面積誤差三種計算表達的比較

             面積誤差三種計算表達的比較

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                                                                          史錦順

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網上有個題目，求桌面面積的測量結果。桌面為矩形。用米尺測量，長L為100.0 cm，寬b為50.0 cm，測量的誤差范圍是0.2 cm。測量結果怎樣表達？

    這是測量計量范疇的簡單題目。都成、規矩灣、史錦順有三種不同的解法。代表了三人對誤差理論、對不確定度理論與不確定度評定的不同看法。題目十分簡單，反映出的問題卻很典型，也極其嚴肅：該認真對待推行不確定度論以來形成的紛爭局面了。

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（一）經典誤差理論的計算與表達

    經典測量測量學的解法極為簡約。如《數學手冊》（1980版）

設a是A的近似值，b是B的近似值

     │a-A│≤Δa      │b-B│≤Δb

     (a+b)的誤差范圍=Δa+Δb

     (a–b)的誤差范圍=Δa+Δb

          (a×b)的相對誤差范圍=Δa/A+Δb/B =δa +δb

           (a÷b)的相對誤差范圍=Δa/A+Δb/B =δa +δb

以上的四大公式，極為簡明、對稱、好記、好用。本來，這是理工大學一年級實驗物理課必講的內容，是工程技術人員特別是計量人員最起碼的應知應會，而且載于最基礎的工具書《數學手冊》中；可惜，當今的技術人員，去學那“不確定度”，許多高工乃至教授，竟不知有如此簡明、管用的誤差公式。不確定度，誤人呀！

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按經典誤差理論計算

           A=L×b    δL=|ΔL|/L    δb=|Δb|/b

面積的相對測量誤差范圍：

         δA =δL +δb= |ΔL|/L + |Δb|/ b = 0.2cm/100 cm + 0.2cm/50cm = 0.6%

面積的計算值

                  A（計）=100.0 cm×50.0 cm=5000 cm^2

面積的誤差范圍

                 R(A)= A×δA = 5000 cm^2×0.6% = 30 cm^2

測量結果為

         A = 5000 cm^2 ±30 cm^2                                       （1）

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（二）都成的表達

測量一個桌面的面積，桌子的長為：L=100.0cm，測量誤差限±0.2 cm，寬為：b=50.0cm，測量誤差限±0.2 cm，認為彼此獨立，求其桌面面積S，誤差理論中用什么參數來描述測量結果的質量，請算出來并給出具體計算步驟。

在面積測量中，面積的函數式為S＝L·b，長度L和寬度b的極限誤差將給面積帶來極限誤差，就像計算合成標準不確定度一樣（這里相當于計算合成擴展不確定度），合成前要確定誤差傳遞系數（靈敏系數），長度L的極限誤差傳遞系數是b，寬度b的極限誤差傳遞系數是L，于是，采用方和根合成如下式（原式為照片，中間漏一個等號；以下是規矩灣的改寫形式）

Δ＝±√[(b·ΔL)^2+(L·Δb)^2]=±22.4cm^2          （2）

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（三）規矩灣的表達

老兄137樓的誤差合成公式和計算結果的確與標準不確定度的合成和計算結果相同，但兩者的含意是不同的。
　　137樓的誤差合成Δ＝±√[(b·ΔL)^2+(L·Δb)^2]=±22.4cm^2的解釋是：因為長度和寬度的測量均存在著極限誤差±0.2cm，但并不知道其測量誤差具體是多少，因此當成“隨機誤差”處理，按隨機誤差的合成公式取均方根值得±22.4cm^2，這就是常說的面積的誤差有XX%的可能性為±22.4cm^2。隨機誤差是講置信概率的，誤差也是有正負號的，因此面積測量結果的“可能”誤差值XX%介于－22.4cm^2至＋22.4cm^2之間。
　　如果計算面積測量的極限誤差，那就要放棄置信概率，要找出面積測量結果的最小誤差和最大誤差，顯然就必須首先計算出已知“系統誤差”，然后將已知系統誤差以外的誤差當成隨機誤差處理，再加以合成。本案例系統誤差遠遠大于隨機誤差，所以我忽略了隨機誤差，僅利用面積函數式的全微分公式代入長度和寬度的已知最小和最大誤差即可通過分析得出已知面積測量“系統誤差”的最小值和最大值，分別是－30cm^2和＋30cm^2，顯然面積的極限誤差絕對值會略大于30cm^2，而不是把系統誤差當成隨機誤差處理得到的22.4cm^2。
　　不確定度則是測量誤差給測量結果帶來的“可信性”程度。您的案例長寬測量結果各為100cm和50cm，極限誤差均為±0.2cm。那么，長度（應為寬度）測量的極限誤差給面積測量結果引入的標準不確定度分量按均勻分布處置為0.2cm×50cm/√3=5.77cm^2，同理寬度（應為長度）測量的極限誤差給面積測量結果引入的標準不確定度分量為0.2cm×100cm/√3=11.6cm^2，合成標準不確定度為13cm^2，再取包含因子k=2得擴展不確定度U=26cm^2（k=2）。不確定度沒有正負號，面積測量結果的極限誤差是±30cm^2，對面積測量誤差當作隨機誤差處置的誤差為±22.4cm^2，它們的大小也不相同，隨機誤差和極限誤差表述的含義均為測量結果的準確性，不確定度表述的含義是測量結果的可信性或可靠性，它們的所表述的含義更是不同。所以粱晉文教授直截了當指出不確定度不是誤差，當然也就不是極限誤差。

