統計測量的標準偏差不能除以根號N

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                               統計測量的標準偏差不能除以根號N
                                                    ——回復吳下阿蒙（1）
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                                                                                                        史錦順
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【吳下阿蒙】
       史老提到的問題，實際中是存在的，但我認為這不是不確定度體系本身的問題，而是使用者缺乏足夠的知識造成的（比如我之前那樣）。不確定度的評定真的不是找幾本規程看一看，拿一本書套一套就能評定的正確的，只能似是而非。
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【史評】
       你的這種認識，是長期學校教育的負作用，就是習慣于保守不變的模式：已有的理論是“從正確到正確”。如果出問題，是沒用好。通常，這可能是對的，但有時卻恰恰相反。要具體分析。我研究誤差理論30年，又分析不確定度體系20年，結論是：誤差理論有不足，但基本正確；而不確定度體系錯了。
       對不確定度體系，我的評價是：立基于不可知論，哲學觀錯；定義跳槽、分類穿幫、對象與手段混淆，邏輯錯；估計代替計算、假設代替分析，方法錯；混淆兩類測量、混淆兩種誤差，測量模式錯；混淆兩種統計，統計方式錯。由此導致計量、測量的各種處理方法全錯。不確定度體系的一切，沒有任何可取之處。不確定度體系是擾亂正常計量秩序、害人誤事的偽科學。
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       原蘇聯的教育理論說，只能向學生講正確的觀點。但這不符合歷史發展、理論發展的客觀事實。事物發展的一條重要規律是“否定之否定”。
       你進入測量計量界不久，還不了解關于“不確定度體系”的學術爭論情況。不確定度體系在實際應用中的混亂與錯誤，原因是不確定度體系本身。我建議你抽空瀏覽一下我在本欄目貼出的抨擊不確定度體系的雜文。為閱讀方便，你把郵箱告訴我，我寄給你已編好的八本文集。
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（一）統計測量的標準偏差不能除以根號N
【吳下阿蒙論述】
       1. 除不除以根號n，取決于我們需要的測量結果是單值還是均值。

【史評】
       你的這個觀點，有普遍性。許多人都有這種觀點或類似的觀點。
       我這里明確指出：在統計測量中，必須取平均值來表征統計變量的量值大小；而在取平均值的情況下又必須取單值的σ來表征統計變量的分散性。
       這個分散性，又稱重復性（同一測量條件），復現性（不同測量條件），波動性或穩定度（電源之電壓、溫度源之溫度），頻率穩定度（特指頻率的短期隨機變化，有采樣時間、采樣次數、計算方法的嚴格定義，本質是單值的σ）。
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       當前，包括一些書籍，有一個普遍的說法：量值取單值，則用單值的σ；量值取平均值，則用平均值的σ_平。這個說法是錯誤的。說明如下。

1 高斯正態分布的理論
1.1 有偏正態分布
       高斯有偏正態分布的幾率密度函數為
                   p(Y) = {1/ [σ√(2π)]} exp [– (Y-μ)² / (2σ²)]                        （1）
       Y是變量，μ是變量Y的期望值。示意圖如圖1.圖中以Y_平代替μ。B是隨機變量的標稱值。β表示系統偏差。R表示總偏差范圍。
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1.2 無偏正態分布
      令ξ = Y-μ，則
                  Eξ =E(Y-μ)=EY – μ=0
       ξ是期望值為0的純隨機變量。
       高斯無偏正態分布的幾率密度函數為
                   p(ξ) = {1/ [σ√(2π)]} exp [– ξ² / (2σ²)]                            （2）
       隨機變量ξ的分布是無偏正態分布。如圖2。

