誤差范圍計算的簡單又可靠的方法——《費書》商榷(2)

           誤差范圍計算的簡單又可靠的方法

                                            ——《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》商榷(2)

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                                                                                                                                             史錦順

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《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》（2010第6版費業(yè)泰主編）是我國高校重點教材。被多所高校采用。影響甚廣。本文就誤差范圍計算的方法提出商榷。

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（一）兩條路線

誤差分析與誤差合成的數(shù)學基礎是微分，是泰勒展開。

測量儀器研制場合，必須找到合適的物理機制。列出物理公式。經典的誤差分析，直接對物理公式進行微分；一般來說是可以的，但有時常量變量不清楚，可能出現(xiàn)符號錯誤。史錦順的《新概念測量計量學》給出建立測量方程的方法，并由此得出測得值函數(shù)。在對測得值函數(shù)的常量、變量分辨清楚之后，對變量進行微分，這樣就使誤差分析有了嚴格的數(shù)理邏輯。

誤差量有數(shù)值又有單位，被認為是量值。這個“誤差量是量值”的認識，導致一些人們像追求量值準確度那樣去追求誤差量的準確性。這是不妥當?shù)摹Ｆ鋵崳`差量與一般量有本質區(qū)別。這一區(qū)別，導致誤差量求法的特殊性與簡單性。

一般量值要求準確，既不能大也不能小，必須控制在誤差范圍內。這是量值的準確性要求，是“雙限性”要求。誤差量的特點是它的上限性，著眼點是誤差元的絕對值的上限，即誤差范圍。

根據(jù)誤差量的上限性的特點，史錦順提出一種復古主義的主張，就是用數(shù)學手冊所載的經典方法，進行誤差合成。經典的誤差合成方法就是除多次測量的隨機誤差外都絕對值相加。

在基礎測量（常量測量）中，被測量是常量，討論的是測量手段的問題，就是測量的誤差問題。誤差分系統(tǒng)誤差與隨機誤差。隨機誤差自身，用均方根，不同隨機誤差間合成用方和根。各種隨機誤差構成隨機誤差范圍。

如果已知系統(tǒng)誤差的量值與符號，可在示值給出前通過操作的方式或計算的方式進行修正。抵消或修正了的誤差因素，不構成示值誤差。

未修正的誤差、各種未定系統(tǒng)誤差，取絕對值相加，構成系統(tǒng)誤差范圍。系統(tǒng)誤差范圍與隨機誤差范圍，按方和根合成為總誤差范圍，簡稱為誤差范圍。

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鑒于現(xiàn)代大量變量測量的存在，史錦順提出“統(tǒng)計測量”的新概念。統(tǒng)計測量的對象是快變量（在一回測量的N次測量中，量值在顯著變化）。為正確表征量值的變化特性，典型的統(tǒng)計測量要求測量儀器的誤差遠小于被測量的變化。統(tǒng)計測量的分散性用單值的西格瑪表征，測量N次，即使以平均值當表征量，也不準除以根號N。還不準剔除異常數(shù)據(jù)。這兩點是統(tǒng)計測量的特有規(guī)則，不同于以常量測量為對象的經典測量理論。

某些測量既有被測量的變化，也有測量誤差。那就要兼顧兩類測量的特點。本文未涉及此類問題。

還有一個重要判別，計量是統(tǒng)計測量。因此在計量中不能進行除以根號N和剔除異常數(shù)據(jù)這兩項操作。

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對測得值函數(shù)作泰勒展開得到的誤差元，有正有負，誤差分析計算是求誤差元絕對值的最大值，因此，誤差分析的第一項操作是泰勒展開，第二項操作就是去掉誤差元的符號。

去掉正負符號，有兩條路線。

第一條路線取絕對值。由此而形成誤差合成的第一種辦法：絕對值合成。絕對值合成的特點是計算方便，不附加任何條件，不論相關不相關，省略計算相關系數(shù)的麻煩。不分誤差是純系統(tǒng)性的，還是帶有隨機性的。不論各項間是否獨立。不計測量次數(shù)多寡。不理會分布規(guī)律，也就是對任何分布規(guī)律都成立。不存在自由度一說。對多次測量的隨機誤差用貝塞爾公式計算，取3西格瑪（包含概率99.73%）。絕對值合成算得的誤差范圍比其他算法的結果大。最保險。受儀器設計人員歡迎。鑒定會易于通過。指標余地大，用戶歡迎。減少“計量不合格”“驗收通不過”的麻煩。算法簡單易學。老史一貫按這種方法處理問題，自己方便，用戶滿意，領導表揚，促進了自己研制的幾項標準與測量儀器及所負責檢測的宇航測量設備質量的提高，少為難而又易有成就。現(xiàn)在極力宣傳推廣這種方法。

