如何建立數(shù)學(xué)模型

測量不確定度理解與應(yīng)用(一)
如何建立數(shù)學(xué)模型
作者的話:
    　　 應(yīng)《中國計(jì)量》編輯部的邀請，根據(jù)近幾年來在各種“測量不確定度評定”學(xué)習(xí)班上講課的經(jīng)驗(yàn)和對初學(xué)者經(jīng)常感到困惑的問題或不容易理解的問題，現(xiàn)寫若干短篇并在《中國計(jì)量》上連載。為使這些短篇相互獨(dú)立，每一篇講述一個(gè)問題，合起來看又有一定的系統(tǒng)性。經(jīng)與編輯部商討，初步確定下述幾個(gè)問題:
　　 1  如何建立數(shù)學(xué)模型
    　　 2  極差法和貝塞爾法之間的比較
    　　 3  被測量Y可能值分布的判定
    　　 4  包含因子k的選擇
    　　 5  測量不確定度評定在不同應(yīng)用中的差別
    　　 6  測量誤差的基本概念
    　　 7  測量不確定度的基本概念
    　　 8  測量誤差和測量不確定度的差別
　　本期刊載的是第一篇:“如何建立數(shù)學(xué)模型”。其余各篇今后將陸續(xù)刊登。讀者如有要求，希望討論哪些問題，也可以來信建議。如有可能，我們將盡可能滿足大家的要求。
    在測量不確定度評定中，建立數(shù)學(xué)模型也稱為測量模型化，目的是要建立滿足測量不確定度評定所要求的數(shù)學(xué)模型，即建立被測量Y和所有各影響量X間的函數(shù)關(guān)系，其一般形式可寫為:
    Y=f(X1，X2，…，Xn)
    可以說，建立數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行測量不確定度評定最關(guān)鍵的第一步，也是許多初學(xué)者在進(jìn)行測量不確定度評定時(shí)遇到的第一個(gè)困難。
    《測量不確定度表示指南》(GUM)在摘要介紹測量不確定度評定步驟時(shí)，首先就提到要建立數(shù)學(xué)模型，并說:“The function f should contain every quantity, including all corrections and correction factors, that can contribute a significant component of uncertainty to the result of measurement. ”。其意是數(shù)學(xué)模型f中應(yīng)包含所有對測量結(jié)果的不確定度有影響的修正值和修正因子。也就是說，數(shù)學(xué)模型中應(yīng)包含所有應(yīng)該考慮的影響量，而每一個(gè)影響量將對測量結(jié)果貢獻(xiàn)一個(gè)值得考慮的不確定度分量。因此一個(gè)好的數(shù)學(xué)模型，其中所包含的影響量和此后不確定度評定中所考慮的每一個(gè)不確定度分量應(yīng)該是一一對應(yīng)的。這樣建立起來的數(shù)學(xué)模型，既能用來計(jì)算測量結(jié)果，又能用來全面地評定測量結(jié)果的不確定度。
    要找出每一個(gè)影響量與被測量之間的函數(shù)關(guān)系，往往是很困難的，有時(shí)簡直不可能得到兩者關(guān)系的解析表達(dá)式。于是許多初學(xué)者往往將測量中用來獲得被測量的計(jì)算公式作為數(shù)學(xué)模型而列出。例如在各種測量中，最經(jīng)常采用的方法之一是比較測量。將被測量值y和參考標(biāo)準(zhǔn)所提供的標(biāo)準(zhǔn)量值s相比較，通過測量兩者之差Δ可以計(jì)算出被測量y。于是在已經(jīng)發(fā)表的各種測量不確定度評定的文章中，經(jīng)常見到將y=x+Δ作為數(shù)學(xué)模型的情況。但在進(jìn)行不確定度評定時(shí)，則又往往脫離數(shù)學(xué)模型而重新考慮各個(gè)不確定度分量。這樣的數(shù)學(xué)模型對測量不確定度評定實(shí)際上毫無幫助。
    在某些特殊情況下(例如某些檢測項(xiàng)目)將計(jì)算公式作為數(shù)學(xué)模型可能是允許的，但一般說來不要把數(shù)學(xué)模型簡單地理解為就是計(jì)算測量結(jié)果的公式，也不要理解為就是測量的基本原理公式。兩者之間經(jīng)常是有區(qū)別的。
    從原則上說，似乎所有對測量結(jié)果有影響的輸入量都應(yīng)該在計(jì)算公式中出現(xiàn)，但實(shí)際情況卻不然。有些輸入量雖然對測量結(jié)果有影響，但由于信息量的缺乏，在具體測量時(shí)無法定量地計(jì)算它們對測量結(jié)果的影響。也有些輸入量由于對測量結(jié)果的影響很小而被忽略，故在測量結(jié)果的計(jì)算公式中也不出現(xiàn)，但它們對測量結(jié)果的不確定度的影響卻可能是必須考慮的。因此如果僅從計(jì)算公式出發(fā)來進(jìn)行不確定度評定，則上述這些不確定度分量就可能被遺漏。當(dāng)然，在某些特殊情況下如果所有其他不確定度貢獻(xiàn)因素的影響都可以忽略不計(jì)時(shí)，數(shù)學(xué)模型也可能與計(jì)算公式相同。
    對于不同的被測量和不同的測量方法，數(shù)學(xué)模型的具體形式可能差別很大，但實(shí)際上都可以用一種比較系統(tǒng)的方式來給出數(shù)學(xué)模型，或者說可以給出數(shù)學(xué)模型的通式。
    根據(jù)測量誤差的定義:誤差=測量結(jié)果-真值。同時(shí)誤差又可以分為隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差兩類，且三者之間的關(guān)系為:誤差=系統(tǒng)誤差+隨機(jī)誤差。于是可以得到:
    真值=測量結(jié)果-誤差
        　　=測量結(jié)果-系統(tǒng)誤差-隨機(jī)誤差
    由于修正值等于負(fù)的誤差，于是上面的關(guān)系式就成為:
    真值=測量結(jié)果-系統(tǒng)誤差-隨機(jī)誤差
        　　=測量結(jié)果+系統(tǒng)誤差的修正值+隨機(jī)誤差的修正值
    實(shí)際上，真值就是想得到的被測量的測量結(jié)果，于是上式可寫成
    被測量=測量結(jié)果+系統(tǒng)誤差的修正值+隨機(jī)誤差的修正值
   例1:對于常見的量塊比較測量，若ls為標(biāo)準(zhǔn)量塊的長度，Δl為測得的兩量塊的長度差，于是被測量塊長度lx的計(jì)算公式為:
    lx=ls+Δl
    由于測量時(shí)量塊的溫度通常會(huì)偏離標(biāo)準(zhǔn)參考溫度20℃，考慮到溫度和線膨脹系數(shù)對測量結(jié)果的影響，計(jì)算公式成為:
    lx=ls+Δl+lsδαθx+lsαsδθ
     式中α和θ分別表示線膨脹系數(shù)和對標(biāo)準(zhǔn)參考溫度20℃的偏差；腳標(biāo)“s”、“x”分別表示標(biāo)準(zhǔn)量塊和被測量塊；以及δθ=θs-θx和δα=αs-αx。
    考慮到量塊測量點(diǎn)可能偏離量塊測量面中心點(diǎn)對測量結(jié)果的影響，數(shù)學(xué)模型成為:
    lx=ls+Δl+lsδαθx+lsαsδθ+δl
    將此數(shù)學(xué)模型和上面給出的通式相比較就可以發(fā)現(xiàn)，等式右邊的第一、二項(xiàng)ls+Δl即是由測量得到的未修正的測量結(jié)果。等式右邊的第三、四項(xiàng)lsδαθx+lsαsδθ是對由溫度偏差所引入的系統(tǒng)誤差的修正值，在本例中這兩項(xiàng)的數(shù)值十分小而可以忽略，但它們對測量結(jié)果不確定度的影響是必須考慮的。等式右邊的最后一項(xiàng)δl，是表示由于測量點(diǎn)可能偏離量塊中心對測量結(jié)果的影響。測量點(diǎn)的偏離對測量結(jié)果引入隨機(jī)誤差，因此最后一項(xiàng)實(shí)際上是對該隨機(jī)誤差的修正值。由下圖可見兩者之間的對應(yīng)關(guān)系。

