夸張分辨力-評(píng)UA評(píng)定（11)

                          夸張分辨力-評(píng)UA評(píng)定（11)

                                                                              史錦順

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不確定度評(píng)定中有一項(xiàng)，就是關(guān)于分辨力的評(píng)定。幾乎每個(gè)評(píng)定都有此項(xiàng)。對(duì)分辨力的計(jì)算，GUM錯(cuò)算（《測(cè)量不確定度》p80），他人便跟著抄，于是千篇一律，全都錯(cuò)了，把分辨能力夸大到2倍，即把分辨力的數(shù)值錯(cuò)誤地除以2。

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（一）分辨力的意義

分辨力是測(cè)量?jī)x器的性能要素之一。現(xiàn)有的測(cè)量學(xué)理論，對(duì)分辨力關(guān)注甚少，以致在應(yīng)用中常被誤解。值得引起重視。

分辨力是測(cè)量能力的閾值。閾值就是門(mén)限、門(mén)檻，是測(cè)量?jī)x器幾項(xiàng)性能的限度。

1 量程最小值的限度。

2 分散性的最小限度。隨機(jī)誤差、復(fù)現(xiàn)性的最小限度。

3 不準(zhǔn)確性的最小限度。誤差元與誤差范圍的最小限度。

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（二）誤差理論對(duì)分辨力的處理

誤差理論講到分辨力時(shí)，通常認(rèn)為：若分辨力是D, 則分辨力產(chǎn)生的誤差元的絕對(duì)值的最大值是D，也可表示為誤差區(qū)間為[-D,+D]。也就是說(shuō)是誤差區(qū)間的半寬是D。

計(jì)數(shù)式頻率計(jì)，分辨力為尾數(shù)的一個(gè)字，引進(jìn)誤差為加減一個(gè)字，并且有專有名稱，叫“正負(fù)1誤差”。例如0.1秒采樣（閘門(mén)時(shí)間0.1秒），計(jì)數(shù)器尾數(shù)一個(gè)字代表10赫，因而分辨力引入的測(cè)量誤差范圍是±10赫。

以上誤差理論對(duì)分辨力的認(rèn)識(shí)，載于各種書(shū)籍，特別是載于各種計(jì)數(shù)式頻率計(jì)的說(shuō)明書(shū)。

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（三）不確定度論對(duì)分辨力的處理

不確定度論對(duì)分辨力處理的規(guī)范作法是：設(shè)分辨力是D，其半寬為D/2，均勻分布，除以根號(hào)3，得標(biāo)準(zhǔn)不確定度為0.29D。反過(guò)來(lái)，計(jì)算擴(kuò)展不確定度，乘以2得0.58D，以此為包含區(qū)間半寬。這種計(jì)算的結(jié)果，比本來(lái)值小42%.

不確定度論的這個(gè)對(duì)分辨力認(rèn)識(shí)，載于GUM等眾多文獻(xiàn)，是錯(cuò)誤的。

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（四）分辨力計(jì)算詳解

設(shè)分辨力是D，誤差論認(rèn)為此項(xiàng)誤差區(qū)間是[-D,D] ，誤差區(qū)間的寬度是2D，半寬度是D。

不確定度論認(rèn)為：分辨力是D，不確定度區(qū)間半寬度是D/2

兩種理論對(duì)分辨力的處理，差別甚大，是兩倍關(guān)系。

本文論證：誤差論對(duì)分辨力的認(rèn)識(shí)是正確的；不確定度論對(duì)分辨力的認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的。

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回復(fù) 1# 史錦順

例1 電子案秤的分辨力

實(shí)驗(yàn)  取一臺(tái)電子案秤。最低位為1克，即分辨力是1克。

我們來(lái)做分辨力實(shí)驗(yàn)。 用案秤測(cè)量一個(gè)10克的砝碼，顯示為10克。加標(biāo)稱值為100毫克的小砝碼（以下加減小砝碼，都指100毫克砝碼），加一個(gè)到3個(gè)小砝碼，顯示都是10克；加4個(gè)小砝碼，顯示為11克，加5個(gè)到13個(gè)小砝碼顯示都是11克；加14個(gè)小砝碼時(shí)顯示為12克，加15個(gè)到23個(gè)小砝碼，顯示都是為13克。可見(jiàn)電子案秤的分辨力是10個(gè)100毫克的小砝碼，即1克。

我們看，在10克砝碼的基礎(chǔ)上加4個(gè)小砝碼（物重10.4克）時(shí)，顯示為11克。再加9個(gè)砝碼，顯示仍為11克，就是說(shuō)，在測(cè)量10.4克時(shí)，加9個(gè)小砝碼，仍分辨不出。

我們從另一個(gè)觀察起點(diǎn)看，在10克砝碼的基礎(chǔ)上加13個(gè)小砝碼時(shí)（物重11.3克）時(shí)，顯示為11克，減去9個(gè)砝碼，顯示仍為11克，減去9個(gè)小砝碼仍分辨不出。

分辨不出的情況，小砝碼增減的最大可能是加減9個(gè)小砝碼，因此其范圍是加減0.9克。下表單位是1克。

        重物          顯示           重物可能值            砝碼重量變化范圍(偏差可能范圍)

                10.4            11             10.4——11.3                   0——0.9

                10.5            11             10.4——11.3               -0.1——0.8

                10.6            11             10.4——11.3               -0.2——0.7

                10.7            11             10.4——11.3               -0.3——0.6

                10.8            11             10.4——11.3               -0.4——0.5

                10.9            11             10.4——11.3               -0.5——0.4

                11.0            11             10.4——11.3               -0.6——0.3

                11.1            11             10.4——11.3               -0.7——0.2

                11.2            11             10.4——11.3               -0.8——0.1

                11.3            11             10.4——11.3               -0.9——0

               

接 2# 史錦順 文

此實(shí)驗(yàn)可以更細(xì)，增減的砝碼小到10毫克或1毫克，于是相應(yīng)的范圍成為加減0.99克或加減0.999克。

因此，變化范圍應(yīng)為[-1克,+1克]。

由上，分辨力是1克的電子秤，分辨范圍是加減1克。

結(jié)論：分辨力是1，則按范圍寫(xiě)出是正負(fù)1。因此除以2是不對(duì)的。

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我們?cè)購(gòu)氖局嫡`差的角度來(lái)討論。

示值是以克為單位的整數(shù)。而被測(cè)物的重量是有各種可能的數(shù)。整數(shù)的轉(zhuǎn)換點(diǎn)不同，則示值誤差不同。

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          轉(zhuǎn)換點(diǎn)內(nèi)區(qū)間        被測(cè)物重          示值        示值最大誤差元

          10.01     10.99             10.01               11                   0.99

          10.1       11.0               10.1                 11                   0.9

          10.2       11.1               10.2                 11                   0.8

          10.3       11.2               10.3                 11                   0.7

          10.4       11.3               10.4                 11                   0.6

          10.5       11.4               10.5                 11                   0.5

          10.6       11.5               11.5                 11                    -0.5

          10.7       11.6               11.6                 11                    -0.6

          10.8       11.7               11.7                 11                    -0.7

          10.9       11.8               11.8                 11                    -0.8

          10.91     11.9               11.9                 11                    -0.9

          10.99     11.98             11.98               11                    -0.98

         10.999    11.998           11.998             11                    -0.998

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    由上，知電子案秤的分辨力形成誤差區(qū)間是[-1g,+1g]，即±1g，區(qū)間半寬是1克。

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接 3# 史錦順 文

例2   計(jì)數(shù)式頻率計(jì)的分辨力

取一臺(tái)數(shù)字式頻率計(jì)。其原理是在標(biāo)準(zhǔn)的閘門(mén)時(shí)間內(nèi)數(shù)被測(cè)頻率的脈沖數(shù)。

被測(cè)頻率1.1赫，即周期0.9秒，在1秒的閘門(mén)時(shí)間中，可能出現(xiàn)兩個(gè)脈沖，測(cè)得值2赫，誤差為0.9赫。若被測(cè)頻率是0.9赫，即周期為1.1秒，一個(gè)采樣時(shí)段中，可能一個(gè)脈沖都不出現(xiàn)，測(cè)得值0赫，誤差為負(fù)0.9赫。

若被測(cè)頻率是1.01赫，測(cè)得值可能為2赫，誤差最大可能是0.99赫；被測(cè)頻率是0.99赫，測(cè)得值可能為0赫，誤差的極端值是負(fù)0.99赫。因而，當(dāng)采樣時(shí)間為1秒時(shí)，計(jì)數(shù)器一個(gè)字的分辨力的區(qū)間是[-1Hz；+1Hz],區(qū)間的半寬是1赫。

樣板評(píng)定實(shí)例（《測(cè)量不確定度評(píng)定與表示指南》P92）：頻率計(jì) 0.1秒采樣。即閘門(mén)時(shí)間為0.1秒。計(jì)數(shù)器每記得一個(gè)數(shù)，代表10赫。由此，區(qū)間半寬是10 赫。樣板評(píng)定以10赫除以2，得5赫做為區(qū)間半寬，這是不對(duì)的。

