交叉項(xiàng)中系統(tǒng)誤差強(qiáng)相關(guān)——關(guān)于相關(guān)性的討論（2）

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                           交叉項(xiàng)中系統(tǒng)誤差強(qiáng)相關(guān)
                                                         —— 關(guān)于相關(guān)性的討論（2）
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                                                                                                                              史錦順
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（一）處理誤差合成的兩種思路
       函數(shù)的變化量，等于函數(shù)對(duì)各個(gè)自變量偏微分的和。數(shù)學(xué)上是泰勒展開的一級(jí)近似。
                 f(x,y) = f(xo,yo)+ (?f/?x) (x-xo)+ (?f/?y) (y-yo)                          （1）
                 f(x,y) - f(xo,yo) =(?f/?x) Δx+ (?f/?y) Δy           
                 Δf =(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy                                                       （2）
       公式（2）是變量關(guān)系的普遍形式。對(duì)所研究的特定函數(shù)來說，?f/?x、?f/?y是常數(shù)。
       變量關(guān)系用于測(cè)量計(jì)量領(lǐng)域，x是測(cè)得值，xo是真值, Δx是測(cè)得值x的誤差元；y是測(cè)得值，yo是真值，Δy是測(cè)得值y的誤差元；f(x,y)是求得的函數(shù)值， f(xo,yo) 是函數(shù)的真值，Δf= f(x,y)-f(xo,yo) 是求得的函數(shù)值的誤差元。
       誤差元定義為測(cè)得值減真值，可正可負(fù)；當(dāng)有隨機(jī)誤差存在時(shí)，誤差元可大可小。
       誤差量的特點(diǎn)是絕對(duì)性與上限性。第一，誤差量按絕對(duì)值論大小；第二取誤差絕對(duì)值的最大值為誤差的表征量。這個(gè)表征量就是誤差范圍（又稱極限誤差、最大允許誤差、準(zhǔn)確度、準(zhǔn)確度等級(jí)）。誤差范圍定義為誤差元的絕對(duì)值的一定概率（99%以上）意義上的最大可能值。誤差范圍是測(cè)量計(jì)量水平以及儀器性能水平的表征。
       如是，對(duì)誤差元要進(jìn)行兩步操作。第一步取絕對(duì)值；第二步取絕對(duì)值的最大值。經(jīng)典誤差理論，例如1964年出版的《誤差理論與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理》（馮師顏）與1980年出版的《數(shù)學(xué)手冊(cè)》，處理方法就是取絕對(duì)值的最大值。這體現(xiàn)了誤差量的兩個(gè)特點(diǎn)。這是“絕對(duì)和法”，就是取絕對(duì)值之和。
       用“絕對(duì)和法”轉(zhuǎn)化（2）式的誤差元為誤差范圍R，有：
                 |Δf |max= |(?f/?x) Δx + (?f/?y)Δy|max               
                             =|?f/?x||Δx|max +|?f/?y||Δy|max
                 R(f) = |?f/?x|R(x) +|?f/?y|R(y)                                                  （3）
       公式（3）用于和、差、積、商、乘方、開方六大基本函數(shù)關(guān)系，就有極為簡(jiǎn)明的六個(gè)定理（參見《史氏測(cè)量計(jì)量學(xué)說》第4章）：
       定理一：二量和的誤差范圍，等于二量的誤差范圍之和。
       定理二：二量差的誤差范圍，等于二量的誤差范圍之和（不是差）。
       定理三：二量之積的相對(duì)誤差范圍，等于二量的相對(duì)誤差范圍之和。
       定理四：二量相除，商的相對(duì)誤差范圍，等于二量的相對(duì)誤差范圍之和（不是差）。
       定理五：Y等于A的n次方，則Y的誤差范圍等于A的誤差范圍的n倍。
       定理六：Y等于B的n次方根，則Y的誤差范圍等于B的誤差范圍的1/n倍。
       以上六個(gè)定理，即常用的“絕對(duì)和法”誤差合成公式，對(duì)測(cè)量計(jì)量工作者是十分重要的，也極其簡(jiǎn)明，好記、好用、保險(xiǎn)。
       “絕對(duì)和法”著眼于誤差的上限性，不存在不確定度論的各項(xiàng)難關(guān)：1 不考慮分布規(guī)律；2 不計(jì)較相關(guān)性；3 正視系統(tǒng)誤差的客觀存在，沒必要把系統(tǒng)誤差隨機(jī)化；4 直接用分項(xiàng)誤差范圍計(jì)算，沒必要進(jìn)行范圍與方差間的折騰；5 沒有自由度一說。
