測量結果的詳細表達與示意圖

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                               測量結果的詳細表達與示意圖
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                                                                                                           史錦順
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引言  基本定義的公式表達
       誤差表示測得值與被測量真值的差距。依應用場合的不同，有三種含義：誤差元、誤差范圍或泛指二者。
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       誤差元：測得值減真值
                  r = M-Z                                                                              （1）
       誤差范圍：誤差元的絕對值的一定概率（99%以上）意義上的最大可能值
                  R =|r|_max = |M-Z|_max                                                        （2）
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       誤差范圍是誤差理論的基本概念，它貫通于測量儀器的研制、計量、應用測量三大場合。誤差范圍又稱為：極限誤差、準確度、準確度等級、最大允許誤差等。
       誤差元是構成誤差范圍的元素。誤差元是誤差分析的基礎。誤差元的定義提示：誤差分析就是求測得值函數的差分或微分。有了誤差元，才能求出誤差范圍，并使誤差范圍有明確的物理意義。誤差范圍的定義，體現了誤差量的兩大特點：絕對性和上限性，也提示了推導公式的基本方法是解絕對值方程和找絕對值的最大值。
       公式（1）與公式（2）是誤差理論的基本公式。是測量計量理論公式化即嚴格化的基礎。
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1 測量結果的簡化表達
1.1 公式推導
       從公式（2），可以方便地推導測量結果的公式。
       物理公式是關于真值的關系式。表征儀器物理機制的物理公式為
                  Z = f (X₁,X₂,……X_N)                                                            （1.1）
       Z為被測量的真值。Xi是儀器各構成單元作用量的真值。
       測量儀器的計值公式為
                  M = f(X_1m/o,X_2m/o,……,X_Nm/o)                                           （1.2）
       m表測得值，o表標稱值，二取其一。
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       誤差元為
                  r = M – Z
                    = f(X_1m/o,X_2m/o,……,X_Nm/o) - f(X₁,X₂,……X_N)                             （1.3）
       誤差元的絕對值的最大值為
                  │M-Z│_max= │f(_X1m/o,X_2m/o,……,X_Nm/o) - f(X₁,X₂,……X_N)│_max     （1.4）
       這個“誤差元絕對值的最大可能值”就是誤差范圍，記（1.4）式右端為誤差范圍R(恒正), 有
                  │M –Z│_max= R                                                                     （3）
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       公式（3）是一個基本公式。本節前面的推導，是測量儀器誤差范圍本身的內容表達；下面由誤差范圍的定義，推導測量結果的公式。
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       去掉（3）式最大值符號，有
                  │M – Z│ ≤ R                                                                      （1.5）
       解絕對值關系式（1.5）
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       當 Z＜M時
                  ∵ M – Z ≤ R
                  ∴ Z ≥ M - R                                                                         （1.6）
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       當Z＞M時
                  ∵ Z - M ≤ R  
                  ∴ Z ≤ M + R                                                                       （1.7）
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       綜合（1.6）式、（1.7）式，有
                 M-R ≤ Z ≤ M + R                                                                  （4）
      （4）式簡記為
                 Z = M ± R                                                                            （5）
      （5）式是測量結果的表達式。簡稱測量結果。
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1.2 測量儀器的誤差范圍指標值，就用為測量中測得值的誤差范圍值
       測量儀器示值誤差的定義：在正常工作環境下，測量儀器示值與被測量真值之差
                  r_儀 = M-Z                                                                           （2.8）
                  R_儀= |r_儀|_max = |M-Z|_max                                                  （2.9）
       同一規格型號的儀器，標有誤差范圍的同一指標值，記為R_儀/指標。
       測量誤差的定義式是（1）（2），有
                  R_測 = R = R_儀
                  ∵R_儀 ≤ R_儀/指標
                  ∴R_測 ≤ R_儀/指標
       故可用R_儀/指標表示R_測，保守計算，有：
                   R_測 = R_儀/指標   
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       用測量儀器測量被測量，在儀器的正常工作條件下，測得值的誤差范圍不會超過測量儀器的誤差范圍指標值。因此，用測量儀器的誤差范圍指標值當測得值的誤差范圍，是冗余代換。不必另行評定，就認定：
                  R_測 = R_儀/指標（MPEV）                                                      （6）
       根據公式（6），測量工作中，用測量儀器的誤差范圍指標值，當做測得值的誤差范圍.這對實際工作是十分方便的。
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2 測量結果的詳細表達
       著眼于全區間的簡化表達式為
                 M-R ≤ Z ≤ M + R                                                                   （4）
       M是測得值，Z是被測量的真值，R是誤差范圍。
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2.1 R的表達      
       定義式
                   R =|r|_max = |M-Z|_max
                   r = M-Z=M_平±3σ - Z
                   r = β±3σ                                                                              （7）
        （7）式之二項取方根，就是一項系統誤差與一項隨機誤差范圍的合成，為：
                   R =√[β²+(3σ)²]                                                                   （8）
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2.2 測量結果的詳細表達
       系統誤差β的幅度|β|是恒定值；而其符號，可能是正值，也可能是負值。這樣，被測量真值存在區間的負極值為
                  -R= -√[(-|β|)²+(3σ)²]                                                           （9）
       被測量真值存在區間的正極值為
                  +R= +√[(+|β|) ²+(3σ)²]                                                       （10）
       關于公式（9）（10）符號的說明：在被測量真值存在區間的表達中，測得值M平是比較標準，是常量，而被測量的真值Z是變量。故下界點是-|β|，而上界點是+|β|。
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       著眼于全區間的測量結果的詳細表達為
                  M_平 -√[(-|β|)²+(3σ)²] ≤ Z ≤ M_平 +√[(-|β|)²+(3σ)²]              （11）
       （11）式是測量結果，簡記為
                  L_真= M_平±√[β²+(3σ)²]                                                        （12）
        與測量結果詳細表達式（11）相應的被測量存在區間的表達式為：
                 【-√[(-|β|)²+(3σ)²] ，+√[(-|β|)²+(3σ)²]】                            （13）
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2.3 測量結果的示意圖
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       此圖有點難畫。怎樣才能表達清楚，請網友指教。
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3 不確定度理論圖示的錯誤
3.1 葉德培原圖
       此圖載于《中國計量》2013.8 《測量不確定度評定與表示》系列講座 《第二講 測量不確定度評定中的一些基本術語及概念(一)》。
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    說明：
    Y_o：被測量的真值
     y:  測得值
     U： 擴展不確定度
     y-U: 區間下界
    y+U: 區間上界
    Δ： 系統誤差（測得值減真值）