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結(jié)論     測(cè)量?jī)x器的分辨力是D，誤差區(qū)間是[-D,+D]，包含區(qū)間的寬度2D，區(qū)間半寬度是D。數(shù)字式儀表的分辨力D是最低位的一個(gè)字，誤差區(qū)間是[-1,+1]，區(qū)間的半寬是一個(gè)字所代表的量。

對(duì)分辨力的認(rèn)識(shí)，誤差理論是正確的；不確定度論是錯(cuò)誤的。

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的確是誤差理論對(duì)分辨力的描述更切合實(shí)際，史工果然有料。

回復(fù) 2# 史錦順


以前看過(guò)前輩寫(xiě)的關(guān)于分辨力的帖子，這個(gè)帖子的例子好像是在那個(gè)帖子里粘貼過(guò)來(lái)的。看完以后還是不太理解，分辨力為D，誤差范圍是[-D，D]，我怎么感覺(jué)還是不對(duì)呢。前輩舉的用砝碼測(cè)電子天平的例子，10.4g顯示是11g，11.3g顯示也是11g。對(duì)10.4g而言，誤差范圍是0.9g，對(duì)11.3g而言，誤差范圍是-0.9g，但這是對(duì)兩個(gè)點(diǎn)而言，因此認(rèn)為誤差范圍是[-0.9g,0.9g]，我認(rèn)為是不妥的。我認(rèn)為分辨力的誤差范圍應(yīng)該是對(duì)于被測(cè)儀器某一個(gè)顯示值而言的。例如對(duì)于電子天平顯示的11g來(lái)說(shuō)，其被測(cè)物實(shí)際質(zhì)量在（10.3g，11.3g）之間，小于10.3g顯示10g，大于11.3g顯示12g。誤差范圍應(yīng)該是1g，即1個(gè)分辨力，半寬為分辨力的一半。

回復(fù) 6# 長(zhǎng)度室

　　你說(shuō)得對(duì)，我認(rèn)為主要是術(shù)語(yǔ)含義還有點(diǎn)問(wèn)題，需要搞清楚，呵呵。測(cè)量設(shè)備經(jīng)常使用“分辨力”和“分度值”這兩個(gè)術(shù)語(yǔ)，這是兩個(gè)完全不同的術(shù)語(yǔ)。對(duì)測(cè)量設(shè)備的顯示裝置而言JJF1001-2011給它們的定義分別是：
　　分度值：對(duì)應(yīng)兩相鄰標(biāo)尺標(biāo)記的兩個(gè)值之差。
　　分辨力：引起相應(yīng)示值不可檢測(cè)到變化的被測(cè)量的最大變化。
　　第一，顯然分度值是針對(duì)模擬式測(cè)量設(shè)備而定義的，數(shù)字式測(cè)量設(shè)備沒(méi)有“標(biāo)尺”，因此也就沒(méi)有分度值。例如卡尺分度值0.02mm，千分尺分度值0.01mm，而數(shù)顯千分尺和數(shù)顯卡尺則沒(méi)有分度值，只有分辨力。分辨力可以應(yīng)用于模擬式測(cè)量設(shè)備和數(shù)字式測(cè)量設(shè)備，應(yīng)用于所有的測(cè)量設(shè)備。
　　第二，分度值與測(cè)量設(shè)備的誤差的確存在著一定的關(guān)系，若分度值是D，史老師說(shuō)的分辨力（其實(shí)是分度值）產(chǎn)生的誤差區(qū)間可以表示為[-D,+D]，也就是說(shuō)是誤差區(qū)間的半寬可能是D。但，這也不是絕對(duì)的。例如分度值為0.02mm的小規(guī)格卡尺產(chǎn)生的誤差最大是±0.02mm，等于分度值。但分度值0.01mm的小規(guī)格千分尺產(chǎn)生的誤差最大缺并不是±0.01mm，而是±0.004mm，小于分度值的大小。而分度值0.001mm的0～1mm的千分表產(chǎn)生的誤差最大也不是0.001mm，而是0.005mm，大于分度值的大小。
　　第三，數(shù)字式測(cè)量設(shè)備的分辨力（也設(shè)為D）也會(huì)產(chǎn)生測(cè)量設(shè)備的誤差。產(chǎn)生誤差的大小是±(D/2)，而不是±D。分辨力是1克的電子秤，分辨范圍并不是±1g，而是±0.5g。當(dāng)被測(cè)量的變化值＜0.5g時(shí)，電子秤不會(huì)有反映，當(dāng)被測(cè)量的變化值達(dá)到或超過(guò)0.5g時(shí)，電子秤就會(huì)變化一個(gè)字（變化量＜-0.5g時(shí)減一個(gè)字，變化量≥+0.5g時(shí)加一個(gè)字）。
　　第四，模擬式測(cè)量設(shè)備的分辨力與其放大和讀數(shù)原理有關(guān)，且與測(cè)量者的視力和經(jīng)驗(yàn)有關(guān)。分度值0.01mm的千分尺，不同的測(cè)量者分辨力不同，最優(yōu)秀的測(cè)量者的分辨力也只能達(dá)到D/10，即0.001mm。而分度值0.02mm的游標(biāo)卡尺，無(wú)論測(cè)量者如何優(yōu)秀也不可能分辨出分度值0.02mm的1/10（即分辨力0.002mm），甚至連1/3也做不到。
　　由以上所述，我們可以看出對(duì)于數(shù)字式測(cè)量設(shè)備而言，分辨力帶來(lái)的測(cè)量誤差只能是±(D/2)而不是±D。分辨力給測(cè)量結(jié)果引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量只能用D/2作為半寬除以包含因子k 獲得。若按均勻分布處理，k＝√3，則D/(2√3)＝0.29D。這就是JJF1059所說(shuō)“對(duì)于數(shù)字顯示式測(cè)量?jī)x器，如其分辨力為δx，則由此帶來(lái)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u (x)=0.298δx。”的理論依據(jù)。分度值（D）帶來(lái)的測(cè)量誤差與測(cè)量?jī)x器的讀數(shù)放大原理和測(cè)量人員眼力及經(jīng)驗(yàn)的不同有關(guān)，可能會(huì)等于D，也可能會(huì)大于D，或者小于D。

回復(fù) 7# 規(guī)矩灣錦苑

   

                                                                   關(guān)于分辨力的答辯

                                                                                                                                史錦順

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【規(guī)矩灣錦苑質(zhì)疑】

數(shù)字式測(cè)量設(shè)備的分辨力（設(shè)為D）會(huì)產(chǎn)生測(cè)量設(shè)備的誤差。產(chǎn)生誤差的大小是±(D/2)，而不是±D。分辨力是1克的電子秤，分辨范圍并不是±1g，而是±0.5g。當(dāng)被測(cè)量的變化值＜0.5g時(shí)，電子秤不會(huì)有反映，當(dāng)被測(cè)量的變化值達(dá)到或超過(guò)0.5g時(shí)，電子秤就會(huì)變化一個(gè)字（變化量≤-0.5g時(shí)減一個(gè)字，變化量≥+0.5g時(shí)加一個(gè)字）。

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由以上所述，我們可以看出對(duì)于數(shù)字式測(cè)量設(shè)備而言，分辨力帶來(lái)的測(cè)量誤差只能是±(D/2)而不是±D，分辨力給測(cè)量結(jié)果引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量只能用D/2作為半寬來(lái)除以包含因子k 獲得。如果按均勻分布處理，k＝√3，那么D/(2√3)＝0.29D。這就是JJF1059所說(shuō)的“對(duì)于數(shù)字顯示式測(cè)量?jī)x器，如其分辨力為δx，則由此帶來(lái)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u (x)=0.298δx。”的理論依據(jù)。

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【史錦順答辯】

分辨力是一克的電子秤，現(xiàn)在用得很多，賣肉、零售菜、零售米的電子案秤，大都是尾數(shù)為1克的電子秤。在重物一點(diǎn)點(diǎn)緩慢增加時(shí)（如攥一把米，一粒一粒往秤盤(pán)上撒），便會(huì)看到電子秤的示值1克1克地向上跳變，這就叫分辨力是1克。

先生所說(shuō)的情況，是類比于人計(jì)數(shù)時(shí)，進(jìn)行四舍五入后的情況。要求客觀的數(shù)與人的計(jì)數(shù)值，有完全等同的起步點(diǎn)和嚴(yán)格相等的步長(zhǎng)。但是任何測(cè)量?jī)x器，由于誤差的存在，步長(zhǎng)不能完全相等，特別是經(jīng)過(guò)不斷的積累，于是數(shù)字變化的起點(diǎn)，示值與輸入值便不能保持一致。顯示數(shù)跳步一個(gè)字，即示值變化1克，標(biāo)志被測(cè)量變了1克，但從多少起，卻不同，即起點(diǎn)不同。于是產(chǎn)生的示值誤差，極端可能值是+1g與-1g，于是分辨力引入的誤差，就整個(gè)量程來(lái)說(shuō)，就是±1g，而不是±0.5g.

