.
簡(jiǎn)化為兩種情況：有抵消性，交叉系數(shù)近于零，則取方和根；沒(méi)有抵消性，交叉系數(shù)絕對(duì)值為1，則取絕對(duì)和。】

“‘交叉系數(shù)’的本質(zhì)是說(shuō)明有沒(méi)有抵消性。就是在求和統(tǒng)計(jì)中有沒(méi)有抵消作用。”，“抵消”也是有“緣由”的——
考慮兩個(gè)“隨機(jī)量”（總體）A、B，各自的“樣本”分別為
A：a1,a2,a3,……;  B：b1,b2,b3,……;
兩個(gè)“隨機(jī)量”A、B之和A+B的“樣本”將為
A+B：a1+ b1,a2+ b2,a3+ b3,……
A+B的“均方根值”
g[A+B]= √(｛（a1+ b1）^2+（a2+ b2）^2+（a3+ b3）^2+….+（aN+ bN）^2｝/N)
=√(g[A]^2+｛2a1* b1+2a2* b2+2a3* b3+….+2aN*bN｝/N+ g[B] ^2)
其中N是“足夠大”的“樣本數(shù)”;
g[A]= √(｛a1^2+a2^2+a3^2+….+ aN^2｝/N)，是A的“均方根值”
g[B]= √(｛b1^2 + b2^2 + b3^2+….+ bN^2｝/N)，是B的“均方根值”
定義“交叉系數(shù)”r=（｛a1* b1+a2* b2+a3* b3+….+aN*bN｝/N）/ ( g[A] g[B])
便有         g[A+B]= √(g[A]^2+ 2 r*g[A] g[B])+ g[B]^2)
（1） 如果能找到任意常數(shù)C >0,使得 bk≡C*ak,k=1~N——A與B“完全正相關(guān)”，則
r=1——g[A+B]=| g[A] + g[B] |
（2） 如果能找到任意常數(shù)C <0,使得 bk≡C*ak,k=1~N——A與B“完全負(fù)相關(guān)”，則
r=-1——g[A+B]=| g[A] - g[B] |
（3） 如果找不到任何常數(shù)C,使得 bk≡C*ak,k=1~N；但能找到某個(gè)非零的常數(shù)D,使得 ∑（bk-D*ak）^2取極小(其值小于∑（bk）^2),即bk≈D*ak,k=1~N——A與B“部分相關(guān)”，則
-1<r<1
（4） 如果使∑（bk-D*ak）^2取極小的常數(shù)D=0——A與B“完全無(wú)關(guān)”，則
r=0——g[A+B]= √(g[A]^2+ g[B]^2)


補(bǔ)充內(nèi)容 (2016-4-22 13:14):
補(bǔ)充說(shuō)明： 請(qǐng)忽略此樓，其內(nèi)容已由18#覆蓋（略有修繕）。

njlyx說(shuō)：“‘系統(tǒng)誤差’之間的‘相關(guān)系數(shù)’實(shí)用中不可能利用‘皮爾蓀公式’算出來(lái)”。……是因?yàn)閷?shí)用中得不到所謂“系統(tǒng)誤差‘’的充分樣本，并非說(shuō)那公式有什么錯(cuò)誤！

‘’對(duì)于系統(tǒng)誤差，由于是恒值，各個(gè)系統(tǒng)誤差元都等于誤差元的平均值，‘’………將“系統(tǒng)誤差”當(dāng)做“恒量”還有什么“范圍”可言呢？

史先生論斷--
【兩項(xiàng)系統(tǒng)誤差，可能完全無(wú)關(guān)。例如，用中國(guó)的卡尺測(cè)量矩形面積的寬邊，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，系統(tǒng)誤差為ΔL(系)，系統(tǒng)誤差相對(duì)值為1.0%；用美國(guó)的千分尺測(cè)量矩形的寬度，寬度為w，系統(tǒng)誤差為Δw(系)，系統(tǒng)誤差相對(duì)值也是1.0%。（隨機(jī)誤差可略。長(zhǎng)度約為寬度的10倍）。
       此題按不確定度的分析，長(zhǎng)度、寬度分別用中美兩國(guó)的準(zhǔn)確度等級(jí)不同的尺子測(cè)量，誤差量間“不相關(guān)”，要按“方和根”計(jì)算，面積的相對(duì)誤差是1.4%。注意，這個(gè)解是不對(duì)的。
       由于系統(tǒng)誤差的交叉系數(shù)是-1或+1，按誤差范圍定義的要求，必須取最大可能值，因此交叉系數(shù)該取+1，于是合成公式應(yīng)為“絕對(duì)和”。面積的相對(duì)誤差是2.0%.這個(gè)解是對(duì)的，極易用長(zhǎng)寬可能的極限值來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)。】

