從不確定度到關于有效數字定義的探討

從不確定度到關于有效數字定義的探討

山東電力研究院計量檢測中心  范巧成  汪東軍

發布時間：2008-5-7

　　有效數字的概念是計量學里的一個基本概念，它對規范數據記錄及測量結果的表達起著重要作用。但隨著誤差理論的發展，特別是《測量不確定度表示指南》和JJF1059-1999《測量不確定度的評定與表示》的實施，原來有效數字的定義對數據的表達已不適應，為此筆者愿與大家就有效數字的定義作一探討。

　　一、關于有效數字的定義或解釋
　　有效數字是對近似數而言的，其定義在《誤差理論與數據處理》和《計量學概論》等資料中有時會看到不同的說法，例如:①如果近似數Z的誤差限是某一位上的半個單位，則從這一位起直到Z的第一個非零數字均為有效數字。②如果計量結果L的極限誤差不大于某一位上的半個單位，我們就說該位就是有效數字的末位，并且如果該位到L的左起第一個非零數字一共有幾位，就說L有幾位有效數字。③若數據的最末一位有半個單位以內的誤差，而其它數據都是準確的，則各位數字都是“有效數字”。④在《中國實驗室注冊評審員培訓教程》中給出的有效數字的概念為:當該近似數的絕對誤差的模小于0.5(末)時，從左邊的第一個非零數字算起，直到最末一位數字為止的所有數字。所謂(末)，指的是任何一個數最末一位數字所對應的單位量值，如19.8m的(末)為0.1m。這些定義說法雖然不同，但表達的意思是類似的，即都提到了誤差或極限誤差，且其數值不大于某一位上的半個單位，該數位為最小的有效數位，左起第一個非零數字為最大的有效數位。
　　在GB8170-1987《數值修約規則》中對術語“有效位數”的解釋是:對沒有小數且以若干個零結尾的數值，從非零數字最左一位向右數得到的位數減去無效零(即僅為定位用的零)的個數；對其它十進位數，從非零數字最左一位向右數而得到的位數，就是有效位數。該解釋中沒有提及誤差或極限誤差。

　　二、在測量不確定度的評定與表示中對有效數字的理解
　　JJF1059-1999 《測量不確定度的評定與表示》中沒有給出有效數字的定義，但使用了有效數字的概念，如8.13款:估計值的數值y和它的標準不確定度Uc(y)或擴展不確定度U的數值都不應該給出過多的位數。通常Uc(y)和U[以及輸入估計值xi的標準不確度度U(xi)]最多為兩位有效數字。輸入和輸出的估計值，應修約到與他們不確定度的位數一致。例如:如果y=10.057 62Ω其Uc(y)=27mΩ，則y應進位到10.058 Ω。
　　也就是說當不確定度取兩位有效數字時，輸出的估計值修約到與他們擴展不確定度的位數相一致后，其最后兩位均會是不確定的，但他們同樣是有效數字，這樣上面的10.058 Ω就是5位有效數字。如果按照前面4個有效數字的定義來判斷 10.058 Ω的有效數字的位數，由于Uc(y)=27 mΩ，則其最多為4位有效數字。

　　三、關于有效數字定義的探討
　　從4個有效數字的定義來看，有效數字都與過去所定義的極限誤差有關，且其數值不大于某一位上的半個單位。從前面2個定義看這個“某一位”不一定是數值的最后1位，在某書中給出這樣的例子:“4876±3和18765±12都是4位有效數字”。實際上這也不符合定義，因為對于4876±3來說誤差限為3，這里的“某一位”是個位，其半個單位是0.5，即極限誤差大于某一位上的半個單位，不符合極限誤差不大于某一位上的半個單位，嚴格按定義來講4876±3只有3位有效數字即487。同樣，18765±12說它是4位有效數字也不符合定義，因為假設是4位，這里的“某一位”是十數位，其半個單位是5，而極限誤差是12，即極限誤差大于某一位上的半個單位，與定義不符。
　　從后面2個定義看也有問題。它是將近似數修約為其絕對誤差的模小于最末一位的半個單位或小于0.5(末)，也就是說當我們給出一個報告值后，從其保留的位數就可知道其絕對誤差的模的極限。《中國實驗室注冊評審員培訓教程》中給出了這樣的例子:“測量結果的數字，其有效位數代表結果的不確定度，例如，某長度測量值為19.80mm，有效數字為3位；若是19.8mm，有效數字為4位。它們的絕對誤差的模分別小于0.5(末)，即分別小于0.05mm和0.005mm。”這種數據的給出與JJF1059-1999《測量不確定度的評定與表示》不符。因為，從這個例子可以獲知這兩個數的極限誤差分別為0.05mm和0.005mm，也就是其擴展不確定度分別為0.05mm和0.005mm，按照JJF1059-1999這樣的測量結果應修約到與他們不確定度的位數一致，即應為19.80mm和19.800mm。
　　綜合上述情況，筆者認為對于近似數應繼續使用有效數字的概念，但其定義應作一變化，否則無法與JJF1059-1999《測量不確定度的評定與表示》中規定的標準不確定度的有效數字位數以及輸出量的估計值的有效數字位數相適應。有效數字應當是給出的有用的數字，它與顯示裝置的分辨力、數據處理者的需要或不確定度的數值等有關，因此，對有效數字是否可給出這樣的定義:有效數字是觀測者或數據處理者根據顯示裝置的分辨力、數據處理的需要或不確定度的數值等對一個近似數所保留的位數，它是從保留的末位直到左邊的第一個非零數字的所有數字。關于有效位數的確定方法與GB8170-1987《數值修約規則》相同，即:對沒有小數且以若干個零結尾的數值，從非零數字最左一位向右數得到的位數減去無效零(即僅為定位用的零)的個數；對其它十進位數，從非零數字最左一位向右數而得到的位數，就是有效位數。
　　這里“根據顯示裝置的分辨力”是指所讀取和記錄的數值應當是顯示裝置的分辨力的整數倍，此時所獲得的數據位數是恰當的；“根據數據處理的需要”是指例如:將無限不循環小數π=3.14159…根據數據處理的需要截取到百分位可得近似數3.14，此近似數為3位有效數字，如根據需要截取到千分位可得近似數3.142，此近似數為4位有效數字。“根據不確定度的數值”是指符合JJF1059-1999的要求，例如某測量結果為L=10.1245 m，經測量不確定度評定其擴展不確定度為U=0.10m，k=2，則報告值應為L=10.12 m，為4位有效數字，如果其擴展不確定度為U=0.010 m，k=2，則報告值應為L=10.124m，為5位有效數字。另外，對于一個位數很多的計算結果，在沒有按規定修約之前最好不要說它有幾位有效數字，而只說它是幾位數。
　　這樣，有效數字的定義就與JJF1059-1999《測量不確定度的評定與表示》基本一致，也符合習慣，即按規定給出的位數都應當是有效的位數，無效的位數也就沒有給出的必要。