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[概念] 史氏測量計量學(xué)說(6) ——第5章 誤差范圍與誤差合成

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史錦順 發(fā)表于 2015-1-23 07:59:54 | 只看該作者 回帖獎勵 |倒序瀏覽 |閱讀模式
本帖最后由 史錦順 于 2015-1-23 08:19 編輯

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                           史氏測量計量學(xué)說(6)          
                                                  ——第5章 誤差范圍與誤差合成            
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                                                                                                                                   史錦順          
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(一)誤差量的特點      
       誤差,表明測得值與實際值(被測量的真值)的差距。誤差是個泛指的概念,包括誤差元與誤差范圍兩個概念。
       誤差元等于測得值減真值。誤差元是誤差概念的基本單元,表明誤差的物理意義與計算方法,是誤差理論的基礎(chǔ)。但對一項測量計量的表達(dá)對象,誤差元是可正可負(fù)、有大有小的量,不便直接表達(dá)與應(yīng)用。
       誤差量的特點是它的上限性。取誤差元的絕對值,就去掉了誤差元的正負(fù)號;取誤差元的絕對值的一定概率(99%)意義下的最大可能值,就把誤差元的多個可能值,變成了一個值,這個值就是誤差范圍。
       誤差范圍體現(xiàn)了誤差量的特點,簡單、夠用;它被應(yīng)用于研制、計量、測量三大場合。研制是用計量標(biāo)準(zhǔn)與物理機制建立儀器的誤差范圍;計量靠計量標(biāo)準(zhǔn)檢驗、公證儀器的誤差范圍;測量是利用誤差范圍。人們用經(jīng)過計量合格的測量儀器進行測量,在得到測得值的同時,知道了該測得值的誤差范圍不超過測量儀器誤差范圍的指標(biāo)值,只要測量儀器的誤差范圍指標(biāo)滿足要求,人們就得到了夠格的測量結(jié)果,達(dá)到了測量的目的。
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        將誤差元變成誤差范圍,稱為誤差合成。誤差合成的任務(wù)就是兩條:去掉諸誤差元的正負(fù)號;找到諸誤差元共同作用產(chǎn)生的總誤差元的絕對值的最大可能值。
       一般量的特點是“雙限性”,就是不能過大,也不能過小。而誤差量不同,對誤差量的要求是不能過大,而越小越好。這是誤差量的“上限性”。因為誤差元有正有負(fù),所謂誤差大、誤差小,是只論絕對值,而不管正負(fù)號。
       考慮、選取誤差合成的方案,特別要注意誤差量的上限性。本書基于誤差量“上限性”的特點,提出“取絕對和好”的判斷。
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(二)誤差范圍與兩個區(qū)間        
       通常的函數(shù)關(guān)系,是函數(shù)與自變量一一對應(yīng)。測量計量理論的函數(shù)關(guān)系,卻是一個自變量對應(yīng)函數(shù)的一個區(qū)間。誤差范圍是函數(shù)區(qū)間的半寬。
       誤差元等于測得值減真值;誤差范圍是誤差元的絕對值的一定概率意義下的最大可能值。有這兩個定義,第4章推導(dǎo)了兩個區(qū)間的公式。
       研制、計量中用的測得值區(qū)間為:
                     Z-R ≤ M ≤ Z+R                                                                             (4.9)
       Z是被測量的量值(真值),M是測得值,R是誤差范圍。
       測量中用的被測量量值區(qū)間為:
                    M-R ≤ Z ≤ M+R                                                                            (4.15)
       以上兩個區(qū)間公式,即測得值公式與真值公式,是把誤差范圍的定義的最大值符號max去掉推導(dǎo)的結(jié)果,表明區(qū)間中全部量值點的關(guān)系,物理意義明確,表達(dá)完備。另有一種最常用的表達(dá)方式,那就是著眼點于區(qū)間邊界點,而得出的公式,有最簡潔的形式,而實際內(nèi)容,與上二式等效。推導(dǎo)時不去掉最大值符號max,著眼點于區(qū)間邊界,即只用等號。
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       A 測得值區(qū)間公式      
       基本公式
                    │M – Z│max = R
       只著眼最大點,有
                    │M – Z│ = R                                                                                    (5.1)
       解絕對值方程(5.1)       