   例2:砝碼校準(zhǔn)，將被測砝碼的質(zhì)量與具有相同標(biāo)稱值的標(biāo)準(zhǔn)砝碼相比較。若被校準(zhǔn)砝碼和標(biāo)準(zhǔn)砝碼的折算質(zhì)量分別為mx和ms，測得兩者的質(zhì)量差為Δm，于是被校準(zhǔn)砝碼折算質(zhì)量mx的計(jì)算公式為:     mx=ms+Δm
    考慮到標(biāo)準(zhǔn)砝碼的質(zhì)量自最近一次校準(zhǔn)以來可能產(chǎn)生的漂移Δmd，質(zhì)量比較儀的偏心度和磁效應(yīng)的影響Δmc，以及空氣浮力對測量結(jié)果的影響δB后，其數(shù)學(xué)模型成為:
    mx=ms+Δm+δmd+δmc+δB
    模型中等式右邊的第一、二項(xiàng)為未修正的測量結(jié)果。該測量不存在值得考慮的系統(tǒng)誤差，也就是說，在數(shù)學(xué)模型中不存在對系統(tǒng)誤差的修正值。等式右邊的第三、四、五項(xiàng)為對三項(xiàng)隨機(jī)誤差分量的修正量。與數(shù)學(xué)模型通式之間的對應(yīng)關(guān)系為:
   在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，未修正的測量結(jié)果和系統(tǒng)誤差的修正值通常都能比較容易地得到解析形式的數(shù)學(xué)表達(dá)式。惟有隨機(jī)誤差的修正值無法得到其解析形式的表達(dá)式。因此只能在數(shù)學(xué)模型中簡單地加上一項(xiàng)，表示對隨機(jī)誤差的修正值。根據(jù)隨機(jī)誤差的定義，無限多次測量結(jié)果的隨機(jī)誤差的平均值等于零，因此這些項(xiàng)的數(shù)學(xué)期望為零。也就是說，增加這些修正值后不會(huì)對被測量的數(shù)值有影響。需要知道的是這些修正值的可能取值范圍，通常可以由測量者的經(jīng)驗(yàn)或輔助的實(shí)驗(yàn)測量得到。再由假定的概率分布，可以通過B類評定估算出它們的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。
    有些測量，其計(jì)算公式中可能僅包含各影響量的積和商，即被測量可以用下述函數(shù)形式表示:
   