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1.3 標準正態分布圖
       再令σ=1，并令x=ξ，則稱標準正態分布。標準正態分布的概率密度函數為
               p(x) = [1/√(2π)] exp [– x² / 2]                                                 （3）
       正態分布的“概率函數”為
               φ(x)= [1/√(2π)] ∫ (-∞→x) exp [– t² / 2]                                                （4）
       標準正態分布的分布圖與圖2相同，只是把σ記為1即可。
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2 取平均值時，偏差區間的包含概率的計算
       《數學手冊》（1980版）給出的是公式（3）與公式（4）的數值表。包含概率的計算方法如下。
        求-kσ到+kσ的包含概率
        從-∞到k的概率是φ(k)，從k到+∞的包含概率是1-φ(k)。由于分布密度函數的對稱性，從-∞到-k的包含概率與k到+∞的概率相等，為1-φ(k)。因此有：
                 p(-k→+k)=φ(k)-[1-φ(k)] =2φ(k)-1                                         （5）
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2.1 區間[-σ，σ]
        查表φ(1)=0.841345
        包含概率為
                  p_σ = 2φ(1)-1=0.841345×2-1=1.68269-1
                       = 0.683
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2.2 區間[-2σ，2σ]
        查表φ(2)=0.977250
        包含概率為
                  p_2σ= 2φ(2)-1=0.977250×2-1=1.9545-1
                      = 0.9545
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2.3 區間[-3σ，3σ]
        查表φ(3)=0.998650
        包含概率為
                  p_3σ= 2φ(3)-1=0.998650×2-1=1.9973-1
                      = 0.9973
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3 不取平均值而取其他單值時，區間包含概率的計算
       公式推導 設單值為Y_平+ nσ , 區間半寬為kσ, 則區間為[(n-k) σ，(n+k)σ],有
                     K₁=n-k
                     K₂=n+k
       當K為負值時，由于概率密度函數的對稱性，從-∞到K(負值)的包含概率與-K到+∞的概率相等，都為1-φ(-K)。當K為正值時，從-∞到K(正值)的包含概率就是φ(K)。
       從-∞到K₂的包含概率減去從-∞到K₁的包含概率，就是所求的區間[(n-k) σ，(n+k)σ]的包含概率。
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3.1 計算公式
3.1.1  (n-k)＜0，(n+k)＞0
                     P =φ(n+k) – [1-φ(k-n)]                                                （6）
3.1.2  (n-k) ≥0
                     P=φ(n+k) -φ(n-k)                                                        （7）
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3.2 計算舉例
例1 取Y=Y_平+2σ，求半寬為3σ的區間的包含概率
      k=3，n=2 按公式（6）計算
                  P =φ(n+k) – [1-φ(k-n)]  
                     =φ(5)-[1-φ(1)]                        
                     ≈φ(1)=0.841345
                     ≈0.84
例2 取Y=Y_平+2σ，求半寬為2σ的區間的包含概率
      k=2，n=2 按公式（7）計算
                  P=φ(n+k) -φ(n-k)
                    =φ(4)- φ(0)
                    ≈1-0.50
                    ≈0.5
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例3 取Y=Y_平+3σ，求半寬為3σ的區間的包含概率
       k=3，n=3 按公式（6）或（7）計算
                  P=φ(n+k) – [1-φ(k-n)]
                    =φ(6) – [1-φ(0)]
                    =φ(0)
                    = 0.5
例4 取Y=Y_平+3σ，求半寬為2σ的區間的包含概率
       k=2，n=3 按公式（7）計算
                  P=φ(n+k) -φ(n-k)
                    =φ(5) –φ(1)
                    =1-0.841345
                    = 0.16
       說明：以上φ(6)、φ(5) 、φ(4)都近似為1.
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       請注意你，如果不取平均值，而是取其他單值，那么區間的包含概率就可能很小。上例中，有50%，甚至有16%，多么嚴重！
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       總結
       統計變量的分散性，是統計變量本身的特性，必須如實地描述、表達，不能人為地縮小。單值的標準偏差σ，隨著測量次數增大而趨于一個常數，它是隨機變量分散性的表征量。平均值的標準偏差σ_平，隨著測量次數增大而縮小，并趨于零。σ_平不是隨機變量的表征量。因此，表征隨機變量的分散性，必須用σ。
       以上觀點，我多次表達過。這次進一步證明：用σ表達分散性，而取值必須取變量的平均值，才有通常人們熟知的“以2σ為半寬的區間的包含概率是95%”、“以3σ為半寬的區間的包含概率是99%”。如果不取平均值而取其他單值，則包含區間的概率就會大大降低，如例1到例4。
      結論：
       1 統計測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。
       2 量值必須取平均值。
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補充內容 (2017-12-17 16:13):
公式（4）的積分號內最后加dt