njlyx疑問(wèn)——
1. 【 按“方和根”計(jì)算，面積的相對(duì)誤差是1.4%。注意，這個(gè)解是不對(duì)的。】的依據(jù)是什么呢？....無(wú)論是中國(guó)卡尺測(cè)量長(zhǎng)度的系統(tǒng)誤差ΔL(系)=1.0%，還是美國(guó)卡尺測(cè)量寬度的系統(tǒng)誤差ΔW(系)=1.0%，它們都只是實(shí)際系統(tǒng)誤差δL(系)、δW(系)之絕對(duì)值一個(gè)可能最大值吧？δL(系)可能是1.0%、0.5%、-0.9%、-0.3%、0.01%、...，δW(系)亦如此。倘若知道δL(系)、δW(系)，那面積的實(shí)際系統(tǒng)誤差δS(系)便沒(méi)什么問(wèn)題了，就等于δL(系)+δW(系)，只可惜沒(méi)有人能確定它們究竟是多少？于是才要由ΔL(系)、ΔW(系)來(lái)“合成”δS(系)之絕對(duì)值的可能最大值ΔS(系)！而ΔS(系)究竟是按“平方和根”取為1.4%較合理？還是按“絕對(duì)和”取為2.0%較合理？甚至是按照一個(gè)較可靠的“負(fù)相關(guān)系數(shù)”取為0.8%更合理(并非絕無(wú)可能，“誤差補(bǔ)償”就是這么成立的)？需要進(jìn)行較大量的“實(shí)驗(yàn)校核”——用精度已知更高的“方法”測(cè)量面積S的“（相對(duì)）真值”、考察δS(系)究竟落在什么范圍內(nèi)。沒(méi)有人能憑空斷定的。
2. 【面積的相對(duì)誤差是2.0%.這個(gè)解是對(duì)的，極易用長(zhǎng)寬可能的極限值來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)。】？ 若按照此邏輯，所謂“隨機(jī)誤差”的“合成”也只能用“絕對(duì)和”才“對(duì)”？

史錦順 發(fā)表于 2016-4-20 18:05
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                                三論交叉系數(shù)
                                            —— 同n ...

【‘交叉系數(shù)’的本質(zhì)是說(shuō)明有沒(méi)有抵消性。就是在求和統(tǒng)計(jì)中有沒(méi)有抵消作用。】——“抵消性”的“緣由”正是“相關(guān)性”——

考慮兩個(gè)“隨機(jī)量”（總體）A、B，各自的“樣本”分別為
A：a1,a2,a3,……;  B：b1,b2,b3,……;
兩個(gè)“隨機(jī)量”A、B之和A+B的“樣本”將為
A+B：a1+ b1,a2+ b2,a3+ b3,……
A+B的“均方根值”
g[A+B]= √(｛（a1+ b1）^2+（a2+ b2）^2+（a3+ b3）^2+….+（aN+ bN）^2｝/N)
=√(g[A]^2+｛2a1* b1+2a2* b2+2a3* b3+….+2aN*bN｝/N+ g[B] ^2)
其中N是“足夠大”的“樣本數(shù)”;
      g[A]= √(｛a1^2+a2^2+a3^2+….+ aN^2｝/N)，是A的“均方根值”
      g[B]= √(｛b1^2 + b2^2 + b3^2+….+ bN^2｝/N)，是B的“均方根值”
定義“交叉系數(shù)”r=（｛a1* b1+a2* b2+a3* b3+….+aN*bN｝/N）/ ( g[A] g[B])
便有         g[A+B]= √(g[A]^2+ 2 r*g[A] g[B])+ g[B]^2)
（1） 如果能找到任意常數(shù)C >0,使得 bk≡C*ak,k=1~N——A與B“完全正相關(guān)”，則
          r=1——g[A+B]= g[A] + g[B]
（2） 如果能找到任意常數(shù)C <0,使得 bk≡C*ak,k=1~N——A與B“完全負(fù)相關(guān)”，則
          r=-1——g[A+B]=| g[A] - g[B] |
（3） 如果找不到任何常數(shù)C,使得 bk≡C*ak,k=1~N；但能找到某個(gè)非零的常數(shù)D,使得 ∑（bk-D*ak）^2取極小(其值小于∑（bk）^2),即bk≈D*ak,k=1~N——A與B“部分相關(guān)”，則
        -1<r<1
（4） 如果使∑（bk-D*ak）^2取極小的常數(shù)D=0——A與B“完全無(wú)關(guān)”，則
          r=0——g[A+B]= √(g[A]^2+ g[B]^2)

另，如果是已知A、B的“標(biāo)準(zhǔn)偏差”σ[A]、σ[B]，要求A+B的“標(biāo)準(zhǔn)偏差”σ[A+B]，那么，相應(yīng)的所謂“交叉系數(shù)”便是“皮爾蓀相關(guān)系數(shù)”。{注： g[A]^2= E[A]^2+σ[A]^2，其中E[A]為A的均值。 }

史錦順 發(fā)表于 2016-4-20 18:05
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                                三論交叉系數(shù)
                                            —— 同n ...

【不同量具測(cè)得的二誤差量能往一起加，就說(shuō)明二量必有某種相關(guān)性。兩個(gè)隨機(jī)變量的交叉項(xiàng)，求“統(tǒng)計(jì)和時(shí)可以抵消，甚至為零，卻不能說(shuō)此二量無(wú)關(guān)——無(wú)關(guān)怎能相加？】——

此“相關(guān)性”非彼“相關(guān)性”。兩個(gè)隨機(jī)變量“合成”時(shí)，合成量之“標(biāo)準(zhǔn)偏差”計(jì)算公式中的“相關(guān)系數(shù)”（皮爾遜相關(guān)系數(shù)）考慮的是“兩個(gè)隨機(jī)變量的對(duì)應(yīng)樣本值與各自均值之間的‘差值’是否存在一致的線(xiàn)性比例關(guān)系？ 即，兩個(gè)對(duì)應(yīng)‘差值’樣本是否按某個(gè)一致的比例跟隨變化？”

14#與18#重復(fù)了，請(qǐng)版主刪除14#。（因?yàn)?4#發(fā)后被“審查”久未現(xiàn)，故稍加修繕后發(fā)了18#）

njlyx 發(fā)表于 2016-4-21 08:32
史先生論斷--
【兩項(xiàng)系統(tǒng)誤差，可能完全無(wú)關(guān)。例如，用中國(guó)的卡尺測(cè)量矩形面積的寬邊，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，系統(tǒng)誤差為 ...