   式中的系數(shù)c并非靈敏系數(shù)，而是比例常數(shù)，且指數(shù)pi可以為正數(shù)或負(fù)數(shù)。在這種情況下，需要增加的不是修正值，而是相乘的修正因子。此時(shí)，數(shù)學(xué)模型的通式可以表示為:被測量等于未修正測量結(jié)果的計(jì)算公式乘以由于系統(tǒng)誤差引入的修正因子(它們的數(shù)學(xué)期望值不等于1)，再乘以由于隨機(jī)誤差引入的修正因子(它們的數(shù)學(xué)期望值等于1)。
    有些領(lǐng)域，例如化學(xué)分析領(lǐng)域，經(jīng)常出現(xiàn)這種類型的數(shù)學(xué)模型。
   例3:在用原子吸收光譜法測定陶瓷容器中鎘的溶出量的實(shí)例中，被測量為被醋酸溶液浸泡的容器單位表面積鎘的溶出量r，它可以表示為:
     
     式中:ρ0——醋酸浸取液中鎘的質(zhì)量濃度；VL——醋酸浸取液體積；aV——被醋酸溶液浸泡的容器表面積。
    考慮到還有三項(xiàng)隨機(jī)誤差在上述公式中未反映出來，它們分別是浸泡溫度、浸泡時(shí)間和醋酸的體積分?jǐn)?shù)對測量結(jié)果的影響，于是最后采用的數(shù)學(xué)模型成為:
     
    在該數(shù)學(xué)模型中， 是未修正的測量結(jié)果，ftemp、ftime和facid分別是相對于三項(xiàng)隨機(jī)誤差的修正因子，它們的數(shù)學(xué)期望均等于1。在本例中不存在值得考慮的系統(tǒng)誤差。
    由此可見，寫出符合要求的數(shù)學(xué)模型并不難，關(guān)鍵還是要找到所有能影響測量結(jié)果的誤差來源。一般先根據(jù)測量的最基本原理導(dǎo)出被測量的基本計(jì)算公式，然后考察該計(jì)算公式是否已經(jīng)對所有的系統(tǒng)誤差進(jìn)行了修正，否則就補(bǔ)充加入其余未考慮的系統(tǒng)誤差分量的修正值(或乘以修正因子)，最后再加上對所有隨機(jī)誤差分量的修正值(或乘以修正因子)。只要對測量工作有一定程度的了解，寫出計(jì)算公式和系統(tǒng)誤差修正值的函數(shù)形式對大部分測量人員并不困難，因此要做的僅是簡單地將所有需要考慮的隨機(jī)誤差的修正值(或修正因子)補(bǔ)充進(jìn)入數(shù)學(xué)模型。
     必須注意，即使對于相同的被測量和相同的測量方法，數(shù)學(xué)模型也不是一成不變的。隨著所選擇的影響量的不同，對測量不確定度評定所要求的嚴(yán)密程度的不同，其數(shù)學(xué)模型也可能會(huì)有所不同。
    此外，對于測量儀器和量具的常規(guī)檢定或校準(zhǔn)來說，還必須注意兩者在數(shù)學(xué)模型上可能存在的微小差別。當(dāng)被測對象是測量儀器時(shí)，由于儀器本身一般不提供標(biāo)準(zhǔn)量值，其量值需要用其他測量標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行標(biāo)定。故在進(jìn)行測量不確定度評定時(shí)，被測量應(yīng)該是測量儀器的示值誤差Ex，因此其數(shù)學(xué)模型需寫成示值誤差的形式，即“Ex=……”。當(dāng)被測對象是實(shí)物量具時(shí)，由于實(shí)物量具本身能提供一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量值，故在進(jìn)行測量不確定度評定時(shí)，被測量既可以是其相對于標(biāo)稱值的偏差(相當(dāng)于示值誤差)，也可以是它所提供的量值。也就是說，其數(shù)學(xué)模型既可以寫成“y=……”的形式，也可以寫成“Ex=……”。由于兩者之間僅相差一個(gè)標(biāo)稱值，而標(biāo)稱值是一個(gè)規(guī)定值而不存在不確定度，因此兩種數(shù)學(xué)模型在不確定度評定時(shí)毫無差別。

[ 本帖最后由 lzl_1972 于 2007-5-14 16:56 編輯 ]

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