3.2 圖2的來源
    此圖不是葉先生的獨創，其根源來自GUM（D6圖解說明）。畫得易懂些。本文的否定性評論，針對的是GUM，不是只限于葉先生。
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3.3 論圖2
    1 分散性的圖解
    不確定度的主定義說：不確定度是分散性。這張圖體現了這一點。不確定度區間是
             [y-U，y+U]                                                                                  （14）
    這個區間的范圍，僅限于隨機誤差。不包括被測量的真值。
    2 違背VIM3的定義
    圖2的區間不包含真值，區間就毫無意義。這個圖解，違背了VIM3的“不確定度為半寬的區間包含真值”的正確說法，因而圖2 是個有根本性錯誤的錯圖。
    3 正確的區間與畫法
    圖中的U僅是擴展不確定度的一部分，要記為U(隨機)，而Δ是系統誤差。因系統誤差僅有一個，與隨機誤差合成U95，用“方和根法”。有
            U₉₅ =√(U²+Δ²)                                                                            （15）
    這樣構成的區間[y-U₉₅，y+U₉₅]，必然包含被測量的真值，就是有意義的區間了。

       B 史錦順改圖
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附件與上面圖形重復，刪掉。





補充內容 (2017-1-31 07:24):
（11）?式改為：? ?M平 -√[(-|β|)^2+(3σ)^2]  ≤  Z  ≤  M平 +√[(+|β|)^2+(3σ)^2]? ?? ?? ?? ???（11）

csln 發表于 2017-2-6 18:19
還要什么規范性的準則呢，GUM、JJF 1059還不夠明確嗎，有定義、有公式、有說明，誰同U95相聯系，誰同U95 ...