       當(dāng)M>Z時,有
                    M(大)=Z+R                                                                                     (5.2)
       當(dāng)M<Z時,有
                    M(小)=Z-R                                                                                      (5.3)
       綜合(5.2)式、(5.3)式,有
                    M = Z±R                                                                                          (5.4)
       M(大)等于區(qū)間上邊界點,M(小)等于區(qū)間下邊界點。M的整個區(qū)間為:
                    Z-R ≤ M ≤ Z+R                                                                                (4.9)
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       B 真值區(qū)間公式
       基本公式
                    │M – Z│max = R  
       只著眼最大點,有
                    │M – Z│ = R                                                                                     (5.1)
       解絕對值方程(5.1)
       當(dāng)M>Z時,有
                    Z(小) = M-R                                                                                     (5.5)
       當(dāng)M<Z時,有
                    Z(大) = M+R                                                                                    (5.6)
       綜合(5.5)式、(5.6)式,有
                    Z = M±R                                                                                           (5.7)
       Z(大)等于區(qū)間上邊界點,Z(小)等于區(qū)間下邊界點。Z的整個區(qū)間為:
                    M-R ≤ Z ≤ M+R                                                                                (4.15)
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(三) 誤差范圍的人、繩、狗模型               
       真值、測得值、誤差元與誤差范圍的關(guān)系,可以比喻為人、繩、狗的關(guān)系。
       真值比做人,測得值比做狗,誤差就是人與狗的距離。人狗的位置差,時刻在變化,但距離的最大值被繩長所限制。繩長比做誤差范圍,是個單一值;人與狗的距離比做誤差元,從零可變到繩的長度。
       固定人的位置,狗活動在以人為圓心、以繩長為半徑的圈內(nèi)。這像研制與計量中的測得值區(qū)間。測得值區(qū)間以真值為中心、以誤差范圍為半寬。
       某時觀測到狗的位置,則人必在以狗為圓心,以繩長為半徑的圈內(nèi)。這像測量中的真值區(qū)間。被測量的量值區(qū)間(真值區(qū)間)以測得值為中心、以誤差范圍為半寬。
       繩長限制了人與狗的距離。知道人的位置,可以找到狗;同樣,知道狗的位置,也可以找到人。
       同一誤差范圍,貫穿于測得值區(qū)間與被測量量值區(qū)間這兩個區(qū)間中,是測得值與真值之間變換換的基礎(chǔ)。研制中,確立真值到測得值的變換;測量中,利用測得值到真值的變換。誤差范圍決定兩個變換的質(zhì)量,也就是決定測量的水平。
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       測量儀器的誤差范圍,在生產(chǎn)時被造就,而在計量時,被公證。能確認(rèn)誤差范圍之值,是因為計量中有標(biāo)準(zhǔn)。而標(biāo)準(zhǔn)之標(biāo)稱值,可視為真值。定標(biāo)時、計量時的測得值區(qū)間,是測量儀器的特性,它確定了測得值對真值的關(guān)系。測量儀器的這個特性,在測量中將表現(xiàn)出來,即表達(dá)測得值與真值的關(guān)系,因此可由測量中得到的測得值來確定被測量的真值。
       研制與計量中,依靠真值確認(rèn)誤差范圍;測量中由已知的誤差范圍與測得值而得知被測量的量值。測量結(jié)果是測得值加減誤差范圍,被測量的真值包含在測量結(jié)果中。
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(四)誤差范圍的重要性           
       1 誤差范圍是測量儀器的測得值函數(shù)的簡化表達(dá);
       2 誤差范圍是測量儀器性能的表征;誤差范圍指標(biāo)值是測量儀器水平的標(biāo)志
