統(tǒng)計測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差不能除以根號N

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                               統(tǒng)計測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差不能除以根號N
                                                    ——回復(fù)吳下阿蒙（1）
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                                                                                                        史錦順
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【吳下阿蒙】
       史老提到的問題，實際中是存在的，但我認(rèn)為這不是不確定度體系本身的問題，而是使用者缺乏足夠的知識造成的（比如我之前那樣）。不確定度的評定真的不是找?guī)妆疽?guī)程看一看，拿一本書套一套就能評定的正確的，只能似是而非。
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【史評】
       你的這種認(rèn)識，是長期學(xué)校教育的負(fù)作用，就是習(xí)慣于保守不變的模式：已有的理論是“從正確到正確”。如果出問題，是沒用好。通常，這可能是對的，但有時卻恰恰相反。要具體分析。我研究誤差理論30年，又分析不確定度體系20年，結(jié)論是：誤差理論有不足，但基本正確；而不確定度體系錯了。
       對不確定度體系，我的評價是：立基于不可知論，哲學(xué)觀錯；定義跳槽、分類穿幫、對象與手段混淆，邏輯錯；估計代替計算、假設(shè)代替分析，方法錯；混淆兩類測量、混淆兩種誤差，測量模式錯；混淆兩種統(tǒng)計，統(tǒng)計方式錯。由此導(dǎo)致計量、測量的各種處理方法全錯。不確定度體系的一切，沒有任何可取之處。不確定度體系是擾亂正常計量秩序、害人誤事的偽科學(xué)。
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       原蘇聯(lián)的教育理論說，只能向?qū)W生講正確的觀點(diǎn)。但這不符合歷史發(fā)展、理論發(fā)展的客觀事實。事物發(fā)展的一條重要規(guī)律是“否定之否定”。
       你進(jìn)入測量計量界不久，還不了解關(guān)于“不確定度體系”的學(xué)術(shù)爭論情況。不確定度體系在實際應(yīng)用中的混亂與錯誤，原因是不確定度體系本身。我建議你抽空瀏覽一下我在本欄目貼出的抨擊不確定度體系的雜文。為閱讀方便，你把郵箱告訴我，我寄給你已編好的八本文集。
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（一）統(tǒng)計測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差不能除以根號N
【吳下阿蒙論述】
       1. 除不除以根號n，取決于我們需要的測量結(jié)果是單值還是均值。

【史評】
       你的這個觀點(diǎn)，有普遍性。許多人都有這種觀點(diǎn)或類似的觀點(diǎn)。
       我這里明確指出：在統(tǒng)計測量中，必須取平均值來表征統(tǒng)計變量的量值大小；而在取平均值的情況下又必須取單值的σ來表征統(tǒng)計變量的分散性。
       這個分散性，又稱重復(fù)性（同一測量條件），復(fù)現(xiàn)性（不同測量條件），波動性或穩(wěn)定度（電源之電壓、溫度源之溫度），頻率穩(wěn)定度（特指頻率的短期隨機(jī)變化，有采樣時間、采樣次數(shù)、計算方法的嚴(yán)格定義，本質(zhì)是單值的σ）。
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       當(dāng)前，包括一些書籍，有一個普遍的說法：量值取單值，則用單值的σ；量值取平均值，則用平均值的σ_平。這個說法是錯誤的。說明如下。

1 高斯正態(tài)分布的理論
1.1 有偏正態(tài)分布
       高斯有偏正態(tài)分布的幾率密度函數(shù)為
                   p(Y) = {1/ [σ√(2π)]} exp [– (Y-μ)² / (2σ²)]                        （1）
       Y是變量，μ是變量Y的期望值。示意圖如圖1.圖中以Y_平代替μ。B是隨機(jī)變量的標(biāo)稱值。β表示系統(tǒng)偏差。R表示總偏差范圍。
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1.2 無偏正態(tài)分布
      令ξ = Y-μ，則
                  Eξ =E(Y-μ)=EY – μ=0
       ξ是期望值為0的純隨機(jī)變量。
       高斯無偏正態(tài)分布的幾率密度函數(shù)為
                   p(ξ) = {1/ [σ√(2π)]} exp [– ξ² / (2σ²)]                            （2）
       隨機(jī)變量ξ的分布是無偏正態(tài)分布。如圖2。