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（四）對三種不同計算的評論

（1）史錦順按經典誤差理論計算的結果為

       R(A)1 = 30cm^2

（2）都成的計算結果為：面積測量的誤差限是

       R(A)2 = 22.4cm^2

（3）規矩灣計算之擴展不確定度

       U95= 26 cm^2

（4）規矩灣的誤差限計算

       R(A)3 = 30 cm^2

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【史評】

（1）按經典誤差理論的計算的誤差范圍R(A)1，是可信的、保險的，是歷來的誤差范圍計算的常規。只要正確操作測量工具即可。不附加任何其他條件。

  （2）都成計算誤差限，特點是

A 設置前提條件是長寬二量彼此獨立。

B 誤差按均方合成。

這種計算是不妥當的。 說長寬二量彼此獨立，不符合實際情況。測量桌面面積，大都是用同一把尺來測量。如果尺長偏小(例如端頭磨損)，必定L偏大，b也偏大。也就是說桌面二尺寸，相關的可能性大，而不相關的可能性小。求測量誤差，是求最大可能的誤差范圍。要考慮不利的情況。“長寬二量彼此獨立”的假設不成立。

均方合成的前提是二量不相關。計算桌面面積測量誤差范圍用均方合成，不對。計算結果偏小，有可能不包括誤差的實際值。

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（3）規矩灣的說明詳細，有些正確，大部分不妥。

（3.1）規矩灣說：不知道其測量誤差具體是多少，因此當成“隨機誤差”處理，按隨機誤差的合成公式取均方根值得±22.4cm^2，這就是常說的面積的誤差有XX%的可能性為±22.4cm^2。隨機誤差是講置信概率的，誤差也是有正負號的，因此面積測量結果的“可能”誤差值XX%介于－22.4cm^2至＋22.4cm^2之間。

不知誤差大小，就該按隨機誤差公式處理，這種說法不當。通常測量都是只知誤差范圍，而不知道“誤差元具體是多少”。如果這種說法成立，則任何情況，都可一律按隨機誤差處理。這是不對的。處理問題必須從“既有隨機誤差，也有系統誤差”的前提出發。

任何講誤差范圍的地方，都講概率，不是只有隨機誤差才講概率。

（3.2） 規矩灣說：

如果計算面積測量的極限誤差，那就要放棄置信概率，要找出面積測量結果的最小誤差和最大誤差，顯然就必須首先計算出已知“系統誤差”，然后將已知系統誤差以外的誤差當成隨機誤差處理，再加以合成。本案例系統誤差遠遠大于隨機誤差，所以我忽略了隨機誤差，僅利用面積函數式的全微分公式代入長度和寬度的已知最小和最大誤差即可通過分析得出已知面積測量“系統誤差”的最小值和最大值，分別是－30cm^2和＋30cm^2，顯然面積的極限誤差絕對值會略大于30cm^2，而不是把系統誤差當成隨機誤差處理得到的22.4cm^2。

以上這段話，雖然包含有正確的計算結果（上下限為－30cm^2和＋30cm^2），但解釋卻多處不當。

誤差理論中，計算誤差范圍，按最大值算（隨機誤差取3σ，系統誤差取絕對值，包含概率99.73%），誤差理論中的分析、計算、合成，是可以容納系統誤差與隨機誤差的。這正是誤差理論的方便之處。計算的是誤差的范圍（絕對值的一定概率意義下的最大可能值）。

30cm^2就是誤差范圍，把它說成是系統誤差，又說還要加上隨機誤差，這是錯誤的。30cm^2既包括系統誤差也包括隨機誤差。沒有任何理由說可以忽略隨機誤差。隨機誤差本來已包括在內，你還忽略什么？算對了，還說算小了，奇怪！為什么要自己給自己抹黑？

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（3.3）駁不確定度論

關于不確定度評定的一大段，符合現在推行的不確定度論的評定方法。規矩灣是不確定度論的忠實信徒。我這里要抨擊的，目標不是你這個信徒（像你這樣的受騙、上當的人很多），而是不確定度論的炮制者。

不確定度評定這一套，是胡編亂造，毫無道理，毫無用處，且矛盾重重，不能自圓其說。且看如下具體分析。

（3.3.1）

有什么理由說米尺測量長度“誤差是均勻分布”？瞎說。處理一項簡單的測量，還要知道是“什么分布”，這是故作玄虛的經院哲學。計算如此簡單的問題，還要知道分布規律，逼得人們胡亂估計。