       3 計量是對測量儀器誤差范圍的檢驗與公證。計量的作業(yè)是求得被檢儀器的實際誤差范圍值;儀器計量合格,就是指儀器的誤差范圍的實際值不大于儀器的誤差范圍指標(biāo)值。
       4 誤差范圍是測量中真值函數(shù)的簡化表達(dá)。
       5 測得值與誤差范圍共同構(gòu)成測量結(jié)果。標(biāo)志測量水平的是誤差范圍。在滿足儀器使用條件、正確操作的條件下,測量者用測量儀器的誤差范圍指標(biāo)值,當(dāng)作測得值的誤差范圍,是合理的、冗余的代換。因此,人們選用誤差范圍指標(biāo)夠格的測量儀器進行測量,在得到測得值的同時,也知道了測得值的誤差范圍。被測量的真值包含在測量結(jié)果中。于是人們就達(dá)到了測量的目的。
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       測量儀器的誤差范圍指標(biāo)(準(zhǔn)確度),是儀器生產(chǎn)的目標(biāo),是計量合格性判別的標(biāo)準(zhǔn),是使用者選用儀器與表示測量結(jié)果的依據(jù)。測量儀器的研制、生產(chǎn)、使用,用一個誤差范圍指標(biāo)(準(zhǔn)確度)貫穿起來,是人類社會的組織效果,是人類文明的一種體現(xiàn)。
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(五)誤差合成方法的比較            
        誤差合成,主要用于三種場合。研制測量儀器時,依據(jù)儀器的測量方程,把構(gòu)成總誤差的各個測量因素,合成為總誤差范圍。直接測量時,依據(jù)直接測量的測量方程,把隨機誤差、各項系統(tǒng)誤差合成為總誤差范圍。間接測量時,依據(jù)間接測量的函數(shù)關(guān)系公式,把各個直接測量的誤差范圍,合稱為總誤差范圍。
       誤差合成有三種方法。
      (1)混合法         
       歷史上,標(biāo)準(zhǔn)的研制、測量儀器的研制,誤差合成大都用混合法。就是對隨機誤差與項目較多的小的系統(tǒng)誤差,用方和根法;而對少數(shù)幾項大的系統(tǒng)性誤差,用絕對和法。這是一種直觀的判斷,沒有這方面的嚴(yán)格分析。歷史證明,混合法基本可用。
      (2)方和根法         
       取各項平方和的根。
       各量和的平方,等于各量平方的和再加上交叉乘積項之和。交叉乘積項之和可以忽略的條件是各量獨立而不相關(guān)。隨機誤差一般可認(rèn)為是不相關(guān)的。由于測量儀器不僅有隨機誤差,還有系統(tǒng)誤差,而且系統(tǒng)誤差通常占主導(dǎo)地位,如何判別相關(guān)性,就是個難題。
       主張采用方和根法,是當(dāng)代的主流;但實際是一種行不通的空想。
       他們講道理時說,當(dāng)分項間不獨立時,要計及相關(guān)系數(shù),要計算協(xié)方差。而計算相關(guān)系數(shù)、計算協(xié)方差,極其麻煩。怎辦?通常都是設(shè)“獨立”、“不相關(guān)”;這是掩耳盜鈴的作法。不確定度理論推廣以來,對通常的相關(guān)或部分相關(guān)的情況,都按“不相關(guān)”處理,這是錯誤的。
       所謂用“相關(guān)系數(shù)公式判別相關(guān)性”實際是行不通的。相關(guān)系數(shù)公式僅僅對隨機誤差才成立,包含有系統(tǒng)誤差的場合,相關(guān)系數(shù)公式不成立。現(xiàn)有的相關(guān)系數(shù)公式對系統(tǒng)誤差的靈敏度為零。一般儀器是以系統(tǒng)誤差為主的,而相關(guān)系數(shù)又與系統(tǒng)誤差無關(guān),這樣,所謂相關(guān)性判別,實際是沒法計算的。大量規(guī)范、文件、書籍所說的“假定不相關(guān)”,都是不符合實際的。是掩耳盜鈴。方和根法所要求的條件不成立,方法本身就沒有理論基礎(chǔ)。
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       (3)絕對和法           
       各項分項誤差,絕對值相加。
       絕對和法的優(yōu)點:
       1 符合誤差量上限性的特點,不要求條件、保險。
       2 符合最基本的數(shù)學(xué)原理(數(shù)學(xué)手冊方法)。
       3 實際性能到性能指標(biāo)有余量,信譽高。
       4 好算,設(shè)計者歡迎。
       5 有余量,合格性的臨界狀態(tài)少,計量易判別。
       6 可靠,測量者歡迎。
       7 鑒定會容易通過。
       8 促進提高儀器性能。
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(六)絕對和法的一般表達(dá)           
       絕對和法就是各項取絕對值后相加。
       絕對和法就是各分項誤差范圍(都是正值)相加。
       設(shè)測得值函數(shù)為
                    M = f(X1,X2,X3)
       泰勒展開的一階項是
                    ΔM = (?f/?X1) ΔX1+(?f/?X2) ΔX2+(?f/?X3) ΔX3
       誤差范圍為:
                    R =│ΔM│max
                       =│(?f/?X1) ΔX1+(?f/?X2) ΔX2+(?f/?X3) ΔX3│max
                       =│?f/?X1││ΔX1│max + │?f/?X1││ΔX1│max + │?f/?X1││ΔX1│max
                       =│?f/?X1│R1 + │?f/?X2│R2 + │?f/?X3│R3