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       誤差處理的特例，是對(duì)隨機(jī)誤差的處理。多次重復(fù)測(cè)量，單項(xiàng)隨機(jī)誤差內(nèi)部取“均方根”。貝塞爾公式是典型代表。
       各項(xiàng)隨機(jī)誤差之間合成，用“方和根法”。方和根法的基本依據(jù)是各量之和的平方，等于各量之平方的和，就是多項(xiàng)式平方的展開式的交叉項(xiàng)的和為零（或可以忽略）。
       用貝塞爾公式處理測(cè)量系列，得到σ，這相當(dāng)于前述第一項(xiàng)操作：取絕對(duì)值；第二項(xiàng)操作是乘3得隨機(jī)誤差范圍，這就體現(xiàn)了“上限性”（概率大于99%）的特點(diǎn)。
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       1980年啟動(dòng)而于1993年正式推行的不確定度理論（包括1980年后的一些誤差理論書籍），合成方法主張用“方和根法”。此法否定了誤差量取最大值的操作；但對(duì)取絕對(duì)值，還是依舊的。對(duì)隨機(jī)誤差，處理方法也依舊。
       新的作法是把對(duì)隨機(jī)誤差的處理方法，推廣到一般情況。就是不分誤差是隨機(jī)的還是系統(tǒng)的，一律取“方和根”。GUM為此而淡化系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的分類與劃分。但是，無視客觀規(guī)律是要受到懲罰的，本文所論的合成中的相關(guān)系數(shù)的是非，就來源于對(duì)誤差性質(zhì)的混淆。

       同經(jīng)典誤差理論不同，不確定度論不是直接取誤差元的絕對(duì)值，而是平方再開方。初等數(shù)學(xué)規(guī)定，平方根取絕對(duì)值。這樣做，第一達(dá)到取絕對(duì)值的目的；第二，對(duì)隨機(jī)變量，有“二量和的平方等于二量平方的和”這個(gè)特性，因而對(duì)處理隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)問題，這是十分方便的，也是必要的。這樣做是正確的（經(jīng)典誤差理論對(duì)隨機(jī)誤差本來就這樣做）。
       對(duì)于系統(tǒng)誤差，二量之和的平方，等于每個(gè)量之平方的和加上交叉項(xiàng)之和。測(cè)量?jī)x器通常是以系統(tǒng)誤差為主的；有系統(tǒng)誤差的情況下，交叉項(xiàng)等于什么，是否為零或能否忽略，這是“方和根法”成立與否的關(guān)鍵。
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（二）“方和根法”誤差合成中，系統(tǒng)誤差的相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值是1
       系統(tǒng)誤差合成的交叉項(xiàng)（以下簡(jiǎn)稱交叉項(xiàng)）是常量，不存在抵消作用，是不能忽略的。系統(tǒng)誤差在交叉項(xiàng)中的“相關(guān)系數(shù)”，是+1或者是-1。就是說，參加合成的分項(xiàng)的系統(tǒng)誤差，不管來源如何，只要是常量（系統(tǒng)誤差就是“誤差值為常量”的誤差），在交叉項(xiàng)中，其相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值是1，因而交叉項(xiàng)不能為零，也不能忽略。正常的作法是把合成公式轉(zhuǎn)換為二量的絕對(duì)值之和（相關(guān)系數(shù)是+1時(shí)），或絕對(duì)值之差（相關(guān)系數(shù)是-1時(shí)）。鑒于通常對(duì)系統(tǒng)誤差的了解是只知其范圍，又鑒于合成后誤差的上限性，要回避取差，該取絕對(duì)值之和。這就回到了經(jīng)典誤差理論的“絕對(duì)和”法。
       本欄目的帖子中已有崔偉群先生（中國計(jì)量科學(xué)研究院,一研究中心主任，2011  http://www.bkd208.com/forum.php?mod=viewthread&tid=182209&extra=page%3D1 2#帖）、njlyx先生(李永新博士，南京理工大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師。史注：引自《南京理工大學(xué)研究生導(dǎo)師表》，兵工學(xué)會(huì)專業(yè)委員  http://www.bkd208.com/forum.php?mod=viewthread&tid=181917&extra=page%3D1&page=5，107#帖)，二位學(xué)者都已嚴(yán)格證明，“方和根法”誤差合成中，交叉項(xiàng)中的系統(tǒng)誤差的相關(guān)系數(shù)是+1或-1，我的學(xué)術(shù)探討僅僅是證明二位學(xué)者給出的結(jié)果是正確的。鑒于崔主任的推導(dǎo)數(shù)學(xué)形式較復(fù)雜，而李博士的證明又過于簡(jiǎn)約，我再用我的方式科普如下。
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（三）方和根法合成中，系統(tǒng)誤差相關(guān)系數(shù)公式的推導(dǎo)