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例1 “取整”誤差（舍位誤差）

一個(gè)數(shù)據(jù)，小數(shù)點(diǎn)以前是整數(shù)位，小數(shù)點(diǎn)以后是零數(shù)位。數(shù)據(jù)處理的一種辦法是舍棄零數(shù)位，而只保留整數(shù)位。計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，專有“取整”程序。取整產(chǎn)生的誤差為：最小值：0；極限值：―1。

要注意，[―1,0]是個(gè)區(qū)間，但不是對(duì)稱區(qū)間。如果有人認(rèn)為區(qū)間半寬是0.5，0.5是最大誤差，這是錯(cuò)誤的表達(dá)。應(yīng)知，最基本的定義是誤差元與誤差范圍。在誤差元的各種可能值中，標(biāo)志量是誤差的絕對(duì)值的最大可能值，不能解錯(cuò)。

誤差元是測(cè)得值減真值。對(duì)現(xiàn)在的情況應(yīng)理解為：新值減原值。如123.8取整是123，誤差元為123―123.8 =―0.8。

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接 8# 史錦順 文
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誤差范圍是誤差元絕對(duì)值的最大值，顯然，此值為1。這是一項(xiàng)誤差因素，在進(jìn)行誤差合成時(shí)，只能以“1”來(lái)對(duì)待，而絕不能當(dāng)做0.5。有人認(rèn)為“取整”的誤差是0.5，那就錯(cuò)了。對(duì)不同數(shù)據(jù)點(diǎn)，誤差的絕對(duì)值的大值，可能是0.5、0.6、0.7、0.8、0.9，0.99，而對(duì)整個(gè)數(shù)據(jù)的各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，誤差絕對(duì)值的最大可能值是1。明明是1，卻偏說(shuō)是0.5，那當(dāng)然是錯(cuò)的。

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例2  四舍五入的誤差

在編計(jì)算機(jī)程序時(shí)，先令加0.5，再令取整，就對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了四舍五入的處理。這時(shí)容易看出，新數(shù)據(jù)（整數(shù)）與原數(shù)據(jù)的差是―0.5到+0.5，誤差區(qū)間是[-0.5,+0.5]，誤差元的絕對(duì)值的最大值是0.5。此時(shí)用不確定度論的語(yǔ)言，表達(dá)為區(qū)間半寬，是可以的。但要注意，已進(jìn)行四舍五入的數(shù)據(jù)同原來(lái)數(shù)據(jù)，有嚴(yán)格的關(guān)聯(lián)關(guān)系：步長(zhǎng)相同，零點(diǎn)及各個(gè)整數(shù)點(diǎn)的數(shù)值完全相同。整數(shù)加1的起跳點(diǎn)，是一樣的；而任何測(cè)量?jī)x器，由于系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差的存在，步長(zhǎng)、起跳點(diǎn)，在量程內(nèi)的各點(diǎn)不可能完全相同，而是有數(shù)倍于分辨力的變化。于是各數(shù)據(jù)點(diǎn)的誤差區(qū)間絕大多數(shù)是非對(duì)稱區(qū)間。而取區(qū)間半寬的作法，只有對(duì)對(duì)稱區(qū)間才是對(duì)的。四舍五入的誤差區(qū)間是對(duì)稱區(qū)間，可以取區(qū)間半寬；但這僅僅是數(shù)據(jù)處理引入的誤差，與分辨力引入的誤差無(wú)關(guān)。

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例3 分辨力為1克的電子秤的分辨力誤差范圍是1克

我的文章中有兩個(gè)表，出現(xiàn)的誤差區(qū)間的大多數(shù)都是非對(duì)稱區(qū)間。這些區(qū)間的可能值為：

          [0,0.9]、[-0.1,0.8]、[-0.2,0.7]、[ -0.3,0.6]、[ -0.4,0.5]、[ -0.5,0.4]、[-0.6,0.3]、[-0.7,0.2]、 [-0.8,0.1]、[-0.9,0].

在各個(gè)區(qū)間中，誤差元的絕對(duì)值的最大值為0.9、0.8、0.7、0.6、0.5

實(shí)驗(yàn)的分度再細(xì)一位，最大值為：0.99、0.9、0.8、0.7、0.6、0.5

實(shí)驗(yàn)的分度細(xì)到極限，最大值為：1.0、0.9、0.8、0.7、0.6、0.5

而就整個(gè)量程來(lái)說(shuō)，誤差元的絕對(duì)值的最大可能值為1克，即分辨力為1克時(shí)，誤差范圍為1克（或稱極限誤差是1克、最大允許誤差是1克）。

結(jié)論：分辨力是D，則引入測(cè)量誤差范圍是D；說(shuō)是D/2，是錯(cuò)誤的。

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如果反對(duì)例3 的分析，應(yīng)該拿出一個(gè)不可能出現(xiàn)的實(shí)例來(lái)；如果拿不出反例，就該承認(rèn)這個(gè)分析是正確的。要具體地算實(shí)例，不能憑想象。

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  （接下頁(yè)）


   

接 9# 史錦順 文

下邊我指出先生分析的錯(cuò)誤之處。若不同意，請(qǐng)說(shuō)明理由。

1 說(shuō)每加0.5克跳一次數(shù)，不對(duì)；那樣就成為分辨力是0.5克了，而不是分辨力為1克了

2 不是對(duì)稱的區(qū)間，就不能用區(qū)間半寬來(lái)代表誤差元的絕對(duì)值的最大可能值。例如當(dāng)區(qū)間為[0,0.9]時(shí)，最大誤差元已是0.9，而去取半寬0.45，則是錯(cuò)誤的。

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例4 數(shù)字式頻率計(jì)的正負(fù)1誤差

我退休前的業(yè)務(wù)工作，主要是搞頻率測(cè)量與計(jì)量。數(shù)字式頻率計(jì)，幾乎每天都離不開(kāi)。通用計(jì)數(shù)式頻率計(jì)的原理就是在閘門(mén)時(shí)間（采樣時(shí)間）內(nèi)，數(shù)脈沖數(shù)。

脈沖數(shù)字技術(shù)，其本質(zhì)特點(diǎn)是只有“0”“1”兩個(gè)態(tài)。現(xiàn)代高速計(jì)算機(jī)，不管處理的信息量有多大，而歸根結(jié)底只有0、1兩個(gè)態(tài)。只是0與1 的不同組合，而構(gòu)成海量信息。

數(shù)字式頻率計(jì)的輸入端，有放大整形器，使被測(cè)信號(hào)變成脈沖信號(hào)。嚴(yán)格地將信號(hào)的一個(gè)周期變成一個(gè)脈沖。若周期是10秒，每個(gè)脈沖代表周期10秒，即頻率0.1赫。周期為1微秒，表示1微秒有1個(gè)脈沖，則1秒有1兆個(gè)脈沖，頻率為1兆赫。

數(shù)字式頻率計(jì)，利用本身自帶的頻標(biāo)（晶振），產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)時(shí)段，稱采樣時(shí)間，又叫閘門(mén)時(shí)間。閘門(mén)開(kāi)的時(shí)段內(nèi)，計(jì)進(jìn)入閘門(mén)的脈沖數(shù)。通用計(jì)數(shù)式頻率計(jì)只有計(jì)數(shù)功能，而沒(méi)有計(jì)算功能。由于閘門(mén)時(shí)間是10進(jìn)位的10秒/1秒/0.1秒/10 ms/1ms，示值上以kHz為單位，用小數(shù)點(diǎn)移位的方式來(lái)對(duì)應(yīng)閘門(mén)時(shí)間的轉(zhuǎn)換，即實(shí)現(xiàn)除以10或乘以10的操作。

通用計(jì)數(shù)式頻率計(jì) 計(jì)數(shù)的最小單元是1個(gè)脈沖。此脈沖在1秒采樣時(shí)，表1赫，10秒采樣時(shí)，1個(gè)脈沖代表0.1赫；0.1秒采樣時(shí)，1個(gè)脈沖代表10赫，10ms采樣時(shí)1個(gè)脈沖代表100赫，1ms采樣時(shí)1個(gè)脈沖代表1千赫。

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接 10# 史錦順  文
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通用計(jì)數(shù)式頻率計(jì)的分辨力是一個(gè)脈沖，簡(jiǎn)稱±1誤差。（頻率計(jì)說(shuō)明書(shū)上有。）

閘門(mén)的開(kāi)啟時(shí)刻與被測(cè)脈沖到來(lái)的時(shí)刻各自獨(dú)立。

閘門(mén)時(shí)間是1秒時(shí)，倘被測(cè)頻率為1.25Hz，周期為0.8秒，1個(gè)閘門(mén)時(shí)間內(nèi)，可能出現(xiàn)一個(gè)脈沖，也可能出現(xiàn)2個(gè)脈沖，即示值為1Hz或2Hz，誤差區(qū)間為[-0.25Hz,0.75Hz]，倘被測(cè)頻率為1.01Hz，周期為0.99秒，1個(gè)閘門(mén)時(shí)間內(nèi)，可能出現(xiàn)一個(gè)脈沖，也可能出現(xiàn)2個(gè)脈沖，即示值為1Hz或2Hz，誤差區(qū)間為[0.01Hz,0.99Hz]；若被測(cè)頻率是0.8Hz，周期是1.25秒，1秒采樣時(shí)間內(nèi)，可能出現(xiàn)1個(gè)脈沖，也可能是0個(gè)脈沖。即測(cè)得值是1Hz或0Hz，則誤差區(qū)間是[-0.8Hz,0.2Hz]。倘被測(cè)頻率是0.99赫時(shí)，測(cè)得值是1赫或0赫，則誤差區(qū)間是[-0.99Hz,0.01Hz].

