如何建立數學模型

測量不確定度理解與應用(一)
如何建立數學模型
作者的話:
    　　 應《中國計量》編輯部的邀請，根據近幾年來在各種“測量不確定度評定”學習班上講課的經驗和對初學者經常感到困惑的問題或不容易理解的問題，現寫若干短篇并在《中國計量》上連載。為使這些短篇相互獨立，每一篇講述一個問題，合起來看又有一定的系統性。經與編輯部商討，初步確定下述幾個問題:
　　 1  如何建立數學模型
    　　 2  極差法和貝塞爾法之間的比較
    　　 3  被測量Y可能值分布的判定
    　　 4  包含因子k的選擇
    　　 5  測量不確定度評定在不同應用中的差別
    　　 6  測量誤差的基本概念
    　　 7  測量不確定度的基本概念
    　　 8  測量誤差和測量不確定度的差別
　　本期刊載的是第一篇:“如何建立數學模型”。其余各篇今后將陸續刊登。讀者如有要求，希望討論哪些問題，也可以來信建議。如有可能，我們將盡可能滿足大家的要求。
    在測量不確定度評定中，建立數學模型也稱為測量模型化，目的是要建立滿足測量不確定度評定所要求的數學模型，即建立被測量Y和所有各影響量X間的函數關系，其一般形式可寫為:
    Y=f(X1，X2，…，Xn)
    可以說，建立數學模型是進行測量不確定度評定最關鍵的第一步，也是許多初學者在進行測量不確定度評定時遇到的第一個困難。
    《測量不確定度表示指南》(GUM)在摘要介紹測量不確定度評定步驟時，首先就提到要建立數學模型，并說:“The function f should contain every quantity, including all corrections and correction factors, that can contribute a significant component of uncertainty to the result of measurement. ”。其意是數學模型f中應包含所有對測量結果的不確定度有影響的修正值和修正因子。也就是說，數學模型中應包含所有應該考慮的影響量，而每一個影響量將對測量結果貢獻一個值得考慮的不確定度分量。因此一個好的數學模型，其中所包含的影響量和此后不確定度評定中所考慮的每一個不確定度分量應該是一一對應的。這樣建立起來的數學模型，既能用來計算測量結果，又能用來全面地評定測量結果的不確定度。
    要找出每一個影響量與被測量之間的函數關系，往往是很困難的，有時簡直不可能得到兩者關系的解析表達式。于是許多初學者往往將測量中用來獲得被測量的計算公式作為數學模型而列出。例如在各種測量中，最經常采用的方法之一是比較測量。將被測量值y和參考標準所提供的標準量值s相比較，通過測量兩者之差Δ可以計算出被測量y。于是在已經發表的各種測量不確定度評定的文章中，經常見到將y=x+Δ作為數學模型的情況。但在進行不確定度評定時，則又往往脫離數學模型而重新考慮各個不確定度分量。這樣的數學模型對測量不確定度評定實際上毫無幫助。
    在某些特殊情況下(例如某些檢測項目)將計算公式作為數學模型可能是允許的，但一般說來不要把數學模型簡單地理解為就是計算測量結果的公式，也不要理解為就是測量的基本原理公式。兩者之間經常是有區別的。
    從原則上說，似乎所有對測量結果有影響的輸入量都應該在計算公式中出現，但實際情況卻不然。有些輸入量雖然對測量結果有影響，但由于信息量的缺乏，在具體測量時無法定量地計算它們對測量結果的影響。也有些輸入量由于對測量結果的影響很小而被忽略，故在測量結果的計算公式中也不出現，但它們對測量結果的不確定度的影響卻可能是必須考慮的。因此如果僅從計算公式出發來進行不確定度評定，則上述這些不確定度分量就可能被遺漏。當然，在某些特殊情況下如果所有其他不確定度貢獻因素的影響都可以忽略不計時，數學模型也可能與計算公式相同。
    對于不同的被測量和不同的測量方法，數學模型的具體形式可能差別很大，但實際上都可以用一種比較系統的方式來給出數學模型，或者說可以給出數學模型的通式。
    根據測量誤差的定義:誤差=測量結果-真值。同時誤差又可以分為隨機誤差和系統誤差兩類，且三者之間的關系為:誤差=系統誤差+隨機誤差。于是可以得到:
    真值=測量結果-誤差
        　　=測量結果-系統誤差-隨機誤差
    由于修正值等于負的誤差，于是上面的關系式就成為:
    真值=測量結果-系統誤差-隨機誤差
        　　=測量結果+系統誤差的修正值+隨機誤差的修正值
    實際上，真值就是想得到的被測量的測量結果，于是上式可寫成
    被測量=測量結果+系統誤差的修正值+隨機誤差的修正值
   例1:對于常見的量塊比較測量，若ls為標準量塊的長度，Δl為測得的兩量塊的長度差，于是被測量塊長度lx的計算公式為:
    lx=ls+Δl
    由于測量時量塊的溫度通常會偏離標準參考溫度20℃，考慮到溫度和線膨脹系數對測量結果的影響，計算公式成為:
    lx=ls+Δl+lsδαθx+lsαsδθ
     式中α和θ分別表示線膨脹系數和對標準參考溫度20℃的偏差；腳標“s”、“x”分別表示標準量塊和被測量塊；以及δθ=θs-θx和δα=αs-αx。
    考慮到量塊測量點可能偏離量塊測量面中心點對測量結果的影響，數學模型成為:
    lx=ls+Δl+lsδαθx+lsαsδθ+δl
    將此數學模型和上面給出的通式相比較就可以發現，等式右邊的第一、二項ls+Δl即是由測量得到的未修正的測量結果。等式右邊的第三、四項lsδαθx+lsαsδθ是對由溫度偏差所引入的系統誤差的修正值，在本例中這兩項的數值十分小而可以忽略，但它們對測量結果不確定度的影響是必須考慮的。等式右邊的最后一項δl，是表示由于測量點可能偏離量塊中心對測量結果的影響。測量點的偏離對測量結果引入隨機誤差，因此最后一項實際上是對該隨機誤差的修正值。由下圖可見兩者之間的對應關系。

