本帖最后由 史錦順 于 2014-6-5 16:15 編輯
誤差范圍計(jì)算的簡(jiǎn)單又可靠的方法 ——《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》商榷(2) - 史錦順 - 《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》（2010第6版費(fèi)業(yè)泰主編）是我國(guó)高校重點(diǎn)教材。被多所高校采用。影響甚廣。本文就誤差范圍計(jì)算的方法提出商榷。 - （一）兩條路線 誤差分析與誤差合成的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是微分，是泰勒展開。 測(cè)量?jī)x器研制場(chǎng)合，必須找到合適的物理機(jī)制。列出物理公式。經(jīng)典的誤差分析，直接對(duì)物理公式進(jìn)行微分；一般來說是可以的，但有時(shí)常量變量不清楚，可能出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤。史錦順的《新概念測(cè)量計(jì)量學(xué)》給出建立測(cè)量方程的方法，并由此得出測(cè)得值函數(shù)。在對(duì)測(cè)得值函數(shù)的常量、變量分辨清楚之后，對(duì)變量進(jìn)行微分，這樣就使誤差分析有了嚴(yán)格的數(shù)理邏輯。 誤差量有數(shù)值又有單位，被認(rèn)為是量值。這個(gè)“誤差量是量值”的認(rèn)識(shí)，導(dǎo)致一些人們像追求量值準(zhǔn)確度那樣去追求誤差量的準(zhǔn)確性。這是不妥當(dāng)?shù)摹Ｆ鋵?shí)，誤差量與一般量有本質(zhì)區(qū)別。這一區(qū)別，導(dǎo)致誤差量求法的特殊性與簡(jiǎn)單性。 一般量值要求準(zhǔn)確，既不能大也不能小，必須控制在誤差范圍內(nèi)。這是量值的準(zhǔn)確性要求，是“雙限性”要求。誤差量的特點(diǎn)是它的上限性，著眼點(diǎn)是誤差元的絕對(duì)值的上限，即誤差范圍。 根據(jù)誤差量的上限性的特點(diǎn)，史錦順提出一種復(fù)古主義的主張，就是用數(shù)學(xué)手冊(cè)所載的經(jīng)典方法，進(jìn)行誤差合成。經(jīng)典的誤差合成方法就是除多次測(cè)量的隨機(jī)誤差外都絕對(duì)值相加。 在基礎(chǔ)測(cè)量（常量測(cè)量）中，被測(cè)量是常量，討論的是測(cè)量手段的問題，就是測(cè)量的誤差問題。誤差分系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差自身，用均方根，不同隨機(jī)誤差間合成用方和根。各種隨機(jī)誤差構(gòu)成隨機(jī)誤差范圍。 如果已知系統(tǒng)誤差的量值與符號(hào)，可在示值給出前通過操作的方式或計(jì)算的方式進(jìn)行修正。抵消或修正了的誤差因素，不構(gòu)成示值誤差。 未修正的誤差、各種未定系統(tǒng)誤差，取絕對(duì)值相加，構(gòu)成系統(tǒng)誤差范圍。系統(tǒng)誤差范圍與隨機(jī)誤差范圍，按方和根合成為總誤差范圍，簡(jiǎn)稱為誤差范圍。 - 鑒于現(xiàn)代大量變量測(cè)量的存在，史錦順提出“統(tǒng)計(jì)測(cè)量”的新概念。統(tǒng)計(jì)測(cè)量的對(duì)象是快變量（在一回測(cè)量的N次測(cè)量中，量值在顯著變化）。為正確表征量值的變化特性，典型的統(tǒng)計(jì)測(cè)量要求測(cè)量?jī)x器的誤差遠(yuǎn)小于被測(cè)量的變化。統(tǒng)計(jì)測(cè)量的分散性用單值的西格瑪表征，測(cè)量N次，即使以平均值當(dāng)表征量，也不準(zhǔn)除以根號(hào)N。還不準(zhǔn)剔除異常數(shù)據(jù)。