如上，對(duì)各種被測(cè)頻率值，一秒采樣時(shí)，分辨力的誤差區(qū)間是[-1Hz,1Hz]。

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閘門(mén)時(shí)間為0.1秒時(shí)，一個(gè)脈沖代表10Hz。倘被測(cè)頻率為12.5Hz，周期為0.08秒，1個(gè)閘門(mén)時(shí)間內(nèi)，可能出現(xiàn)一個(gè)脈沖，也可能出現(xiàn)2個(gè)脈沖，即示值為10Hz或20Hz，誤差區(qū)間為[-2.5Hz,7.5Hz]，倘被測(cè)頻率為11Hz，周期為0.9秒，1個(gè)閘門(mén)時(shí)間內(nèi)，可能出現(xiàn)一個(gè)脈沖，也可能出現(xiàn)2個(gè)脈沖，即示值為10Hz或20Hz，誤差區(qū)間為[-1Hz,9Hz]；若被測(cè)頻率是8Hz，周期是0.125秒，0.1秒采樣時(shí)間內(nèi)，可能出現(xiàn)1個(gè)脈沖，也可能是0個(gè)脈沖。即測(cè)得值是10Hz或0Hz，則誤差區(qū)間是[-8Hz,-2Hz]。倘被測(cè)頻率是9.9Hz時(shí)，測(cè)得值是10Hz或0Hz，則誤差區(qū)間是[-9.9Hz,0.1Hz].

如上，對(duì)各種被測(cè)頻率值，1秒采樣時(shí)，分辨力為1Hz，誤差區(qū)間是[-1Hz,1Hz]；而0.1秒采樣，分辨力是10Hz，誤差區(qū)間是[-10Hz,10Hz]。

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（接下頁(yè)）

接 11# 史錦順  文
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綜上所述，通用數(shù)字式頻率計(jì)的分辨力是一個(gè)脈沖所代表的頻率值。閘門(mén)時(shí)間記為τ，分辨力記為D。有τ=10s，D=0.1Hz；τ=1s，D=1Hz；τ=0.1s，D=10Hz；τ=10ms，D=0.1 kHz；τ=1ms，D=1kHz

設(shè)標(biāo)準(zhǔn)的頻率是fo（相對(duì)真值），則頻率計(jì)的測(cè)量結(jié)果為

              Fm = fo±D

用頻率計(jì)測(cè)量被測(cè)頻率f，則測(cè)得值表征的量值群為：

              f = fm±D

請(qǐng)注意，不論從誤差范圍的角度，還是從量值范圍的角度，都要取D，而不是D/2。

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分辨力是誤差理論分析的一件小事，卻是一件基本功。討論清楚是必要的。

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不確定度論弄錯(cuò)許多事，分辨力也是一條。請(qǐng)網(wǎng)友細(xì)想一想，到底怎樣處理正確。這也是對(duì)思想方法、研究方法的一次考驗(yàn)與鍛煉。經(jīng)過(guò)認(rèn)真思考的學(xué)問(wèn)才是真學(xué)問(wèn)，人云亦云，就得不到鍛煉。在科學(xué)理論上識(shí)錯(cuò)、糾錯(cuò)是大學(xué)問(wèn)，很難。事情總得有人去做，我很希望我國(guó)的年輕一代，能在世界科技界爭(zhēng)得話語(yǔ)權(quán)。誤差理論與不確定度論的大論戰(zhàn)，就是一個(gè)廣闊的天地。

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我越來(lái)越覺(jué)得，所謂的“區(qū)間半寬”的提法，是不可取的。過(guò)些日子寫(xiě)成文章再和大家交流。我這里先點(diǎn)出問(wèn)題，請(qǐng)網(wǎng)友獨(dú)立地想一想，看看我們能不能得出同樣的結(jié)論。不同意也好，辯論才有意思，才能提高。

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　　非常高興和史老師一起討論問(wèn)題，也非常感謝史老師給我的回復(fù)。史老師在8樓和9樓都是討論的數(shù)字式測(cè)量設(shè)備的分辨力問(wèn)題，如果放棄模擬式測(cè)量設(shè)備的“分度值”不談，僅討論數(shù)字式測(cè)量設(shè)備的“分辨力”帶來(lái)的測(cè)量誤差，我有以下看法，繆誤之處請(qǐng)指正：
　　1.贊同史老師所說(shuō)的例1“取整”誤差（舍位誤差）是數(shù)據(jù)處理的一種辦法，是舍棄零數(shù)位，而只保留整數(shù)位。“取整產(chǎn)生的誤差為：最小值：0；極限值：―1。”是一個(gè)非對(duì)稱區(qū)間[―1，0]。
　　2.贊同史老師所說(shuō)的例2四舍五入的誤差的設(shè)法，即四舍五入的“誤差區(qū)間是[-0.5，+0.5]　”。
　　就例1和例2來(lái)看，非對(duì)稱區(qū)間 [-1，0] 和對(duì)稱區(qū)間 [-0.5，+0.5] 的全寬都是1，半寬都是1/2，即半寬都是D/2。
　　3.史老師的例3是電子秤的例子，我也贊成“分辨力為1克的電子秤的分辨力誤差范圍是1克”，但決不是“±1克”。分辨力的“誤差范圍”是1克意味著最大與最小誤差的差是1克，即全寬是1克，半寬仍然是D/2＝0.5克。
　　在例3中老師說(shuō)有兩個(gè)表，出現(xiàn)的誤差區(qū)間的大多數(shù)都是非對(duì)稱區(qū)間。這些區(qū)間的可能值為：[0，0.9]、[-0.1，0.8]、[-0.2，0.7]、[ -0.3，0.6]、[ -0.4，0.5]、[ -0.5，0.4]、[-0.6，0.3]、[-0.7，0.2]、 [-0.8，0.1]、[-0.9，0]。從這些區(qū)間的數(shù)據(jù)可以看出，不管出現(xiàn)哪一種區(qū)間，其區(qū)間的全寬都是0.9，半寬都是0.45。我覺(jué)得每個(gè)區(qū)間的后一個(gè)量值都應(yīng)該增加0.1，所以全寬D＝1.0，半寬是D/2＝0.5。
　　4.對(duì)于老師說(shuō)的例4，因?yàn)槲也皇歉銜r(shí)間頻率計(jì)量工作的，恕我無(wú)能，不好亂說(shuō)，就不說(shuō)什么了。我覺(jué)得用史老師上述三個(gè)例子，就都已經(jīng)都可以得出同一個(gè)結(jié)論了，即：設(shè)數(shù)字式測(cè)量?jī)x分辨力是D，則分辨力帶來(lái)的測(cè)量誤差范圍全寬是D；其半寬是D/2。既然測(cè)量范圍的全寬是D，就不能再加符號(hào)“±”變成±D，±D的全寬就是2D了。至于誤差相對(duì)于真值是否對(duì)稱并不重要，重要的是全寬和半寬。不確定度評(píng)定中的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量評(píng)估必須使用的是半寬，因此必須是分辨力D的一半，即D/2。

回復(fù) 9# 史錦順


史老師還是認(rèn)為分辨力為D，誤差范圍是[-D，D]，我和規(guī)矩灣錦苑老師的觀點(diǎn)是一樣的，您舉得那幾個(gè)區(qū)間全寬均為0.9，不能以兩頭的[-0.9,0]和[0，0.9]認(rèn)為誤差范圍是[-0.9，0.9]。還是那句話，這分別是兩個(gè)點(diǎn)的誤差范圍，不能認(rèn)為是一個(gè)點(diǎn)的誤差范圍。還是比如電子秤顯示的11g這一點(diǎn)，如果認(rèn)為其分辨力誤差范圍是[-1，1]，那么被測(cè)物的實(shí)際質(zhì)量范圍將是[10g，12g]，然而10g和12g時(shí)電子秤會(huì)顯示11g么，應(yīng)該是不會(huì)的。對(duì)于電子秤現(xiàn)實(shí)的其他點(diǎn)，如12g、13g。。。。。。也是一樣的。

回復(fù)
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                            【史錦順答辯（2）】