（3.3.2）

按均方處理的必要條件是：1隨機量、2不相關。本題的長寬尺寸誤差，既不能說是隨機量（多會包含系統誤差），也不能說是互不相關。用均方處理，前提不對。

（3.3.3）

來往系數不一。從極限誤差到標準誤差，除以根號3，返回時卻乘2，于是說包含概率為95%，本來99%的概率，為了合成計算，不合理地往返系數不一樣，卻認為減小了包含概率，真是賠了夫人又折兵。毫無道理。直接用極限誤差合成不就完了嗎？何必兜圈子？費事，而又損失巨大。

（3.3.4）

既認為是均勻分布，就是承認是有界的，此界包含概率為100%.（《JJF 1059.1-2012》表3 ）把自己已認定的100%概率的誤差限，搞成U95，毫無道理。。

（3.3.5）

算得了U95，但以U95
為半寬的區間，能以95%的概率包含面積的真值嗎？不可能！用均方合成，把區間算的小了。

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這個題目，清楚地表明：不確定度評定，沒有任何用處。

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回復 1# 史錦順


   

                      致網友

     一個簡單的計算問題，卻關系著對兩大理論體系的真理性、實用性的考驗。希望各位都認真想一想、算一算。談談你的看法。
     學術討論，要敞開思路，一切從實際出發，而不該迷信任何人。
     請注意：老史的目的是辨明理論本身的是非、規范與規程的正誤，這些是當前計量界應該解決、必須解決的問題。
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     我已在本網發表二百多篇短文，包含兩部分。
     第一部分約四十篇，講解我對誤差理論的改進意見，主要是提出十個新概念：一、誤差元構成誤差范圍的概念；二、兩個區間概念（測得值區間與真值區間）；三、兩類測量劃分的新概念；四、測量方程的新概念；五、誤差方程的新概念；六、自差統計的新概念；七、統計測量不能將西格瑪除以根號N，不能剔除異常數據；計量是統計測量，計量不能進行這兩項操作；八、計時方程的新概念；九、測距與測速的新概念；十、波導特性阻抗的新概念。
      以上是“立”，是我五十年測量計量生涯的總結。我確信，其內容是新穎、正確的。特別是表現出的立新精神與邏輯方法，值得一睹。當然，我將認真聽取各種意見。一定要堅持真理，改正錯誤。
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     我的文章的第二部分約一百六十篇，揭露不確定度論的錯誤與弊病。這部分爭議很大。大部分人不理解；多數人反對，贊成我的意見的也有幾位，但我知道，是少數。
     由于不確定度論是美國人提出的，經過國際計量委員會表決通過（1993年第一次投票，十八人，十六票反對，后來通過），又經多個國際權威組織（開始七個，后為八個）推薦，有極大的欺騙性。
     很多人認為，老史干這事是自不量力。
     老史堅定地認為：什么最強大？真理的力量最強大。不確定度論，能騙一些人，它不可能欺騙所有人；它可以一時胡混，不可能永遠胡混下去。當人們普遍認識不確定度論的偽科學本質之日，就是不確定度論被廢棄之時。這是科學發展的必然，是歷史前進的必然。老史決心加速這一進程。
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     在前幾年的學術討論中，我回帖較少，主要原因是構思后續的文章。現在，新文章也寫不出了，將重點回復網友的質疑。要做到有帖即復。因為年老，可能慢些，請原諒。
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回復 3# 史錦順


   史老師威武！這種PK方式讓我等學到許多知識。謝謝！1.還是面積公式算誤差問題，如果取極限情況，長度測得的最大可能是100.2，寬度測得的最大可能是50.2，那么最大的面積是5030.4，同理最小面積4970.4，也就是說，最大誤差是30.4，最小誤差29.6，這個情況如何解釋
2.在不確定度計算方面，長度和寬度，分別按隨機誤差和系統誤差算出兩個值，自然還有：如果長度、寬度各按隨機或系統誤差，就還有兩個計算結果，哪豈不是一個面積計算誤差題目，不確定度能算出四種結果？（這個問題規矩灣版主回答好像合適些）

這題不適合用不確定度合成來分析，這是個理想化的狀態，各個量都已經給出了理論上的范圍，應該說，此題沒有不確定性，范圍是定下來的，像樓上那位直接計算出最終結果就是了。用這題來評價不確定合成的作用并不恰當，不確定合成還是要和實際測量工作相結合才有評定的意義。

回復 5# 285166790


      這個題目是個簡單的問題，也是最實際的問題。如果連這個問題都處理不了，那不確定度的理論與評定，還有什么用途？什么問題也處理不了，這倒是我對整個不確定度論的基本看法。學過不確定度，該用的地方不會用，連最簡單的問題也處理不了，這正是不確定度論誤人的一種表現。如果先生加一句：不確定度沒用，用誤差理論就足夠了，那就認識到了問題的本質。
     不是這個題目不適用于不確定度評定；而是不確定度評定沒有適于應用的地方。哪里用不確定度評定，都是多余的，都是添亂。你不會贊成我的話；咱們試試看，你舉出任何一項國內、國外的完整的不確定度評定，老史都可以指出它錯在哪里。