這兩點(diǎn)是統(tǒng)計(jì)測(cè)量的特有規(guī)則，不同于以常量測(cè)量為對(duì)象的經(jīng)典測(cè)量理論。 某些測(cè)量既有被測(cè)量的變化，也有測(cè)量誤差。那就要兼顧兩類測(cè)量的特點(diǎn)。本文未涉及此類問題。 還有一個(gè)重要判別，計(jì)量是統(tǒng)計(jì)測(cè)量。因此在計(jì)量中不能進(jìn)行除以根號(hào)N和剔除異常數(shù)據(jù)這兩項(xiàng)操作。 - 對(duì)測(cè)得值函數(shù)作泰勒展開得到的誤差元，有正有負(fù)，誤差分析計(jì)算是求誤差元絕對(duì)值的最大值，因此，誤差分析的第一項(xiàng)操作是泰勒展開，第二項(xiàng)操作就是去掉誤差元的符號(hào)。 去掉正負(fù)符號(hào)，有兩條路線。 第一條路線取絕對(duì)值。由此而形成誤差合成的第一種辦法：絕對(duì)值合成。絕對(duì)值合成的特點(diǎn)是計(jì)算方便，不附加任何條件，不論相關(guān)不相關(guān)，省略計(jì)算相關(guān)系數(shù)的麻煩。不分誤差是純系統(tǒng)性的，還是帶有隨機(jī)性的。不論各項(xiàng)間是否獨(dú)立。不計(jì)測(cè)量次數(shù)多寡。不理會(huì)分布規(guī)律，也就是對(duì)任何分布規(guī)律都成立。不存在自由度一說。對(duì)多次測(cè)量的隨機(jī)誤差用貝塞爾公式計(jì)算，取3西格瑪（包含概率99.73%）。絕對(duì)值合成算得的誤差范圍比其他算法的結(jié)果大。最保險(xiǎn)。受儀器設(shè)計(jì)人員歡迎。鑒定會(huì)易于通過。指標(biāo)余地大，用戶歡迎。減少“計(jì)量不合格”“驗(yàn)收通不過”的麻煩。算法簡(jiǎn)單易學(xué)。老史一貫按這種方法處理問題，自己方便，用戶滿意，領(lǐng)導(dǎo)表?yè)P(yáng)，促進(jìn)了自己研制的幾項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)與測(cè)量?jī)x器及所負(fù)責(zé)檢測(cè)的宇航測(cè)量設(shè)備質(zhì)量的提高，少為難而又易有成就?，F(xiàn)在極力宣傳推廣這種方法。 - 第二條路線取方和根。初等數(shù)學(xué)規(guī)定，平方根取正值，因此，平方再開方，也可達(dá)到消去誤差元符號(hào)的作用。單項(xiàng)平方再開方，數(shù)值還原而符號(hào)消失，這沒問題。但多項(xiàng)式的平方再開方，就大有講究，竟引出許多話題來，構(gòu)成多種重大方法。有些成功，有些則有異議，甚至埋下禍端。 A 測(cè)量次數(shù)很大時(shí)的隨機(jī)誤差，處理最成功。著名的貝塞爾公式，19世紀(jì)初提出。不僅是隨機(jī)誤差的理論基礎(chǔ)，也是隨后興起的數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)。取方差的動(dòng)機(jī)就是消掉正負(fù)號(hào)。隨機(jī)、大量、不相關(guān)，導(dǎo)致“諸項(xiàng)代數(shù)和的平方等于各項(xiàng)平方的算數(shù)和”，多項(xiàng)式取平方時(shí)，交叉項(xiàng)全消掉，取“均方根”，合理；而3倍西格瑪，則成高包含概率（99.73%）的區(qū)間半寬，即隨機(jī)誤差范圍。 B 有人覺得取絕對(duì)和偏大，就想法，仿照隨機(jī)誤差的“均方根”，而用“方和根”。誤差理論已有這種作法；到1993年GUM推行不確定度論及不確定度評(píng)定之后，“方和根”成了不確定度評(píng)定的唯一選擇。這問題就大了。“方和根”方法要求兩大條件：獨(dú)立（不相關(guān)）、大量。隨機(jī)誤差與隨機(jī)變量可滿足；經(jīng)典測(cè)量的處理隨機(jī)誤差，阿侖方差處理隨機(jī)變量，都是成功的。 