謝謝規(guī)矩灣錦苑、長(zhǎng)度室二位的發(fā)言。

不確定度論宣貫以來(lái)，已造成很多不良影響。而其中最重要的是不確定度論引起的學(xué)習(xí)方法、研究方法、思想方法的混亂。我們討論，可能是很具體的特定問(wèn)題，但其根源則是“怎樣思考問(wèn)題”“怎樣判斷是非”這類問(wèn)題。人的正確的思想方法，不是生來(lái)就有的，而是長(zhǎng)期、反復(fù)實(shí)踐的結(jié)果。弄清一個(gè)問(wèn)題，應(yīng)該知道為什么對(duì)了；弄錯(cuò)一個(gè)問(wèn)題，要總結(jié)錯(cuò)是怎樣產(chǎn)生的。

我們這些學(xué)自然科學(xué)的，學(xué)技術(shù)的，從中學(xué)、大學(xué)的課本，到工作中用遇到的文獻(xiàn)、規(guī)程規(guī)范、參考書(shū)，應(yīng)該說(shuō)基本上或絕大多數(shù)都是正確的，于是就容易形成“已有的理論都是正確的”這樣一種觀點(diǎn)。于是就容易形成對(duì)不同觀點(diǎn)的反感情緒。我說(shuō)這些，不是怕你們反對(duì)我，我只是說(shuō)：要仔細(xì)想清楚老史的“異論”有沒(méi)有道理。爭(zhēng)論是有意義的，但前提是互相尊重。對(duì)對(duì)方的尊重，不是說(shuō)要無(wú)原則地同意對(duì)方意見(jiàn)，而是要認(rèn)真思考對(duì)方的觀點(diǎn)。好了，我們談具體問(wèn)題。

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1 誤差區(qū)間必須適應(yīng)整個(gè)量程

分析測(cè)量?jī)x器的誤差，不能只考慮某個(gè)量值點(diǎn)的問(wèn)題，要考慮整個(gè)量程，或者說(shuō)全部有效量程。模擬量?jī)x表的量程的小端（0到1/5）不該用（相對(duì)誤差大），可以不考慮，但從1/5量程到滿量程必須全盤(pán)考慮。

誤差分析，不能只限于某些測(cè)量點(diǎn)，而要考慮量程的整體。

如例3，當(dāng)實(shí)驗(yàn)很細(xì)（所加物的單元極小）時(shí)，各測(cè)量點(diǎn)的誤差區(qū)間為(單位克)：

        [0,1]、[-0.1,0.9]、[-0.2,0.8]、[ -0.3,0.7]、[ -0.4，0.6]、[ -0.5，0.5]、[-0.6，0.4]、[-0.7，0.3]、 [-0.8，0.2]、[-0.9，0.1]、[-1,0]。

各區(qū)間中的誤差絕對(duì)值的最大值為：1.0、0.9、0.8、0.7、0.6、0.5

而就整個(gè)量程來(lái)說(shuō)，誤差元的絕對(duì)值的最大可能值為1克，即分辨力為1克時(shí)，誤差范圍為1克（或稱極限誤差是1克、最大允許誤差是1克）。

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分辨力對(duì)各個(gè)點(diǎn)引入的誤差的最大可能值，是不同的。怎樣概括全量程的分辨力的誤差范圍呢？只有區(qū)間[-1g,1g]能包容出現(xiàn)的的各種可能的區(qū)間。要注意，最基本的定義是誤差元與誤差范圍。誤差元是測(cè)得值減真值（或稱表征值減實(shí)際值），而誤差范圍是“誤差元絕對(duì)值的最大可能值”。總觀全量程各點(diǎn)，“誤差元絕對(duì)值的最大可能值”是1g，因此1克是誤差范圍，表成區(qū)間是[-1g,1g].

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如果把區(qū)間看作是[-0.5g,0.5g],那樣誤差元絕對(duì)值的最大可能值就是0.5g,這顯然是不對(duì)的。[0,1g]與[-0.5g,0,5g]這兩個(gè)區(qū)間的寬度一樣大，但前者的最大誤差是1g,而后者的最大誤差是0.5g,在誤差的表達(dá)上，二者不是相等，而是兩倍關(guān)系。

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（接下頁(yè)）

接16# 史錦順  文

2 區(qū)間必須包含真值

真值就是客觀值、實(shí)際值，討論誤差問(wèn)題，不考慮真值是不行的。拋開(kāi)真值，就無(wú)法談?wù)`差，也就談不清任何問(wèn)題。不確定度論的最大誤區(qū)，就是剛出世時(shí)嚴(yán)格地回避真值，結(jié)果不行，說(shuō)不清自己的物理意義是什么。到VIM第3版（2008版）才說(shuō)不確定度是包含真值的區(qū)間的半寬。這是一大進(jìn)步，但由于不確定度概念沒(méi)有基本單元的定義，因此說(shuō)不清真值是怎樣包含的。

不確定度論既已說(shuō)明不確定度是包含真值的區(qū)間，這就沒(méi)有回頭路，就不能再回避真值（不談?wù)嬷档牟淮_定度毫無(wú)意義，號(hào)稱過(guò)“不可信性”，但那是無(wú)解的廢話），而必須在自己所指的區(qū)間中包含真值。

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說(shuō)分辨力1g的區(qū)間是[-0.5g,0.5g],這只對(duì)極個(gè)別的測(cè)量點(diǎn)是對(duì)的，而對(duì)大多數(shù)量值點(diǎn)是不對(duì)的。以測(cè)得值為中心的[-0.5g,0.5g]區(qū)間將可能不包含真值。區(qū)間必須包含真值，不包含真值的區(qū)間，毫無(wú)意義。論及區(qū)間，而又說(shuō)與真值無(wú)關(guān)，這不僅僅違反誤差理論，也是不確定度論不能允許的，VIM第三版已明確：不確定度是包含真值的區(qū)間的半寬，不包含真值，就談不上是不確定度，就是錯(cuò)誤的區(qū)間。

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3 只有對(duì)稱區(qū)間，“區(qū)間半寬”才有物理意義

通過(guò)討論所列舉之分辨力區(qū)間的實(shí)例，對(duì)各測(cè)量點(diǎn)來(lái)說(shuō)，分辨力誤差區(qū)間的絕大部分是非對(duì)稱的；而只要不對(duì)稱，最大誤差就必然大于0.5。寬度為1的嚴(yán)格的對(duì)稱區(qū)間，上下限必須是一半，這個(gè)“一半”稍不足，例如0.4999,或稍過(guò)一點(diǎn)，例如0.5001，都是不對(duì)稱區(qū)間。因此，嚴(yán)格的對(duì)稱區(qū)間的概率極小，各點(diǎn)的區(qū)間幾乎都是不對(duì)稱區(qū)間，而總寬度為1的不對(duì)稱區(qū)間的半寬必然小于誤差絕對(duì)值的較大的值。因此，“區(qū)間半寬”不足以表達(dá)誤差絕對(duì)值的最大值。有時(shí)是2倍關(guān)系。因此取區(qū)間半寬的作法本身，是不妥當(dāng)?shù)摹Ｎ艺J(rèn)為，“區(qū)間半寬”的說(shuō)法與取法，貌似簡(jiǎn)要明確，其實(shí)是違反“誤差絕對(duì)值的最大值”是誤差范圍這個(gè)根本點(diǎn)的，因而是錯(cuò)誤的。也就是說(shuō)“區(qū)間半寬”是存在的，但在一般的情況下，普遍地以區(qū)間半寬來(lái)表達(dá)誤差，來(lái)圈定真值，那是錯(cuò)誤的。-

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區(qū)間半寬的說(shuō)法，在某些特殊情況下成立。如先定下最大允許誤差的絕對(duì)值為W，然后，取正負(fù)W為區(qū)間，即[-W,W],這時(shí)，必是對(duì)稱區(qū)間，區(qū)間半寬又必然等于誤差絕對(duì)值的最大值。這樣的分析程序，在不確定度的分析中一直在用，那就是得到擴(kuò)展不確定度U之后，以“測(cè)得值±U”來(lái)表達(dá)測(cè)量結(jié)果，這實(shí)際上就是給出以測(cè)得值為中心的對(duì)稱區(qū)間[-U,U],這時(shí)是對(duì)稱區(qū)間，說(shuō)區(qū)間半寬，就是說(shuō)誤差絕對(duì)值的最大值，又是以測(cè)得值為中心的，于是自然就包括了真值。

由上可知：按“先確定最大誤差，再確定對(duì)稱區(qū)間”的順序辦，區(qū)間半寬與最大誤差是統(tǒng)一的，“區(qū)間半寬”的提法可用。

把區(qū)間半寬的提法用在分辨力誤差的分析上，正確的作法是：第一步，綜觀各個(gè)測(cè)量點(diǎn)，分辨力為D時(shí)，分辨力的誤差絕對(duì)值的最大可能值是D；第二步由最大誤差絕對(duì)值D,確定誤差區(qū)間是[-D,D],可表為±D。D是區(qū)間半寬，分辨力引入的誤差是D.