用天平檢定標準法碼，天平的MPEV遠小于法碼的MPEV，是統計測量，檢定中重復測量時數據分散性主要來源于天平的穩定性，σ（天平）遠大于σ（法碼），又成了基礎測量，同一次測量，到底是基礎測量還是統計測量？亂！！！

平均值的標準偏差σ平，隨著測量次數增大而縮小，并趨于零。σ平不是隨機變量的表征量。因此，表征隨機變量的分散性，必須用σ。

這是一個貌似合理的悖論

因為不存在σ平趨于0重復測量，σ平=σ/ √n，當n大到一定程度再增加n沒有意義，沒有人會傻到去做沒有意義的無用功，這是實用上

理論上不會存在n趨近于無窮大的N個重復測量的平均值，n趨近于無窮大時，N只能等于1

這種推論無論是實用上還是理論上都不成立，以此為前提得出的結論必然是錯誤的

單值σ表征單次測量的分散性，平均值σ表征平均值的分散性，只有重復性測量平均值不存在的測量才不能用平均值σ表征，這在經典誤差理論中是很清晰的

1 統計測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。
這是不是就意味著不管測量幾次，其結果的可信度基本是一樣的，沒有量級的差距？這可能嗎？那為何要增加測量次數？
2 量值必須取平均值。
在測量次數足夠多時，平均值和峰值是一樣的。測量次數減少時，平均值應該先于峰值變化，因為在均值等于峰值時，隨便去掉一個測量結果（只要不是峰值）均值就變化，所以不能用均值。 -

基礎測量？統計測量？計量是統計測量還是基礎測量？

用σ（1s）=8E-14的氫鐘和σ（1s）=3E-15的比對器檢定σ（1s）=1.2E-11的小銫鐘的秒穩，按史先生的定義，是典型統計測量，真的是：結論：1 統計測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。2 量值必須取平均值。嗎？事實是：全世界任何實驗室都不會對這種測量的取樣值求平均值

用σ（1s）=8E-14的氫鐘檢定和σ（1s）=3E-15的比對器的1s比對不確定度，手段穩定度遠差于對象穩定度，又成了基礎測量

計量到底是“統計測量”呢還是“基礎測量"呢？

所以根本不存在什么所謂“基礎測量”、“統計測量”之劃分，計量也根本不是什么“統計測量”，計量的任何專業都存在既是“基礎測量”又是“統計測量”的項目

csln先生就是本論壇中的高人之一，請史老再好好考慮一下“兩類測量”的分類問題，計量檢定/校準是否是您所說的“統計測量”。csln的舉例和質疑非常好，砝碼、量塊、標準電阻等等量具都是如此，推演到其它儀器也是如此。

csln先生就是本論壇中的高人之一，請史老再好好考慮一下“兩類測量”的分類問題，計量檢定/校準是否是您所說的“統計測量”。csln的舉例和質疑非常好，砝碼、量塊、標準電阻等等量具都是如此，推演到其它儀器也是如此。

單值的標準偏差σ，隨著測量次數增大而趨于一個常數，它是隨機變量分散性的表征量。平均值的標準偏差σ平，隨著測量次數增大而縮小，并趨于零。
     史老對這句話進行了論證，但這句話難道不正好反映了是否除以根號n的問題嘛？
對一個物理量測量10次的平均值A，對一個物理量測量20次的平均值B。那么A和B應該哪一個更接近此物理量的真值呢？如果選用單次標準偏差，測的次數越多，偏差越大，這不是很不合理嘛？