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                                  誤差合成計(jì)算例1
                                             —— 同njlyx先生辯論（4）
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                                                                                                     史錦順
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       在測(cè)量計(jì)量界，通常使用的“誤差”一詞，有三層意思：誤差元、誤差范圍或泛指二者。在特定的語(yǔ)言環(huán)境下，區(qū)分三層意思是可以的，但有時(shí)也產(chǎn)生誤解。所以我專(zhuān)門(mén)提出關(guān)于誤差元、誤差范圍的概念，用來(lái)明確含義，以避免誤解。有了這個(gè)基礎(chǔ)性的準(zhǔn)備，話(huà)就可以說(shuō)得更明確些。
       我先把我那按通常習(xí)慣的說(shuō)法，重述一遍，大概可以消除由于“詞義”問(wèn)題產(chǎn)生的誤會(huì)。本來(lái)是隨便說(shuō)個(gè)例子，既然njlyx認(rèn)真對(duì)待這個(gè)例子（我很贊成注意實(shí)例）那我就把問(wèn)題改得更符合實(shí)際些。以便較深入地討論。
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       問(wèn)題的本質(zhì)是對(duì)“測(cè)量本身能干什么、不能干什么、通常的要求是什么”的不同理解。不能回避的問(wèn)題是：在實(shí)際工作中，應(yīng)該怎樣處理？
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（一）史文題目的重新表達(dá)
       例1
       求面積測(cè)量的誤差范圍。用中國(guó)的卡尺測(cè)量矩形鋼板條的長(zhǎng)度，長(zhǎng)度L的測(cè)得值為400.00mm,卡尺誤差范圍指標(biāo)是R(L)=0.04mm (測(cè)得值重復(fù)性0.01mm,可略)；用美國(guó)的千分尺測(cè)量矩形的寬度，寬度w的測(cè)得值為 40.000mm(測(cè)得值重復(fù)性0.001mm,可略)，誤差范圍指標(biāo)是R(w)=0.004mm.
       兩項(xiàng)誤差范圍，完全無(wú)關(guān)。是取“方和根”，還是取“絕對(duì)和”？
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（二）兩種分析計(jì)算
       （1）按相關(guān)系數(shù)分析
       按現(xiàn)行的不確定度的分析，長(zhǎng)度、寬度分別用中美兩國(guó)的準(zhǔn)確度等級(jí)不同的尺子測(cè)量，誤差量間“不相關(guān)”，按“方和根”計(jì)算，面積的相對(duì)誤差范圍是0.014%.
       按GUM的F.1.2.1條款或按《JJF1059.1-2012》4.4.4.1條款1）：xi和xj中任意一個(gè)量可作為常數(shù)處理；協(xié)方差可以忽略。于是按“方和根”計(jì)算，面積的相對(duì)誤差范圍是0.014%.
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       （2）按“交叉系數(shù)”分析
       要處理的是求間接測(cè)量的誤差范圍。而分項(xiàng)誤差是測(cè)量?jī)x器的誤差指標(biāo)值（通常要處理的間接測(cè)量的誤差合成，大體就是這樣）。
       測(cè)量?jī)x器給出的是誤差范圍（最大允許誤差、準(zhǔn)確度）。通常測(cè)量?jī)x器的誤差以系統(tǒng)誤差為主。求合成誤差，就是求函數(shù)的誤差范圍，即合成誤差絕對(duì)值的最大可能值。測(cè)量者根據(jù)說(shuō)明書(shū)（檢定證書(shū)）知道的是儀器的誤差范圍，只能從大估計(jì)，認(rèn)為所用儀器的系統(tǒng)誤差的最大值就是儀器誤差范圍指標(biāo)值（這是保險(xiǎn)的估計(jì)，因?yàn)闇y(cè)量者沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)，也只能這樣認(rèn)為）。測(cè)量者進(jìn)行多次測(cè)量，可以知道隨機(jī)誤差情況，但卻不能得知系統(tǒng)誤差的具體值，因?yàn)闇y(cè)量現(xiàn)場(chǎng)沒(méi)有計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)。合成誤差范圍的計(jì)算，條件就是這樣。
       由上，該面積的長(zhǎng)邊系統(tǒng)誤差相對(duì)值為0.010%（為結(jié)合實(shí)際，按國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)修改原假設(shè)，道理相通），而測(cè)量窄邊的系統(tǒng)誤差相對(duì)值也是0.010%.
-
       合成法選取的依據(jù)是交叉系數(shù)。二系統(tǒng)誤差的交叉系數(shù)是-1或+1.誤差范圍的定義是誤差絕對(duì)值的最大可能值，因此只能取+1，就是該取絕對(duì)和。就是說(shuō)面積的誤差范圍的相對(duì)值應(yīng)為0.020%.
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（三）間接測(cè)量關(guān)于誤差合成的要求
       取“絕對(duì)和”，得到0.020%的面積測(cè)量的誤差范圍相對(duì)值，這不是“憑空斷定”，是根據(jù)測(cè)量?jī)x器指標(biāo)（又必須有計(jì)量部門(mén)的公證）的科學(xué)計(jì)算。不承認(rèn)這一點(diǎn)，就否定了誤差合成的基本理論。算出0.020%，是對(duì)的；不確定度論算出的0.014%，就是錯(cuò)的。注意到誤差范圍是誤差絕對(duì)值的最大可能值，分辨哪個(gè)計(jì)算結(jié)果正確，是容易的。用可能的極端尺寸，算一下面積就知道了。如果這也要爭(zhēng)論，那就否定了數(shù)學(xué)證明的作用。
