測量誤差及數據處理的基礎知識
本篇介紹測量誤差估計、實驗數據處理和實驗結果的表示等問題。所介紹的都是初步知識，這些知識不僅在每一個物理實驗中都要用到，而且是今后從事科學實驗必須了解和掌握的。
一、測量及測量誤差
測量是一種“比較”的過程，就是把待測量和體現計量單位的標準量作比較。物理實驗是以測量為基礎的。研究物理現象、了解物質特性、驗證物理原理都要進行測量。測量分直接測量和間接測量兩類。用量具或儀表直接讀出測量值的，稱為直接測量，相應的物理量稱為直接測得量。例如用米尺測物體的長度，用天平和砝碼測物體的質量，用電流計測線路中的電流，都是直接測量。間接測量指利用直接測量的量與被測的量之間的已知函數關系，從而得到 該被測量值的測量。例如測物體密度時，先測出該物體的體積和質量，再利用公式算出物體的密度。
實踐證明，測量結果都具有誤差，誤差自始至終存在于一切科學實驗和測量的過程中。因為任何測量儀器、測量方法、測量環境、測量者的觀察力等等都不能做到絕對嚴密，這些就使測量不可避免地伴隨有誤差產生。因此分析測量中可能產生的各種誤差，盡可能消除其影響，并對測量結果中未能消除的誤差作出估計，就是物理實驗和許多科學實驗中必不可少的工作。測量誤差就是測量結果與待測量的客觀真值之差，我們稱之為絕對誤差。評價一個測量結果的準確程度不僅看誤差的絕對大小，還要看被測量本身的大小。于是可定義出相對誤差的概念，即相對誤差E=絕對誤差/待測量的客觀真值(用百分數表示)。
二、有效數字及其表示
在實驗中我們所測的被測量都是含有誤差的數值，對這些數值不能任意取舍，應反映出測量值的準確度。所以在記錄數據、計算以及書寫測量結果時，究竟應寫出幾位數字，有嚴格的要求，要根據測量誤差或實驗結果的不確定度來定。例如用300mm長的毫米分度鋼尺(實驗中給出儀器誤差0.3mm)測量某物體的長度，正確的讀法是除了確切地讀出鋼尺上有刻線的位數之外，還應估計一位，即讀到 mm。比如，測出某物的長度是15.2mm，這表明15是確切數字，而最后的2是估計數字。值得注意的是在讀取整刻度值時往往只讀出了整數值，而忘記讀估計的那位“0”。比如，用鋼尺測得的物體長度正好是15mm整，應該記錄15.0mm，不應寫成15mm。又如根據長度和直徑的測量值用計算器算出圓柱體體積為V=6158.3201mm3，Δv=±4mm3。由不確定度為4mm3可以看出，第四位數字8已經是不精確的，它后面的四位數字3201沒有意義。因而圓柱體體積的間接測量值應寫作V=6158±4mm3。6158這四位數字前面的三位是準確數字，后面一位是存疑數字。準確數字和存疑數字的全體稱為有效數字。上例中15.2mm為三位有效數字，6158mm3為四位有效數字。
有效數字位數的多少，直接反映實驗測量的準確度。有效數字位數越多，測量的準確度就越高。例如，用不同精度的量具測量同一物體的厚d時，用鋼尺測量d=6.2mm，儀器誤差0.3mm，
用50分度游標卡尺測量d=6.36mm， 儀器誤差0.02mm，
用螺旋測微計測量d=6.347mm，儀器誤差0.004mm，
由此可見，有效數字多一位，相對誤差E差不多要小一個數量級。因此取幾位有效數字是件嚴肅的事，不能任意取舍。
寫有效數字時應注意的要點：
1.有效數字的位數與小數點位置無關，單位的SI詞頭改變時，有效數字的位數不應發生變化。例如，重力加速度980cm/s2，以“m/s2”表示時記為9.80m/s2，與記為9.8m/s2是不同的。前者有三位有效數字，而后者只有兩位。若寫為0.00980km/s2，則數值前面小數點定位所用的“0”不是有效數字，應從非“0”的第一個數起，仍為三位有效數字。