不確定度論問世指謫誤差理論合成方法不統(tǒng)一，于是想盡辦法去統(tǒng)一于“方和根”處理方法。把各項(xiàng)誤差限退化為標(biāo)準(zhǔn)不確定度（方差），用“方和根”合成，再乘系數(shù)，得擴(kuò)展不確定度，繞了一個(gè)大灣，目標(biāo)就是統(tǒng)一于“方和根”的合成方法。許多人被蒙騙了，以為方差就可以取“方和根”。這是不對(duì)的?！顿M(fèi)書》的前三章，正文指出，被開方的項(xiàng)中，包含有交叉項(xiàng)，只在相關(guān)系數(shù)為零時(shí)，才能簡(jiǎn)化為取“方和根”。這是嚴(yán)格的，正確的。陳曉懷教授的第四章，雖然講不確定度評(píng)定，卻堅(jiān)持了誤差理論的傳統(tǒng)，表達(dá)與費(fèi)教授完全相同，也包含交叉項(xiàng)，這是嚴(yán)格的、正確的。 但是，我們看到，出現(xiàn)了完全不該有的現(xiàn)象。費(fèi)教授在實(shí)例中，違背了自己的理論。把明明可能是相關(guān)的問題，當(dāng)不相關(guān)處理了。這不是近似計(jì)算的問題，因?yàn)楹雎越徊骓?xiàng)是無視同階量，構(gòu)成錯(cuò)誤。在誤差分配中，完全以“方和根”為基礎(chǔ)，這是不妥當(dāng)?shù)摹Ｈ绻某梢浴敖^對(duì)值之和”為基礎(chǔ)，既合理又可靠。請(qǐng)問費(fèi)先生：您怎么忘了最經(jīng)典的方法？ - 至于第4章，開始陳曉懷教授寫了相關(guān)項(xiàng)，這是正確的?？上г诰唧w處理上，依然是隨了不確定度論的大流，一律取“方和根”。這當(dāng)然是錯(cuò)誤的。 - 關(guān)于相關(guān)系數(shù)，不確定度評(píng)定有時(shí)提一句：不相關(guān)。第一，不符合實(shí)際，第二明明是擺架子，明明相關(guān)，你說個(gè)不相關(guān)，不能不錯(cuò)。不確定度評(píng)定一律按不理相關(guān)處理，而事實(shí)上，大多數(shù)不是不相關(guān)的，因而也就大多數(shù)不對(duì)。 除了不相關(guān)、全相關(guān)（相關(guān)系數(shù)為1）以外，具體計(jì)算與測(cè)量相關(guān)系數(shù)是很麻煩的，人們也就習(xí)慣于“掩耳盜鈴”，模仿他人算吧，于是，在合成問題上，構(gòu)成不確定度評(píng)定的大錯(cuò)。這種錯(cuò)誤，貫穿于絕大多數(shù)的不確定度評(píng)定中。老史今天把這個(gè)問題揭開蓋子，大家看，是也不是。對(duì)不起，就拿《費(fèi)書》第四章第一個(gè)實(shí)例開刀。 - （二）《費(fèi)書》的計(jì)算實(shí)例 以下照片的內(nèi)容引自《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》第6版p90
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（三）按經(jīng)典誤差理論的計(jì)算（題目同上） 經(jīng)典方式（《數(shù)學(xué)手冊(cè)》1980 版）的公式 物理公式 V=πD^2 h /4 (3.1) 微分： dV = (?V/?D)dD + (?V/?h)dh = （πh D/2）dD +(πD^2 /4)dh 小量： ΔV =(πh D/2) ΔD +(πD^2 /4) Δh ΔV是誤差元，誤差元的絕對(duì)值的最大可能范圍是誤差范圍，誤差范圍是： |ΔV|max =│(πh D/2) ΔD +(πD^2 /4) Δh│max =(πh D/2) |ΔD|max + (πD^2 /4) |Δh|max （3.2） 設(shè)δ表示相對(duì)誤差的最大絕對(duì)值，（3.2）式除以體積公式，則有 δV = 2δD +δh (3.3) δV = |ΔV|max / V；δD = |ΔD|max / D；δh = |Δh|max / h (3.3)是經(jīng)典誤差理論的誤差范圍公式。乘變加，n次方變乘n。多么簡(jiǎn)潔、易算！ 已知|ΔD|max =0.01mm ，|Δh|max = 0.01mm ,則有 δD = 0.01/10.08 = 0.001 δh = 0.01/10.11 = 0.001 又 V=3.1416×10.08^2×10.11/4 =806.8 mm^3 有 δV = 2δD +δh = 0.003 誤差范圍為：