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       在測(cè)量場(chǎng)合，進(jìn)行一項(xiàng)間接測(cè)量，就要求動(dòng)用標(biāo)準(zhǔn)或更高級(jí)的測(cè)量?jī)x器去敲定這一次測(cè)量的準(zhǔn)確的誤差值，是嚴(yán)重脫離實(shí)際的空想。現(xiàn)實(shí)能做到的、也必須知道的，是已知分項(xiàng)的測(cè)量?jī)x器誤差指標(biāo)，就該會(huì)算間接測(cè)量的誤差范圍；由此，也才能根據(jù)間接測(cè)量結(jié)果的誤差范圍要求，來(lái)選取分項(xiàng)測(cè)量該選用的儀器的規(guī)格。這就是實(shí)踐的要求。誤差合成的應(yīng)用場(chǎng)合主要有二：第一是研制場(chǎng)合，那是限制分項(xiàng)誤差的范圍，以保證總誤差范圍。第二種場(chǎng)合就是在進(jìn)行間接測(cè)量時(shí)，要根據(jù)分項(xiàng)誤差范圍，計(jì)算函數(shù)的誤差范圍。而分項(xiàng)誤差范圍，就是每項(xiàng)直接測(cè)量所用儀器的誤差范圍指標(biāo)值。把分項(xiàng)測(cè)量的儀器誤差指標(biāo)值，視為系統(tǒng)誤差，是誤差合成處理的要點(diǎn)。
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       至于隨機(jī)誤差，精密測(cè)量，絕不能只測(cè)量一個(gè)數(shù)（如果數(shù)據(jù)重復(fù)，說(shuō)明隨機(jī)誤差很小，那是另一回事，那時(shí)可以忽略隨機(jī)誤差），精密測(cè)量通常要測(cè)量20次以上（不能少于10次），對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理，或取3σ(平)作為函數(shù)誤差的隨機(jī)誤差范圍，或取各分項(xiàng)隨機(jī)誤差范圍的方和根都是可以的。
       經(jīng)過(guò)多次測(cè)量，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)處理，系統(tǒng)誤差與測(cè)量次數(shù)無(wú)關(guān)，兩個(gè)系統(tǒng)誤差間不存在抵消作用，所以大系統(tǒng)誤差間合成才取最大值，交叉系數(shù) 取“+”，合成方法取“絕對(duì)和”。而對(duì)隨機(jī)誤差來(lái)說(shuō)，統(tǒng)計(jì)中隨機(jī)誤差間有抵消作用，當(dāng)然就不必取“絕對(duì)和”，因?yàn)榻徊骓?xiàng)的統(tǒng)計(jì)和（交叉矩）近似為零。
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       就單項(xiàng)隨機(jī)誤差來(lái)說(shuō)，誤差范圍是什么？不是哪個(gè)具體值，而是3σ，它以99%以上的概率大于任何一個(gè)隨機(jī)誤差值。
       一項(xiàng)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差3σ合成，取絕對(duì)和，也是可以的，因?yàn)樗萘艘磺锌赡艿暮铣烧`差值，是符合“誤差范圍”的定義的。在多次測(cè)量、隨機(jī)誤差可大可小、可正可負(fù)、有抵消作用的條件下，在取“方根”時(shí)，交叉因子近于零，交叉項(xiàng)可略，于是可取“方和根”。“方和根”，也滿(mǎn)足誤差范圍“絕對(duì)性”“上限性”的兩大特點(diǎn)，是符合要求的。這種計(jì)算，比取“絕對(duì)和”值小，更接近實(shí)際，這是誤差理論分析得到的好處。其條件有二：必須有隨機(jī)誤差存在；第二測(cè)量時(shí)必須進(jìn)行多次測(cè)量。有隨機(jī)誤差，才有抵消的可能，而只有多次測(cè)量取平均，才能使交叉項(xiàng)之“統(tǒng)計(jì)均值”近于零。
        而對(duì)兩項(xiàng)系統(tǒng)誤差合成，情況卻不同。在多次測(cè)量中，系統(tǒng)誤差為恒值，系統(tǒng)誤差的符號(hào)與量值不變，沒(méi)有抵消作用，交叉系數(shù)只能是+1或-1.因?yàn)闇y(cè)量場(chǎng)合沒(méi)有計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)，也沒(méi)有更高檔的測(cè)量?jī)x器，確定不了分項(xiàng)系統(tǒng)誤差的具體符號(hào)，也不知道分項(xiàng)系統(tǒng)誤差的具體量值，只知道分項(xiàng)系統(tǒng)誤差的絕對(duì)值的上限值，那就是儀器的誤差范圍指標(biāo)值。這就是通常的測(cè)量場(chǎng)合。而又必須合成誤差，那兩項(xiàng)系統(tǒng)誤差合成就只能取“絕對(duì)和”。根據(jù)“不相關(guān)”取“方和根”是錯(cuò)誤的，因?yàn)槠洳话ㄓ?0%概率出現(xiàn)的交叉系數(shù)為+1的情況，不是誤差絕對(duì)值的最大可能值，不符合誤差范圍的定義。就是說(shuō)，你用“方和根”算出的誤差范圍是1.0%，而實(shí)際的誤差是1.5%，那就絕對(duì)不允許。但如果你用“絕對(duì)和”算出的是2.0%，而實(shí)際的誤差是1.5%，甚至是0.5%，都是可以的。任何測(cè)量?jī)x器的出廠誤差范圍指標(biāo)值，都是有余量的。廠家越有名，這種余量越大。誤差量的特點(diǎn)是“絕對(duì)性”與“上限性”；而一般量的特點(diǎn)是“準(zhǔn)確性”，這是誤差量與一般量的根本不同。這一點(diǎn)，該提醒研究測(cè)量計(jì)量的學(xué)者們注意！
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      至于對(duì)誤差進(jìn)行高檔次的測(cè)定，那就必須有計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)及高檔的測(cè)量?jī)x器。第一，測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)沒(méi)有，這些事不能做。第二，如果有高檔的測(cè)量?jī)x器，原測(cè)量也就作廢了。計(jì)算也沒(méi)用了。
      幾項(xiàng)系統(tǒng)誤差一經(jīng)認(rèn)定其符號(hào)與量值，那就是代數(shù)計(jì)算了，不是通常誤差合成理論研究的對(duì)象。所謂的誤差合成，其條件都是僅知道：1、誤差的性質(zhì)（隨機(jī)的還是系統(tǒng)的）；2、分項(xiàng)誤差范圍指標(biāo)值是多少。誤差合成理論，不能脫離這個(gè)基本條件。
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史錦順 發(fā)表于 2016-4-22 09:27
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                                  誤差合成計(jì)算例1
                                              ...