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1.3 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖
       再令σ=1，并令x=ξ，則稱標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為
               p(x) = [1/√(2π)] exp [– x² / 2]                                                 （3）
       正態(tài)分布的“概率函數(shù)”為
               φ(x)= [1/√(2π)] ∫ (-∞→x) exp [– t² / 2]                                                （4）
       標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布圖與圖2相同，只是把σ記為1即可。
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2 取平均值時，偏差區(qū)間的包含概率的計算
       《數(shù)學(xué)手冊》（1980版）給出的是公式（3）與公式（4）的數(shù)值表。包含概率的計算方法如下。
        求-kσ到+kσ的包含概率
        從-∞到k的概率是φ(k)，從k到+∞的包含概率是1-φ(k)。由于分布密度函數(shù)的對稱性，從-∞到-k的包含概率與k到+∞的概率相等，為1-φ(k)。因此有：
                 p(-k→+k)=φ(k)-[1-φ(k)] =2φ(k)-1                                         （5）
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2.1 區(qū)間[-σ，σ]
        查表φ(1)=0.841345
        包含概率為
                  p_σ = 2φ(1)-1=0.841345×2-1=1.68269-1
                       = 0.683
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2.2 區(qū)間[-2σ，2σ]
        查表φ(2)=0.977250
        包含概率為
                  p_2σ= 2φ(2)-1=0.977250×2-1=1.9545-1
                      = 0.9545
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2.3 區(qū)間[-3σ，3σ]
        查表φ(3)=0.998650
        包含概率為
                  p_3σ= 2φ(3)-1=0.998650×2-1=1.9973-1
                      = 0.9973
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3 不取平均值而取其他單值時，區(qū)間包含概率的計算
       公式推導(dǎo) 設(shè)單值為Y_平+ nσ , 區(qū)間半寬為kσ, 則區(qū)間為[(n-k) σ，(n+k)σ],有
                     K₁=n-k
                     K₂=n+k
       當(dāng)K為負(fù)值時，由于概率密度函數(shù)的對稱性，從-∞到K(負(fù)值)的包含概率與-K到+∞的概率相等，都為1-φ(-K)。當(dāng)K為正值時，從-∞到K(正值)的包含概率就是φ(K)。
       從-∞到K₂的包含概率減去從-∞到K₁的包含概率，就是所求的區(qū)間[(n-k) σ，(n+k)σ]的包含概率。
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3.1 計算公式
3.1.1  (n-k)＜0，(n+k)＞0
                     P =φ(n+k) – [1-φ(k-n)]                                                （6）
3.1.2  (n-k) ≥0
                     P=φ(n+k) -φ(n-k)                                                        （7）
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3.2 計算舉例
例1 取Y=Y_平+2σ，求半寬為3σ的區(qū)間的包含概率
      k=3，n=2 按公式（6）計算
                  P =φ(n+k) – [1-φ(k-n)]  
                     =φ(5)-[1-φ(1)]                        
                     ≈φ(1)=0.841345
                     ≈0.84
例2 取Y=Y_平+2σ，求半寬為2σ的區(qū)間的包含概率
      k=2，n=2 按公式（7）計算
                  P=φ(n+k) -φ(n-k)
                    =φ(4)- φ(0)
                    ≈1-0.50
                    ≈0.5
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例3 取Y=Y_平+3σ，求半寬為3σ的區(qū)間的包含概率
       k=3，n=3 按公式（6）或（7）計算
                  P=φ(n+k) – [1-φ(k-n)]
                    =φ(6) – [1-φ(0)]
                    =φ(0)
                    = 0.5
例4 取Y=Y_平+3σ，求半寬為2σ的區(qū)間的包含概率
       k=2，n=3 按公式（7）計算
                  P=φ(n+k) -φ(n-k)
                    =φ(5) –φ(1)
                    =1-0.841345
                    = 0.16
       說明：以上φ(6)、φ(5) 、φ(4)都近似為1.
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       請注意你，如果不取平均值，而是取其他單值，那么區(qū)間的包含概率就可能很小。上例中，有50%，甚至有16%，多么嚴(yán)重！
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       總結(jié)
       統(tǒng)計變量的分散性，是統(tǒng)計變量本身的特性，必須如實地描述、表達(dá)，不能人為地縮小。單值的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ，隨著測量次數(shù)增大而趨于一個常數(shù)，它是隨機(jī)變量分散性的表征量。平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ_平，隨著測量次數(shù)增大而縮小，并趨于零。σ_平不是隨機(jī)變量的表征量。因此，表征隨機(jī)變量的分散性，必須用σ。
       以上觀點(diǎn)，我多次表達(dá)過。這次進(jìn)一步證明：用σ表達(dá)分散性，而取值必須取變量的平均值，才有通常人們熟知的“以2σ為半寬的區(qū)間的包含概率是95%”、“以3σ為半寬的區(qū)間的包含概率是99%”。如果不取平均值而取其他單值，則包含區(qū)間的概率就會大大降低，如例1到例4。
      結(jié)論：
       1 統(tǒng)計測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。
       2 量值必須取平均值。
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補(bǔ)充內(nèi)容 (2017-12-17 16:13):
公式（4）的積分號內(nèi)最后加dt

