史氏測量計量學說(6) ——第5章 誤差范圍與誤差合成

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                           史氏測量計量學說(6)          
                                                  ——第5章 誤差范圍與誤差合成            
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                                                                                                                                   史錦順          
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（一）誤差量的特點      
       誤差，表明測得值與實際值（被測量的真值）的差距。誤差是個泛指的概念，包括誤差元與誤差范圍兩個概念。
       誤差元等于測得值減真值。誤差元是誤差概念的基本單元，表明誤差的物理意義與計算方法，是誤差理論的基礎。但對一項測量計量的表達對象，誤差元是可正可負、有大有小的量，不便直接表達與應用。
       誤差量的特點是它的上限性。取誤差元的絕對值，就去掉了誤差元的正負號；取誤差元的絕對值的一定概率（99%）意義下的最大可能值，就把誤差元的多個可能值，變成了一個值，這個值就是誤差范圍。
       誤差范圍體現了誤差量的特點，簡單、夠用；它被應用于研制、計量、測量三大場合。研制是用計量標準與物理機制建立儀器的誤差范圍；計量靠計量標準檢驗、公證儀器的誤差范圍；測量是利用誤差范圍。人們用經過計量合格的測量儀器進行測量，在得到測得值的同時，知道了該測得值的誤差范圍不超過測量儀器誤差范圍的指標值，只要測量儀器的誤差范圍指標滿足要求，人們就得到了夠格的測量結果，達到了測量的目的。
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        將誤差元變成誤差范圍，稱為誤差合成。誤差合成的任務就是兩條：去掉諸誤差元的正負號；找到諸誤差元共同作用產生的總誤差元的絕對值的最大可能值。
       一般量的特點是“雙限性”，就是不能過大，也不能過小。而誤差量不同，對誤差量的要求是不能過大，而越小越好。這是誤差量的“上限性”。因為誤差元有正有負，所謂誤差大、誤差小，是只論絕對值，而不管正負號。
       考慮、選取誤差合成的方案，特別要注意誤差量的上限性。本書基于誤差量“上限性”的特點，提出“取絕對和好”的判斷。
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（二）誤差范圍與兩個區間        
       通常的函數關系，是函數與自變量一一對應。測量計量理論的函數關系，卻是一個自變量對應函數的一個區間。誤差范圍是函數區間的半寬。
       誤差元等于測得值減真值；誤差范圍是誤差元的絕對值的一定概率意義下的最大可能值。有這兩個定義，第4章推導了兩個區間的公式。
       研制、計量中用的測得值區間為：
                     Z-R ≤ M ≤ Z+R                                                                             （4.9）
       Z是被測量的量值（真值），M是測得值，R是誤差范圍。
       測量中用的被測量量值區間為：
                    M-R ≤ Z ≤ M+R                                                                            （4.15）
       以上兩個區間公式，即測得值公式與真值公式，是把誤差范圍的定義的最大值符號max去掉推導的結果，表明區間中全部量值點的關系，物理意義明確，表達完備。另有一種最常用的表達方式，那就是著眼點于區間邊界點，而得出的公式，有最簡潔的形式，而實際內容，與上二式等效。推導時不去掉最大值符號max，著眼點于區間邊界，即只用等號。
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       A 測得值區間公式      
       基本公式
                    │M – Z│max = R
       只著眼最大點，有
                    │M – Z│ = R                                                                                    （5.1）
       解絕對值方程（5.1）       
       當M＞Z時，有
                    M(大)=Z+R                                                                                     （5.2）
       當M＜Z時，有
                    M(小)=Z-R                                                                                      （5.3）
       綜合（5.2）式、（5.3）式，有
                    M = Z±R                                                                                          （5.4）
       M(大)等于區間上邊界點，M(小)等于區間下邊界點。M的整個區間為：
                    Z-R ≤ M ≤ Z+R                                                                                （4.9）
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       B 真值區間公式
       基本公式
                    │M – Z│max = R  
       只著眼最大點，有
                    │M – Z│ = R                                                                                     （5.1）
       解絕對值方程（5.1）
       當M＞Z時，有
                    Z(小) = M-R                                                                                     （5.5）
       當M＜Z時，有
                    Z(大) = M+R                                                                                    （5.6）
       綜合（5.5）式、（5.6）式，有
                    Z = M±R                                                                                           （5.7）
       Z(大)等于區間上邊界點，Z(小)等于區間下邊界點。Z的整個區間為：
                    M-R ≤ Z ≤ M+R                                                                                （4.15）