【取“絕對(duì)和”，得到0.020%的面積測(cè)量的誤差范圍相對(duì)值，這不是“憑空斷定”，是根據(jù)測(cè)量?jī)x器指標(biāo)（又必須有計(jì)量部門(mén)的公證）的科學(xué)計(jì)算。不承認(rèn)這一點(diǎn)，就否定了誤差合成的基本理論。算出0.020%，是對(duì)的；不確定度論算出的0.014%，就是錯(cuò)的。注意到誤差范圍是誤差絕對(duì)值的最大可能值，分辨哪個(gè)計(jì)算結(jié)果正確，是容易的。用可能的極端尺寸，算一下面積就知道了。如果這也要爭(zhēng)論，那就否定了數(shù)學(xué)證明的作用。】————？？？.......... 這似乎只是在“系統(tǒng)誤差的“合成”必須取“絕對(duì)和””的前提下的“推論”吧？ 此“前提”正是本人疑問(wèn)的焦點(diǎn)。

對(duì)于處理同一套測(cè)量?jī)x器(方案)進(jìn)行多次測(cè)量的誤差“合成”問(wèn)題，所謂“系統(tǒng)誤差”分量的“合成”采用“絕對(duì)和”（確切說(shuō)應(yīng)該是按‘傳遞系數(shù)’加權(quán)和取絕對(duì)值——即，按相關(guān)系數(shù)取1用"合成公式"），因?yàn)檫@各次測(cè)量的“系統(tǒng)誤差”分量顯然是“正相關(guān)”的——就是同一套測(cè)量?jī)x器(方案)的所謂“系統(tǒng)誤差”分量的一系列“樣本”。所謂“系統(tǒng)誤差”，正是從其樣本序列的自相關(guān)系數(shù)近似為1（變化緩慢、在一定間隔內(nèi)前后取值基本一致）而“立身”的。

例如，假定某磅秤測(cè)量50kg~100kg范圍內(nèi)人體重的“系統(tǒng)測(cè)量誤差分量”為Δ0=10g、“隨機(jī)測(cè)量誤差分量”為δ0=20g{具體數(shù)值是隨意給定，無(wú)“規(guī)標(biāo)”及任何經(jīng)驗(yàn)依據(jù)}，用它先后測(cè)量A、B兩人的體重（質(zhì)量）分別為： mA=67.52kg、mB=65.35kg——
         A、B兩人的體重（質(zhì)量）之和 m1=mA+mB=132.87kg；
         A、B兩人的體重（質(zhì)量）之差 m2=mA-mB=2.17kg.

那么，m1的“系統(tǒng)測(cè)量誤差分量”Δ1、“隨機(jī)測(cè)量誤差分量”δ1，m2的“系統(tǒng)測(cè)量誤差分量”Δ2、“隨機(jī)測(cè)量誤差分量”δ2應(yīng)該各為多少呢？？

“正確”的答案或許應(yīng)該為：
                                         Δ1=10g+10g=20g.......確實(shí)是"絕對(duì)和"；
                                         Δ2≈10g-10g=0...........................................！！！
                                         δ1=δ2=√（20^2+20^2)=28.3g。

但是，對(duì)于處理不同測(cè)量?jī)x器(方案)的測(cè)量誤差“合成”問(wèn)題，其所謂“系統(tǒng)誤差”分量的“合成”好像沒(méi)有哪個(gè)“經(jīng)典誤差理論” 指示應(yīng)該照此（取“絕對(duì)和”）辦理 。                             

史錦順 發(fā)表于 2016-4-22 09:27
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                                  誤差合成計(jì)算例1
                                              ...

【 在測(cè)量場(chǎng)合，進(jìn)行一項(xiàng)間接測(cè)量，就要求動(dòng)用標(biāo)準(zhǔn)或更高級(jí)的測(cè)量?jī)x器去敲定這一次測(cè)量的準(zhǔn)確的誤差值，是嚴(yán)重脫離實(shí)際的空想。現(xiàn)實(shí)能做到的、也必須知道的，是已知分項(xiàng)的測(cè)量?jī)x器誤差指標(biāo)，就該會(huì)算間接測(cè)量的誤差范圍；由此，也才能根據(jù)間接測(cè)量結(jié)果的誤差范圍要求，來(lái)選取分項(xiàng)測(cè)量該選用的儀器的規(guī)格。這就是實(shí)踐的要求。誤差合成的應(yīng)用場(chǎng)合主要有二：第一是研制場(chǎng)合，那是限制分項(xiàng)誤差的范圍，以保證總誤差范圍。第二種場(chǎng)合就是在進(jìn)行間接測(cè)量時(shí)，要根據(jù)分項(xiàng)誤差范圍，計(jì)算函數(shù)的誤差范圍。而分項(xiàng)誤差范圍，就是每項(xiàng)直接測(cè)量所用儀器的誤差范圍指標(biāo)值。把分項(xiàng)測(cè)量的儀器誤差指標(biāo)值，視為系統(tǒng)誤差，是誤差合成處理的要點(diǎn)。】—— 沒(méi)有人“質(zhì)疑”這些專(zhuān)業(yè)常識(shí)。但 “誤差合成”方案應(yīng)該是個(gè)位在綱上、影響深遠(yuǎn)的大事，若要推廣，“驗(yàn)證”它的“合理性”則是必要前提。況且也不是讓大家去“驗(yàn)證”，推廣者加以“驗(yàn)證”，讓大家信服就好。


