測量儀器誤差的共同規律——偏倚正態分布

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                 測量儀器誤差的共同規律
                       ——偏倚正態分布
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                                                                                                 史錦順
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1 晶振頻率分布圖——偏倚正態分布
       筆者在上世紀的后三十年，一邊研制銫原子頻標、石英晶體頻標（晶振），一邊大量測量晶振的性能指標，其中包括日常之頻率計的計量檢定（主要是機內晶振的性能）、高穩晶振的產品出所檢驗。還利用三屆全國晶振比對會的大好時機，處理過各類高穩晶振（百余臺次）的全部數據。
       數千臺次的測量與數據處理，得出一個結論：晶振輸出頻率的分布都是偏倚正態分布。
       以下所談到的“分布”，前提都是“時域統計”。就是重復測量的情況。（這是對晶振頻率的統計測量，此時的測量誤差可略。）

       如國家計量院崔偉群先生指出的：測量有兩種情況。第一種情況是用一臺儀器重復測量同一被測量；第二種情況是用多臺（例如20臺）儀器同時測量同一被測量。實際測量計量工作都是第一種情況。第二種情況是不確定度體系的根基，但一般不可能。研制中偶爾這樣做，統計一下合格率。實際測量計量工作沒人這樣干。
       “統計方式”是重要的前提條件，我再結合測量計量工作的實際，細說一下。
       計量中是用被檢儀器“測量”已知準確度的計量標準(誤差范圍可略，可視為“實際值”)。在重復測量中，計量標準的值是常量。
       測量N次，得N個測量值。由于測量誤差可略，每個值都是實際值。晶振的測量，標準是原子頻標（以及頻率合成器、比對器），測量的系統誤差小于晶振系統偏差范圍的1/20，測量的系統誤差可略；短穩（隨機變化）用特選的國際上高穩晶振，隨機誤差小于被測晶振隨機變化的1/5,測量的隨機誤差可略。（以上比例是研究中的實際情況。不是計量工作的一般要求。）
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       以下的圖，不是嚴格根據實測數據畫的。是一種基本符合實際情況的概括（示意圖）。每組測量都是100個測量值。（計算計數器自動操作。）

【符號意義】
f——晶振頻率輸出實際值
f_平——晶振頻率輸出實際值的平均值（N=100）
fn——晶振頻率標稱值（頻率量的定義值）
β ——晶振頻率的系統偏差
σ——晶振頻率的隨機標準偏差

         
   
      

圖1  晶振頻率分布圖


（未完，待續）

2 數字式頻率計的誤差分布——偏倚正態分布
2.1 數字式頻率計的誤差與機內晶振頻率偏差的關系
       數字式頻率計的準確度水平，主要取決于機內的頻率標準。通常的頻率標準就是高穩晶振。
       頻率計的測量誤差范圍（其指標值稱準確度）基本上取決于晶振頻率的偏差范圍。晶振頻率漂移、溫度影響等，都歸入“長穩”項，另行疊加。
       頻率計的物理公式為：
               f = N/T                                      （1）
       以高穩定的頻率源為基礎的精確的頻率測量，在現代高精度測量中占重要地位。
       式中N為計數值，T為閘門時間。誤差理論的原有分析，沒有區分測量值和實際值。此式明顯標示，頻率與閘門時間成反比。由此，若內標頻率偏低，則閘門時間長，則頻率測量值小；其實，恰恰相反：內標頻率偏低，必有閘門時間值偏大，必定頻率測量值偏大。
       式（1）是物理公式，不便直接用于分析測量問題；以往硬這樣做（包括所有儀器的內標誤差的分析），難免出錯。有些作者（如馬鳳鳴）看到了這一點，用取絕對值的辦法來避免正負號的矛盾，這不能算錯，但繞開矛盾，實際上也掩蓋了矛盾。
       要做幾種區分：區分頻率的測量值與實際值；區分閘門時間的標稱值與實際值；區分N的顯示值與實際值。
       計數式頻率計的計值公式為：
                  f_m = N_r/T_n                                        （2）
式中fm是測量值（被測頻率的實際值是f），Tn是閘門時間的標稱值(閘門實際時間是T)，Nr是計數器的指示值。Nr區別于由fT乘積決定的周期數N 。Nr有±1誤差。Tn 通常為1秒，或1秒的10^±N倍。
    分析測量值，就是分析測量值同實際值的差別，就是將測量值同實際值相比較。比較的方法之一是二者相除。實際值做除數，即做標準。