回復 6# 史錦順


   誤差理論中的誤差合成部分，和不確定合成方法類似，我認為不確定合成理論方法就是來源自誤差合成，它們只是在定義上有些小差別而已 。您怎么看待這個問題？那按您的說法，這誤差合成方法類似，也是胡評的了，我很想聽聽您如何解釋這個問題。您要是能完美解釋這個問題，那就很有說服力的。

回復 7# 285166790

您的膽量見長不小啊！竟敢與史老叫板。鼓勵一下！
   

回復 8# 都成


       我和你的看法相反。是正常的討論，不是“叫板”。我認為他的問題實際，態度真誠。他的問題對我很有啟發。我正認真準備答復稿。要說明白，就得長點，大概明天貼出。

回復 9# 史錦順


   是啊，我是抱著學習的態度想聽聽大家的說法，沒有什么理論能保證是它是完全正確的，這很正常。

回復 7# 285166790

謝謝你提出個很好的問題。我正琢磨該講哪些，你恰恰指出一個方向，提示我該講講兩種理論在處理誤差合成方面的原則性區別。

我是1963年畢業到中國計量科學研究院工作的（1973年后調到電子27所）。當時的計量院無線電處，人都很年輕。工作上只給個題目，一切都得自己摸索。當時書也很少，64年買到一本書《誤差理論與實驗數據處理》（馮師顏教授編著），如獲至寶，以后經常翻閱，研讀已達50年，至今仍擺在案頭，時不時就翻翻。

在誤差分析、合成與處理上，我打過幾次硬仗。

1 波導特性阻抗的新概念與波導尺寸公差的新取法（1964年9月第一次作學術報告。發表于《電子學報》1979年第2期.）

2 雙探針法定度標準負載（1965年）。提出消除系統誤差的“變相位法”。（被肖明耀寫入他的誤差理論書中，后來被一些誤差理論書籍引用。）

3 測量線誤差公式的實驗鑒別（1967年完成。發表于《無線電技術》1976年第10期）。

4 銫原子頻標的頻譜誤差計算公式（國家基準NIM1課題。1970年在計量院時頻處報告）。

6 激光測厚儀的誤差分析與光路改進（1989年，國家專利號CN1031758）

7 異值頻率比對器的誤差計算（1990）

8 多普勒測速誤差公式的正確解（1991。指出教科書上的公式錯了。）

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我列舉以上成功的例子，要說明的是，老史關于誤差合成方式的見解，是有堅實的實踐基礎的。既不是讀書者的心得，也不是編書者的概括，而是一個實踐者的切身體會，信念堅定、道理確鑿。

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話回本題。

誤差量，可以說是量值，因為它有數值有單位。但必須注意，誤差量與一般的量值有本質的區別。

一般量值必須準確，不能大，也不能小。“絕對準”又達不到，要求的是“相對準”，就是量值必須控制在允許的誤差范圍內。換句話說，對量值的要求是“雙限性”，有上限，又有下限。

誤差量則與一般量不同。誤差量的特點是“單限性”。誤差量越小越好，理想情況是誤差為零；但做不到，能做到的是誤差小到一定程度。這個程度就是誤差范圍。誤差的絕對值只有上界限，沒有下界限（最小值都是零）。研究誤差問題，必須牢牢抓住誤差量的單限性、上限性。注意，由于誤差量的特點，求誤差不是求誤差的具體值（難得到），而是求誤差絕對值的上限值（易分析、易得到，且夠用）。測量、計量、儀器制造，著眼點都是這個上限值，即誤差范圍。

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為了把話說得嚴格，給出如下定義。

測量得到的是測得值，即測量儀器的示值或多次測量的平均值。測得值與被測量的真值的差距稱誤差。誤差是個泛指概念，誤差包括誤差元與誤差范圍兩個概念。

定義1 誤差元

誤差元等于測得值減真值。

定義2 誤差范圍

誤差元的絕對值的一定概率（通常取3σ，概率99.73%）意義下的最大可能值。

誤差元是誤差理論的元素，是基礎概念，沒有不行，但只在誤差分析時用。誤差范圍是域的概念，誤差范圍由誤差元構成。誤差范圍包容著可能的誤差元。誤差范圍是實用概念，貫穿于計量、測量、基準標準、測量儀器、標準研制、測量儀器制造等等各種場合。誤差范圍又稱準確度，又稱極限誤差、最大允許誤差、準確度等級。

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由誤差元求得誤差范圍，或由單項誤差范圍求得總誤差范圍叫誤差合成。

誤差元是基礎。但誤差元本身在實踐中不好用。第一，因有隨機誤差的存在，誤差元是變數或許多數，稱說不方便；第二誤差元有正有負，幾個誤差元放在一起，可能消掉。這樣，對待誤差元，首先要消掉其符號，更重要的是把眾多誤差元，變成誤差范圍，繼而把數項誤差范圍變成總誤差范圍。其核心思路就是利用誤差量的上限性，找到那個代表誤差量特點（本質）的上限點，就是誤差范圍。