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第二條路線取方和根。初等數(shù)學規(guī)定，平方根取正值，因此，平方再開方，也可達到消去誤差元符號的作用。單項平方再開方，數(shù)值還原而符號消失，這沒問題。但多項式的平方再開方，就大有講究，竟引出許多話題來，構成多種重大方法。有些成功，有些則有異議，甚至埋下禍端。

A 測量次數(shù)很大時的隨機誤差，處理最成功。著名的貝塞爾公式，19世紀初提出。不僅是隨機誤差的理論基礎，也是隨后興起的數(shù)理統(tǒng)計的基礎。取方差的動機就是消掉正負號。隨機、大量、不相關，導致“諸項代數(shù)和的平方等于各項平方的算數(shù)和”，多項式取平方時，交叉項全消掉，取“均方根”，合理；而3倍西格瑪，則成高包含概率（99.73%）的區(qū)間半寬，即隨機誤差范圍。

B 有人覺得取絕對和偏大，就想法，仿照隨機誤差的“均方根”，而用“方和根”。誤差理論已有這種作法；到1993年GUM推行不確定度論及不確定度評定之后，“方和根”成了不確定度評定的唯一選擇。這問題就大了。“方和根”方法要求兩大條件：獨立（不相關）、大量。隨機誤差與隨機變量可滿足；經典測量的處理隨機誤差，阿侖方差處理隨機變量，都是成功的。

不確定度論問世指謫誤差理論合成方法不統(tǒng)一，于是想盡辦法去統(tǒng)一于“方和根”處理方法。把各項誤差限退化為標準不確定度（方差），用“方和根”合成，再乘系數(shù)，得擴展不確定度，繞了一個大灣，目標就是統(tǒng)一于“方和根”的合成方法。許多人被蒙騙了，以為方差就可以取“方和根”。這是不對的。《費書》的前三章，正文指出，被開方的項中，包含有交叉項，只在相關系數(shù)為零時，才能簡化為取“方和根”。這是嚴格的，正確的。陳曉懷教授的第四章，雖然講不確定度評定，卻堅持了誤差理論的傳統(tǒng)，表達與費教授完全相同，也包含交叉項，這是嚴格的、正確的。

但是，我們看到，出現(xiàn)了完全不該有的現(xiàn)象。費教授在實例中，違背了自己的理論。把明明可能是相關的問題，當不相關處理了。這不是近似計算的問題，因為忽略交叉項是無視同階量，構成錯誤。在誤差分配中，完全以“方和根”為基礎，這是不妥當?shù)摹Ｈ绻某梢浴敖^對值之和”為基礎，既合理又可靠。請問費先生：您怎么忘了最經典的方法？

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至于第4章，開始陳曉懷教授寫了相關項，這是正確的。可惜在具體處理上，依然是隨了不確定度論的大流，一律取“方和根”。這當然是錯誤的。

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關于相關系數(shù)，不確定度評定有時提一句：不相關。第一，不符合實際，第二明明是擺架子，明明相關，你說個不相關，不能不錯。不確定度評定一律按不理相關處理，而事實上，大多數(shù)不是不相關的，因而也就大多數(shù)不對。

除了不相關、全相關（相關系數(shù)為1）以外，具體計算與測量相關系數(shù)是很麻煩的，人們也就習慣于“掩耳盜鈴”，模仿他人算吧，于是，在合成問題上，構成不確定度評定的大錯。這種錯誤，貫穿于絕大多數(shù)的不確定度評定中。老史今天把這個問題揭開蓋子，大家看，是也不是。對不起，就拿《費書》第四章第一個實例開刀。

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（二）《費書》的計算實例

以下照片的內容引自《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》第6版p90

（三）按經典誤差理論的計算（題目同上）

經典方式（《數(shù)學手冊》1980 版）的公式

物理公式

          V=πD^2 h /4                                                           (3.1)

微分：

          dV = (?V/?D)dD + (?V/?h)dh

               = （πh D/2）dD +(πD^2 /4)dh

小量：

              ΔV =(πh D/2) ΔD +(πD^2 /4) Δh

ΔV是誤差元，誤差元的絕對值的最大可能范圍是誤差范圍，誤差范圍是：

              |ΔV|max =│(πh D/2) ΔD +(πD^2 /4) Δh│max

                    =(πh D/2) |ΔD|max + (πD^2 /4) |Δh|max                       （3.2）

設δ表示相對誤差的最大絕對值，（3.2）式除以體積公式，則有

      δV = 2δD +δh                                                                                         (3.3)