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（三） 誤差范圍的人、繩、狗模型               
       真值、測得值、誤差元與誤差范圍的關系，可以比喻為人、繩、狗的關系。
       真值比做人，測得值比做狗，誤差就是人與狗的距離。人狗的位置差，時刻在變化，但距離的最大值被繩長所限制。繩長比做誤差范圍，是個單一值；人與狗的距離比做誤差元，從零可變到繩的長度。
       固定人的位置，狗活動在以人為圓心、以繩長為半徑的圈內。這像研制與計量中的測得值區間。測得值區間以真值為中心、以誤差范圍為半寬。
       某時觀測到狗的位置，則人必在以狗為圓心，以繩長為半徑的圈內。這像測量中的真值區間。被測量的量值區間（真值區間）以測得值為中心、以誤差范圍為半寬。
       繩長限制了人與狗的距離。知道人的位置，可以找到狗；同樣，知道狗的位置，也可以找到人。
       同一誤差范圍，貫穿于測得值區間與被測量量值區間這兩個區間中，是測得值與真值之間變換換的基礎。研制中，確立真值到測得值的變換；測量中，利用測得值到真值的變換。誤差范圍決定兩個變換的質量，也就是決定測量的水平。
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       測量儀器的誤差范圍，在生產時被造就，而在計量時，被公證。能確認誤差范圍之值，是因為計量中有標準。而標準之標稱值，可視為真值。定標時、計量時的測得值區間，是測量儀器的特性，它確定了測得值對真值的關系。測量儀器的這個特性，在測量中將表現出來，即表達測得值與真值的關系，因此可由測量中得到的測得值來確定被測量的真值。
       研制與計量中，依靠真值確認誤差范圍；測量中由已知的誤差范圍與測得值而得知被測量的量值。測量結果是測得值加減誤差范圍，被測量的真值包含在測量結果中。
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（四）誤差范圍的重要性           
       1 誤差范圍是測量儀器的測得值函數的簡化表達；
       2 誤差范圍是測量儀器性能的表征；誤差范圍指標值是測量儀器水平的標志
       3 計量是對測量儀器誤差范圍的檢驗與公證。計量的作業是求得被檢儀器的實際誤差范圍值；儀器計量合格，就是指儀器的誤差范圍的實際值不大于儀器的誤差范圍指標值。
       4 誤差范圍是測量中真值函數的簡化表達。
       5 測得值與誤差范圍共同構成測量結果。標志測量水平的是誤差范圍。在滿足儀器使用條件、正確操作的條件下，測量者用測量儀器的誤差范圍指標值，當作測得值的誤差范圍，是合理的、冗余的代換。因此，人們選用誤差范圍指標夠格的測量儀器進行測量，在得到測得值的同時，也知道了測得值的誤差范圍。被測量的真值包含在測量結果中。于是人們就達到了測量的目的。
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       測量儀器的誤差范圍指標（準確度），是儀器生產的目標，是計量合格性判別的標準，是使用者選用儀器與表示測量結果的依據。測量儀器的研制、生產、使用，用一個誤差范圍指標（準確度）貫穿起來，是人類社會的組織效果，是人類文明的一種體現。
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（五）誤差合成方法的比較            
        誤差合成，主要用于三種場合。研制測量儀器時，依據儀器的測量方程，把構成總誤差的各個測量因素，合成為總誤差范圍。直接測量時，依據直接測量的測量方程，把隨機誤差、各項系統誤差合成為總誤差范圍。間接測量時，依據間接測量的函數關系公式，把各個直接測量的誤差范圍，合稱為總誤差范圍。
       誤差合成有三種方法。
      （1）混合法         
       歷史上，標準的研制、測量儀器的研制，誤差合成大都用混合法。就是對隨機誤差與項目較多的小的系統誤差，用方和根法；而對少數幾項大的系統性誤差，用絕對和法。這是一種直觀的判斷，沒有這方面的嚴格分析。歷史證明，混合法基本可用。
      （2）方和根法         
       取各項平方和的根。
       各量和的平方，等于各量平方的和再加上交叉乘積項之和。交叉乘積項之和可以忽略的條件是各量獨立而不相關。隨機誤差一般可認為是不相關的。由于測量儀器不僅有隨機誤差，還有系統誤差，而且系統誤差通常占主導地位，如何判別相關性，就是個難題。
       主張采用方和根法，是當代的主流；但實際是一種行不通的空想。
       他們講道理時說，當分項間不獨立時，要計及相關系數，要計算協方差。而計算相關系數、計算協方差，極其麻煩。怎辦？通常都是設“獨立”、“不相關”；這是掩耳盜鈴的作法。不確定度理論推廣以來，對通常的相關或部分相關的情況，都按“不相關”處理，這是錯誤的。
       所謂用“相關系數公式判別相關性”實際是行不通的。相關系數公式僅僅對隨機誤差才成立，包含有系統誤差的場合，相關系數公式不成立。現有的相關系數公式對系統誤差的靈敏度為零。一般儀器是以系統誤差為主的，而相關系數又與系統誤差無關，這樣，所謂相關性判別，實際是沒法計算的。大量規范、文件、書籍所說的“假定不相關”，都是不符合實際的。是掩耳盜鈴。方和根法所要求的條件不成立，方法本身就沒有理論基礎。
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       （3）絕對和法           
       各項分項誤差，絕對值相加。
       絕對和法的優點：
       1 符合誤差量上限性的特點，不要求條件、保險。
       2 符合最基本的數學原理（數學手冊方法）。
       3 實際性能到性能指標有余量，信譽高。
       4 好算，設計者歡迎。
       5 有余量，合格性的臨界狀態少，計量易判別。
       6 可靠，測量者歡迎。
       7 鑒定會容易通過。
       8 促進提高儀器性能。
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（六）絕對和法的一般表達           
       絕對和法就是各項取絕對值后相加。
       絕對和法就是各分項誤差范圍（都是正值）相加。
       設測得值函數為
                    M = f(X1,X2,X3)
       泰勒展開的一階項是
                    ΔM = (?f/?X1) ΔX1+(?f/?X2) ΔX2+(?f/?X3) ΔX3
       誤差范圍為：
                    R =│ΔM│max
                       =│(?f/?X1) ΔX1+(?f/?X2) ΔX2+(?f/?X3) ΔX3│max
                       =│?f/?X1││ΔX1│max + │?f/?X1││ΔX1│max + │?f/?X1││ΔX1│max
                       =│?f/?X1│R1 + │?f/?X2│R2 + │?f/?X3│R3
                       = R(1) + R(2) + R(3)
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（七）絕對值合成法的常用公式             
       以下公式，參照《數學手冊》（科學出版社，1980版）編寫。這是六項最基本的誤差范圍合成公式?？上?，這些最基本的知識，一些人，包括某些專家，竟不知道。他們怎樣計算呢？一律取方和根。不僅不確定度論如此；一些誤差理論書也如此。前面講過，取方和根法的條件“不相關”，在有系統誤差的條件下，相關系數公式不成立。因此，方和根法沒有理論基礎。
       不確定度論指謫誤差理論沒有統一的誤差合成方法，從而主張一律取方和根。這是一條走不通的難路、死路。