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去掉符號的方法有兩種：取絕對值或取平方根（初等數學規定，平方根為正值）。

誤差合成的基本方式是絕對值合成法與方和根合成法。

誤差理論的作法是：1 隨機誤差，均方合成；2系統誤差，絕對值相加。3當系統誤差個數很多，有正有負，又都較小，可取方和根。4 系統誤差個數較少，又較大，絕對值相加。

絕對值相加的合成方法，得到的誤差范圍最大，最保險。方和根處理，得到的誤差范圍較小。方和根合成法適用的條件是：1隨機誤差；2大量重復測量；3 被合成的各誤差量相互獨立，就是它們之間的相關系數為零。

總之，誤差理論的誤差合成方式，一般取絕對值相加，最保險，不會出錯。什么是錯？以測得值為中心、以誤差范圍為半寬的區間能包含真值，就是正確；真值可能不包含在區間內，就是錯誤。（準確說包含指99.73%的概率。）

對隨機誤差，例如用貝塞爾公式計算，就是取均方根（差值平方之和，平均，再開方）。從貝塞爾公式的推導可知，利用了交叉項乘積之和等于零這個條件。這必須各量不相關，又測量次數很大，才成立。隨機誤差相互獨立，不相關滿足；只要實測次數N很大，則滿足條件。

當不同的隨機誤差合成時，可用“方和根”合成法。因為各隨機誤差相互獨立。

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以上是誤差理論的誤差合成方法。就是區別不同情況，分別對待。絕對值相加最保險，對隨機誤差可用“方和根”法。

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再看不確定度論的合成方法。

“一律方和根合成”，是不確定度論的基本方法。任何測量，任何測量儀器，都是既有隨機誤差又有系統誤差的，而且大多數測量儀器的誤差范圍，以系統誤差為主。因此，對大多數情況來說，這種合成方法是錯誤的，因為不滿足“方和根法”的條件。

第一 方和根法的立足點是“二量和的平方等于二量平方的和”

              (a+b)^2=a^2+b^2 + 2ab（紅項略去）

只有a與b不相關，且是大量求和時，交叉項才能為零。

第二 不確定度主要文件GUM說系統誤差消除后，怎樣怎樣，這是說空話。我估計99%以上的測量儀器是不修正的；99.9%的測得值是不修正的。因此，不確定度論以修正系統誤差為前提說事，等于說它自己沒用。沒有系統誤差，而只有隨機誤差，當然可以“方和根”合成，但這是極其少見的情況，對一般情況不適用。

第三 不確定度論處理問題，一上來，就假設相互獨立，即相關系數為零，這僅僅對隨機誤差可以，凡包含有系統誤差，這個假設就不一定成立。

主帖中的計算，都成的計算，就是先假定長寬誤差獨立，這通常不成立。用一把尺測量桌面長與寬，誤差是有相關性的；退一步說，就是不相關，因為都是一種工具測量（不可能用二十把不同的尺子測量）消掉交叉項是不可能的。方和根處理，沒道理。

  規矩灣的不確定度計算，不分條件，上來就是按“方和根”處理。這是符合不確定度評定的作法的。但這是錯誤的。這不是規矩灣個人的錯誤，是不確定度評定方法的錯誤。把誤差范圍算得太小了。因為忽略的不是高階量，而是同階量（交叉項）。

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  先生又說，任何理論都不完善。是的。但不完善與錯誤是兩回事。我認為，誤差理論不完善，但基本正確，可以應用，誤差理論在歷史上功不可沒；現在，計量、測量、儀器研制都離不了，必得用。而不確定度理論錯誤多多，不確定度評定弊病多多。老史就在一點一點地揭露它、抨擊它。它誤人誤事，不該容忍。是非分明，乃學術討論之要義，難道不對嗎？

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回復 11# 史錦順


     首先，我對老師的理論研究成果非常欣佩，我也正在搜集一些題材以便作為發表論文的材料，說真的我還真希望能從現有理論書籍中找出點問題，這樣才能發表有價值的文章。您的文章，我有機會一定會研究一下的。     現在就這個具體問題發表一下我的看法，首先，關于誤差理論方面的書目前我只有，費業泰主編的《誤差理論與數據處理》，我不清楚它和您以前看的誤差理論書籍內容有何不同，只能說就這本書而言，其中關于誤差合成的方法和不確定合成的方法確實能一一對應上的。這本書中，系統誤差分為兩類：1.已定系統誤差，2.未定系統誤差。已定系統誤差和您說的一樣，是按代數法直接合成；未定系統誤差， 書中采用和隨機誤差一樣的處理方式，均方合成。

     書中說”在實際測量中，有不少已定系統誤差在測量過程中均以消除，還可以從測量結果中修正，故最后的測量結果中一般不再包含有已定系統誤差。“這跟您提到的GUM的說法一致。但是一般不包含仍然不排除包含的可能性，那么如果認真分析這個問題可以得出：已定系統誤差作為輸入量時，彼此間呈現正強相關的關系，在規范JJF1059.1中，正強相關輸入量，相關系數為1時，合成公式就是絕對值相加，并不是說什么情況下都是用均方根的公式，這個規范中有相應的串聯電阻的例子。所以說，在JJF1059.1這個規范中，合成公式并不是唯一的，要分情況使用，也許是因為在評定中這種情況很少見，被你您忽視了。

