一條曲線決定分散性與偏離性

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                    一條曲線決定分散性σ與偏離性σ_d
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                                                                     史錦順
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       隨機變化的量值，可能是被測量的隨機變化（信號源頻率變化、電壓源的電壓變化、溫箱的溫度變化等等），也可能是測量儀器的隨機誤差引起的示值變化（研制中確定儀器的精密度）。這些變化的量值，簡稱隨機變量。隨機變量的分散性，用單值的σ來表征。
       σ稱為“單值的標準偏差”。用貝塞爾公式算出的σ，稱實驗標準偏差，就是單值的標準偏差。

       測量一組數（精密測量，測量次數N不應小于20，時間頻率界，N取100，已成常規），許多行業N取10,少些，也可以，不宜提倡。

       對測量儀器來說，考究的是儀器的隨機誤差，這時的分散性就是重復性，就是精密度。
       頻率源頻率的重復性稱頻率穩定度。

       請注意，講“重復性”，表征量一定是單值的σ，不能除以根號N。除以根號N的結果是嚴重的虛夸了重復性。

       實踐的操作，都是測量N個量值，這是一組數。用這組數可以畫出量值分布曲線。如果被測量是常量（計量中是用被檢儀器測量計量標準，由于計量標準系統誤差與隨機誤差可略，可視為常量），這時，“鐘形線”的σ就表明測量值的分散性，就是重復性。鐘形線的中點是平均值，平均值與隨機變量的期望值的差距為
                     σ_d =  σ/√N                                                                 （1）
以上稱基本操作。

       如果測量M組（每組N個值），這稱特種操作。這是研究者的事，老史是實際工作者，實際工作都是基本操作。有時搞點研究，也有幾次特種操作，但工作中（研制、計量、鑒別性測量）是不用的。多組測量太麻煩，也沒必要。
       在多組測量中，用M個平均值畫出的鐘形線，是平均值的分布曲線，其分散性表征量，即平均值的標準偏差為：
                     σ_平 =  σ/√M                                                                 （2）
       （1）式與（2）式的來源不同，所表達的意義不同。可惜，長期以來，人們把他們弄混了。在極特殊的情況下，二者相同，這種情況是組數M與每組的個數N相等。把這種極端的個例，當作一般情況，就出錯了。

       不確定度體系的主定義是“分散性”。分散性的表征量，是一組測量中標準偏差。貝塞爾公式為：
                    σ = √[1/ (N-1)∑(X_i-X_平)²]                                                （3）

       不確定度體系的A類不確定度評定，是將σ除以根號N得u_A. 其中的N是一組測量值的測量次數？如是，u_A就不是“分散性”，而是測量值的平均值與測量值期望值的差距σ_d。

       在誤差理論中，儀器的誤差范圍是測量值對真值（實踐中用計量標準的標稱值代替）的差的最大可能值R。就是系統誤差加隨機誤差的最大可能值。測量值的期望值與真值之差是系統誤差，平均值與期望值之差是3σ_d，而單個測得值與平均值之差最大可能值（99%概率）是3σ。
       求準確度，以及求系統誤差時，σ_d是必要的量。當一個測量系統，已知系統誤差的具體值時，則隨機誤差的作用，是σ_d。用3σ_d與系統誤差“均方根”合成，即得測量的誤差范圍。

       在統計測量中，被測量是統計變量。要求測量儀器的隨機誤差可略（σ_儀 ≤ σ_變/3）。統計測量的表征量必須是單值的標準偏差σ。不可除以根號N。除以根號N的結果是把“分散性”給平均掉了。

        測量有兩類：基礎測量與統計測量。基礎測量的被測量是常量，考究的是儀器的準確度。精密度是準確度的一部分。求準確度，求的是測量值的平均值即測得值與真值的差距，就是誤差范圍。誤差范圍包括系統誤差與隨機誤差兩部分。測得值取測量值的平均值，測得值與測量值數學期望之差是隨機誤差，要求的量是σ_d，因此，在基礎測量中，σ要除以根號N。
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       在統計測量中，被測量是統計變量，要求的是統計變量量值（各個單值）的分散性。這個分散性的表征量是σ，不是σ_平，也不是σ_d。因此，σ不能除以√N,（N是組內單值個數）也不能除以√M（M是數據組數）。
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       計量界流行一種說法：量值取單值用單值的σ；量值取平均值用平均值的σ_平。對基礎測量，大體可以，盡管不夠嚴格。但對統計測量則是錯誤的。統計測量要求的分散性，必須是單值的分散性。此點極為重要。重要的實際產品的性能，如各類頻標、各類信號源的頻率穩定度、穩壓電源的電壓波動、恒溫箱的溫度波動，都必須是單值的σ。
       統計變量的表征量，量值取平均值，而分散性是3σ。以平均值為中心、以3σ為半寬的區間，包含量值的概率是99.73%；如果除以√N，該區間包含量值的概率就很小了，是不能用的。
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補充內容 (2019-8-26 11:34):
“均方根”應為 “方和根”

補充內容 (2019-8-26 16:11):
“單個測得值與平均值之差最大可能值”應為“單個測量值與平均值之差最大可能值”。