δV = |ΔV|max / V；δD = |ΔD|max / D；δh = |Δh|max / h

(3.3)是經典誤差理論的誤差范圍公式。乘變加，n次方變乘n。多么簡潔、易算！

已知|ΔD|max =0.01mm ，|Δh|max = 0.01mm ,則有

           δD = 0.01/10.08 = 0.001

           δh = 0.01/10.11 = 0.001

又 V=3.1416×10.08^2×10.11/4 =806.8 mm^3

有

           δV = 2δD +δh = 0.003

誤差范圍為：

           R(V) = 806.8×0.003 = 2.4mm^3

圓柱體積的測量結果為：

               V = 806.8mm^3 ± 2.4mm^3                                                          （3.4）

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說明：

（1）測量結果V = 806.8mm^3 ± 2.4mm^3，以99.73%的概率包含體積真值。

（2）尺寸重復性測量，體現(xiàn)的平均值的隨機誤差，應在0.01mm的指標內，不宜重計。

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（四）史錦順的評論

1 誤差量不同于一般量值。一般量要求準確，有上下限；而誤差量的著眼點不是它本身有多準，而是必須說明它的絕對值的上限，就是確定誤差范圍。對同一問題，給出的誤差范圍越大，越可靠。

2 多次測量，取均方根，用西格瑪表示隨機誤差，是合理正確的。

3 計算誤差范圍的方和根法，要求的條件是不相關、大量。相關系數(shù)為零，數(shù)據(jù)量大，才能采用方和根的求法。通常的情況是，相關系數(shù)不為零，數(shù)據(jù)量小，方和根公式不成立。《費書》，有相關系數(shù)項，理論上正確，但實際上行不通；因為具體確定相關系數(shù)，十分繁難，可以說，沒人干這種笨活。怎么辦？一句話：設相關系數(shù)為零。于是，不再考慮相關系數(shù)，就按方和根處理。

這是《數(shù)學手冊》（1980）以后年代，計量測量界的一大弊病。現(xiàn)代派的誤差理論（包括《費書》）與不確定度論，概莫能外。《費書》的誤差理論部分，第四章的不確定度論部分，以及以GUM為代表的不確定度論，都是取方和根，因而都錯了！

測量儀器誤差的主要部分是系統(tǒng)誤差。用同一把尺測量的圓柱的直徑、高度，這些量的誤差不可能不相關。你設它不相關，是掩耳盜鈴，是錯誤計算。

4 絕對值合成，計算簡單，不要求條件。相關不相關、分布如何、數(shù)據(jù)量大小，都沒關系，都可用絕對值合成來計算。

5 GUM說相關系數(shù)為零，得出方和根公式。相關系數(shù)為＋1，得出絕對值公式。前一句說得對，要用方和根公式，必須相關系數(shù)為零。正是這句話，把不確定度評定的絕大部分計算打上了錯號，因為絕大部分相關系數(shù)不是零，也就都算錯了。

第二句話，不全面。相關系數(shù)為＋1，固然可得出絕對值之和；但絕對值之和的公式可以從誤差范圍的定義“誤差元的絕對值的最大可能值”出發(fā)，解絕對值公式，就得出了，不附加任何條件。這是經典測量學早已解決的問題。

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誤差合成方法，一繁一簡，對比鮮明。

簡單方法正確，而繁雜方法卻錯誤，這個論斷新穎，值得思考。

簡單方法受歡迎，有益處；繁雜方法理論上有毛病。實用上有隱患，不能不理會。

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【

在基礎測量（常量測量）中，被測量是常量，討論的是測量手段的問題，就是測量的誤差問題。誤差分系統(tǒng)誤差與隨機誤差。隨機誤差自身，用均方根，不同隨機誤差間合成用方和根。各種隨機誤差構成隨機誤差范圍。
如果已知系統(tǒng)誤差的量值與符號，可在示值給出前通過操作的方式或計算的方式進行修正。抵消或修正了的誤差因素，不構成示值誤差。
未修正的誤差、各種未定系統(tǒng)誤差，取絕對值相加，構成系統(tǒng)誤差范圍。系統(tǒng)誤差范圍與隨機誤差范圍，按方和根合成為總誤差范圍，簡稱為誤差范圍。

】---- 如此，正是費先生書中（不涉及”測量不確定“的前幾章）‘倡導’的做法，有什么不妥呢？  除了“未定系統(tǒng)誤差分量”與“隨機誤差分量”的名稱或宜適當‘矯正’。