       設(shè)函數(shù)的誤差由兩項(xiàng)誤差Δx、Δy引起。由此，函數(shù)的兩項(xiàng)誤差元為：
                Δf(x) = (?f/?x) Δx
                Δf(y) = (?f/?y) Δy
       把分項(xiàng)誤差作用的靈敏度系數(shù)與該項(xiàng)誤差歸并，記為（注意大小寫）：
                Δf(X) = ΔX
                Δf(Y) = ΔY
       函數(shù)的誤差元式（2）變?yōu)椋?br />                 Δf=ΔX +ΔY                                                                              （4）
       對(duì)（4）式兩邊平方并求和、平均：
                (1/N)∑Δf^2=(1/N)∑(ΔX +ΔY)^2  
                                =(1/N)∑ΔX^2 + 2(1/N)∑ΔXΔY+(1/N)∑ΔY^2                 （5）
       （5）式右邊的第一項(xiàng)為σ(X)^2，第三項(xiàng)為σ(Y)^2; （5）式的第二項(xiàng)是交叉項(xiàng)，是我們研究的重點(diǎn)對(duì)象。記交叉項(xiàng)為2J。有
                σ(f)^2 = σ(X)^2+2J+σ(Y)^2                                                      （6）
       變換交叉項(xiàng)之J
                 J = (1/N)∑ΔXΔY
                   ={(1/N)(∑ΔXΔY) / [σ(X) σ(Y)]} [σ(X) σ(Y)]
                   = Rc [σ(X) σ(Y)]
       （6）成為
                  σ(f)^2 = σ(X)^2+2 Rc [σ(X) σ(Y)] + σ(Y)^2                               （7）
       （7）中的Rc為：
                  Rc=(1/N)(∑ΔXΔY) / [σ(X) σ(Y)]                                                   （8）
       按已有的慣例，特別是參照隨機(jī)誤差情況下的稱謂，稱Rc為相關(guān)系數(shù)。
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       （1）設(shè)ΔX、ΔY是殘差，ΔX=X-X(平)，ΔY=Y-Y(平)， 公式（8）就成為基于殘差的相關(guān)系數(shù)公式
                  Rb=(1/N)∑[X-X(平)][(Y-Y(平)) / {σ[X- X(平)]σ[Y- Y(平)]}                （9）
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       （2）設(shè)ΔX、ΔY為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差在系列測(cè)量時(shí)不變，是個(gè)常數(shù)。有
                  ΔX=Kx                                                                                      （10）
                  ΔY=Ky                                                                                       （11）
       且有
                  σ(X)= |Kx|                                                                                 （12）
                  σ(Y)= |Ky|                                                                                 （13）
       將（10）到（13）代入（8），則得系統(tǒng)誤差的相關(guān)系數(shù)為：
                  Rc=(1/N)(∑ΔXΔY) / [σ(X) σ(Y)]
                     =(1/N)NKxKy / [|Kx| |Ky|]
                     =±1
       即有
                  |Rc|=1                                                                                      （14）
       當(dāng)Kx、Ky同號(hào)時(shí)，系統(tǒng)誤差的相關(guān)系數(shù)為+1；當(dāng)Kx、Ky異號(hào)時(shí)，系統(tǒng)誤差的相關(guān)系數(shù)為-1.