誰同U95相聯系，請看GUM、JJF 1059中測量模型的范例，不要看以誤差建立的那種測量模型，那種體現不出，還可以看看測量不確定度分量的組成，看看為什么要引入計量標準的不確定度分量，而不是被校儀器的。或者你親自建立一個測量模型，并對被測量Y給出定義，看看所謂100%不包括真值的測量模型是什么樣的。不是我要背書，規范中的內容要是不吃透，沒法分析問題。

(2.2 更改如下)
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2.2 測量結果的詳細表達
       系統誤差β的幅度|β|是恒定值；而其符號，可能是正值，也可能是負值。這樣，被測量真值存在區間的負極值為
                  -R= -√[(-|β|)²+(3σ)²]                                                           （9）
等效表達為
                  -R= -√[β²+(3σ)²]                                                                  （9'）     
       被測量真值存在區間的正極值為
                  +R= +√[(+|β|)²+(3σ)²]                                                       （10）
等效表達為
                  +R= +√[β²+(3σ)²]                                                               （10'）
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       關于公式（9）（10）符號的說明：在被測量真值存在區間的表達中，測得值M_平是比較標準，是常量，而被測量的真值Z是變量。故下界點是-|β|，而上界點是+|β|。
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       著眼于全區間的測量結果的詳細表達為
                  M_平 -√[β²+(3σ)²] ≤ Z ≤ M_平 +√β²+(3σ)²]                                        （11）
       （11）式是測量結果，簡記為
                  L_真= M_平±√[β²+(3σ)²]                                                                     （12）
        與測量結果詳細表達式（11）相應的被測量真值存在區間的表達式為：
                 【-√[β²+(3σ)²] ，+√[β²+(3σ)²]】                                                      （13）
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補充內容 (2017-1-31 09:59):
（11）式應為：?? ?M平 -√[β^2+(3σ)^2] ≤ Z ≤ M平 +√[β^2+(3σ)^2]? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? （11）

　　我認為史老師關于誤差理論的解釋和圖1的表示都是正確的。測得值的平均值M平距離被測量真值Z的距離為“系統誤差”，隨著測量次數的增加系統誤差也就趨于一個固定不變的值。倒鐘形區域內的值是所有的測得值，其中±3σ區域半寬就是測得值在置信概率99.73內的隨機誤差（包含過去所說的“未定系統誤差”）。所有的測得值（倒鐘形范圍內）都在允許的測量上下限Z上和Z下之內，因此所有的被測件均判為合格。
　　對于圖2，史老師說是葉德培老師給出的不確定度理論圖示。對于這個圖示，基本上也是正確的，我認為唯一錯誤僅在于把y和Y0的含意寫反了，“ Yo：被測量的真值， y:  測得值 ”應該改為“Yo：測得值， y:  被測量的真值”。因為根據“測量不確定度”的定義，不確定度應該是估計的被測量真值所在區間的半寬，而不是被測量測得值所在區間的半寬，被測量測得值所在區間的半寬應該稱為“測得值誤差范圍的半寬”，與“估計的真值所在區間半寬”完全不是一個概念。
　　對于史老師修改的圖（不妨叫圖3），如果將符號含意明確為：Yo：測得值， y:  被測量的真值，Δ：系統誤差，U：擴展不確定度，U95改寫為Δmax：測得值最大誤差，也就順理成章了。因為真值具體大小測量者無法知曉，但可以憑測量方法的有用信息估計在倒鐘形的區間內，假設真正的真值就在倒鐘形對稱中心的右側距離測得值Y0為Δmax（圖中的U95）處，測得值Y0與真值的距離就應該是該測得值的實際最大誤差Δmax。所有測得值的平均值加減最大誤差限定的區間就是在合理的置信概率下，全部測得值的分散性區間，這個區間只要不超出被測參數允許的上下限限定的區間，就都可以判為合格。當然，做出這個判斷還有一個前提條件，那就是擴展不確定度U不得大于被測參數允許的上下限限定的區間寬度的1/3（注：如果是校準則為不得大于1/6）。