      關于評定標準差的測量次數，這本書認為 n＞10以后，δ已減少的十分緩慢，因此一般情況下取n≤10較為適宜，這和不確定度合成中要求的次數是相似的。算數平均值得標準差書中同樣除以√n，也是與不確定度方法一致的。
      最后說的定義上的區別，書中只有”極限誤差“，沒有”誤差范圍“一詞。全名是”測量的極限誤差“，既然是與誤差一詞相關，那么中心點當然是理論上的真值。測量不確定度定義上的唯一區別就是中心點是：最佳估計值（約定真值），其余沒什么不同。只是用”約定真值“作為中心點定義，與測量實際相符，用在測量工作中表達更嚴謹一些，定義換了，名字也要重起一個，改叫不確定度。
      至于包含因子k，那個是可以按照分布情況，根據包含概率需要進行調整的，并不一定是乘以2，所以不算什么事。
      最后，我建議您不要引用網友們的案例來分析問題，網友們的案例只能反映他們的使用心得而已，理論分析還是要緊密圍繞理論書籍和標準本身的內容為好，要么就用實驗證明，任何理論只有實驗才是最終的判斷標準。
      一點體會，僅供參考。

哇塞，樓主寫了這么多啊1.學習啊！呵呵

回復 12# 285166790

分析的很好！可以放到我那“不確定度理論與誤差理論的關系您怎么看？”一貼中。

要與史先生討論“測量不確定度”的“是非”，可能先要請先生認可【“測量不確定度”是都成先生及285166790所說的這個“東西”（本人及所認識的周邊人也是這么認為的）】。如果沒有這個前提，是辨不出好歹來的......

    如果有了上述前提，技術層面的事就不難溝通了-----
    經典的“誤差理論”表述，基于應用方便性，將遺留于測得值中的“測量誤差”簡單而絕對化的劃分為“（未定）系統誤差”與“隨機誤差”兩種成份，以現代‘科學”的觀點來審視，這個分類的名稱是不恰當的，但分類本身是科學實用的。此處所謂“（未定）系統誤差”與“隨機誤差”，其實都是“不確定量”，前者是自相關性極強（自相關函數值在很寬的時延范圍內都很大）的“不確定量”，后者則是自相關性極弱（自相關函數值只在時延0點不為零）的“不確定量”--專業術語稱“白噪聲”。 如此兩部分誤差，是互不相關的！---“白噪聲”與誰都不相關。 因而，對同一個“測量誤差”的這兩部分合成（計算總‘誤差限’）時，取‘方和根’是沒錯的。
   對于矩形面積測量：S=ab，如果長寬a和b是用同一把尺子測量，那么兩個測量誤差εa與εb之間的相關性是不可否認的！但直接認為他們完全絕對相關是過于謹慎的做法，比較完善的經典“誤差理論”不會這樣簡而化之，它會較為仔細的區分εa、εb中的‘系統’成份εas、εbs與‘隨機’成份εar、εbr，然后分別考慮面積誤差εS的‘系統’成份εSs與‘隨機’成份εSr.....前者的“誤差限”是‘絕對求和'---考慮εas與εbs是完全絕對相關的；后者的“誤差限”是‘方和根'---考慮εar與εbr是完全不相關。εSs與εSr的各自“誤差限”得到后，再用‘方和根'合成---εSs與εSr是不相關的。

    當前的“測量不確定度”合成考慮可能還比較‘學術’——
    對于矩形面積測量：S=ab，如果長寬a和b是用同一把尺子測量，兩個測量誤差εa與εb之間的相關性或不可否認，那么除了告訴我Ua、Ub以外，還請‘你’告訴我： εa與εb的相關系數r，然后一定給你一個“嚴密”的結果：
           US=√[(aUb)^2+(bUa)^2+2r(aUb)(bUa)]