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結(jié)論：分辨力是D，則引入測(cè)量誤差范圍是D；說(shuō)是D/2，是錯(cuò)誤的。

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                                    史錦順答辯(3)

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【規(guī)矩灣錦苑質(zhì)疑】

.非常贊成史老師所說(shuō)對(duì)一臺(tái)測(cè)量設(shè)備而言“誤差區(qū)間必須適應(yīng)整個(gè)量程”的觀點(diǎn)，但是此處的“誤差區(qū)間”實(shí)際上是“示值誤差”的變化區(qū)間，是示值誤差范圍，不是“分辨力”的區(qū)間。老師本帖子主題是“夸張的分辨力”，是僅就分辨力是否被夸張來(lái)討論的。史老師在“板凳”樓層帖子中的第1條偏離了分析“分辨力”的主題，而是在分析“示值誤差范圍”了。數(shù)字式測(cè)量設(shè)備的“分辨力”，說(shuō)白了就是末位數(shù)跳一個(gè)字所代表的被測(cè)量的量值D。≥D/2時(shí)數(shù)顯窗就會(huì)跳一個(gè)字，顯示數(shù)字增加一個(gè)D；＜D/2時(shí)，數(shù)顯窗的顯示將紋絲不動(dòng)，仍然顯示原來(lái)的數(shù)字。術(shù)語(yǔ)“分辨力”和“示值誤差”有著嚴(yán)格的區(qū)別。
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【史辯】

  史文的題目確實(shí)是“夸張分辨力”，內(nèi)容講的就是分辨力引入的示值誤差的大小，拋開(kāi)“誤差”，談分辨力就沒(méi)有意義。全文也都是談“分辨力是D時(shí)，引入誤差是D還是D/2”這個(gè)問(wèn)題。題目總要簡(jiǎn)要，本來(lái)無(wú)歧義，不必浪費(fèi)筆墨去說(shuō)明。數(shù)字式儀表的分辨力就是尾數(shù)一個(gè)字，誤差理論（如頻率界）就直呼正負(fù)1誤差。在這里，區(qū)分分辨力與示值誤差，既不必要，也不應(yīng)該。分辨力是該項(xiàng)示值誤差值的“因”，該示值誤差是分辨力不高的“果”，要討論的正是這個(gè)因果關(guān)系，二者怎么分？怎能分？

數(shù)顯測(cè)量?jī)x器分辨力為D，就是輸入量變化為D時(shí)，測(cè)量?jī)x器數(shù)顯才有變化，這本無(wú)爭(zhēng)議。奇怪的是您的帖中卻出現(xiàn)如下表述： 數(shù)字式測(cè)量設(shè)備的“分辨力”，說(shuō)白了就是末位數(shù)跳一個(gè)字所代表的被測(cè)量的量值D。≥D/2時(shí)數(shù)顯窗就會(huì)跳一個(gè)字，顯示數(shù)字增加一個(gè)D；＜D/2時(shí)，數(shù)顯窗的顯示將紋絲不動(dòng)。 第一句是對(duì)的，此后不對(duì)。第100次跳字（此前為量程低端，一般不好用）到101次跳字，間隔是D, 沒(méi)辦法找半個(gè)字的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。你能把輸入之標(biāo)準(zhǔn)值改變D/2,數(shù)顯窗卻反應(yīng)不出來(lái)。設(shè)第一次跳數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)值與剛剛跳的數(shù)顯值的差值是A,這個(gè)差值是系統(tǒng)誤差（作此實(shí)驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)誤差必須可略）引入；將標(biāo)準(zhǔn)值逐步增加，直到增加D-Δ, Δ足夠小，數(shù)顯窗將要變而尚未變，這時(shí)被測(cè)標(biāo)準(zhǔn)量已改變D(Δ足夠小,忽略)，則數(shù)顯值與標(biāo)準(zhǔn)值之差為A-D。其中的-D是示值誤差的改變量，也就是說(shuō)，-D是分辨力引入的誤差。

我們把輸入標(biāo)準(zhǔn)值的順序改為從大到小。在第501次（從1到滿度數(shù)）跳變剛剛跳過(guò)時(shí)，跳過(guò)的數(shù)顯值與標(biāo)準(zhǔn)值之差為B，減小標(biāo)準(zhǔn)值，數(shù)顯因分辨力低而保持不變。標(biāo)準(zhǔn)值減小（D-Δ）Δ足夠小，數(shù)顯窗將要變而尚未變，這時(shí)被測(cè)標(biāo)準(zhǔn)量已減小D(Δ足夠小,忽略)，則數(shù)顯值與標(biāo)準(zhǔn)值之差為B+D。其中的+D是示值誤差的改變量，也就是說(shuō)，+D是分辨力引入的誤差。綜合這兩處，僅僅由分辨力引入的誤差區(qū)間是[-D,D].

接 18# 史錦順  文

以上情況，數(shù)顯值跳變發(fā)生在數(shù)顯值的數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值的整數(shù)恰好對(duì)齊的時(shí)候。即A、B是D的整倍數(shù)的時(shí)候。當(dāng)A是D/2的奇倍數(shù)時(shí)，跳變的發(fā)生點(diǎn)位移D/2。設(shè)跳變點(diǎn)的系統(tǒng)誤差A為-D/2。若第100跳變點(diǎn)發(fā)生時(shí)A=-D/2,此時(shí)數(shù)顯的誤差就是-D/2。被測(cè)標(biāo)準(zhǔn)增加D，將發(fā)生第101次跳變。我們把實(shí)驗(yàn)控制在增加量為D-Δ,此時(shí)跳變將要發(fā)生，而尚未發(fā)生。這時(shí)的示值誤差為A+D(Δ很小，可略，A已設(shè)是-D/2)，即為D/2，誤差區(qū)間為[-D/2,D/2].

由上說(shuō)明，可能出現(xiàn)誤差區(qū)間是[-D/2,D/2]的情況，但要注意，1 此時(shí)的誤差是系統(tǒng)誤差與分辨力誤差的綜合結(jié)果，并非分辨力單獨(dú)引入。 2 在全部量程中，此種情況出現(xiàn)的概率極小。而絕大部分區(qū)間的誤差絕對(duì)值的最大值是0.5D多一點(diǎn)到1.0D之間，這樣，就全量程來(lái)說(shuō)。誤差絕對(duì)值的最大值就是D,因此，誤差區(qū)間是[-D,D],而不可能是[-D/2,D/2].

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在此，我提供另一種考慮分辨力引入誤差大小的思路。先考慮分辨力極小即D為零時(shí)的情況，再考慮分辨力D為某值時(shí)的情況，然后考慮兩種情況的區(qū)別。

數(shù)顯的分辨力越高，即D值越小。用一臺(tái)可細(xì)變輸出值的標(biāo)準(zhǔn)，被要研究的數(shù)顯測(cè)量?jī)x器測(cè)量。標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)有很高的標(biāo)準(zhǔn)量值的細(xì)分能力。

情況A    被檢測(cè)量?jī)x器的D值小于標(biāo)準(zhǔn)的D值，標(biāo)準(zhǔn)的量值變化，完全被數(shù)顯測(cè)量?jī)x器反映出來(lái)，此時(shí)無(wú)分辨力誤差。

情況B   標(biāo)準(zhǔn)的量值與數(shù)顯測(cè)量?jī)x器之間無(wú)誤差，既無(wú)系統(tǒng)誤差也無(wú)隨機(jī)誤差。而標(biāo)準(zhǔn)的細(xì)分力高于測(cè)量?jī)x器的分辨力。研究分辨力，就需要這種情況。這種情況是可以實(shí)現(xiàn)的。我在1990年前后，為配合本所程控交換機(jī)項(xiàng)目，研制過(guò)兩臺(tái)異值頻率比對(duì)器，鑒定時(shí)，必須嚴(yán)格測(cè)量分辨力誤差。我用HP8662A頻率合成器做標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)源，而用通用計(jì)數(shù)式頻率計(jì)做數(shù)顯。信號(hào)源、比對(duì)器標(biāo)準(zhǔn)端、頻率計(jì)三者共源，以實(shí)現(xiàn)無(wú)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差（秒采樣，在1E-13內(nèi)）。測(cè)量結(jié)果：秒采樣，在1E-12內(nèi)，頻率計(jì)顯示的改變量的計(jì)算值與標(biāo)準(zhǔn)輸出的改變量一致。理論被證實(shí)，儀器性能滿足指標(biāo)要求。

在情況B的條件下，研究分辨力，做分辨力的實(shí)驗(yàn)，是最有說(shuō)服力的。簡(jiǎn)化上述裝置，HP8662A為標(biāo)準(zhǔn)源，輸出直接接數(shù)字式頻率計(jì)。二者共源。