用天平檢定標(biāo)準(zhǔn)法碼，天平的MPEV遠(yuǎn)小于法碼的MPEV，是統(tǒng)計測量，檢定中重復(fù)測量時數(shù)據(jù)分散性主要來源于天平的穩(wěn)定性，σ（天平）遠(yuǎn)大于σ（法碼），又成了基礎(chǔ)測量，同一次測量，到底是基礎(chǔ)測量還是統(tǒng)計測量？亂！！！

平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ平，隨著測量次數(shù)增大而縮小，并趨于零。σ平不是隨機(jī)變量的表征量。因此，表征隨機(jī)變量的分散性，必須用σ。

這是一個貌似合理的悖論

因為不存在σ平趨于0重復(fù)測量，σ平=σ/ √n，當(dāng)n大到一定程度再增加n沒有意義，沒有人會傻到去做沒有意義的無用功，這是實用上

理論上不會存在n趨近于無窮大的N個重復(fù)測量的平均值，n趨近于無窮大時，N只能等于1

這種推論無論是實用上還是理論上都不成立，以此為前提得出的結(jié)論必然是錯誤的

單值σ表征單次測量的分散性，平均值σ表征平均值的分散性，只有重復(fù)性測量平均值不存在的測量才不能用平均值σ表征，這在經(jīng)典誤差理論中是很清晰的

1 統(tǒng)計測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。
這是不是就意味著不管測量幾次，其結(jié)果的可信度基本是一樣的，沒有量級的差距？這可能嗎？那為何要增加測量次數(shù)？
2 量值必須取平均值。
在測量次數(shù)足夠多時，平均值和峰值是一樣的。測量次數(shù)減少時，平均值應(yīng)該先于峰值變化，因為在均值等于峰值時，隨便去掉一個測量結(jié)果（只要不是峰值）均值就變化，所以不能用均值。 -

基礎(chǔ)測量？統(tǒng)計測量？計量是統(tǒng)計測量還是基礎(chǔ)測量？

用σ（1s）=8E-14的氫鐘和σ（1s）=3E-15的比對器檢定σ（1s）=1.2E-11的小銫鐘的秒穩(wěn)，按史先生的定義，是典型統(tǒng)計測量，真的是：結(jié)論：1 統(tǒng)計測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。2 量值必須取平均值。嗎？事實是：全世界任何實驗室都不會對這種測量的取樣值求平均值

用σ（1s）=8E-14的氫鐘檢定和σ（1s）=3E-15的比對器的1s比對不確定度，手段穩(wěn)定度遠(yuǎn)差于對象穩(wěn)定度，又成了基礎(chǔ)測量