        （試發，征求意見）

　　史老師沒有給出4樓“被測量真值存在區間示意圖”所用符號的含意。我按史老師使用符號的習慣理解為：Z代表被測量真值，Z_上限和Z_下限分別代表被測量真值存在區間的上限值和下限值；M代表被測量的測得值，因此M_平代表同一被測量的眾多次測量的測得值算術平均值；R代表被測量測得值的測量誤差，本圖中的R則代表被測量眾多測得值的算術平均值的誤差絕對值。不知道我的理解是否正確？
　　如果正確，我還有二個疑問：為何圖中有三個符號Z？其中Z到M_平的距離β代表什么含義？請史老師指教。

測量結果示意圖
Z：真值，橫軸變量
M_平：測量儀器示值平均值，即測得值
β：測量儀器的系統誤差
σ：測量儀器的隨機誤差
R：誤差范圍。誤差元絕對值一定概率（99%）意義上的最大可能值
Z_上限Z_下限：被測量真值存在區間的上限值與下限值

史錦順 發表于 2017-2-2 17:35
測量結果示意圖
Z：真值，橫軸變量
M：測量儀器示值平均值，即測得值

繪此圖時宜先明確兩個"前提":

1.  被測量是否近似為"常量"？即，真值Z是否近似"唯一"？

2.  以"M_平"為中心分布的那若干"測得值"是否屬于同一個"重復測量"？

若這兩條是"肯定"答案，則相對容易繪出---所謂"經典誤差理論"的著作大都恰當呈現了“此圖”！

若其一、甚至二者為"否"，則不易恰當繪出。

　　謝謝史老師6樓的補充說明和示意圖的修改。
　　我贊同7樓的觀點。
　　另外我補充一點：因為6樓示意圖是“被測量近似為常量，即，真值Z近似唯一"的情況，因此Z_上限Z_下限的含意應改為：被測量測得值存在區間的上限值與下限值，Z_(β)或Z_(-β)就是修正了系統誤差后的被測量真值最佳估計值或稱被測量參考值。圖中無測量不確定度的什么事，和測量不確定度無關。

        6#的《測量結果示意圖》，是雞年春節期間老史的最新研究心得。算不算研究成果，可能看法不同，可以慢慢品評；但有新意，是任何人也否定不了的。要點是：
       1）測得值函數與其反函數——被測量真值函數的區分；
       2）確切標識并貫徹坐標圖橫軸的意義；
       3）鐘形圖該畫在哪里。
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       6#圖的意義是：體現了物理意義、數學推導、測量應用的統一。
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       如果此圖在書中本來已有，就不會出現葉德培示意圖的錯誤。老史原來的“改圖”，雖然表達出了“測量結果區間”，但鐘形圖的位置是錯誤的，這里面包含著“測得值函數”與“真值函數”的混淆。
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       瞭望一眼，就斷然說：書上有。哪里有？誰見過如此“雙峰”圖？
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       測量結果示意圖，既是誤差理論的，也必然能用于不確定度理論。因為講的是同一對象——“測量結果”。承認6#的圖，就必然要否定葉德培的圖2。怎能說與不確定度沒關系？

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瞭望一眼，說書上有恰當的"此圖"，并非肯定6#的圖！6#圖確是前所未見，不過不倫不類，不值得評論。