由于系統(tǒng)各種誤差都很小，可以凸顯分辨力的作用。由此可專門(mén)研究分辨力問(wèn)題。

（接下頁(yè)）

接 19# 史錦順 文

我們的思辨開(kāi)始。如果頻率計(jì)的分辨力很高，則數(shù)顯頻率值（測(cè)得值）應(yīng)與標(biāo)準(zhǔn)源標(biāo)準(zhǔn)值完全一樣。測(cè)量1234500.0Hz附近的標(biāo)準(zhǔn)源的頻率（可看做真值），觀察標(biāo)準(zhǔn)源頻率與頻率計(jì)的示值（測(cè)得值）二者的差別，這個(gè)差別是由頻率計(jì)分辨力引入的，是分辨力誤差。

表1    頻率計(jì)10秒采樣，分辨力0.1Hz。表中單位Hz。

     標(biāo)準(zhǔn)源          頻率計(jì)

1234499.9       1234499.9

1234500.0       1234500.0

1234500.1       1234500.1

1234500.2       1234500.2

1234500.3       1234500.3

1234500.4       1234500.4

1234500.5       1234500.5

1234500.6       1234500.6

1234500.7       1234500.7

1234500.8       1234500.8

1234500.9       1234500.9

1234501.0       1234501.0

1234501.1       1234501.1

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表2 頻率計(jì)秒采樣，分辨力1Hz。表中單位Hz。

   標(biāo)準(zhǔn)源         頻率計(jì)

1234499.9        1234499

1234500.0        1234500

1234500.1        1234500

1234500.2        1234500

1234500.3        1234500

1234500.4        1234500

1234500.5        1234500

1234500.6        1234500

1234500.7        1234500

1234500.8        1234500

1234500.9        1234500

1234501.0        1234501

1234501.1        1234501

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表3 頻率計(jì)0.1秒采樣，分辨力10Hz。

  標(biāo)準(zhǔn)源(Hz)    頻率計(jì)(kHz)

1234499.0        1234.49

1234500.0        1234.50

1234500.1        1234.50

1234501.2        1234.50

1234502.3        1234.50

1234503.4        1234.50

1234504.5        1234.50

1234505.6        1234.50

1234506.7        1234.50

1234507.8        1234.50

1234509.0        1234.50

1234510.0        1234.51

1234511.0        1234.51

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表4 頻率計(jì)10ms采樣，分辨力100Hz。

  標(biāo)準(zhǔn)源(Hz)        頻率計(jì)(kHz)

1234490.0           1234.4

1234500.0           1234.5

1234510.1           1234.5

1234521.2           1234.5

1234532.3           1234.5

1234543.4           1234.5

1234554.5           1234.5

1234565.6           1234.5

1234576.7           1234.5

1234587.8           1234.5

1234599.9           1234.5

1234600.0           1234.6

1234610.0           1234.6

（接下頁(yè)）

接 20# 史錦順  文

        由以上四表可以看出，通用計(jì)數(shù)式頻率計(jì)，10秒采樣時(shí)，分辨力是0.1Hz,測(cè)得值與標(biāo)準(zhǔn)值完全一樣，不存在分辨力誤差。（標(biāo)準(zhǔn)的細(xì)分度也是0.1Hz）,這就是說(shuō)，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)值的變化時(shí)，測(cè)量?jī)x器示值有同樣的變化，分辨力無(wú)誤差。

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    表2 一秒采樣，頻率計(jì)分辨力1Hz，凡整數(shù)頻率，頻率計(jì)跳數(shù)，示值與標(biāo)準(zhǔn)值一致，無(wú)誤差。標(biāo)準(zhǔn)源頻率的小于1Hz的變化，頻率計(jì)反映不出來(lái)，形成示值誤差，從-0.1到-0.9。易見(jiàn)誤差絕對(duì)值的最大值是1Hz。用不確定度的語(yǔ)言，U等于1Hz，則不確定度區(qū)間為±1Hz。大量樣板評(píng)定都是這樣先找U，而后以±U來(lái)表示包含區(qū)間。

表3是 0.1秒采樣，分辨力為10Hz。凡10 的整數(shù)倍的頻率，頻率計(jì)尾數(shù)跳數(shù)字，頻率計(jì)示值與標(biāo)準(zhǔn)頻率一致。而標(biāo)準(zhǔn)源的小于10Hz的變化，頻率計(jì)反映不出來(lái)，形成示值誤差，從-1Hz到-9.9Hz。易見(jiàn)誤差絕對(duì)值的最大值是10Hz。用不確定度的語(yǔ)言，U等于10Hz，則不確定度區(qū)間為±10Hz。大量樣板評(píng)定都是先找U，而后以±U來(lái)表示包含區(qū)間。不是嗎？

表4是 10ms采樣，分辨力為100Hz。凡100的整數(shù)倍的頻率，頻率計(jì)尾數(shù)跳數(shù)字，頻率計(jì)示值與標(biāo)準(zhǔn)頻率一致。而標(biāo)準(zhǔn)源的小于100Hz的變化，頻率計(jì)反映不出來(lái)，形成示值誤差，從-10Hz到-99Hz。易見(jiàn)誤差絕對(duì)值的最大值是100Hz。用不確定度的語(yǔ)言，U等于100Hz，則不確定度區(qū)間為±100Hz。大量樣板評(píng)定都是先找U，而后以±U來(lái)表示包含區(qū)間。難道不是嗎？這里有什么錯(cuò)？

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（接下頁(yè)）

接 21# 史錦順 文
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【規(guī)矩灣錦苑質(zhì)疑】

不確定度的大小是憑重復(fù)性試驗(yàn)或者所掌握的信息來(lái)評(píng)估真值可能存在于多大的范圍內(nèi)。不確定度僅僅是一個(gè)區(qū)域?qū)挾龋劣趨^(qū)域的對(duì)稱中心在哪里（真值的大小），給出測(cè)量結(jié)果的測(cè)量者是不知的，需要通過(guò)另一個(gè)比他的準(zhǔn)確度更高的測(cè)量過(guò)程測(cè)量才能得到，測(cè)量者只要給出測(cè)量結(jié)果和測(cè)量結(jié)果的可信性（不確定度）就可以了，給不出也沒(méi)有必要給出被測(cè)量真值。

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【史辯】

不確定度論回避真值而講可信性，這樣，不確定度就毫無(wú)意義。連距真值多遠(yuǎn)都不知道，可信性就是一句廢話。如果不知道測(cè)得值與真值之差，此測(cè)得值就不可信。

不確定度論又表明，“不確定度是包含區(qū)間的半寬”，那么，真值就必須在區(qū)間中，且必須是區(qū)間的中心。說(shuō)“給不出也沒(méi)有必要給出被測(cè)量真值”，這不僅達(dá)不到測(cè)量的目的，也不符合不確定度論本身對(duì)不確定度的意義的說(shuō)明。

不確定度論本身矛盾重重，用不確定度論說(shuō)事，神人也說(shuō)不清。

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而從誤差理論看問(wèn)題，就非常明確，實(shí)用。測(cè)得值減真值（用誤差可略的標(biāo)準(zhǔn)值代表真值）是誤差元，誤差元的絕對(duì)值的最大值是誤差范圍.

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（接下頁(yè)）

接 22# 史錦順 文

   1 測(cè)得值范圍

設(shè)真值為Z，測(cè)得值為M，誤差元為r,誤差元絕對(duì)值的最大值為R。計(jì)量時(shí)，真值唯一，而測(cè)得值是個(gè)變量。

    R=│r│max=│M-Z│max                （1）

解絕對(duì)值方程（1）

當(dāng)M＞Z，有

    R=(M–Z)(大)=M(大)-Z

    M(大)=Z+R                             (2)

當(dāng)M＜Z，有

    R=(Z-M)(大)=Z-M(小)                  

   M(小)=Z-R                             (3)

由（2）（3）式，得到測(cè)得值M的范圍是

    [Z-R,Z+R]                             (4)

測(cè)得值范圍又可表示為

    Z±R                                  (5)

（4）（5）式是以真值為中心的測(cè)得值的區(qū)間的表達(dá)式。

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2 真值范圍

測(cè)量時(shí)，得到確定的測(cè)得值，是唯一值。而真值有多種可能，從可能值Z(小)到可能值Z(大)。

解絕對(duì)值方程（1）

當(dāng)Z＞M，有

    R=(Z-M)(大)=Z(大)-M

    Z(大)=M+R                             (6)

當(dāng)Z＜M，有

    R=(M-Z)(大)=M-Z(小)

    Z(小)=M-R                             (7)

由（6）（7）式，得到真值的范圍是

    [M-R,M+R]                            （8）

真值范圍又可表示為

    M±R                                  (9)

（8）（9）式是以測(cè)得值為中心的真值范圍的表達(dá)式。

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由上，誤差理論給出兩個(gè)區(qū)間，一個(gè)是以真值為中心的測(cè)得值區(qū)間，一個(gè)是以測(cè)得值為中心的量值群（真值群）的區(qū)間。真值與測(cè)得值之間的聯(lián)系紐帶是誤差范圍（即誤差元絕對(duì)值的最大值），測(cè)得值與真值二者，知道一個(gè)，就可知道并表達(dá)另一個(gè)。這對(duì)測(cè)量與計(jì)量工作，是很重要的，也是很實(shí)用的。

