計量的誤差分析

                                     計量的誤差分析

               ——《史法測量計量學》對計量誤差與合格性判別公式的嚴格推導

                                                                                         史錦順

引言
    計量的誤差分析與合格性判別公式，是計量業務的基本知識，不能出錯。
    不確定度體系給出的合格性判別公式，把對象的性能錯位地算在計量的手段上，是錯誤的。葉德培先生在（優酷網）講課中指出：計量的不確定度U₉₅中包含有被檢儀器的性能，于是，檢定百分之一的儀器時，萬分之一的標準降至百分之一的水平，這是錯誤的。我曾對此觀點評價說：“鏗鏘質疑，振聾發聵；金玉之言，擲地有聲”。奇怪的是，在她為第二起草人的《JJF1094-2002》中卻用U95于合格性判別公式中。是明知故犯，還是無奈之舉？
    在測量計量的理論上，中國人應該挺直腰板，堅持真理，對錯誤規范《GUM》，要堅決斗爭。
    堅持真理的基礎是認識真理。弄明白“計量誤差”的基本道理，即使不確定度體系再猖狂，也就不會上當受騙了。

1 測量方程與測量值函數
      測量計量領域有三大場合：研制、計量與測量。研制場合設計儀器性能，分析儀器誤差，給出儀器誤差范圍的指標值；計量場合依靠計量標準，測定儀器的誤差范圍，判斷儀器的合格性，計量中必須知道計量誤差，以選用夠格的計量標準，如此，計量才有權威性；測量場合，直接測量，可引用測量儀器的誤差范圍指標值，不需再分析；間接測量，要分析被測函數量的誤差范圍。三大場合，各有特點，但共同點是都要講究測量方程、測量值函數；要知道誤差量的特點，并體現誤差范圍的貫通性。在此基礎上，做各個場合的誤差分析與誤差合成。

    測量依靠特定的物理機制。物理機制用物理公式表征。物理公式中的量，都是真值。測量的物理公式為
          Y = f(X₁，X₂，……X_N)                                                             (1)
    函數Y是諸自變量Xi的函數。Xi是各種決定以及影響測量值Y的量。
    測量的計值公式為：
        Y_m = f(X_1m/o，X_2m/o，……,X_Nm/o)                                           （2）
    Y_m是對被測量的測量值。式中斜杠“/”表示“或”。m表示測量值，o表示標稱值。m/o表示或者是測量值m，或者是標稱值o。例如X_1m/o表示是X_1m或者是X_1o.
    聯立（1）（2），二者相除，得比例關系的測量方程：
          Y_m / Y= f(X_1m/o，X_2m/o，……，X_Nm/o) / f(X₁，X₂，……X_N)            (3)
    聯立（1）（2），二者相減，得差值關系的測量方程：
          Y_m- Y = f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，X₂，……X_N)           (4)
    (3)、(4)都是測量方程，形式有別而本質相同，依應用方便而選用。
-
    由（3），測量值函數為
          Y_m = [ f(X_1m/o，X_2m/o，……，X_Nm/o) / f(X₁，X₂，……X_N) ] Y           (5)
    由（4），測量值函數為
          Y_m = f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，X₂，……X_N) + Y           (6)
-
2 測量儀器分析
2.1 測量儀器的測量方程
    物理公式的值都是真值。這是測量計量學的根基。
    測量儀器的研制場合，測量值函數Ym表成儀器的測量值M, 而Y就是被測量的真值Z。
    測量儀器的物理公式為：  
          Z = f(X₁，X₂，……X_N)                                                                (7)
    測量儀器的計值公式為      
        M = f(X_1m/o，X_2m/o，……,X_Nm/o)                                                （8）
    自變量Xi包括：機內標準的量值、比較機構的參數、各種相關機構的參數；輸入輸出處理方式的作用、計算與計值方式的作用，以及儀器的正常工作條件下的環境因素影響等。人的因素（如正常人的眼睛識別力），測量方法的因素，都必須包含在其中。正常工作條件下的各種外界誤差因素（通過儀器的機理而起作用），必須包括在儀器誤差之內，這是儀器研制中誤差分析必須遵守的規則。

    測量儀器的測量方程為
          M / Z= f(X_1m/o，X_2m/o，……，X_Nm/o) / f(X₁，X₂，……X_N)            (9)
          M- Z= f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，X₂，……X_N)            (10)      