R(V) = 806.8×0.003 = 2.4mm^3 圓柱體積的測(cè)量結(jié)果為： V = 806.8mm^3 ± 2.4mm^3 （3.4） - 說明： （1）測(cè)量結(jié)果V = 806.8mm^3 ± 2.4mm^3，以99.73%的概率包含體積真值。 （2）尺寸重復(fù)性測(cè)量，體現(xiàn)的平均值的隨機(jī)誤差，應(yīng)在0.01mm的指標(biāo)內(nèi)，不宜重計(jì)。 - （四）史錦順的評(píng)論 1 誤差量不同于一般量值。一般量要求準(zhǔn)確，有上下限；而誤差量的著眼點(diǎn)不是它本身有多準(zhǔn)，而是必須說明它的絕對(duì)值的上限，就是確定誤差范圍。對(duì)同一問題，給出的誤差范圍越大，越可靠。 2 多次測(cè)量，取均方根，用西格瑪表示隨機(jī)誤差，是合理正確的。 3 計(jì)算誤差范圍的方和根法，要求的條件是不相關(guān)、大量。相關(guān)系數(shù)為零，數(shù)據(jù)量大，才能采用方和根的求法。通常的情況是，相關(guān)系數(shù)不為零，數(shù)據(jù)量小，方和根公式不成立。《費(fèi)書》，有相關(guān)系數(shù)項(xiàng)，理論上正確，但實(shí)際上行不通；因?yàn)榫唧w確定相關(guān)系數(shù)，十分繁難，可以說，沒人干這種笨活。怎么辦？一句話：設(shè)相關(guān)系數(shù)為零。于是，不再考慮相關(guān)系數(shù)，就按方和根處理。 這是《數(shù)學(xué)手冊(cè)》（1980）以后年代，計(jì)量測(cè)量界的一大弊病。現(xiàn)代派的誤差理論（包括《費(fèi)書》）與不確定度論，概莫能外。《費(fèi)書》的誤差理論部分，第四章的不確定度論部分，以及以GUM為代表的不確定度論，都是取方和根，因而都錯(cuò)了！ 測(cè)量?jī)x器誤差的主要部分是系統(tǒng)誤差。用同一把尺測(cè)量的圓柱的直徑、高度，這些量的誤差不可能不相關(guān)。你設(shè)它不相關(guān)，是掩耳盜鈴，是錯(cuò)誤計(jì)算。 4 絕對(duì)值合成，計(jì)算簡(jiǎn)單，不要求條件。相關(guān)不相關(guān)、分布如何、數(shù)據(jù)量大小，都沒關(guān)系，都可用絕對(duì)值合成來計(jì)算。 5 GUM說相關(guān)系數(shù)為零，得出方和根公式。相關(guān)系數(shù)為＋1，得出絕對(duì)值公式。前一句說得對(duì)，要用方和根公式，必須相關(guān)系數(shù)為零。正是這句話，把不確定度評(píng)定的絕大部分計(jì)算打上了錯(cuò)號(hào)，因?yàn)榻^大部分相關(guān)系數(shù)不是零，也就都算錯(cuò)了。 第二句話，不全面。相關(guān)系數(shù)為＋1，固然可得出絕對(duì)值之和；但絕對(duì)值之和的公式可以從誤差范圍的定義“誤差元的絕對(duì)值的最大可能值”出發(fā)，解絕對(duì)值公式，就得出了，不附加任何條件。這是經(jīng)典測(cè)量學(xué)早已解決的問題。 - 誤差合成方法，一繁一簡(jiǎn)，對(duì)比鮮明。 簡(jiǎn)單方法正確，而繁雜方法卻錯(cuò)誤，這個(gè)論斷新穎，值得思考。 簡(jiǎn)單方法受歡迎，有益處；繁雜方法理論上有毛病。實(shí)用上有隱患，不能不理會(huì)。 - | 
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