然后，使用測量結果的單值還是均值，我理解的話應該從物理量來看：
1.        量塊的長度，這種真值為單值且穩定性很好的物理量，應該使用測量結果的平均值，這個值更接近于量塊的真值，而不確定度評定也是使用平均值的標準偏差σ平除以根號n。
2.        電源的輸出電壓，由于每次的輸出值都不同，其真值是一組量值，這時應該取測量結果的單值的不確定度，即不確定度評定使用單值的標準偏差σ平不除以根號n。如果使用均值的不確定度，那么未來需要確保今后在同類測量中所給的測量結果必須是n次測量的平均值，但這并不實際。那么此時測量結果選用單值還是均值？我們評定的是單值的不確定度，理論上測量中的每一個單值做為測量結果都是可以的，但實際我們還是會選平均值做為測量結果（至少我接觸的是這樣的）。

這是史先生稱為旗手的馬先生評的一個不確定度，從測量值看，“手段”1E-8,“對象”1.8E-7，是典型“統計測量”，是馬先生錯了嗎？

應該沒有這個可能性

除以根號N，是由統計學的計算公式得出的，不是隨便定的，建議好好研究統計學，以數學公式為依據。

在不確定度早期，或者說在1059-1999之前，國家計量院的一些誤差理論專家是對不確定度有些看法和反對，都有哪些人史老在論壇里不止一次提到他們，其中馬先生出現的坑怕最多，還有錢先生等等。其實現在這些人可能都成了不確定度的粉絲，不信就請史老親自問問他們。GUM可能有不妥，甚至有錯，但絕對沒有錯的如您說的那么不堪，錯成這樣馬先生還在用，您該找他理論一下。
GUM是對誤差理論的發展，您也在努力發展改造，只是您提出的基礎理論是錯誤的，導致改造的結果自然也就是錯誤的。糾正“統計測量”和“交叉系數”的錯誤觀點，也就自然得到標準偏差在什么情況下要除以根號n，您的“誤差合成方法”也就知道該如何合成。
我說，一個人說，您不重視，這么多人說，您該好好考慮一下吧。

csln 發表于 2017-12-18 15:17
這是史先生稱為旗手的馬先生評的一個不確定度，從測量值看，“手段”1E-8,“對象”1.8E-7，是典型“統計 ...

馬先生應該沒錯。馬先生應該是史先生認定的高人，史先生應該將自己批駁不確定度七大公式的觀點與馬先生交流一下，特別是“統計測量”和“交叉系數”的觀點，將結果及時與我們分享。

狼煙 發表于 2017-12-17 14:45
1 統計測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。
這是不是就意味著不管測量幾次，其結果的可信度基本是一樣 ...

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【史文】
       1 統計測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。
【狼煙先生質疑】
       這是不是就意味著不管測量幾次，其結果的可信度基本是一樣的，沒有量級的差距？這可能嗎？那為何要增加測量次數？
【史辯】
       σ本身的標準偏差為
                 σ_σ = σ/√[2(N-1)]
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                                                     表 1
                 測量次數 N            4            6              10               20               30                100      
               σ的相對分散性       41%        32%         24%           16%            13%               7%                                       
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       測量次數少時，σ的相對分散性（σ_σ/σ）大。N至少要取10。應取20或30。時頻的短穩測量規定取100.
       表1 說明，重復測量的次數N必須足夠大。
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       本題講的是“統計測量”，被測量是統計變量。
       當被測量是常量時，測量的標準偏差σ是測量儀器的隨機誤差。這時，分散性是手段的問題，手段可以改進。測得值的隨機誤差是σ_平。就是說，對基礎測量（常量測量）來說可以除以根號N.
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【史文】
       2 量值必須取平均值。
【狼煙先生質疑】
       在測量次數足夠多時，平均值和峰值是一樣的。測量次數減少時，平均值應該先于峰值變化，因為在均值等于峰值時，隨便去掉一個測量結果（只要不是峰值）均值就變化，所以不能用均值。 -
【史辯】
       不知你說的“峰值”是什么？通常，峰值指最大可能值，平均值怎會等于峰值？弄不懂你表達的是什么情況，是什么意思。
       “不能用均值”是錯話。不論是基礎測量（被測量是常量），還是統計測量（被測量隨機變量），測量N次后，都必須用測量值的平均值M_平當被測量的量值，這就是測得值。在統計測量中，隨機變量L的測量結果是：
                  L = M_平±3σ                                                                （1）
       我在文中已說明，取M_平當測得值，以3σ為半寬的區間，包含L_i（L的全部可能值，這里不是常量測量的包含一個真值的問題）的概率是99.7%；如果取其他值，則包含概率可能很小。