2.2 測量儀器的誤差概念
    測量得到的最基本的元素是測量值。測量值與被測量的真值的差距稱誤差。誤差是個泛指概念，誤差包括誤差元與誤差范圍兩個概念。
   定義1 誤差元
    誤差元等于測量值減真值。
    定義2 誤差范圍
    誤差元的絕對值的一定概率（通常取3σ，概率99%）意義上的最大可能值。
    誤差元是誤差理論的元素，是基礎概念，沒有不行，但只在誤差分析時用。誤差范圍是域的概念，誤差范圍由誤差元構成。誤差范圍包容著可能的誤差元。誤差范圍是實用的功能單元，貫穿于研制、計量、測量以及各種實用場合。“誤差范圍”是誤差元絕對值的范圍的簡稱。誤差范圍是測得值區間的半寬，也是測量結果區間的半寬。
    測量儀器誤差范圍的指標值就是準確度，又稱極限誤差、最大允許誤差、準確度等級。歷史上，準確度這個術語用得最廣，它從來都是定量的（我國計量法用的是定量的準確度）。準確度這個術語，概念明確，詞義清楚，廣泛通行，幾乎人人皆知。準確度一詞，科學、通俗、簡明。不確定度體系污蔑說：準確度是定性的，不能用數字表達。這是瞪著眼睛說瞎話，是現代版的指鹿為馬。這種話由美國NIST說出，經國際計量委員會通過，由八個國際學術組織向全世界推廣，還明文列于國際規范中，以法規的形式強制推行。這是顛倒黑白的霸道作風。科學講真理，反對霸道。測量計量界要高舉準確度的旗幟！我國計量界的兩大名家，馬鳳鳴和錢鐘泰，他們都不理不確定度體系的昏話。馬鳳鳴在他主持起草的國家計量規范《JJF1180-2007》中，頻標的指標就稱“準確度”；錢鐘泰率領潘必卿、童光球（二人都曾任國家計量院院長）宋明順（現任中國計量大學校長）所寫的長篇講座課程中，名稱的核心就是“準確度”。

2.3 測量儀器的測量值函數與誤差范圍
    測量儀器的研制者，必須給出全量程的測量值函數，建立測量值與被測量真值的對應關系。
    測量儀器（非單值量具），不可能只測量一個值，而是測量全量程內的任何一個被測量量值。這就必須給出全量程或可用區域上的測量值函數。
    研制的賦值過程，就是由真值Z而確定測量值M。
    由（10）式，誤差元函數為
          M – Z = f(X_1m/o,X_2m/o,……,XN_m/o) - f(X₁,_X2,……X_N)                           （11）
    誤差元的絕對值的最大可能值為
          │M – Z│_max= │f(X_1m/o,X_2m/o,……,X_Nm/o) - f(X₁,X₂,……X_N)│_max         （12）
    這個“誤差元絕對值的最大可能值”就是誤差范圍，記（12）式右端為R(恒正), 有
          │M– Z│_max= R                                                                   （13）
    去掉最大值符號，有
          │M – Z│ ≤ R                                                                       （14）
    解絕對值關系式（14）
    當M＞Z時，有
          M ≤ Z+R                                                                             （15）
    當M＜Z時，有
          M ≥ Z-R                                                                              （16）
    綜合（15）式、（16）式，有
          Z - R ≤ M ≤ Z+R                                                                   （17）
    （17）式簡記為
          M = Z±R                                                                              （18）
    （18）式由（12）式推得，（18）與（12）式等效。因此，測量值公式（18）是測量值函數式的簡化表達。

3 測量結果是真值函數的簡化表達，測量結果包含真值
    測量者通過測量得到測得值。由所用測量儀器的誤差范圍指標值，得知此次測量的誤差范圍值。測得值加減誤差范圍是測量結果。測量者得到測量結果，測量結果包含真值，于是測量者就得到了關于被測量真值的完整信息。只要誤差范圍滿足要求，就達到了測量的目的。
    測量結果包含真值，這是測量理論與實踐的真諦，說明如下。
    第一，測量儀器生產廠，給出誤差范圍指標為R_儀（準確度），承諾是：
    誤差元r_i = M_i―Z_i。 在i點，R_i是r_i的絕對值的最大可能值，記為R。廠家給出的誤差范圍指標R_儀，是保證：
          R ≤ R_儀                                                                                （19）
    第二，計量檢定就是抽樣證明（19）式成立。
    因此，不論在量程內哪點上的那次測量，都有：
           │r_i│≤ R_儀
也就是
           │M―Z│≤ R_儀                                                                       （20）   
    解絕對值關系式（20）。
    當M大于Z時
           M―Z ≤ R_儀
           Z ≥ M―R_儀                                                                            （21）
    當M小于Z時
            Z―M ≤ R_儀
            Z ≤ M + R_儀                                                                          （22）
    綜合（21）、（22），有
            M―R_儀 ≤ Z ≤ M + R_儀                                                             （23）
    （23）式表明，被測量的真值Z在以測得值M為中心的、以誤差范圍R_儀為半寬的區間中。
    （23）式簡化表達為
             Z = M±R_儀                                                                            （24）
    （24）式稱為測量結果。
    測量結果的物理意義：被測量的真值的最佳表征值是測得值M。被測量的真值可能大些，但不會大于M+R_儀，被測量的真值可能小些，但不會小于M―R_儀。