對(duì)于您例中的那兩把中、美卡尺，其“系統(tǒng)測(cè)量誤差”之間“合成”究竟取什么“相關(guān)系數(shù)”才“合理”？ 與具體情況密切相關(guān)！  倘若兩者原理結(jié)構(gòu)及用材相仿，又用同一套系統(tǒng)加以“校準(zhǔn)”，那便應(yīng)該取“相關(guān)系數(shù)”=1，即“絕對(duì)和”“合成”； 倘若兩者原理結(jié)構(gòu)及用材全然不同，“校準(zhǔn)”也是各行其是，那取“相關(guān)系數(shù)”=0或許比1更“合理”？.....“相關(guān)系數(shù)”的取值是個(gè)繞不開(kāi)的“難題”，可能需要“專(zhuān)家”根據(jù)實(shí)際情況把關(guān)。

njlyx 發(fā)表于 2016-4-22 14:22
【 在測(cè)量場(chǎng)合，進(jìn)行一項(xiàng)間接測(cè)量，就要求動(dòng)用標(biāo)準(zhǔn)或更高級(jí)的測(cè)量?jī)x器去敲定這一次測(cè)量的準(zhǔn)確的誤差值， ...

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                                  要交叉系數(shù)，不要相關(guān)系數(shù)
                                                   —— 同njlyx先生辯論（5）
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                                                                                                        史錦順
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（一）兩項(xiàng)系統(tǒng)誤差合成該取“絕對(duì)和”的鑒別
       兩項(xiàng)系統(tǒng)誤差的合成，取公式“絕對(duì)和”還是取“方和根”，哪個(gè)對(duì)，要實(shí)驗(yàn)鑒別，當(dāng)然不能有“系統(tǒng)誤差的合成必須取絕對(duì)和”這個(gè)前提。
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       但是，鑒別又必須有鑒別的前提。就是什么是“正”“誤”的標(biāo)準(zhǔn)。
       誤差合成公式正誤的標(biāo)準(zhǔn)，有些特殊。就是必須符合誤差量的兩大特點(diǎn)：絕對(duì)性和上限性。
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       一般的情況是，公式計(jì)算的結(jié)果符合實(shí)際量，則公式正確；不符合則公式不對(duì)。
       但有時(shí)客觀值本身是多值的。此時(shí)就要看不同的客觀要求。符合大多數(shù)，是最容易被接受的觀點(diǎn)。但有時(shí)不行。例如，一座橋，垮塌的重量是100噸到120噸。那必須限制過(guò)橋的車(chē)小于100噸。
       誤差量的特點(diǎn)是絕對(duì)值的上限性。第一要講絕對(duì)值，第二要講絕對(duì)值的最大可能值（誤差理論講究99%概率意義上的最大可能值）。
       例如，儀器的隨機(jī)誤差可大可小，可正可負(fù)。在千萬(wàn)個(gè)可能值中，其單值的σ，最科學(xué)，最代表大多數(shù)（或然誤差為0.6745σ），但是誤差理論的著眼點(diǎn)是隨機(jī)誤差范圍，是3σ。因?yàn)檎`差概念的本質(zhì)是滿(mǎn)足要求、合格、保險(xiǎn)。因此誤差的核心觀念不是誤差量本身的“準(zhǔn)確”，而是誤差量的范圍，就是誤差絕對(duì)值的最大值。隨機(jī)誤差的基本量值是3σ.隨機(jī)誤差的誤差范圍是3σ，計(jì)算是它，應(yīng)用是它。
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       一般量要求“準(zhǔn)確”，不要大，也不要小。人們的取法就是取中心。考察公式，就是看公式的計(jì)算結(jié)果是否符合大多數(shù)。誤差量的特點(diǎn)，是“絕對(duì)值的上限性”，關(guān)于誤差的公式，著眼點(diǎn)在絕對(duì)值的最大可能值。公式的計(jì)算結(jié)果等于最大可能值最好，大一些也可以；但如果計(jì)算結(jié)果小于最大可能值，就不好；如果小得多，那就是不能允許的錯(cuò)誤。
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       主帖已證明，隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差合成，該用“方和根”，但有人用“絕對(duì)和”，數(shù)字大些，但不違反“上限性”這個(gè)基本點(diǎn)，不能算錯(cuò)。
       主帖已證明，兩項(xiàng)系統(tǒng)誤差合成，該用“絕對(duì)和”，但有人用“方和根”，數(shù)字小得多，違反“上限性”這個(gè)基本點(diǎn)，那就錯(cuò)了。
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       話(huà)回合成公式正誤的鑒別。
       先要拋開(kāi)“絕對(duì)和”與“方和根”這兩個(gè)公式，而用最原始的計(jì)算方法，求出具體問(wèn)題的函數(shù)值（面積）的最大最小值來(lái)，以確定函數(shù)誤差量絕對(duì)值的上限值R(S)。哪個(gè)公式的計(jì)算結(jié)果符合R(S),則公式正確；如果計(jì)算結(jié)果小于R(S)很多，那個(gè)公式就是錯(cuò)誤的。
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       原題 例1
       用中國(guó)的卡尺測(cè)量矩形鋼板面積的寬邊，長(zhǎng)度測(cè)得值L為400.00mm,卡尺誤差范圍指標(biāo)是R(L)=0.04mm (測(cè)得值重復(fù)性0.01mm,可略)；用美國(guó)的千分尺測(cè)量矩形的寬度，寬度測(cè)得值W為 40.000mm(測(cè)得值重復(fù)性0.001mm,可略)，誤差范圍指標(biāo)是R(W)=0.004mm.
       兩項(xiàng)誤差范圍，完全無(wú)關(guān)。是取“方和根”，還是取“絕對(duì)和”？
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       如題，長(zhǎng)度的測(cè)量結(jié)果為:
              L = 400.00mm±0.04mm
       寬度的測(cè)量結(jié)果為:
              W = 40.000mm±0.004mm
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       A 可能的最大長(zhǎng)度
              L(大)=400.04mm
       B 可能的最大寬度
              W(大)=40.004mm
       C 可能的最大面積
              S(大)= 400.04mm×40.004mm   
                   = 16003.2 mm^2
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       D 可能的最小長(zhǎng)度
              L(小)=399.96mm
       E 可能的最小寬度
              W(小)=39.996mm
       F 可能的最小面積
              S(小)= 399.96mm×39.996mm   
                   = 15996.8 mm^2
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       G 面積測(cè)得值為：
              S(測(cè))= 400.00mm×40.000mm
                   = 16000.0 mm
       H 面積測(cè)得值的誤差為
              Δ(+)= S(測(cè))-S(小)= 3.2mm^2
              Δ(-)= S(測(cè))-S(大)= -3.2mm^2
       I 面積測(cè)得值的誤差范圍，即誤差絕對(duì)值的最大可能值為：
               R=|Δ|max
                = 3.2 mm^2
               R/S = 0.020%                                                                       （1）
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        如上的計(jì)算結(jié)果，是拋開(kāi)誤差合成公式，而直接按部就班計(jì)算的結(jié)果，是誤差范圍的實(shí)際值。
        甲 【史氏新理論】：系統(tǒng)誤差合成，交叉系數(shù)絕對(duì)值為1，用“絕對(duì)和法”，算出誤差范圍相對(duì)值0.020%，與實(shí)際情況（1）相符合。合成公式鑒別結(jié)論：正確。
        乙 【不確定度論與80年后的部分誤差理論書(shū)籍】：系統(tǒng)誤差合成，二系統(tǒng)誤差不相關(guān)，均方合成，算出誤差范圍相對(duì)值0.014%，比實(shí)際值0.020%小約30%，與（1）式不符合。合成公式鑒別結(jié)論：錯(cuò)誤。
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       如上可知，按交叉系數(shù)的分析，取“絕對(duì)和法”，計(jì)算結(jié)果正確；而按相關(guān)性分析，取“方和根法”，計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤。
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（二）系統(tǒng)誤差合成，與相關(guān)性無(wú)關(guān)
【njlyx觀點(diǎn)】
       倘若兩者原理結(jié)構(gòu)及用材相仿，又用同一套系統(tǒng)加以“校準(zhǔn)”，那便應(yīng)該取“相關(guān)系數(shù)”=1，即“絕對(duì)和”“合成”； 倘若兩者原理結(jié)構(gòu)及用材全然不同，“校準(zhǔn)”也是各行其是，那取“相關(guān)系數(shù)”=0或許比1更“合理”？.....“相關(guān)系數(shù)”的取值是個(gè)繞不開(kāi)的“難題”，可能需要“專(zhuān)家”根據(jù)實(shí)際情況把關(guān)。
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【史辯】
       先生對(duì)老史提出的“交叉系數(shù)”的概念，并未認(rèn)真思考。
       老史對(duì)“交叉系數(shù)”已有詳盡的說(shuō)明，對(duì)“相關(guān)性”的無(wú)效性也有不少分析。
       可惜的是，對(duì)這些，先生并不認(rèn)真思考。先生仍是在“相關(guān)”“不相關(guān)”中轉(zhuǎn)來(lái)轉(zhuǎn)去，這是自討苦吃。
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       微分原理決定了函數(shù)的誤差等于自變量誤差（包含傳遞系數(shù)）之和。誤差范圍定義為誤差量絕對(duì)值的最大可能值。求函數(shù)誤差（誤差合成）就要實(shí)現(xiàn)兩點(diǎn)：絕對(duì)值化、最大化。實(shí)現(xiàn)絕對(duì)值化的方法之一是取“方根”。即平方再開(kāi)方。精密測(cè)量要進(jìn)行多次測(cè)量，數(shù)據(jù)處理就要統(tǒng)計(jì)平均。
       二量和平方的展開(kāi)式中必有交叉項(xiàng)，交叉項(xiàng)能否忽略，決定該取那種合成法。
       二項(xiàng)合成，交叉項(xiàng)能忽略的條件是必須分項(xiàng)誤差間有抵消作用。隨機(jī)誤差可正可負(fù)，有抵消作用，可取“方和根”；而兩項(xiàng)系統(tǒng)誤差合成，這兩項(xiàng)誤差的符號(hào)是確定的，量值是恒定的，對(duì)N次測(cè)量的統(tǒng)計(jì)平均，仍是二者乘積的原值、原符號(hào)，沒(méi)有抵消作用，推導(dǎo)不出“方和根”來(lái)。直接推導(dǎo)結(jié)果只有“絕對(duì)和”與“絕對(duì)差”兩種，可能性各占50%. 鑒于誤差范圍的定義是最大可能值，因此只能取“絕對(duì)和”。這就是兩項(xiàng)大系統(tǒng)誤差間必須取“絕對(duì)和”的道理。這里與“相關(guān)性”無(wú)關(guān)；“相關(guān)性”不是不能繞開(kāi)，而是必須避開(kāi)。沒(méi)用的東西，不理它就是了，何必作繭自縛？
