《史法測量計量學》第3章 誤差范圍與誤差合成

                 《史法測量計量學》第3章（2020.11 上報本）

第3章 誤差范圍與誤差合成
3.1 誤差合成的三種方式
    十八世紀末，大數學家高斯奠定了隨機誤差的理論基礎。正態分布函數公式、最小二乘法，都是近代誤差理論的根基。同時代的貝塞爾公式，實現了用平均值對期望值的代換，巧妙而方便。高斯與貝塞爾，是測量計量領域理論的奠基人（也是數理統計的開創者），高斯注意到期望值對實際值的偏離，即系統誤差的存在，但并沒有給出像隨機誤差那樣完備的表達與處理方式。高斯的隨機誤差（隨機變量）理論，其成立條件是隨機變量。不確定度體系弄錯了“分布”的條件與統計方式，“分布”被濫用，陷入死胡同。   
    經典誤差理論對系統誤差直接取絕對值，合成取“絕對和”（如1980版《數學手冊》）。而隨機誤差可正可負，有相互抵消作用。對隨機誤差用統計方式取標準差，是正確的。但這兩種方式未能貫通。  
    不確定度體系合成的方式是“取方差”，其方針是統一采用“方和根法”。對隨機誤差的處理與經典誤差理論相同，沒有問題；但對系統誤差取方差，陷入歧途。為實行“方和根法”，造成三大難關：1）化系統誤差為隨機誤差；2）認知誤差量的分布規律；3）確定相關系數。這三關難過，此路不通。除研制場合的極少量特殊情況外，在出廠檢驗、購貨驗收、計量、應用測量的各種場合，重復測量后的統計，都是“時域統計”；而不確定度體系的所謂的分布，都是“臺域統計”。統計方式的嚴重錯誤，是不確定度體系的致命傷。被廢棄，是必然的下場。
    本書用“方根法”實現誤差量的絕對化。著眼于范圍，對系統誤差與隨機誤差一并進行統計處理。用恒值β代表系統誤差元；用三倍的隨機誤差元3ξ代表隨機誤差對誤差范圍的貢獻元。這樣，系統誤差β與隨機誤差元3ξ對誤差范圍的貢獻權重基本相同。于是，貫通了兩類誤差合成的各種情況，公式推導簡潔方便。按交叉系數近于1還是近于零來確定公式，從而推導出“絕對和”與“方和根”兩種誤差合成法。
    新理論立足于系統誤差的恒值性（只要求統計過程中恒值），兼顧隨機誤差的抵消性以及多項系統誤差平方時各交叉項間的抵消性，避開“取方差”、“認知誤差分布”和“確定相關系數”等難題。實現了誤差合成理論的公式化。
    由第二章的（2.7）式，知誤差元（測得值減實際值）的表達式為     
           r = y - Y = f(x_i，x_j) - f(X_i，X_j )                                        (3.1)
    （3.1）式是誤差元的表達式。求誤差范圍，就是求誤差元的絕對值的最大可能值：
              R =│r│_max = │f(x_i，x_j) - f(X_i，X_j )│_max                            （3.2）
    “史法”誤差合成的著眼點是范圍合成，而不是不確定度體系那樣的“方差合成”。
    初等數學規定：平方根取正值。史法誤差合成的要點：用“平方再開方”的操作，取最大可能值，以解誤差范圍的基本公式（3.2）。
    本書推導出的新的誤差合成法是：兩三項大系統誤差，取“絕對和”；其他情況，有抵消作用，取“方和根”。   

3.2 單項隨機誤差元構成的誤差范圍
3.3 單項系統誤差元構成的誤差范圍
3.4 誤差合成的理論基礎
3.5 交叉系數的一般表達
3.6 隨機誤差與隨機誤差的合成
3.7 隨機誤差與系統誤差的合成
3.8 系統誤差與系統誤差的合成
3.9 誤差合成法規則
    1）隨機誤差范圍之間，用“方和根法”。
    2）隨機誤差范圍與系統誤差范圍之間，用“方和根法”。
    3）有多項中小系統誤差項，僅有一項大系統誤差（或沒有大系統誤差），它們之間的交叉系數，可能是+1，也可能是-1，有相互抵消、或部分抵消的作用，這樣，可以用“方和根法”。
    4）僅有兩三項系統誤差，要用“絕對和法”。
    5）有多項誤差，在兩項或三項大系統誤差之間用“絕對和法”，再與其他項用“方和根法”。
    誤差合成概要：在兩項或三項大系統誤差間取“絕對和”，此和值再與其他各項一起取“方和根”。

3.10 “絕對和法”的常用公式

3.11 誤差范圍的人、繩、狗模型   
    實際值比做人，測得值比做狗，誤差就是人與狗的距離。人狗的距離，有時是定值，有時在變化，但距離的最大值被繩長所限制。繩長比做誤差范圍，是個單一值；人與狗的距離比做誤差元，從零可變到繩的長度。
    固定人的位置，狗活動在以人為圓心、以繩長為半徑的圈內。這像研制與計量中的測得值區間。測得值區間以實際值為中心、以誤差范圍為半寬。
    某時觀測到狗的位置，則人必在以狗為圓心，以繩長為半徑的圈內。這像測量中的實際值區間。被測量的量值區間（實際值區間）以測得值為中心、以誤差范圍為半寬。
    繩長限制了人與狗的距離。知道人的位置，可以找到狗；同樣，知道狗的位置，也可以找到人。        
    同一誤差范圍，貫通于測量的研制、計量、測量三大場合。是“測得值區間”與“被測量量值區間”的標志量，是測得值與實際值之間變換的基礎。研制中，確立實際值到測得值的變換；測量中，給出測得值到實際值的變換。誤差范圍決定兩個變換的質量，也就是決定測量的水平。

4.12 誤差范圍的重要性
    （1）誤差范圍是測量儀器的測得值函數的簡化表達。
    （2）誤差范圍是測量儀器性能的表征；誤差范圍指標值是測量儀器水平的標志。
    （3）計量是對測量儀器誤差范圍的檢驗與公證。計量的作業是抽樣求得被檢儀器的實際誤差范圍值；儀器計量合格，就是指儀器的誤差范圍的實際值不大于儀器的誤差范圍指標值。
    （4）誤差范圍是測量中實際值函數的簡化表達。
    （5）測得值與誤差范圍共同構成測量結果。標志測量水平的是誤差范圍。在滿足儀器使用條件、正確操作的條件下，測量者用測量儀器的誤差范圍指標值，當作測得值的誤差范圍，是冗余的代換，是合理的。

【說明】
3.2到3.8及3.10，因公式太多，詳見附件（第3章的完整復印件）。-
《史法測量計量學》第3章.doc (149.5 KB, 下載次數: 13)

2020-11-27 08:04 上傳

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