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       當(dāng)系統(tǒng)誤差的相關(guān)系數(shù)為+1時(shí)，（7）式為：
                 σ(f)^2 = σ(X)^2+2 σ(X) σ(Y) + σ(Y)^2                                        （15）
                           = [σ(X) + σ(Y)]^2
       既有：
                 σ(f) = σ(X) + σ(Y)                                                                       （16）
       也就是      
                  | Δf | =|ΔX|+|ΔY|                                                                       （17）
        （17）式就是絕對(duì)值合成公式。
       當(dāng)系統(tǒng)誤差的相關(guān)系數(shù)為-1時(shí)，（7）式變?yōu)槎坎畹墓健Ｒ驗(yàn)橥ǔＶ皇侵老到y(tǒng)誤差之誤差范圍，又鑒于誤差量“上限性”的特點(diǎn)，此解不能用。反正它在（17）的區(qū)間中，即“絕對(duì)和法”包容它，不必另設(shè)爐灶。
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       綜上所述，系統(tǒng)誤差在“方和根法”合成時(shí)，交叉項(xiàng)中的相關(guān)系數(shù)是+1（相關(guān)系數(shù)為-1的解不能用）；這樣，“方和根法”，就回歸為“絕對(duì)和法”。
       測(cè)量?jī)x器的誤差，通常以系統(tǒng)誤差為主。在有系統(tǒng)誤差存在，特別是以系統(tǒng)誤差為主的通常情況下，交叉項(xiàng)中的誤差項(xiàng)，不是弱相關(guān)而是強(qiáng)相關(guān)。這樣，不確定度評(píng)定的通常的假設(shè)條件“不相關(guān)”，通常是不成立的。就是說，不確定度評(píng)定的“方和根法”是沒道理的。不確定度理論為推行“方和根法”，導(dǎo)致產(chǎn)生五大難關(guān)：分布規(guī)律、不相關(guān)假設(shè)、變系統(tǒng)為隨機(jī)、范圍到方差的往返折騰、求自由度。這些，都是自找麻煩，并無必要；不僅不必要，由于忽略交叉項(xiàng)，不合理地縮小誤差范圍，違背誤差量的上限性特點(diǎn)，成為工程的隱患。
       “系統(tǒng)誤差強(qiáng)相關(guān)”，一條曝光，就使五大難關(guān)灰飛煙滅（沒必要費(fèi)那個(gè)勁兒）。此乃計(jì)量人的幸事，省卻那么多麻煩，好！清除重大工程的隱患，應(yīng)該！必須的！
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       致謝
       njlys（李永新博士）與崔偉群主任（按我知道的時(shí)間順序），指出并證明在“方和根法”合成中，交叉項(xiàng)中的系統(tǒng)誤差的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為1，這對(duì)本人的學(xué)術(shù)探討，十分給力。本人深受啟發(fā)，特致謝意。
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