倘若所有”誤差分量“都按‘完全絕對相關’的‘最壞情況’考慮，那【多次”平均值“測量結果的‘測量誤差限”小于單次測量結果的‘測量誤差限”】就失去必要的技術支撐了！.....閉著眼睛完全按“不相關”考慮問題肯定不切實際；但走向另一個極端也是有問題的。.... 實用的辦法就是將“測量誤差”成份 “理想化的適當”分成兩類：一類“完全絕對相關”；另一類“完全不相關”。任何實際的“測量誤差”成份都包含二者！
所謂的“測量誤差限”‘評估’或者叫‘合成’，實質還是‘猜測’....符合人們實際‘經驗’的‘猜法’才是可取的。【 除了最高級的’測量基準‘問題，大多數(shù)‘猜測’出的“測量誤差限”都是可以核查的——只要不惜代價。】

回復 2# njlyx


   

                                               答njlyx先生（1）

                                                                                                  史錦順

【lyx質疑】

   [……未修的誤差、各種未定系統(tǒng)誤差，取絕對值相加，構成系統(tǒng)誤差范圍。系統(tǒng)誤差范圍與隨機誤差范圍，按方和根合成為總誤差范圍，簡稱為誤差范圍。]

  如此，正是費先生書中（不涉及”測量不確定“的前幾章）‘倡導’的做法，有什么不妥呢？  除了“未定系統(tǒng)誤差分量”與“隨機誤差分量”的名稱或宜適當‘矯正

【史辯】

請先生注意：史錦順的主張（方括號中的話）中，加紅的部分，是史錦順此次帖中提出的新觀點，就是：除了滿足“獨立”、“大量”二條件的隨機誤差之外的誤差，“取絕對值相加”，而費先生書中，沒有“絕對值相加”的說法。

費先生的方法，就是取各項之和（多項式）的平方，再開方（即我文中所稱的去掉正負符號的第二路線）。這是嚴格的。但無法貫徹到底。把多項式平方，結果包括各項的平方之和，還有交叉項。N個項的平方，交叉項共N（N-1）個。怎么處理，這是難題。分四種情況。

1 特殊情況1，各項之大小與符號隨機，“大量”條件滿足，相互抵消。隨機誤差與隨機變量在測量次數(shù)很大的條件下滿足，因而，N項和的平方，等于各項平方的和（共N個數(shù)之和），全部交叉項的總和為零。這是方和根算法成立的情況。

2 特殊情況2，相關系數(shù)為+1，N項之代數(shù)和的平方，等于各項絕對值之和的平方，開方后，成為各項的絕對值之和。這與“取絕對值之和”的作法一樣；但意義不一樣。這里是“特例”，而“取絕對值之和”是第一種路線算的上限，對任何情況都成立。

3 統(tǒng)計測量。統(tǒng)計測量面對的是隨機變量，而測量儀器的誤差可略（系統(tǒng)誤差是誤差的一部分，當然可略），因此，統(tǒng)計測量可按方和根法處理。

4 基礎測量。測量對象是常量，這是一般的測量，就是誤差理論要處理的一般情況。誤差范圍的主要部分是系統(tǒng)誤差（《費書》稱未定系統(tǒng)誤差），一般來說，獨立的條件（相關系數(shù)為零）不成立，因此，方和根可能比多項式之和小，而誤差計算要求的是上限值，因此，方和根算法不成立。

《費書》在理論部分，公式中包含相關系數(shù)，無疑是正確的。但是，相關系數(shù)，除零與+1可以判斷處理外，通常是不便于處理的。理論上可以講得頭頭是道，除了極特殊的理論研究，沒人干“求相關系數(shù)”這種傻事、笨事。

《費書》的第三章（本來我只想駁斥第四章的不確定度），實際上處理問題，也拋棄了相關系數(shù)（也就是假設相關系數(shù)為零）。第一，費先生的實例計算，都不考慮相關系數(shù)；第二在誤差分配部分，都是基于“方和根公式”，而一般情況下，“方和根公式”是不成立的。

由上《費書》的第三章，即費業(yè)泰先生本人，也是“方和根”派。基本公式中雖然有相關系數(shù)，而實用中不用，是徒有形式；本質就是“方和根”。

對系統(tǒng)誤差的處理，老史本文提出的是“絕對和”，而費老書中實用的是“方和根”，大不相同。“絕對和”是誤差的上限，符合誤差量的特點，滿足誤差范圍計算的要求，是正確的。計算方便，結果可靠、保險。而“方和根”計算的“不相關”條件一般不成立；結果偏小，不是誤差量的上限。不可靠。

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至于系統(tǒng)誤差與隨機誤差的名稱，那是誤差理論的特有語言。客觀上有不同性質的誤差，誤差理論的分類是科學的。分類是分別處理的基礎。否定誤差分類理論，是不確定度論的敗筆。看來，先生稱“分量”，似乎已是不確定度論的語言。不確定度誕生伊始，有許多誣陷誤差理論的說法。否定系統(tǒng)誤差與隨機誤差的分類，是其中之一。不確定度論自已的A類B類，才是違反邏輯學分類規(guī)則的錯誤做法。