回復 15# njlyx

分析的很好。
如果是用兩把尺子來分別測量長和寬，則就不需要考慮相關性了。

回復 15# njlyx

       我認為，在考慮計量測量理論時，必須特別注意誤差量本身的特點，那就是誤差量的“上限性”。確定一般量值，要求是雙限的，既不能大，也不能小；而誤差的絕對值則越小越好。確定誤差，不是要求確定得多么準確，而是要界定上限。也就是說，確定量值要給概率最大的量；而計算誤差，是確定誤差范圍，是給出不能超過的上限值。有幾種可能時，要給最大值。
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      誤差問題說到底是質量管理的問題。考慮誤差問題，必須有利于質量的提高。在提搞質量與所花成本的權衡上，重點考慮該是質量。這也是保險性的問題。盡可能不冒風險，而把事情做得穩妥。我上班時，驗收過上百臺美國著名儀器公司的測量儀器，測得的實際誤差范圍都僅僅是指標值的二分之一甚至三分之一以下。也就是說，美國的設計人員都故意把自己儀器的誤差說大。這是聰明的做法，有利于用戶，提高了信譽，多花點成本，得到百倍的收益。有件有趣的事，誤差理論一貫主張用3倍西格瑪，不確定度論標新立異。主張取2倍西格瑪（概率95%）。這本來有利于廠家，但做為生產者，美國的福祿克公司卻宣布：為對用戶負責，本公司一律取99%的概率。
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     理論與方法，必須便于實用，必須便于普及。絕對值合成，可以包容相關、不相關、強相關、弱相關各種情況，絕對值相加就得了，何必去考慮那個難解決的相關系數。建門，要顧及大個子，大個子能進，其他人就都可進了；建門，不必考慮“身高的最大概率值”。
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     其實，誤差的分析與合成，主要是在測量儀器的研制場合用，以保險為宜。而設計儀器，核心是尋找減小系統誤差的物理機制，一個新創意，就可減小系統誤差幾十倍。把心思用在難解難算的“分布”、“相關”上，沒必要，因為這不能帶來質量的實際水平的提高。計量要公平，似乎不能高估；但計量場合靠的是標準，靠的是實際測量，不用進行誤差合成。而測量場合靠的是指標夠格的測量儀器，直接測量根本就用不著“評定”；間接測量該計算總誤差，我的意思是保險為宜，絕對值合成，沒有風險。我膽小，搞宇航測量設備的指標把關，絕對不冒一次“方和根合成”的風險。我自己避險，國防科委管指標的測通所，則表揚我“嚴格”，本所研制負責人開始對我有些意見，后來國防科委給工號授獎，那位負責人又來感謝我。什么叫合理？一個“絕對值合成”，我自己安全、用戶滿意、上級表揚、連研制負責人都感謝，我才不管他不確定度論怎么主張呢。如今的不確定度評定，無故的拆分測得值函數，都是畫蛇添足，沒有一點好作用。
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      我多說了幾句。主要是鑒于先生剛來，建議先生提高對不確定度論的警惕性。像規矩灣那樣，我跟他說了三年了，他還是迷在不確定度的云霧里，我也就不想和他多說了。他說我全錯了；那是他的判斷，但我根本不相信他的判別力。我只能用有限的精力寫點文章。對與錯，留給后人去評說吧。
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     我直覺你有較高的判別力。如果想說服我，希望你先看看我那二百篇文章（本網有一百六十篇集和四十篇集）。你認為不確定度本質是好的，可以針對我對不確定度論的否定文章，寫專題的辯論文章，那才能把道理說明白。只言片語，我就不回復了。
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回復 16# 都成


    即便是用兩把不同尺子分別測量長和寬，兩個誤差之間的相關性也是不容忽視的！ 如果兩把尺子的結構原理是一樣的，那么它們兩個的“（未定）系統誤差”之間的相關性將是非常大的——冷熱效應的影響？濕度的影響？....將是一致的；即便兩把尺子的結構原理迥異，也極有可能是由同一上級“標準”標定的，其中“標準”的不確定（或叫不準）所引起的‘誤差分量’是一樣的——完全相關。 ---- 無論如何，在實際應用中理想化的按‘假定不相關’簡而化之的取“方和根”是極其冒險的，或許還不如史先生的那另一種簡而化之好？

回復 4# Enalex

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    我那天給你回帖，說遠了；弄到牛頓那兒去了，也就沒發出。今天把那天的一半補全，遲復為欠。

    誤差理論中有個不可缺少的原理，叫“微小誤差可略原理”。就是說，計算誤差時的誤差，小到一定程度是可以忽略的。或者說，誤差問題只考慮誤差的一次方項就可以了。而誤差項的二次方項或更高次方的項，可以忽略。兩個不同誤差項的乘積，相當二次方項。以上所說“誤差”，是泛指誤差元與誤差范圍，就是說，“微小誤差可略”對誤差元與誤差范圍都成立。

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    計算極值時出現的差別，是高等數學的微積分與初等數學的區別造成的。這個差別是允許的。微積分立足于近似計算，初等數學是嚴格計算。科學史證明，近似計算是足夠的，正確的。“嚴格計算”不能說不對，但不好用，可以比微分準確，卻不可能得到積分公式。大量的科學問題，要靠微積分處理，而初等數學的“嚴格計算”卻無能為力。由此，甚至可以說，忽略微小誤差的近似計算是最正確的，不忽略反倒是累贅。

    微積分是近代物理學的基礎，是由牛頓發明的，并直接用于求天體運行的軌道，從而成就了他那“萬有引力定律”的偉大發現。忽略高階小量的近似計算，解決了用“一點不忽略”的初等數學所不能解決的問題。這奠定了近代科學的基礎。幾乎與牛頓同時，萊布尼茲從數學的角度發明了微積分（二人互不知曉），萊布尼茲用極限法對微積分的合理性，進行了證明。