4 計量的誤差與合格性判別
4.1 差分法求計量誤差
    儀器廠生產測量儀器，給出了儀器的誤差范圍指標值。用戶依據自己工作任務的需要，選用誤差范圍夠格的測量儀器。在儀器正常工作的條件下，用儀器測量被測量，得到測量結果為：
             Z = M±R_儀                                                                        （24）
     計量的任務就是公證儀器的實際誤差范圍，不大于測量儀器的誤差范圍的指標值。由于計量場合有夠格的計量標準，可以測定儀器的誤差范圍實際值。
    測量儀器的計量方法是用被檢儀器測量計量標準。
    計量標準的標稱值是B_標，計量標準的真值是Z_標。用被檢儀器測量計量標準，所得測量值為M。
    誤差元定義為測量值減真值。因此，根據（10）式，被檢儀器的誤差元為：
          r_z = M - Z_標
            = [f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，X₂，……X_N)+Z_標]- Z_標   
            = f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，X₂，……X_N)              （25）
    r_z是以真值為參考的誤差元，稱為“真誤差元”。
    計量者得知的不是“真誤差元”，而是“視在誤差元”，就是以計量標準的標稱值為參考的視在誤差元r視在：
         r_視在 = M - B_標
             = [ f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，X₂，……X_N)+ Z_標 ]- B_標  （26）               
    計量的誤差元就是“視在誤差元”與“真誤差元”之差
          r_計= r_視在 - r_z
             =[ f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，X₂，……_XN) + Z_標 - B標]
               -[ f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，X₂，……X_N) ]
             = Z_標 - B_標                                                                  （27）
     計量的誤差范圍是  
          │r_計│_max= │Z_標-B_標│_max
          R_計 = R_標                                                                       （28）
     以上推導中，關鍵點是：測量值M是儀器的物理公式決定的客觀量，它由計量標準的真值Z_標以及儀器的物理機制決定。它是客觀的、唯一的，不存在由標準的標稱值決定的另一個測量值。njlyx先生曾指出：M是常值。這是真知灼見。


    以上推導，也可以按下述方式。如（25），真誤差為：
          r_真 = f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，_X2，……X_N)              （25+）
   而視在誤差為：      
         r_視在  = M - B_標
               = [ f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，X₂，……X_N)+ Z_標 ]- B_標          （26+）
   將（26+）式中的函數差部分依（25+）式的關系，用r_z代換，有：     
         r_視在 = [ f(X_1m/o，,X_2m/o，……，_XNm/o) - f(X₁，X₂，……XN)+ Z_標 ] - B_標    
              = r_真 + Z_標 - B_標
    得到
        r_計 =  r_視在 - r_真  =  Z_標 - B_標                                                      （27+）
    式（27+）與式（27）相同。

    R_標是計量標準的誤差范圍值。經過上級計量的合格的計量標準，誤差范圍的最大可能值就是計量標準的性能指標值。這是本級計量者知道的。
    計量的誤差，取決于計量標準。計量的誤差，與被檢儀器的性能無關。

4.2 微分法求計量誤差
    分析計量的誤差是分析計量手段的影響。如果計量中的比較標準是真值，那就沒有計量誤差。測量值的變化量，僅僅由計量手段引入的部分，才是計量誤差。
    由（10）式知：計量場合儀器的測量值函數：
          M = f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，X₂，……X_N) + Z_標         (29)   
    令
          M_儀自身= f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，X₂，……X_N)  
    則計量場合儀器的測量值函數簡化為：
          M = M_儀自身 + Z_標                                                                 （30）
    測得值M中由儀器本身的各種因素的作用而形成的M_儀自身，是被檢儀器自身的事，是計量時的對象，不是計量的手段。
    求計量的誤差，微分的自變量是手段量，就是求“測量值M對計量手段量的微分”。由于著眼點是手段量，計量時，真值Z標之值對標稱值B_標（定義值的一種形式）有變化，Z_標是變量，而M_儀自身值是對象問題，相對手段而言，是常量。即測得值M因手段問題而產生的改變量與被檢儀器無關，而僅僅與標準的實際值改變量有關。（這是按《JJF1180-2007》的說法，計量標準用統計測量的概念；經典測量學視真值為常量，而把標稱值視為可改變量。二者差一個正負號，因誤差范圍取絕對值，兩種理論結果等效。不確定度體系混淆對象與手段，那是另一回事。）
    對（30）微分，注意到M_儀自身是常量，必然有
           dM = dZ_標
           ΔM=ΔZ_標
           │ΔM│_max= │ΔZ_標│_max         
            R_計 = R_標                                                                           （31）                                             
    式（31）與式（28）相同。再說一遍：R_標是計量標準的誤差范圍值。計量的誤差，取決于計量標準。計量的誤差，與被檢儀器的性能無關。