（未完待續）

2.2 數字式頻率計的誤差分布——偏倚正態分布
      由于頻率計的相對測量誤差與內標晶振的相對頻率偏差成反比，這樣，數字式頻率計的頻率測量值的分布曲線，就與內標晶振的頻率分布圖，左右翻轉。

      
        

圖2  數字式頻率計測量誤差分布圖

（未完待續）

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2.3 數字頻率計的測量結果
       本文圖較多，但都很簡單。讀者可以自己試畫一下《數字頻率計的測量結果圖》。
       上面的晶振頻率分布圖、計數式頻率計的誤差分布圖，表明的都是客觀的規律，是物理過程，都是可以通過實驗測量得到的。
       而“頻率計的測量結果圖”，表明的是人的認知過程。它的來源是“頻率計的誤差分布”這一客觀規律。而頻率計的誤差分布必定是“偏倚正態分布”。
       分布規律形式相同，但具體區別如下：
       1）系統誤差β不同。在研制或計量場合，有計量標準，直接測量出的系統誤差是“視在系統誤差”。
       儀器的實際應用場合，時間過了一段時間（短則幾天，長達檢定周期之一年），晶振頻率有自身漂移。且溫度等環境影響不同。
       依據“測量值區間”得到的“測量結果區間”，是解“絕對值不等式方程”的結果，因此，一個測量值對應的是一個被測量的實際值的區間。測量者要根據所用儀器的誤差范圍指標值，來確定測量結果的表達。測量結果是：
             S = M ± R_儀指標
       當前，所謂的“校準修正”，存在嚴重問題，實際上不可用。


（未完待續）

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3 偏倚正態分布是通常測量儀器的普遍規律
3.1 精密測量儀器

         
圖3  精密測量儀器測量結果分布示意圖（虛線為測量值）   

【說明】
       1）在應用場合系統誤差β_總不同于計量（或研制）場合的“視在系統誤差” β。在研制或計量場合，有計量標準，直接測量出的系統誤差是“視在系統誤差”。測量時的系統誤差β_總，既以研制、計量中實際測得的“視在系統誤差”為主，又必然包括長穩項。“長穩”指儀器本身的變化（自身的量值漂移）與環境影響。
       2）誤差元等于測量值減被測量的實際值，誤差范圍是誤差元絕對值的最大可能值。因此，誤差范圍值R在有計量標準的條件下，是可以實際測量的。計量業務的本質就是測定被檢儀器的誤差范圍的實際值（計量當場的抽測值，廠家應留有余量）。
       3）儀器的誤差范圍指標值，是社會的產物，是為便于使用的一種人為規定，由產品標準（國家部門或行業部門）確定。是應用選型、交易以及計量、檢驗、驗收的標準。測量儀器的指標值，簡稱為“準確度”，是定量的。產品指標合格，指的是實測的誤差范圍值不大于指標值R_儀指標。合格的儀器才能使用，這是計量法的規定。當前的所謂“修正”，是不合理的。（1校準與應用不是同時操作，漏掉“長穩”項；2用“校準值”修正，不僅漏掉“長穩”還混入不可能修正的隨機誤差；校準點與測量點絕大多數不一致，常常是錯位應用、張冠李戴。）
       測量儀器的誤差范圍指標值（準確度）是社會的嚴肅的共同約定，是規范。不合格就不能用，這是原則，這是法治。不合格就要廢棄。“修正一下”再用，不是現代化時代的“節約”，而是違法操作。

3.2 通用測量儀器
       市場上用的測量儀器，都是指標較低（夠用）的測量儀器。其示值變化，大致為分辨力。也就是將上圖的鐘形線壓窄到三條線（線的間距是分辨力）的情況。通用測量儀器也應計量。不允許修正。