不確定度論的問題，絕不是“歪嘴和尚念錯經”。不確定度論否定真值可知，立足點錯了；否定誤差可求，又不得不利用誤差，邏輯亂了；舍實測而搞評估，路線錯了；考核計量標準要計入被撿儀器性能，混淆了對象與手段的關系；不顧一般情況下系統(tǒng)誤差不獨立的實際情況，一律取方和根，合成公式錯了；在被測量是隨機變量時，必須用單值的西格瑪表征分散性，而不確定度論一律除以根號N，統(tǒng)計公式錯了；這又是GUM引出不確定度是的第一個定義式，因此不確定度一開始的定義式就錯了……

一錯再錯，乃至全盤錯，這就是我對不確定度論的基本評價。我不要求你贊成我的觀點，但請你認真想一想我對不確定度論的各項置疑。

辯論也是一種樂趣。有啥說啥，不必講面子。

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(開頭的小字我放大不了，可能是系統(tǒng)問題。)

修改 3# 史錦順 文

        倒數(shù)第5行為：這又是GUM引出不確定度是的第一個定義式
     其中“是”改為“時”。

如果說“系統(tǒng)誤差與隨機誤差的名稱”是‘誤差理論’的特有語言，那這特有語言是不確切的，就像它從前一直以“誤差”指代‘誤差限’（或‘誤差范圍’）一樣有瑕疵！ 因為最終遺留在測量結果中的“測量誤差”都是“不確定量”---而“不確定量”與“隨機量”在普通人看來是同類的！  

就按經典誤差理論的分類命名說法，系統(tǒng)誤差與隨機誤差也是“測量誤差”的兩類“分量”，而且，任何一個實際存在的“測量誤差”中必定同時存在這兩類“分量”，只是不同的情況下比例不同而以，這不是我說的。

否定‘誤差分類’的確是現(xiàn)行“不確定度”表述方案的敗筆之一，它丟掉了傳統(tǒng)“誤差理論”中對“誤差”分量之間相關性的‘實用簡化處理方案’---此‘實用簡化處理方案’依靠的就是把誤差分量實用化的分成“兩類”：“系統(tǒng)誤差”分量按‘絕對相關’“‘絕對求和’合成”，“隨機誤差”分量按‘完全不相關’“‘方和根’合成”，不要費力尋找那很難把握的‘相關系數(shù)’。 本人現(xiàn)時毫不猶豫的贊成將“測量誤差”分量分成“兩類”，只是兩類的名稱宜再斟酌。

我們上學時學的‘系統(tǒng)誤差合成’就是‘絕對求和’，難道費老先生新版的‘系統(tǒng)誤差合成’方案改過了？--- 若是，怪我沒有認真學好費老先生的新著。...... 總“系統(tǒng)誤差”與總“隨機誤差”再合成總“測量誤差”時用‘方和根’是沒有問題的！....經典“誤差理論”中被稱之為“隨機誤差”的量，實際是指‘與誰都不會相關’的‘白噪聲’量（其自身序列的前后都不相關）-----當然這是理想化的極端，與稱為“系統(tǒng)誤差”的量的另一個極端相對應---各分量之間‘絕對相關’。

A類、B類是現(xiàn)行“不確定度”表述方案的另一無謂之舉；自由度、包含因子也是不顧實用的‘學究’式做法；.......還有史先生批判過的種種具體操作不當以及認為“世界無真相”的思維，本人同感當棄。  但“不確定度”、“測量不確定度”本身不是壞孩子！

回復 5# njlyx


    更正：
      經典“誤差理論”中的“系統(tǒng)誤差”主要是強調自身序列的前后“相關”--自相關系數(shù)近似為1。 不同“系統(tǒng)誤差”分量之間是否相關，還是要看情況！各“系統(tǒng)誤差”分量“合成”時不一定都應取“絕對和”，在能確定兩個“系統(tǒng)誤差”分量之間無關的情況下，兩者的合成還是應取“方和根”--- 例如測量系統(tǒng)校準時所用標準器引起的‘誤差分量’與測量系統(tǒng)非線性引起的‘誤差分量’之間應該是‘不相關的’，兩者的‘合成’就該取“方和根”；在不能確認‘互相無關’時，則按“絕對和”‘合成’是穩(wěn)妥的方案。
     .........5#回急了，特此更正。