   例2:砝碼校準，將被測砝碼的質量與具有相同標稱值的標準砝碼相比較。若被校準砝碼和標準砝碼的折算質量分別為mx和ms，測得兩者的質量差為Δm，于是被校準砝碼折算質量mx的計算公式為:     mx=ms+Δm
    考慮到標準砝碼的質量自最近一次校準以來可能產生的漂移Δmd，質量比較儀的偏心度和磁效應的影響Δmc，以及空氣浮力對測量結果的影響δB后，其數學模型成為:
    mx=ms+Δm+δmd+δmc+δB
    模型中等式右邊的第一、二項為未修正的測量結果。該測量不存在值得考慮的系統誤差，也就是說，在數學模型中不存在對系統誤差的修正值。等式右邊的第三、四、五項為對三項隨機誤差分量的修正量。與數學模型通式之間的對應關系為:
   在建立數學模型時，未修正的測量結果和系統誤差的修正值通常都能比較容易地得到解析形式的數學表達式。惟有隨機誤差的修正值無法得到其解析形式的表達式。因此只能在數學模型中簡單地加上一項，表示對隨機誤差的修正值。根據隨機誤差的定義，無限多次測量結果的隨機誤差的平均值等于零，因此這些項的數學期望為零。也就是說，增加這些修正值后不會對被測量的數值有影響。需要知道的是這些修正值的可能取值范圍，通常可以由測量者的經驗或輔助的實驗測量得到。再由假定的概率分布，可以通過B類評定估算出它們的標準不確定度。
    有些測量，其計算公式中可能僅包含各影響量的積和商，即被測量可以用下述函數形式表示:
   
   式中的系數c并非靈敏系數，而是比例常數，且指數pi可以為正數或負數。在這種情況下，需要增加的不是修正值，而是相乘的修正因子。此時，數學模型的通式可以表示為:被測量等于未修正測量結果的計算公式乘以由于系統誤差引入的修正因子(它們的數學期望值不等于1)，再乘以由于隨機誤差引入的修正因子(它們的數學期望值等于1)。
    有些領域，例如化學分析領域，經常出現這種類型的數學模型。
   例3:在用原子吸收光譜法測定陶瓷容器中鎘的溶出量的實例中，被測量為被醋酸溶液浸泡的容器單位表面積鎘的溶出量r，它可以表示為:
     
     式中:ρ0——醋酸浸取液中鎘的質量濃度；VL——醋酸浸取液體積；aV——被醋酸溶液浸泡的容器表面積。
    考慮到還有三項隨機誤差在上述公式中未反映出來，它們分別是浸泡溫度、浸泡時間和醋酸的體積分數對測量結果的影響，于是最后采用的數學模型成為:
     
    在該數學模型中， 是未修正的測量結果，ftemp、ftime和facid分別是相對于三項隨機誤差的修正因子，它們的數學期望均等于1。在本例中不存在值得考慮的系統誤差。
    由此可見，寫出符合要求的數學模型并不難，關鍵還是要找到所有能影響測量結果的誤差來源。一般先根據測量的最基本原理導出被測量的基本計算公式，然后考察該計算公式是否已經對所有的系統誤差進行了修正，否則就補充加入其余未考慮的系統誤差分量的修正值(或乘以修正因子)，最后再加上對所有隨機誤差分量的修正值(或乘以修正因子)。只要對測量工作有一定程度的了解，寫出計算公式和系統誤差修正值的函數形式對大部分測量人員并不困難，因此要做的僅是簡單地將所有需要考慮的隨機誤差的修正值(或修正因子)補充進入數學模型。
     必須注意，即使對于相同的被測量和相同的測量方法，數學模型也不是一成不變的。隨著所選擇的影響量的不同，對測量不確定度評定所要求的嚴密程度的不同，其數學模型也可能會有所不同。
    此外，對于測量儀器和量具的常規檢定或校準來說，還必須注意兩者在數學模型上可能存在的微小差別。當被測對象是測量儀器時，由于儀器本身一般不提供標準量值，其量值需要用其他測量標準進行標定。故在進行測量不確定度評定時，被測量應該是測量儀器的示值誤差Ex，因此其數學模型需寫成示值誤差的形式，即“Ex=……”。當被測對象是實物量具時，由于實物量具本身能提供一個標準量值，故在進行測量不確定度評定時，被測量既可以是其相對于標稱值的偏差(相當于示值誤差)，也可以是它所提供的量值。也就是說，其數學模型既可以寫成“y=……”的形式，也可以寫成“Ex=……”。由于兩者之間僅相差一個標稱值，而標稱值是一個規定值而不存在不確定度，因此兩種數學模型在不確定度評定時毫無差別。

[ 本帖最后由 lzl_1972 于 2007-5-14 16:56 編輯 ]

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