4.3 合格性判別公式
    被檢儀器的誤差范圍指標是R_儀/指標，又記為MPEV。若
             R ≤ R_儀/指標      
則被檢測量儀器合格。
    R是被檢儀器的誤差范圍，參考值是被測量的真值。而實測的儀器的誤差范圍，是以標準的標稱值為參考值的。計量中實測得到的是被檢儀器的誤差的測量值，規范中記為|Δ|，準確地說應為|Δ|_max，誤差量的測量結果是：
              R = |Δ|_max±R_計
                = |Δ|_max±R_標                                                                   （32）
    判別合格性，必須用誤差的測量結果與儀器指標比。
    （A）由于計量誤差的存在，R的最大可能值是|Δ|_max+R_標。若此值合格，因儀器誤差絕對值的其他可能值都比此值小，則所有誤差可能值都合格。因此，合格條件為：
              |Δ|_max+R_標 ≤ R_儀/指標
即
              |Δ|_max ≤ R_儀/指標 - R_標                                                        （33）
    （B）由于計量誤差的存在，R的最小可能值是|Δ|_max-R_標。若此值因過大而不合格，因儀器誤差絕對值的其他可能值都比此值大，則所有誤差可能值都不合格。因此，不合格條件為：
              |Δ|_max―R_標 ≥ R_儀/指標   
即
              |Δ|_max ≥ R_儀/指標 + R_標                                                        （34）
    注：校準中的合格性判別同于檢定中的合格性判別。
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1.  對于一些常用的名詞、術語，或許還是應該盡量遵從現行“規范”？  完全“自定義”，可能并不利于“新理論”的成長？
   如，”Ym是對被測量的測量值”中的“測量值”是否是“規范”所說的“測得（量）值”？   “儀器的測量值M”是否表述為“儀器的(指)示(量)值M”較好？

2.  “njlyx先生曾指出：M是常值。”好像是有“前后文”的，不宜“獨立”定論。....對于一次已完成的具體測量，儀器給出一個明確的"示值"M，它是確定無疑的，若是3.55，不會張說3.35、李言5.33，可能是如此說它是“常值”？ ....."不確定"研究者可能關心“用同一臺儀器對同一個被測量實施多次測量”，對這多次的“示值”M1、M2、....、Mn, “njlyx”不會以為它們是相等的“常值”。

njlyx 發表于 2019-11-15 16:31
1.  對于一些常用的名詞、術語，或許還是應該盡量遵從現行“規范”？  完全“自定義”，可能并不利于“新理 ...

        史文中有句話：“njlyx先生曾指出：M是常值。這是真知灼見” 。這一句，應刪掉。是我誤解了。現經他的說明，我已知先生是不贊成我的說法的。我的觀點，正誤由我個人負責，不該給別人找麻煩。

       我認為：分析中，M必須按常量處理。不確定度體系的分析，對M求微分，是錯誤的。

       計量的誤差分析中，一次測量有一個誤差元。第一步，必須針對這個誤差元進行分析。而多次測量，必須在單次測量分析有了單次測量的各個誤差元的基礎上，進行統計計算。而一上來，就直接分析多次測量的誤差，易于產生M是變量的錯覺，不確定度體系的錯誤，就是把M當成變量，錯誤地對M進行微分。

       其實，計量中的一次測量，只有一個M值，它是唯一的，這是比“常值”更強的條件。對M值不能微分！這是計量誤差分析的要點，也是不確定度體系本身的要害。對此點能想通的網友，請表表態。如果有網友堅定地認為，M就是變量，就應該微分，請說明道理，咱們認真地辯論一番。這可不是小事。事關誤差理論與不確定度體系的孰是孰非。
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謝謝史老師