已知|ΔD|max =0.01mm ，|Δh|max = 0.01mm，請問這 0.01mm是從哪來的？難道是測量儀器的分度值？

回復 7# 285166790

   

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《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》（費業(yè)泰主編第6版2010年）第91頁給出的條件是：“由儀器說明書獲得測微儀的示值誤差范圍±0.01mm”。（正文照片中有。）

文中所用的數(shù)據(jù)是“誤差范圍±0.01mm”而不是“分度值”。

本文的目的是比較兩種合成方法的合理性，兩種方法都是基于“誤差范圍”，因此論述比較的道理成立。

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一般來說，分度值不等于誤差范圍。誤差范圍又叫最大允許誤差，是儀器的指標，要經過計量（有合格證）。

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　　正如史老師所說“誤差范圍又叫最大允許誤差，是儀器的指標，要經過計量（有合格證）”，因此，誤差范圍是給定的，或者也可以是一組測量結果與被測量真值（上游測量過程的測量結果）之差中，最小誤差與最大誤差兩個極限誤差限定的范圍，因此誤差范圍是評價用該測量設備測得的所有測量結果這“一組”測量結果準確性的，誤差則是某一個測量結果偏離被測量真值的程度，是評價“一個”測量結果準確性的。在評價測量結果準確性方面誤差理論是正確性和科學性是無與倫比的。
　　不確定度則是評定者憑所掌握的測量過程信息主觀“估計”出來的，所謂A類B類只是估計方法的分類，無論用哪個方法估計，都是個“估計”，并不是標準/規(guī)范給定或“合格證”給出的，它不能用來評價測量結果的準確性，只能用來評價測量結果的可信性。在評價測量結果的可信性方面，不確定度也是無與倫比的。
　　不確定度和誤差定義不同，含義不同，來源不同，大小不同，用途不同，不確定度與誤差各有各的應用場合，各有各的生存空間，各有各的理論，沒有可比性。任何將不確定度與誤差畫等號，或視不確定度是誤差的一部分的做法都是概念混淆，都是錯誤的。

該案例中尺寸重復性的分量明顯大于0.01mm，您這就等于沒有考慮被測儀器的重復性了。

回復 1# 史錦順


    費老經典教材p90的計算確實是落入了現(xiàn)行“測量不確定度”的漿糊面缸了—— 測量“圓柱”的直徑D，將圓柱的“不圓度”算在其“測量不確定度”里——測量者怨；測量“圓柱”的高度h，將圓柱兩端面的“不平行度”算在其“測量不確定度”里——測量者還怨;.......將一切“不是”都推給“測量”，或是跨世紀“奇冤”！.....“形位誤差”不見了、零件加工者與檢驗者的責任模糊了、神仙理論家可以隨便扯了.....

    史先生的“計算”基于“理想圓柱體”的“條件”，相應的“誤差”才真是“測量”不理想造成的----任何工作都該有相對確定的前提條件，糊涂籠統(tǒng)，職責難分。

   如果“測量任務”就是“測量那個圓柱體”的“體積”，而不是要測直徑D和高度h，順便算出“體積”，那“測量者”按“理想圓柱體”考慮的“測量方案”時倒是要考慮圓柱的“不圓度”、圓柱兩端面的“不平行度”以及圓柱的“直線度”...等影響【測體積還可以有其他方案】，但這不是一個籠統(tǒng)的“重復性”所能“抽象”的事！

回復 11# njlyx


      因為要做兩種計算方法的比較，我也就按原書的“理想模型”的方式進行了。
      對一個實際工件的檢測，要選用準確度夠格的測量工具；但更重要的是要注意實際尺寸的變化，包括直徑的變化與高度的變化。
      測量直徑要選不同的10個采樣點，測量高度也要選10個不同的采樣點。
      測量出的直徑的數(shù)值變化，一部分來自測量工具的隨機誤差，而另一部分來自圓柱體本身直徑的不均勻。
      我主張把測量分成兩類：基礎測量與統(tǒng)計測量。基礎測量是對常量的測量；統(tǒng)計測量是對變量的測量。
      基礎測量考究的是測量的誤差問題。統(tǒng)計測量考慮的是量值本身的變化。
      基礎測量的西格瑪該除以根號N；而統(tǒng)計測量必須用單值的西格瑪來表征被測量本身的分散性，即使用平均值來表征被測量，也不能除以根號N，必須用單值的西格瑪。這一點在頻率測量中十分突出。一般的測量，10次就不少；而頻率穩(wěn)定度測量，測量次數(shù)N，規(guī)定為100，除以10，還是不除以10，差別10倍。宇航測量的采樣時間大概10毫秒。對10 毫秒的連續(xù)采樣，N=10000，用時約兩分鐘，易做到。除以根號N（100），指標就縮小100倍，這是嚴重的夸張，是絕不允許的。
      不確定度的A類評定，規(guī)定必須除以根號N。請注意：GUM在引出不確定度概念時稱：西格瑪除以根號N,叫不確定度（言下之意：不除以根號N不是不確定度）。
      一律除以根號N的不確定度，沒法表征統(tǒng)計問題。至今時頻界特別是宇航測量計量中的頻率測量堅決抵制不確定度論，主要原因就在于此。一旦有人在宇航中用不確定度評定，必定造成極大的隱患，無異于自毀。這不是哪個應用者的問題；而是不確定度評定的必然結果。不反對不確定度論，行嗎？