葉德培的圖不能簡單的說錯了，首先，廣義上的”測量“并不是“計量”，不一定具有溯源性；其次，即使是“計量”，真值仍然有一定概率落在區間外，所以真值畫在區域內或區域外，都是可以理解的。

葉先生的圖沒有任何錯誤，不管是通常意義上的測量還是計量都是適用的

要先看看自己是否明白了測量不確定度與儀器不確定度的不同

       “包含概率”指的是對“估計值”的包含概率，至于“估計值”本身是否來自于標準器還是別的儀器，則不一定，具體情況具體分析，所以一定把“真值”放在“包含區間”里沒有必要的。

285166790 發表于 2017-2-4 11:10
“包含概率”指的是對“估計值”的包含概率，至于“估計值”本身是否來自于標準器還是別的儀器，則 ...

您這個"估計值"是什么？與"測得值"是什么關系？  與"測量不確定度"關聯的那個"包含區間"的"中心"有沒有關系？………您進行"測量"的"目標"是什么？

njlyx 發表于 2017-2-4 13:47
您這個"估計值"是什么？與"測得值"是什么關系？  與"測量不確定度"關聯的那個"包含區間"的"中心"有沒有關 ...

“估計值”全稱”被測量的估計值“，是”測量結果“這個區間的中心點。”測得值“不是一個專業術語。

285166790 發表于 2017-2-4 15:04
“估計值”全稱”被測量的估計值“，是”測量結果“這個區間的中心點。”測得值“不是一個專業術語。 ...

您那是什么“專業”呢？——

njlyx 發表于 2017-2-4 15:14
您那是什么“專業”呢？——

恩，也算是專業術語，只是較少使用，從它的注解里也清楚地表明了和”被測量的估計值“之間的關系，實際上是一個意思。
至于測量目標當然是盡可能得到真值，但這個話題是就統計學原理的本身的討論，如果是經過溯源的儀器進行的測量，其測量結果理論上是包含真值的。

285166790 發表于 2017-2-4 15:36
恩，也算是專業術語，只是較少使用，從它的注解里也清楚地表明了和”被測量的估計值“之間的關系，實際上 ...

您13#那【 “包含概率”指的是對“估計值”的包含概率，....】不“通”吧？....這“估計值”就在那“包含區間”的“中央”，啥時候會不被“包含”？

“測量目標當然是盡可能得到真值”，那說得“通”的“包含概率”應該是包含“真值”的“概率”——既然是“概率”包含，便存在“真值”實際不落在“區間”內的“可能”性——將“真值”示意標在“9x.x%的包含區”之外本身并不算錯。但若是要由此說明【“包含概率”不是包含“真值”的“概率”】，......??

njlyx 發表于 2017-2-4 15:44
您13#那【 “包含概率”指的是對“估計值”的包含概率，....】不“通”吧？....這“估計值” ...

“估計值”是區間表達的中心值，也是本次測量的“測得值”，是本次包含區間的中心值。但是下一次同樣的試驗，“估計值”或者“測得值”，就不完全一樣了，如果多次重復進行該實驗，所得的“估計值”或“測得值”將以一定概率落在我們第一次實驗得出的包含區間內，這樣解釋清楚了吧。
       從定義你也可以看出，“包含區間”和"真值“沒有直接的關系，如果要跟”真值“掛鉤，那是儀器經過溯源的結果。”包含區間“的數學原理來自于統計學的”置信區間“，如果沒有溯源環節，那么它只是一項普通的數學計算。
      當然，把真值畫到不確定度區間里，更加便于理解，畢竟測量主要還是由是經過溯源的儀器所進行的，在這種情況下，絕大多數時候真值是在包含區間里的。

285166790 發表于 2017-2-4 15:57
“估計值”是區間表達的中心值，也是本次測量的“測得值”，是本次包含區間的中心值。但是下一次同樣的試 ...