2.為表示方便，特別是對較大或較小的數值，常用×10±n的形式(n為一正整數)書寫，這樣可避免有效數字寫錯，也便于識別和記憶，這種表示方法叫科學記數法。用這種方法記數值時，通常在小數點前只寫一位數字，例如地球的平均半徑6371km可寫作6.371×106m，表明有四位有效數字。
3.表示測量值最后結果的有效數字尾數與不確定度的尾數一般要取齊。普通物理實驗中不確定度一般取一位至兩位就可以了。當不確定度的第一位數比較小時經常取兩位。相對誤差一般取兩位數。在計算過程中，對中間運算結果適當多保留幾位，以免因過多截取帶來附加誤差。對π， 等值應直接按計算器上的按鍵取用。
4.如果在實驗中沒有進行不確定度的估算，最后結果的有效數字位數的取法如下：一般來說，在連乘除的情況中它跟參與運算的各量中有效數字位數最少的大致相同；在代數和的情況中，則按參與加減的各量的末位數中數量級最大的那一位為結果的末位。
三、用作圖法處理實驗數據
某些實驗的觀測對象是互相關聯的兩個(或兩個以上)物理量之間的變化關系，實驗的任務就是尋求這些物理量互相依存的變化規律。例如，研究單擺周期和擺長的關系，研究金屬電阻隨溫度變化的關系，研究氣體壓強隨溫度變化的關系等等。這一類實驗中的觀測方法是控制某一個量(例如溫度)使之依次取不同的值，從而觀測另一個量所取的對應值，得出一列x1， x2， …xn和另一列對應的y1，y2，…，yn值。如果將這兩組數據記錄在合適的表格內，便一目了然，這叫列表法。更形象地處理這類實驗數據常用作圖法，它能直觀地揭示出物理量之間的規律，粗略顯示對應的函數關系。
為了使圖線能清楚地、定量地反映出物理形象的變化規律，并能準確地從圖線上確定物理量值或求出有關常數，在作圖時必須注意準確度要求，因此必須用坐標紙作圖。
作圖規則：
1.選擇合適的坐標分度值。坐標分度值的選取應符合測量值的準確度，即應能反映測量值的有效數字位數。一般以1或2毫米對應于測量儀表的最小分度值或對應于測量值的次末位數，即倒數第二位數。對應比例的選擇應便于讀數，不宜選成1∶1.5或1∶3，坐標范圍應恰好包括全部測量值，并略有富裕。最小坐標值不必都從零開始，以便作出的圖線大體上能充滿全圖，布局美觀、合理。
2.標明坐標軸。以自變量(即實驗中可以準確控制的量，如溫度、時間)為橫坐標，以因變量為縱坐標。用粗實線在坐標紙上描出坐標軸，在軸上注明物理量名稱、符號、單位(要加括號)，并按順序標出標尺整分格上的量值。
3.標實驗點。實驗點可用“+”、“○、? ”等符號標出。
4.連成圖線。因為每一個實驗點的誤差情況不一定相同，因此不應強求曲線通過每一個實驗點而連成折線(儀表的校正曲線不在此例)。應該按實驗點的總趨勢連成光滑的曲線，要做到圖線兩側的實驗點與圖線的距離最為接近且分布大體均勻。曲線正穿過實驗點時，可以在點處斷開。
5.寫明圖線特征。利用圖上的空白位置注明實驗條件和從圖線上得出的某些參數，如截距、斜率、極大極小值、拐點和漸近線等。有時需通過計算求某一特征量，圖上還須標出被選計算點的坐標及計算結果。
6.寫圖名。在圖紙下方或空白位置標出圖線的名稱以及某些必要的說明，要使圖線盡可能全面反映實驗的情況。最后寫上實驗者姓名、實驗日期，將圖紙與實驗報告訂在一起。
四、實驗數據的直線擬合
作圖法雖然在數據處理中是一個很便利的方法，但在圖線的繪制上往往會引入附加誤差，尤其在根據圖線確定常數時，這種誤差有時很明顯。為了克服這一缺點，在數理統計中研究了直線擬合問題(或稱一元線性回歸問題)，常用一種以最小二乘法為基礎的實驗數據處理方法。由于某些曲線的函數可以通過數學變換改寫為直線，例如對函數 取對數得 ， 與 的函數關系就變成直線型了。因此這一方法也適用于某些曲線型的規律。 |
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