                       = R(1) + R(2) + R(3)
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(七)絕對值合成法的常用公式             
       以下公式,參照《數(shù)學(xué)手冊》(科學(xué)出版社,1980版)編寫。這是六項最基本的誤差范圍合成公式。可惜,這些最基本的知識,一些人,包括某些專家,竟不知道。他們怎樣計算呢?一律取方和根。不僅不確定度論如此;一些誤差理論書也如此。前面講過,取方和根法的條件“不相關(guān)”,在有系統(tǒng)誤差的條件下,相關(guān)系數(shù)公式不成立。因此,方和根法沒有理論基礎(chǔ)。
       不確定度論指謫誤差理論沒有統(tǒng)一的誤差合成方法,從而主張一律取方和根。這是一條走不通的難路、死路。

       鑒于誤差量的“上限性”的特點,筆者認(rèn)為經(jīng)典測量理論的“絕對值合成法”,是簡單的、現(xiàn)實可行的、保險的;也是合理的、正確的。
       本章以數(shù)學(xué)的形式,推導(dǎo)絕對合成的公式,說明經(jīng)典方法的嚴(yán)格性、合理性。須知:誤差合成是儀器設(shè)計者、測量方案設(shè)計者自己的事,這樣做,自己方便、有利別人,是嚴(yán)于律己的做法,易懂易學(xué)、處理方便又保險,何樂而不為之?也許有人說,這樣做,于己可以;要求別人,就不合理了。
       計量時,是要求別人。但是,計量靠的是標(biāo)準(zhǔn),靠的是實測,計量對被撿對象的合格性判別,與誤差合成方法無關(guān)。
       如果某些特定場合,需要進行誤差合成,最可信的方法是絕對值合成。
       本書推薦最基本的六大公式。好記,好用。
1 和的誤差公式
       定理一:二量和的誤差范圍,等于二量的誤差范圍之和。      
       證明
       1.1物理公式
                    C=A+B  
       1.2計值公式
       對物理公式加標(biāo)號,m表測得值(下同)
                   Cm=Am+Bm
       1.3測量方程
       聯(lián)立物理公式與計值公式
                    Cm-C =Am-A+Bm-B
       1.4 誤差范圍關(guān)系
       用r表誤差元,R表誤差范圍(下同)
       由測量方程
                    r(C)=r(A)+r(B)
                    │r(C)│max=│r(A)+ r(B)│max
                                    =│r(A)│max+│r(B)│max
       誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍,故有:
                    R(C)=R(A)+R(B)  
       定理一得證。
-
2 差的誤差公式          
       定理二:二量差的誤差范圍,等于二量的誤差范圍之和(不是差)。
       證明
       2.1 物理公式
                    A=C-B
       2.2 計值公式
                    Am = Cm-Bm.
       2.3 測量方程
       聯(lián)立物理公式與計值公式
                    Am-A = Cm-C – (Bm-B)
       2.4 誤差范圍關(guān)系
       由測量方程
                    r(A)=r(C)-r(B)
                    │r(A)│max=│r(C)- r(B)│max
                                     =│r(C)│max+│r(B)│max
       誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍,故有:
                    R(A)=R(C)+R(B)  
       定理二得證。
-
3 積的誤差公式                  
       定理三:二量積的相對誤差范圍,等于二量的相對誤差范圍之和。           
       證明
       3.1 物理公式
                    C = A B
       3.2 計值公式
                    Cm = Am Bm
       3.3 測量方程
       聯(lián)立物理公式與計值公式,解得
                    Cm/ C = A m Bm/(A B)
       3.4 誤差范圍關(guān)系
       由測量方程
                    (C+ΔCm)/C = [(A+ΔAm)/A] [(B+ΔBm)/B]
                    1+δr(C) =[(1+δr(A))][1+δr(B)]
                    δr(C) =δr(A) +δr(B)
                   │δr(C)│max =│δr(A)│max+│δr(B)│max
       誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍,故有:
                    δR(C)=δR(A)+δR(B)  
    定理三得證。
-
4 商的誤差公式         
       定理四:二量相除,商的相對誤差范圍,等于二量的相對誤差范圍之和。           
       證明