       鑒于誤差量的“上限性”的特點，筆者認為經典測量理論的“絕對值合成法”，是簡單的、現實可行的、保險的；也是合理的、正確的。
       本章以數學的形式，推導絕對合成的公式，說明經典方法的嚴格性、合理性。須知：誤差合成是儀器設計者、測量方案設計者自己的事，這樣做，自己方便、有利別人，是嚴于律己的做法，易懂易學、處理方便又保險，何樂而不為之？也許有人說，這樣做，于己可以；要求別人，就不合理了。
       計量時，是要求別人。但是，計量靠的是標準，靠的是實測，計量對被撿對象的合格性判別，與誤差合成方法無關。
       如果某些特定場合，需要進行誤差合成，最可信的方法是絕對值合成。
       本書推薦最基本的六大公式。好記，好用。
1 和的誤差公式
       定理一：二量和的誤差范圍，等于二量的誤差范圍之和。      
       證明
       1.1物理公式
                    C=A+B  
       1.2計值公式
       對物理公式加標號，m表測得值（下同）
                   Cm=Am+Bm
       1.3測量方程
       聯立物理公式與計值公式
                    Cm-C =Am-A+Bm-B
       1.4 誤差范圍關系
       用r表誤差元，R表誤差范圍（下同）
       由測量方程
                    r(C)=r(A)+r(B)
                    │r(C)│max=│r(A)+ r(B)│max
                                    =│r(A)│max+│r(B)│max
       誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍，故有：
                    R(C)=R(A)+R(B)  
       定理一得證。
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2 差的誤差公式          
       定理二：二量差的誤差范圍，等于二量的誤差范圍之和（不是差）。
       證明
       2.1 物理公式
                    A=C-B
       2.2 計值公式
                    Am = Cm-Bm.
       2.3 測量方程
       聯立物理公式與計值公式
                    Am-A = Cm-C – (Bm-B)
       2.4 誤差范圍關系
       由測量方程
                    r(A)=r(C)-r(B)
                    │r(A)│max=│r(C)- r(B)│max
                                     =│r(C)│max+│r(B)│max
       誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍，故有：
                    R(A)=R(C)+R(B)  
       定理二得證。
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3 積的誤差公式                  
       定理三：二量積的相對誤差范圍，等于二量的相對誤差范圍之和。           
       證明
       3.1 物理公式
                    C = A B
       3.2 計值公式
                    Cm = Am Bm
       3.3 測量方程
       聯立物理公式與計值公式，解得
                    Cm/ C = A m Bm/(A B)
       3.4 誤差范圍關系
       由測量方程
                    (C+ΔCm)/C = [(A+ΔAm)/A] [(B+ΔBm)/B]
                    1+δr(C) =[(1+δr(A))][1+δr(B)]
                    δr(C) =δr(A) +δr(B)
                   │δr(C)│max =│δr(A)│max+│δr(B)│max
       誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍，故有：
                    δR(C)=δR(A)+δR(B)  
    定理三得證。
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4 商的誤差公式         
       定理四：二量相除，商的相對誤差范圍，等于二量的相對誤差范圍之和。           
       證明
       4.1 物理公式
                    A = C / B
       4.2 計值公式
                    Am = Cm / Bm
       4.3 測量方程
       聯立物理公式與計值公式，解得
                    Am/ A = [Cm /Bm] B/C  
       4.4 誤差范圍關系
      由測量方程
                   (A+ΔAm)/A = [(C+ΔCm)/C] / [(B+ΔBm)/B]
                   1+δr(A) =[(1+δr(C))] / [1+δr(B)] =[(1+δr(C)] [1-δr(B)]
                   δr(A) =δr(C) -δr(B)
                   │δr(A) │max=│δr(C) -δr(B) │max =│δr(C) │max +│δr(B) │max
       誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍，故有：
                   δR(A)=δR(C)+δR(B)   
       定理四得證。