看一下你出具的校準報告，有大量測量結果的包含區間100%不包含真值，葉先生圖中真值落在包含區間外的不是1-9*%的部分

285166790 發表于 2017-2-4 15:57
“估計值”是區間表達的中心值，也是本次測量的“測得值”，是本次包含區間的中心值。但是下一次同樣的試 ...

【 從定義你也可以看出，“包含區間”和"真值“沒有直接的關系，....】??

您圖附的“定義”恰恰與“真值”密切相關！    “被測量值”是什么？—— 按現行說法，就是“被測量（的真）值”！  它與“量的測得值”應該不是一回事。

所謂的“真值”，也可以有“絕對”與“相對”之分。“絕對”的“真值”可能是全世界所有遵守規矩的人們一致認可的“值； 如果只涉及甲、乙雙方，那這雙方一致認可的“值”就可謂“真值”——相對“真值”。  計測人士通常是從追求“真值”的角度關注“測量不確定度”（焦點是“測量誤差”）。 單純“統計”人士可能不然，他們只管統計“量值”樣本的“分散性”，不管這些“量值”樣本如何獲得？——也就無須關注“測量誤差”，相應也就不必強調“真值”！ 他們說“量值”就是“量(的真）值”，無須再加個“真”字。

csln 發表于 2017-2-4 17:15
看一下你出具的校準報告，有大量測量結果的包含區間100%不包含真值，葉先生圖中真值落在包含區間外的不是 ...

要看清楚“測量不確定度”具體是“誰”的？  驢頭馬嘴的拉扯是沒有意義的。

對“測量儀器”實施“校準”，所得“校準結果”的“測量不確定度”【應該針對具體的被“校”參量吧？】，有時不能直接“安”到用被“校”儀器進行“測量”所得的“測得值”后面！

在“(被測量值)Y=(測得值)y±（測量不確定度）U，k=...”的表述下，您看到哪兒有100%不“包含”(被測量值)Y的？

njlyx 發表于 2017-2-4 17:54
要看清楚“測量不確定度”具體是“誰”的？  驢頭馬嘴的拉扯是沒有意義的。

對“測量儀器”實施“校準” ...

其實你自己應該要看清楚“測量不確定度”具體是“誰”的？ ，測量不確定度當然是測量結果的，把其他的東西當成測量結果才是驢頭馬嘴

你沒做過校準，不想同你理論這些事，葉先生作為不確定度的資深專家，不象有些人理解的那么不堪，不會弄一個錯誤的圖誤人了弟

njlyx 發表于 2017-2-4 17:54
要看清楚“測量不確定度”具體是“誰”的？  驢頭馬嘴的拉扯是沒有意義的。

對“測量儀器”實施“校準” ...

有時不能直接“安”到用被“校”儀器進行“測量”所得的“測得值”后面！是有時能直接“安”到用被“校”儀器進行“測量”所得的“測得值”后面！表達出來的是這個意思吧！

不管你想要表達什么樣的意思，這些東西不是你說了算，再加多少！，它還是是什么就是什么

csln 發表于 2017-2-4 18:07
其實你自己應該要看清楚“測量不確定度”具體是“誰”的？  ，測量不確定度當然是測量結果的，把其他的東 ...

誰的"測量結果"？ 先得將"被測量"是誰搞清楚！以前在別的跟帖中似曾見過你的所謂"100%不包含被測量真值"的"例子"，似乎是將"被測量"弄"歪"了？……"校準"數字電壓表，與用數字電壓表測某個未知電壓，這兩個"測量"過程，看上去都是"用表測電壓"，但兩者的"被測量"是不同的！前者是要"測"數字電壓表的"示值(測量)誤差"之類，后者的"被測量"才真正是"未知電壓"。

葉先生的圖，以她老人家自己的闡釋為準。在未明本意的情況下不敢說三道四。我質疑的是別人的"發揮"，未見得是先生的本意！