       4.1 物理公式
                    A = C / B
       4.2 計值公式
                    Am = Cm / Bm
       4.3 測量方程
       聯(lián)立物理公式與計值公式,解得
                    Am/ A = [Cm /Bm] B/C  
       4.4 誤差范圍關(guān)系
      由測量方程
                   (A+ΔAm)/A = [(C+ΔCm)/C] / [(B+ΔBm)/B]
                   1+δr(A) =[(1+δr(C))] / [1+δr(B)] =[(1+δr(C)] [1-δr(B)]
                   δr(A) =δr(C) -δr(B)
                   │δr(A) │max=│δr(C) -δr(B) │max =│δr(C) │max +│δr(B) │max
       誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍,故有:
                   δR(A)=δR(C)+δR(B)   
       定理四得證。

5 冪的誤差公式       
       定理五:A等于B的n次方,則A的誤差范圍等于B的誤差范圍的n倍。            
       證明
       5.1 物理公式
                    A =B^n  
       5.2 計值公式
                    Am = Bm^n  
       5.3測量方程
       聯(lián)立物理公式與計值公式,解得
                    Am /A= Bm^n/B^n
       5.4 誤差范圍關(guān)系
       由測量方程
                    (A+ΔAm)/A = (Bm/B)^n= [1+δr(B)]^n
                   1+δr(A) = 1+nδr(B)
                   δr(A) = nδr(B)
                   │δr(A) │max=│nδr(B) │max = n│δr(B) │max
       誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍,故有:
                   δR(A)= nδR(B)  
       定理五得證。

6 根的誤差公式         
       定理六:A等于B的n次方根,則A的誤差范圍等于B的誤差范圍的1/n倍。            
       證明
       6.1 物理公式
                    A =B^(1/n)
       6.2 計值公式
       對物理量加標(biāo)號,m表測得值
                    Am = Bm^(1/n)
       6.3 測量方程
       聯(lián)立物理公式與計值公式,解得
                    Am /A= Bm^(1/n) / B^(1/n)  
       6.4 誤差范圍關(guān)系
       r表誤差元,R表誤差范圍。
                  (A+ΔAm)/A = (Bm/B)^ (1/n)= [1+δr(B)]^ (1/n)
                   1+δr(A) = 1+(1/n)δr(B)
                   δr(A) = (1/n)δr(B)
                  │δr(A) │max=│(1/n)δr(B) │max = (1/n)│δr(B) │max
       故有:
                   δR(A)=(1/n)δR(B)
       定理六得證。
-
2#
zwr 發(fā)表于 2015-1-23 09:43:44 | 只看該作者
史老筆耕不輟,后生拜服啊
3#
285166790 發(fā)表于 2015-1-23 11:24:56 | 只看該作者
不確定度合成,通常用的就是混合法。
4#
 樓主| 史錦順 發(fā)表于 2015-1-23 12:08:56 | 只看該作者
285166790 發(fā)表于 2015-1-23 11:24
不確定度合成,通常用的就是混合法。

      我看過上百個不確定度評定的樣板,都是用“方和根”法合成,沒見到一個評定中用絕對值相加的。先生說“通常用的就是混合法”,不符合事實。不確定度論的基本立場是取方和根評定標(biāo)準(zhǔn)不確定度,必須用方和根,哪里會混合有“絕對和法”?不要說“通常”,在大量的不確定度樣板評定中,用混合法的例子,一個也沒有。你是不是把最大允許誤差MPEV或準(zhǔn)確度等級或誤差范圍或準(zhǔn)確度,當(dāng)成“不確定度”了?
5#
285166790 發(fā)表于 2015-1-26 08:12:29 | 只看該作者
史錦順 發(fā)表于 2015-1-23 12:08
我看過上百個不確定度評定的樣板,都是用“方和根”法合成,沒見到一個評定中用絕對值相加的。先生 ...

不確定度的合成一般分成若干部,不能光看最后一步。大多數(shù)混合合成法體現(xiàn)在其中的分項合成時。比如由于“重復(fù)性”和“分辨力”的不確定度是有相關(guān)性的,根據(jù)經(jīng)驗型方法,只取它們之中最大的那個:量塊的測量模型中,也要考慮到溫度和長度的相關(guān)性,是要進行處理的。JJF1059.1中這樣的案例有好幾個,所以合成方法并不是唯一的方和根,只是隱藏在不同的合成階段,而且處理方法上可能用經(jīng)驗性方法被簡化了。
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