5 冪的誤差公式       
       定理五：A等于B的n次方，則A的誤差范圍等于B的誤差范圍的n倍。            
       證明
       5.1 物理公式
                    A =B^n  
       5.2 計值公式
                    Am = Bm^n  
       5.3測量方程
       聯立物理公式與計值公式，解得
                    Am /A= Bm^n/B^n
       5.4 誤差范圍關系
       由測量方程
                    (A+ΔAm)/A = (Bm/B)^n= [1+δr(B)]^n
                   1+δr(A) = 1+nδr(B)
                   δr(A) = nδr(B)
                   │δr(A) │max=│nδr(B) │max = n│δr(B) │max
       誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍，故有：
                   δR(A)= nδR(B)  
       定理五得證。

6 根的誤差公式         
       定理六：A等于B的n次方根，則A的誤差范圍等于B的誤差范圍的1/n倍。            
       證明
       6.1 物理公式
                    A =B^(1/n)
       6.2 計值公式
       對物理量加標號，m表測得值
                    Am = Bm^(1/n)
       6.3 測量方程
       聯立物理公式與計值公式，解得
                    Am /A= Bm^(1/n) / B^(1/n)  
       6.4 誤差范圍關系
       r表誤差元，R表誤差范圍。
                  (A+ΔAm)/A = (Bm/B)^ (1/n)= [1+δr(B)]^ (1/n)
                   1+δr(A) = 1+(1/n)δr(B)
                   δr(A) = (1/n)δr(B)
                  │δr(A) │max=│(1/n)δr(B) │max = (1/n)│δr(B) │max
       故有：
                   δR(A)=(1/n)δR(B)
       定理六得證。
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史老筆耕不輟，后生拜服啊

不確定度合成，通常用的就是混合法。

285166790 發表于 2015-1-23 11:24
不確定度合成，通常用的就是混合法。

      我看過上百個不確定度評定的樣板，都是用“方和根”法合成，沒見到一個評定中用絕對值相加的。先生說“通常用的就是混合法”，不符合事實。不確定度論的基本立場是取方和根評定標準不確定度，必須用方和根，哪里會混合有“絕對和法”？不要說“通?！?，在大量的不確定度樣板評定中，用混合法的例子，一個也沒有。你是不是把最大允許誤差MPEV或準確度等級或誤差范圍或準確度，當成“不確定度”了？

史錦順 發表于 2015-1-23 12:08
我看過上百個不確定度評定的樣板，都是用“方和根”法合成，沒見到一個評定中用絕對值相加的。先生 ...

不確定度的合成一般分成若干部，不能光看最后一步。大多數混合合成法體現在其中的分項合成時。比如由于“重復性”和“分辨力”的不確定度是有相關性的，根據經驗型方法，只取它們之中最大的那個：量塊的測量模型中，也要考慮到溫度和長度的相關性，是要進行處理的。JJF1059.1中這樣的案例有好幾個，所以合成方法并不是唯一的方和根，只是隱藏在不同的合成階段，而且處理方法上可能用經驗性方法被簡化了。