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    話回本題，規矩灣對極值的計算沒錯，就是太笨。兩個誤差，算出四種可能，銫原子頻標有14項誤差，按這種排法，就得算出196種可能值來，太麻煩。誤差范圍30與30.4，可以認為相等。但方和根算法得出的22.4，是錯誤的。取方和根是忽略交叉項，這是忽略同階項，不允許。

    至于規矩灣算的不確定度，我認為沒必要。有誤差范圍就足夠了，算不確定度，沒有物理意義，畫蛇添足，多此一舉。不確定度都是扯淡。對扯淡的具體計算，就不評論了，因為那里沒有正確性可言。

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如果史先生認定的“測量不確定度”是規版先生說的那個在天上漂的“可信性”，而不是都城先生和28516670及XXX “認為”的那個“東西”，或不必如此費力批判？它本來就是莫名其妙的東西，做實事的人都不會信。

求桌面面積的測量結果。桌面為矩形。用米尺測量，長L為100.0 cm，寬b為50.0 cm，測量的誤差范圍是0.2 cm。測量結果怎樣表達？
單從本題來看，用極限誤差合成是非常方便的。將0.2cm誤差范圍，算出長、寬的相對值用絕對值法合成，是最簡單和最保險的算法，算出的誤差范圍數值是最大值。
如果想用不確定度來算的話，結果會有很大的隨機性，本題給出的條件不夠充分，算標準不確定度時，要估計分布，估計包含因子，這就帶來不確定性；合成標準不確定度時，合成算法和對分量相關性的處理，又會帶來不確定性；由合成標準不確定度到擴展不確定度，又人為的賦予一個包含因子，在再次增加了不確定性。
這么多的不確定性整到一起，結果肯定會因人而異，具體的擴展不確定度大小，仁者見仁，智者見智。
不同算法導致的置信概率是不同的，極限誤差合成的30cm^2置信概率最高，完全忽略相關性算出的22.4cm^2不合適，擴展不確定度 U95= 26 cm^2的置信概率為95%，這三個值不好放到一起進行簡單比較

回復 17# 史錦順


   JJF1059.1里的引言里也指出了，“對于在特定專業領域的應用，鼓勵各專業技術委員會依據本規范制定專門的技術規范或指導書”，也就是說，先生您在特定領域用您認為保險的辦法來評定測量結果，是符合JJF1059.1規范的精神的，這并不跟規范的內容相矛盾。

一道簡單的數學題，大家干嘛非要用各種理論研究的一身勁。

　　對史老師總結的“面積誤差三種計算表達”的一點補充和說明：
　　１史錦順按經典誤差理論計算的結果為
       R(A)1 = 30cm^2
　　２都成的計算結果為：面積測量的誤差限是
       R(A)2 = 22.4cm^2
　　３規矩灣的計算是具體問題具體分析
　　3.1極限誤差即誤差限的兩個極端值
　　R(A)3 =±30 cm^2，這與史錦順老師的計算結果完全相同。
　　3.2以統計學和概率的觀點來看面積測量誤差
　　面積測量誤差有95%以上的可能性介于±22.4cm^2之間。這是因為長度和寬度的測量誤差范圍均為0.2cm，具體多大并不知曉，因此可按隨機誤差分析得到這個結果。這個結果與都成的分析結果完全相同。
       3.3對面積測量結果的不確定度評定結果
　　U=26 cm^2，k＝2。
　　3.1和3.2是站在誤差理論的誤差分析角度得到的結果，它們都表示測量結果的準確性，3.1是誤差限的兩個極端，3.2是在一定的置信概率下的誤差極限值，因此仍然有5%左右可能性面積的測量誤差超出這個極限，例如＋30 cm^2和－30 cm^2兩個極限值就在±22.4cm^2之外。
       U=26 cm^2，k＝2則不是評判面積測量結果的準確性，而是評判其可信性，它告訴測量結果的使用者面積的測量結果是5000cm^2，這個測量結果的可信程度是26 cm^2，k＝2，并不是說5000cm^2這個測量結果的誤差介于±26 cm^2，測量結果5000cm^2的誤差有多大，測量者在送上級檢測前絲毫不知。這個U=26 cm^2是使用這個測量結果的人用來與面積測量“控制限”相除來確定此測量結果可否使用的數據，不是用來判定面積是否合格的依據。

回復 19# 史錦順


   謝謝史老師的至理解評！都成網友推講的不確定度實際上是誤差甲、誤差乙合成為誤差丙，只是誤差丙不稱為誤差丙而成為“不確定度”而已，所謂的不確定度理論經過不斷的變更說法，從這一觀點落腳借以“不確定度理論”之皮實已還“誤差理論”之魂！其稱謂只不過是“白馬非馬”的堅稱罷了。
規矩灣版主推講的不確定度，實際已和大家討論的測量結果的表達完全是答非所問，因為從其解讀的不確定評定中，把測得值和測得值的分布半寬進行了分割，一個完整的測量是得不到完整的測量結果的，因為這個完整的測量經過其不確定度評定只能得到測量結果的半寬，測得值還得通過另一次的測量！從這里看，這個不確定度的解讀不僅是”白馬非馬“，且“馬非馬“、”白馬非白馬“。