       再重復一下上節的觀點。
       測量者沒有計量標準，不可能知道β_總的具體值。測量者知道測量儀器的誤差范圍指標值值（R_儀指標，即準確度）。而合格的測量儀器，必然是測量時的實際誤差范圍值R不大于測量儀器誤差范圍的指標值。這一點由計量部門（以及儀器生產廠）來保證。

4 結論
        不確定度體系誕生以來，“分布”問題，衍生出大量的混亂現象。難倒多少英雄。莫須有的問題是無解的。
        例如系統誤差“均勻分布”，就是“時域統計”中不可能的現象。
        不確定度體系的大量主要觀點與作法，都是違反測量計量客觀規律的。值得人們深思啊！

        測量儀器的誤差分布，就是“偏倚正態分布”。這里論述的是測量儀器的整體；不涉及研制中對個別部件的特別需要。于是問題就變得清晰簡單了。此事貫通于如下場合：測量儀器的出廠檢驗；儀器的選購、驗收；測量儀器的計量與合格性判斷；直接測量中儀器的正確使用。此問題是值得計量工作者認真思考的。敬請批評！
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（全文完）

測量儀器的誤差分布，是移動“偏倚正態分布”可能更符合實際

一臺合格的測量儀器，“偏倚正態分布”可能會在 R儀指標 整個范圍內或小范圍內移動

也存在移動極小可忽略的“偏倚正態分布”，這些是校準后可以修正使用的，如5071A，修正在-13方量級使用沒有問題

由于存在移動，系統誤差均勻分布同“偏倚正態分布”并不矛盾

史錦順 發表于 2021-7-6 10:08
2 數字式頻率計的誤差分布——偏倚正態分布
2.1 數字式頻率計的誤差與機內晶振頻率偏差的關系
        數字 ...

頻率的計算公式不是這個嗎？f=1/T

period@163.com 發表于 2021-8-9 16:19
頻率的計算公式不是這個嗎？f=1/T

【質疑】
頻率的計算公式不是這個嗎？f=1/T

【史答】
       先生所舉公式，
                f=1/T                                                       （1）
確實是基本的常見到的公式之一。公式（1）表明頻率這個物理量與周期這個物理量的關系。但要注意：此式是對同一個周期運動而言的。這里的字母“T”,表示被測信號自身的周期，與被測信號的頻率有固定的對應關系。
       定義1  頻率f是單位時間內的周期運動次數。
       定義2  周期T是一個周期運動所用的時間（從上一個初相到下一個初相所用的時間）。
       設觀察時間是t。由定義1，有:頻率f為周期運動次數N/觀察所用時間t, 即
              f=N/t                                                      （2）
       由定義2，周期運動N次共用時間為t，則每個周期運動所用的時間就是
             T = t/N                                                     （3）
       將（3）（2）兩式相乘，即有
              fT=1                                                        （4）
亦即
               f=1/T                                                      （5）
這里導出的公式（5），就是先生所列的公式（1）。
        公式（1）是對同一周期運動而言的。對同一周期運動是普適規律。這個規律指明：對同一周期運動，頻率與周期之間有必然的規律，二者互為倒數，知道一個也就必然知道另一個。這是由已知量求等價的另一已知量，對測量來說，沒用。
        
       頻率測量要按定義1進行。
       頻率計必須有機內標準（簡稱內標，通常是高穩晶振），由它提供標準時間間隔（簡稱時段，或標準時間）。這個標準時間，就是計數器的閘門時間，又稱采樣時間。閘門時間，一般書籍記為希臘字母τ，《史法測量計量學》記為T.當初的考慮是τ習慣上視為常量，而高精度頻率計的誤差分析，主要是標準時間的偏差，因此該用個易于取微分的符號。該不該改回去，想一想，比較一下利弊再說。
       請先生注意，主文所用的符號T,是數字頻率計的標準時間（閘門時間），不是被測頻率的“周期”。
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史錦順 發表于 2021-8-11 09:24
【質疑】
頻率的計算公式不是這個嗎？f=1/T

按你所說應該是（2）*（3）式才有f=1/T。N次對應的時間不應該是T=T1+T2+...+TN？