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       如果系統(tǒng)誤差項(xiàng)很多，有N項(xiàng)，則交叉項(xiàng)有N(N-1)/2項(xiàng)。N=5,交叉項(xiàng)10個(gè)；N=10，交叉項(xiàng)45個(gè)。考慮到交叉系數(shù)有正有負(fù)（是+1或是-1，概率各占50%），在N較大時(shí)，可以認(rèn)為交叉項(xiàng)大部分抵消，因而可以用“方和根”。但對(duì)僅有兩項(xiàng)系統(tǒng)誤差的情況，或?qū)Χ囗?xiàng)誤差中的兩項(xiàng)大系統(tǒng)誤差，則不能按“方和根”合成。否則就出錯(cuò)。
       以上討論僅僅涉及誤差的性質(zhì)（系統(tǒng)誤差還是隨機(jī)誤差），誤差大小（是不是大系統(tǒng)誤差），系統(tǒng)誤差項(xiàng)目多少；而不涉及系統(tǒng)誤差間是否相關(guān)。
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       結(jié)論：誤差合成法的選取，決定于“交叉系數(shù)”而與“相關(guān)系數(shù)”無(wú)關(guān)！
       要交叉系數(shù)，不要相關(guān)系數(shù)！
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  【原題 例1
       用中國(guó)的卡尺測(cè)量矩形鋼板面積的寬邊，長(zhǎng)度測(cè)得值L為400.00mm,卡尺誤差范圍指標(biāo)是R(L)=0.04mm (測(cè)得值重復(fù)性0.01mm,可略)；用美國(guó)的千分尺測(cè)量矩形的寬度，寬度測(cè)得值W為 40.000mm(測(cè)得值重復(fù)性0.001mm,可略)，誤差范圍指標(biāo)是R(W)=0.004mm.
       兩項(xiàng)誤差范圍，完全無(wú)關(guān)。是取“方和根”，還是取“絕對(duì)和”？
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       如題，長(zhǎng)度的測(cè)量結(jié)果為:
              L = 400.00mm±0.04mm
       寬度的測(cè)量結(jié)果為:
              W = 40.000mm±0.004mm
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       A 可能的最大長(zhǎng)度
              L(大)=400.04mm
       B 可能的最大寬度
              W(大)=40.004mm
       C 可能的最大面積
              S(大)= 400.04mm×40.004mm   
                   = 16003.2 mm^2
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       D 可能的最小長(zhǎng)度
              L(小)=399.96mm
       E 可能的最小寬度
              W(小)=39.996mm
       F 可能的最小面積
              S(小)= 399.96mm×39.996mm   
                   = 15996.8 mm^2
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       G 面積測(cè)得值為：
              S(測(cè))= 400.00mm×40.000mm
                   = 16000.0 mm
       H 面積測(cè)得值的誤差為
              Δ(+)= S(測(cè))-S(小)= 3.2mm^2
              Δ(-)= S(測(cè))-S(大)= -3.2mm^2
       I 面積測(cè)得值的誤差范圍，即誤差絕對(duì)值的最大可能值為：
               R=|Δ|max
                = 3.2 mm^2
               R/S = 0.020%                                                                       （1）
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        如上的計(jì)算結(jié)果，是拋開(kāi)誤差合成公式，而直接按部就班計(jì)算的結(jié)果，是誤差范圍的實(shí)際值。
        甲 【史氏新理論】：系統(tǒng)誤差合成，交叉系數(shù)絕對(duì)值為1，用“絕對(duì)和法”，算出誤差范圍相對(duì)值0.020%，與實(shí)際情況（1）相符合。合成公式鑒別結(jié)論：正確。
        乙 【不確定度論與80年后的部分誤差理論書(shū)籍】：系統(tǒng)誤差合成，二系統(tǒng)誤差不相關(guān)，均方合成，算出誤差范圍相對(duì)值0.014%，比實(shí)際值0.020%小約30%，與（1）式不符合。合成公式鑒別結(jié)論：錯(cuò)誤。
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       如上可知，按交叉系數(shù)的分析，取“絕對(duì)和法”，計(jì)算結(jié)果正確；而按相關(guān)性分析，取“方和根法”，計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤。】？？？？

       按這種“證明”方法，所有的“誤差合成”都應(yīng)該取“絕對(duì)和”？！所謂“隨機(jī)誤差”的“合成”也逃不過(guò)您的“法條”？！多次重復(fù)測(cè)量取平均值能改善“精度”的事實(shí)也將被您的“上限論”顛覆！

      既然討論“隨機(jī)量”的問(wèn)題，成熟、基本的“統(tǒng)計(jì)理論”還是應(yīng)該用的，要在約定的包含概率下說(shuō)事，95%、99%、99.73%、...，無(wú)論（規(guī)矩）定什么，都要有個(gè)“準(zhǔn)數(shù)”，籠統(tǒng)的"上限論"是個(gè)無(wú)邊無(wú)際的概念！ 即便是99.73%對(duì)應(yīng)的“正態(tài)分布的3σ區(qū)間”，與99.9%、99.99%對(duì)應(yīng)的“區(qū)間”也有明顯（甚至成倍）的差異！

     對(duì)您用“交叉系數(shù)”取代“相關(guān)系數(shù)”進(jìn)行“誤差合成”的方案不能贊同。