史錦順 發表于 2017-12-18 17:42
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【史文】
       1 統計測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。

平均值等于峰值，能是什么峰值，概率峰值唄。

史錦順 發表于 2017-12-18 17:42
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【史文】
       1 統計測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。

統計測量這個概念是我唐突了，因為好久不在行業內了，對概念還保留在過去的印象中。

我的理解是，統計測量是為了更準確的測量被測量而增加測量次數，然后得出被測量的結論。如果您的統計測量的概念不一致，是我唐突，需要學習。

對手段的不確定的認定，確實是個大問題。這個是要盡量消滅被測量的影響。為了消滅被測量的影響，就要得出假定真值的盡量小的不確定度，如果不除以根號N，多次測量失去了意義。比較單次結果的最大標準偏差和多次測量除根號N的差距，可得手段的進步空間。否則這2個偏差會很小吧，那么手段問題就都沒有了。

不在行業里，用詞不一定恰當，請指教。

如果被測量穩定，用正太分布的特征值，就應該可以得到方法的進步空間。
如果被測量不穩定，相同條件下的一組測量數據，其數量再多也無法區分是被測量的不確定度還是方法手段的不確定度。

狼煙 發表于 2017-12-18 19:09
統計測量這個概念是我唐突了，因為好久不在行業內了，對概念還保留在過去的印象中。

我的理解是，統計測 ...

史先生先不要考慮這個回復，我越想越混亂了，先留在那兒作為我不謹慎的證據吧。也方便我思路的延續。如果您愿意賜教更好

狼煙 發表于 2017-12-18 18:53
平均值等于峰值，能是什么峰值，概率峰值唄。

我好像把所求值當成已知數用了

吳下阿蒙 發表于 2017-12-18 12:03
單值的標準偏差σ，隨著測量次數增大而趨于一個常數，它是隨機變量分散性的表征量。平均值的標準偏差σ平， ...