誤差理論是嚴(yán)密的、實(shí)用的；不確定度論表達(dá)不了任何問(wèn)題：講可信性而回避真值，則無(wú)可信性；說(shuō)是包含真值的區(qū)間半寬，卻沒(méi)有聯(lián)系測(cè)得值與真值的紐帶，于是也就無(wú)法包含真值。

講可信而不可信；說(shuō)包含真值而無(wú)法包含。不確定度論，算什么東西？

（接下頁(yè)）

接 23# 史錦順 文
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【規(guī)矩灣錦苑質(zhì)疑】

對(duì)于“只有對(duì)稱區(qū)間，‘區(qū)間半寬’才有物理意義”我持有異議。區(qū)間講的是一個(gè)范圍。范圍只有寬度而無(wú)正負(fù)號(hào)，至于是不是對(duì)稱區(qū)間，則是人為設(shè)定的。例如對(duì)于誤差區(qū)間[-1，0]、[-0.5，+0.5]、[0，+1] ，如果它們的真值分別是9.5、9、8.5，三個(gè)區(qū)間的物理意義完全相同。它們的區(qū)間寬度都是D＝1，半寬都是D/2＝0.5，怎么能夠說(shuō)區(qū)間半寬就沒(méi)有物理意義呢。　  分辨力的定義是“引起相應(yīng)示值不可檢測(cè)到變化的被測(cè)量的最大變化”，分辨力屬于“區(qū)間”的概念，區(qū)間寬度就是分辨力自己D，分辨力引入的誤差半寬只能是D/2。

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【史辯】

誤差區(qū)間是[-1,0]表示的是：區(qū)間下限：M-Z=-1，區(qū)間上限M-Z=0。就是說(shuō)，當(dāng)已知測(cè)得值是10時(shí)，則真值下限是9，上限是10，區(qū)間半寬是0.5。說(shuō)區(qū)間半寬是不確定度U, 那樣包含區(qū)間就應(yīng)該是[-0.5,0.5],這就與原表達(dá)完全不同。原來(lái)表達(dá)最大誤差值是1，而新表達(dá)最大誤差是0.5。也就是說(shuō)，不對(duì)稱的區(qū)間，不可用區(qū)間半寬說(shuō)事，也就是說(shuō)區(qū)間半寬不是最大誤差，因此不對(duì)稱區(qū)間也就沒(méi)有“區(qū)間半寬是最大誤差”這個(gè)物理意義，而“區(qū)間半寬是最大誤差”這一點(diǎn)，又最常用，而不對(duì)稱區(qū)間不符合此條，必須排除在外，因此才說(shuō)“只有對(duì)稱區(qū)間，‘區(qū)間半寬’才有物理意義”這句話。這句話乃至理之言，先生認(rèn)為它錯(cuò)，不應(yīng)該。先生把不對(duì)稱區(qū)間與對(duì)稱區(qū)間混淆了，該考慮考慮二者的原則區(qū)別。很明顯，區(qū)間[-1,0]的最大誤差范圍是1，測(cè)得值比真值從小1到測(cè)得值與真值相等；區(qū)間[0,1]的最大誤差范圍是1，從測(cè)得值與真值相等到測(cè)得值比真值大1；區(qū)間[-0.5,0.5]的最大誤差范圍是0.5，從測(cè)得值比真值小0.5到測(cè)得值比真值大0.5。三個(gè)區(qū)間的意義本質(zhì)不同，怎能說(shuō)三者一樣？只有對(duì)稱區(qū)間[-0.5,0.5]的區(qū)間半寬才有“區(qū)間半寬是最大誤差”這個(gè)物理意義，而區(qū)間[-1,0]與區(qū)間[0,1]雖然半寬都是0.5，但0.5卻都不是最大誤差。三個(gè)區(qū)間區(qū)別這樣大，怎能說(shuō)它們一樣？

分辨力是D，引入的示值誤差的絕對(duì)值的最大值是D,這相當(dāng)于U等于D,因而區(qū)間是±U即±D。說(shuō)“分辨力引入的誤差是D/2”是不對(duì)的。

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　　史老師非常耐心地對(duì)我的回復(fù)給予了答復(fù)，我再次表示衷心感謝。史老師分成了“答辯（2）”和“答辯（3）”兩部分給我做了耐心講解，其中答辯（3）是對(duì)我回復(fù)答辯（2）時(shí)的解答。雖然答辯（3）中引用了我的主要想法，為了方便量友們參與我和史老師的討論，現(xiàn)將我對(duì)史老師給我的答辯（2）的觀點(diǎn)轉(zhuǎn)抄如下：
　　1.非常贊成史老師所說(shuō)對(duì)一臺(tái)測(cè)量設(shè)備而言“誤差區(qū)間必須適應(yīng)整個(gè)量程”的觀點(diǎn)，但是此處的“誤差區(qū)間”實(shí)際上是“示值誤差”的變化區(qū)間，是示值誤差范圍，不是“分辨力”的區(qū)間。老師本帖子主題是“夸張的分辨力”，是僅就分辨力是否被夸張來(lái)討論的。史老師在9樓帖子中的第1條偏離了分析“分辨力”的主題，而是在分析“示值誤差范圍”了。數(shù)字式測(cè)量設(shè)備的“分辨力”，說(shuō)白了就是末位數(shù)跳一個(gè)字所代表的被測(cè)量的量值D。≥D/2時(shí)數(shù)顯窗就會(huì)跳一個(gè)字，顯示數(shù)字增加一個(gè)D；＜D/2時(shí)，數(shù)顯窗的顯示將紋絲不動(dòng)，仍然顯示原來(lái)的數(shù)字。術(shù)語(yǔ)“分辨力”和“示值誤差”有著嚴(yán)格的區(qū)別。
　　2.也非常贊同“區(qū)間必須包含真值”的說(shuō)法。但是“誤差”和“真值”的關(guān)系與“不確定度”和“真值”的關(guān)系完全不同，“誤差范圍”的區(qū)間和“不確定度”的區(qū)間也不能畫(huà)等號(hào)。其區(qū)別界限在于：
　　誤差是測(cè)量結(jié)果與真值的差，定量表征測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性。因此“誤差范圍”就應(yīng)該是測(cè)量結(jié)果偏離真值的范圍。要知道誤差大小就必須先知道被測(cè)量的真值和測(cè)量結(jié)果。被測(cè)量真值是未知的，如果已經(jīng)知道也就用不著測(cè)量了。因此，對(duì)于檢定/校準(zhǔn)而言，真值是用計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的輸入量“約定”的，然后用被檢測(cè)量設(shè)備輸出值去和約定真值相比較。
　　不確定度是表征測(cè)量結(jié)果可靠性（可疑度）的范圍，其大小用被測(cè)量真值可能處于的區(qū)間寬度（半寬）來(lái)表示。因?yàn)楸粶y(cè)量的“真值”是未知的，測(cè)量者想用測(cè)量結(jié)果代表被測(cè)量的真值，除了有準(zhǔn)確與否的問(wèn)題外，還有一個(gè)值不值得令人相信的問(wèn)題。換句話說(shuō)，用測(cè)量結(jié)果代表真值是值得令人懷疑的，懷疑程度的大小就是不確定度。不確定度的大小是憑重復(fù)性試驗(yàn)或者所掌握的信息來(lái)評(píng)估真值可能存在于多大的范圍內(nèi)。不確定度僅僅是一個(gè)區(qū)域?qū)挾龋劣趨^(qū)域的對(duì)稱中心在哪里（真值的大小），給出測(cè)量結(jié)果的測(cè)量者是不知的，需要通過(guò)另一個(gè)比他的準(zhǔn)確度更高的測(cè)量過(guò)程測(cè)量才能得到，測(cè)量者只要給出測(cè)量結(jié)果和測(cè)量結(jié)果的可信性（不確定度）就可以了，給不出也沒(méi)有必要給出被測(cè)量真值。
　　3.對(duì)于“只有對(duì)稱區(qū)間，‘區(qū)間半寬’才有物理意義”我持有異議。區(qū)間講的是一個(gè)范圍。范圍只有寬度而無(wú)正負(fù)號(hào)，至于是不是對(duì)稱區(qū)間，則是人為設(shè)定的。例如對(duì)于誤差區(qū)間[-1，0]、[-0.5，+0.5]、[0，+1] ，如果它們的真值分別是9.5、9、8.5，三個(gè)區(qū)間的物理意義完全相同。它們的區(qū)間寬度都是D＝1，半寬都是D/2＝0.5，怎么能夠說(shuō)區(qū)間半寬就沒(méi)有物理意義呢。
　　分辨力的定義是“引起相應(yīng)示值不可檢測(cè)到變化的被測(cè)量的最大變化”，分辨力屬于“區(qū)間”的概念，區(qū)間寬度就是分辨力自己D，分辨力引入的誤差半寬只能是D/2。