回復 12# 史錦順


       要緊的是把概念理清楚，搞明白“條件”，不能夢想弄一個“無限適用”的東西出來！ 致于具體“合成”（計算）時是按‘絕對相關’取‘絕對和’，還是按‘不相關’取‘方和根’，還是應該“豐儉由人”，盡量有所判斷，畢竟還有許多‘民用行業(yè)’要追求效益、允許承受較大的風險。

      史先生指出的除根號N的問題，是有人沒搞明白其中的關系，把被測量自身的‘隨機’變化與‘測量系統(tǒng)計量特性不理想所引起的測量誤差’混為一團了，這可能真是當前“不確定度”應用中的糊涂官司？ 但如果要把它算作“不確定度”先祖的‘意思’，恐怕是有點冤枉。

回復 10# 285166790


      先生的質疑提得好。
      因為用的是《費書》的數(shù)據(jù)，一些前提條件不清楚。按原書的寫法，是有矛盾的。直徑測量的6個數(shù)據(jù)，如果是對同一測量點測量的，數(shù)據(jù)不該有那樣的差異。給出的測量誤差范圍是0.01mm,應既包括系統(tǒng)誤差，也包括隨機誤差，因而數(shù)據(jù)不應該有那么大的變化。我懷疑那是對不同點進行的測量。數(shù)據(jù)的分散性應該是圓柱體本身的直徑的變化。如果對同一點測量有那樣的變化，應該是測尺本身不合格（誤差范圍大于0.01mm），也就是說“誤差范圍0.01mm”不成立；在此基礎上的一切分析計算都無效。
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     另一種可能是，6個直徑值是在6個采樣點上的不同的直徑值。其數(shù)據(jù)處理辦法，應按統(tǒng)計測量處理，求西格瑪時不除以根號6.取3西格瑪（或2西格瑪）由此算直徑變化引入的體積誤差，再去與直徑的誤差范圍引入的體積誤差、高度的誤差范圍引入的體積誤差去合成。這和不確定度理論的處理方式是不同的。

回復 14# 史錦順


   不管結論如何，您的鉆研精神的確實值得大家學習。

回復 14# 史錦順


      若是仔細考究由多個直徑測點所得’平均直徑‘，及多個高度測點的所得’平均高度‘計算出的體積與實際體積的“可能誤差’范圍‘”，可能還不是這么簡單的結果----理論而言：高度取平均值計算體積，不會產生誤差；直徑取平均值計算體積時，產生的誤差與直徑圍繞其平均值的分布有關。.....因為這直徑、高度都不是整個兒的’忽大忽小‘。

回復 13# njlyx


   

                 答njlyx先生（2）

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                                                                                                                                   史錦順

   【lyx質疑】

   史先生指出的除根號N的問題，是有人沒搞明白其中的關系，把被測量自身的‘隨機’變化與‘測量系統(tǒng)計量特性不理想所引起的測量誤差’混為一團了，這可能真是當前“不確定度”應用中的糊涂官司？ 但如果要把它算作“不確定度”先祖的‘意思’，恐怕是有點冤枉。

【史辯】

先生正確地理解兩類測量的除以根號N的問題，肯定我指出的問題是客觀存在，這是對我的理解，是我的知音。謝謝先生。學術討論，認同很重要，但可一點而過；重點討論分歧意見。

我認為，根號N問題的存在，是不確定度理論的設計者的事，不是應用者的責任。

什么是真正的不確定度呢？GUM所闡述的不確定度就是正牌的不確定度。

測量不確定度的概念從1968年提出，經過1980年的意見稿，到1993年正式定下來，有個過程。但到了1993年國際計量委員會投票通過GUM，才成為國際計量界的“導則”。因此，GUM就是測量不確定度理論的“根源”“依據(jù)”“祖根”。

GUM的4.2.3條款，引出不確定度概念時說：通常，平均值的標準偏差叫測量不確定度。平均值的標準偏差等于西格瑪除以根號N。這就是說：除以根號N是不確定度；不除以根號N不能叫不確定度。

GUM的4.2條款，內容講A類不確定度評定。從其定義到執(zhí)行，核心就是西格瑪除以根號N.