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【史文】
       單值的標準偏差σ，隨著測量次數增大而趨于一個常數，它是隨機變量分散性的表征量。平均值的標準偏差σ_平，隨著測量次數增大而縮小，并趨于零。
【吳下阿蒙論述】
       史老對這句話進行了論證，但這句話難道不正好反映了是否除以根號n的問題嘛？
【史評】
       不。這句話只是σ與σ_平對N的不同的關系，是它們本身的性質。計量界沒有不同的理解。現在討論的是σ與σ_平的用法問題，就是：什么場合用σ，什么時候用σ_平。
       史錦順的理論是：在基礎測量（被測量是常量）中，用σ_平；在統計測量（被測量是隨機變量）中，用σ。
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【吳下阿蒙論述】
       對一個物理量測量10次的平均值A，對一個物理量測量20次的平均值B。那么A和B應該哪一個更接近此物理量的真值呢？如果選用單次標準偏差，測的次數越多，偏差越大，這不是很不合理嘛？
【史評】
       測得值接近真值程度的概念，是基礎測量的概念。在基礎測量中，平均值B比平均值A更接近真值，計量界沒有不同認識。單次標準偏差的標準偏差為
                 σ_σ = σ/√[2(N-1)]
隨著測量次數N增大，則σ_σ越來越小，就是說σ趨于一個穩定值，不是越來越大。基礎測量的σ是測量儀器的隨機誤差，這是手段的問題，可以改進，要用σ_平來表征M_平對真值的接近程度。就是說，在基礎測量中，取M_平用σ_平，即除以根號N.
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       在統計測量中，測量儀器的誤差范圍遠小于被測量本身的變化，測得值各個是真值，此時沒有再稱真值的必要，測量值、真值、被測量的客觀值三者一致，稱為量值。統計測量的著眼點是被測的量值的隨機變化的特性。表征隨機變量分散性的量是單值的σ。σ本身還有分散性，標準偏差的標準偏差為
                 σ_σ = σ/√[2(N-1)]
       隨著測量次數N增大，則σ_σ越來越小，就是說σ趨于一個穩定值，這個值是隨機變量的表征量。
       平均值的標準偏差是σ_平=σ/√N，隨N的增大而縮小，并趨于零。它不是隨機變量本身的性質，σ_平不能當隨機變量的表征量。就是不能除以根號N.
       統計測量中用單值的σ，卻又必須取M_平當測得值，才能保證包含概率。此點通常被誤解，必須弄清楚。其辦法是如主帖那樣，算一算各種情況下區間的包含概率，印象就深刻了，就明白了。
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       此后你敘述的兩種情況，第一種是基礎測量，除以根號N，用σ_平是對的；而第二種情況，穩壓電源的電壓輸出值，是隨機變量，所用測量儀器的誤差范圍遠小于電源電壓變化值。電壓值是統計變量，測量是統計測量。
       對統計變量的測量（統計測量），要遵守兩條：
       1）用σ，而不用σ_平，即不除以根號N；
       2）用M_平（量值取平均值）。
       你的作法是對的。
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       我提出的“兩類測量”區分的概念，是客觀存在，甚至是測量的一項法則，是必須遵守的，違者必錯。本欄目的那幾位有不同意見，我認為是不理解這個客觀存在，更不承認“兩類測量”理論對實際工作的指導意義。
       “兩類測量”的概念的提出，對不確定度體系是一個嚴重的打擊。馬鳳鳴先生按不確定度體系的作法，在統計測量中用σ_平，即除以根號N，是錯誤的。名人一經上了不確定度體系的賊船，也要摔跟頭。
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       很高興看到，你的作法與我的理論巧合。更一般些，提高到理論的高度，就可以普遍應用，就可以識破不確定體系的弊病與錯誤。
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結論：
       1 統計測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。
       2 量值必須取平均值。

主帖用了很大篇幅試圖證明結論1、2，實際上并沒有證明，對于結論1，并沒有任何支持性證明，這里面可能有個問題是大家理解的σ平不在一條道上，如果是這樣，無論如何爭論是不會有結果的，建議史先生把自己說的σ平的物理意義說明一下（比如重復測量條件下重復測量了100次，σ平物理意義是什么？），或許大家有可能理解您說的1 統計測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。

對于結論2， 事實上也沒有證明，隨機變量，越靠近總體均值，概率密度越高，這是不需要證明的。史先生還強調一個事實，“統計測量，個個是真值”，這是沒有疑問的，如此就不能說一次重復測量中一個測量結果比另一個測量結果好，也不能說數學期望就比其他測量結果好，因為每個測得值都是真值，都是等價的，沒有理由說一個真值比另一個真值更真，平均值并不優越于任何一個真值

史錦順 發表于 2017-12-19 09:58
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【史文】
       單值的標準偏差σ，隨著測量次數增大而趨于一個常數，它是隨機變量分散性的表征量。平 ...

謝謝解惑~~~~~~~~~

狼煙 發表于 2017-12-17 14:45
1 統計測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。
這是不是就意味著不管測量幾次，其結果的可信度基本是一樣 ...

我理解，重復性測量的n是和自由度相關的。如果重復測量的次數偏少，自由度低，您的標準差可信度是不足的。規程要求大于10次，但實際中，有時候要求更多。