GUM是不確定度理論的祖根，不確定度評定的依據(jù)。“根”如此，何論枝葉？全世界的不確定度論的信奉者，不過是“依葫蘆畫瓢”。不必怪他們！

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GUM與VIM關于不確定度的定義，含混其詞，像是測得值的分散性，又可解釋為被測量的分散性。李慎安先生就解釋為是真值的分散性。把兩種分散性攪合在一起，沒法實用。這是不確定度論諸多敗筆的根源.

算賬就找GUM和VIM!

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GUM的4.4.3條款是測溫度的例子。20個數(shù)據(jù)。求西格瑪，除以根號N。那么大的溫度變化，是溫度計的問題嗎？世界上難找隨機變化峰峰值高達5.82℃的溫度計。該溫度計分辨力是0.01℃，溫度計本身怎么可能有582倍的隨機變化？很明顯，那變化是被測對象的變化，即溫度源的變化。溫度源的溫度變化，是被測量本身的變化，必須用單值的西格瑪表征其分散性，即使用平均值來代表溫度源的溫度，但溫度值的分散性必須是西格瑪，而不能除以根號N。GUM的樣板除以根號N了，成為后來者的“樣板”“依據(jù)”。依據(jù)如此，怎能怪后人？

GUM與VIM講的不確定度A類評定，是不確定度評定唯一的實驗基礎（B類評定僅僅是收集資料，抄抄而已）。A類評定的錯誤，注定了不確定度理論的“不可用，用則必錯”的下場。難道先生能找出一個完整的不確定度評定的正確的樣板嗎？沒有！不確定度理論不僅不是好孩子；而是沒有人樣的怪胎！您說的不確定論的認為“世界無真相”的思維，正是這個怪胎所特有的，這正是不確定度論的一切錯誤與弊病的總根源。

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（此文前后出現(xiàn)小字，不能放大，可能是電子系統(tǒng)的問題。）

回復 17# 史錦順


     “不確定度”的“先祖”要認93年以前的吧。攪面糊的根源或在GUM、VIM，但它們沒有什么強制約束力吧，本國的GB、JJF、JJG照葫蘆畫瓢才真亂事....

回復 17# 史錦順


    算數(shù)平均值的標準差公式的確是要除以根號N，這個其實不是誤差理論或者不確定度本身能決定的事，這只是概率論中的數(shù)學公式，在誤差理論中的應用，如果要推敲它的正確性，那要從數(shù)學公式上進行分析。現(xiàn)在所要關心的是，測量結果是不是取的算數(shù)平均值？如果是，那用這個公式就沒有問題。不確定是按標準差公式合成，標準差在誤差理論中就是反映測量結果分散性的，合成之后當然還是反映測量結果的分散性，這就是它的含義。但是由標準差和概率分布，再乘以系數(shù)k，可以推導出測量結果大概的分布范圍，就得到了不確定度。各個環(huán)節(jié)，除了定義本身，其它計算完全是按照概率論的公式，有異議也應該算到概率論的頭上。

回復 19# 285166790


   

測量計量學不是數(shù)理統(tǒng)計學的分支。正相反，誤差理論發(fā)展最早，而統(tǒng)計理論在后。貝塞爾于19世紀初在處理天體測量的誤差時，推導出貝塞爾公式（網上有介紹）。此后不久，統(tǒng)計理論興起，把貝塞爾公式移植到統(tǒng)計理論中。此后，統(tǒng)計理論應用廣、發(fā)展快，許多統(tǒng)計學成果又為測量學所用，但測量學與統(tǒng)計學之間沒有隸屬關系。應該自己處理自己的事。

快變量的測量，例如頻率源穩(wěn)定度的測量，必須用單值的西格瑪來表征，不能除以根號N，阿侖方差，要求測量100次，但用單值的西格瑪，而不能除以根號100（10）。用平均值表征量值是當然的；即使用平均值來表征，也不能除以根號N。道理很簡單，如果可以除以根號N,制作者就可以把N取得很大，例如10000次（10毫秒采樣，僅需2分鐘），于是平均值的西格瑪就變成單值西格瑪?shù)陌俜种唬懿畹膬x器就可合格了。不許這樣做。

西格瑪不允許除以根號N,已是時頻計量界的常規(guī)，不僅僅是我的個人看法。我不久前在本欄目寫過關于兩個西格瑪?shù)奈恼拢抢镉袌D，有詳細解釋。（已把那篇文章提到首頁，請你參考。）

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對于門外漢的我，來到這里長見識了