計量到底是“統(tǒng)計測量”呢還是“基礎(chǔ)測量"呢？

所以根本不存在什么所謂“基礎(chǔ)測量”、“統(tǒng)計測量”之劃分，計量也根本不是什么“統(tǒng)計測量”，計量的任何專業(yè)都存在既是“基礎(chǔ)測量”又是“統(tǒng)計測量”的項目

csln先生就是本論壇中的高人之一，請史老再好好考慮一下“兩類測量”的分類問題，計量檢定/校準(zhǔn)是否是您所說的“統(tǒng)計測量”。csln的舉例和質(zhì)疑非常好，砝碼、量塊、標(biāo)準(zhǔn)電阻等等量具都是如此，推演到其它儀器也是如此。

csln先生就是本論壇中的高人之一，請史老再好好考慮一下“兩類測量”的分類問題，計量檢定/校準(zhǔn)是否是您所說的“統(tǒng)計測量”。csln的舉例和質(zhì)疑非常好，砝碼、量塊、標(biāo)準(zhǔn)電阻等等量具都是如此，推演到其它儀器也是如此。

單值的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ，隨著測量次數(shù)增大而趨于一個常數(shù)，它是隨機(jī)變量分散性的表征量。平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ平，隨著測量次數(shù)增大而縮小，并趨于零。
     史老對這句話進(jìn)行了論證，但這句話難道不正好反映了是否除以根號n的問題嘛？
對一個物理量測量10次的平均值A(chǔ)，對一個物理量測量20次的平均值B。那么A和B應(yīng)該哪一個更接近此物理量的真值呢？如果選用單次標(biāo)準(zhǔn)偏差，測的次數(shù)越多，偏差越大，這不是很不合理嘛？

然后，使用測量結(jié)果的單值還是均值，我理解的話應(yīng)該從物理量來看：
1.        量塊的長度，這種真值為單值且穩(wěn)定性很好的物理量，應(yīng)該使用測量結(jié)果的平均值，這個值更接近于量塊的真值，而不確定度評定也是使用平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ平除以根號n。
2.        電源的輸出電壓，由于每次的輸出值都不同，其真值是一組量值，這時應(yīng)該取測量結(jié)果的單值的不確定度，即不確定度評定使用單值的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ平不除以根號n。如果使用均值的不確定度，那么未來需要確保今后在同類測量中所給的測量結(jié)果必須是n次測量的平均值，但這并不實際。那么此時測量結(jié)果選用單值還是均值？我們評定的是單值的不確定度，理論上測量中的每一個單值做為測量結(jié)果都是可以的，但實際我們還是會選平均值做為測量結(jié)果（至少我接觸的是這樣的）。

這是史先生稱為旗手的馬先生評的一個不確定度，從測量值看，“手段”1E-8,“對象”1.8E-7，是典型“統(tǒng)計測量”，是馬先生錯了嗎？

應(yīng)該沒有這個可能性

除以根號N，是由統(tǒng)計學(xué)的計算公式得出的，不是隨便定的，建議好好研究統(tǒng)計學(xué)，以數(shù)學(xué)公式為依據(jù)。

在不確定度早期，或者說在1059-1999之前，國家計量院的一些誤差理論專家是對不確定度有些看法和反對，都有哪些人史老在論壇里不止一次提到他們，其中馬先生出現(xiàn)的坑怕最多，還有錢先生等等。其實現(xiàn)在這些人可能都成了不確定度的粉絲，不信就請史老親自問問他們。GUM可能有不妥，甚至有錯，但絕對沒有錯的如您說的那么不堪，錯成這樣馬先生還在用，您該找他理論一下。
GUM是對誤差理論的發(fā)展，您也在努力發(fā)展改造，只是您提出的基礎(chǔ)理論是錯誤的，導(dǎo)致改造的結(jié)果自然也就是錯誤的。糾正“統(tǒng)計測量”和“交叉系數(shù)”的錯誤觀點(diǎn)，也就自然得到標(biāo)準(zhǔn)偏差在什么情況下要除以根號n，您的“誤差合成方法”也就知道該如何合成。
我說，一個人說，您不重視，這么多人說，您該好好考慮一下吧。

csln 發(fā)表于 2017-12-18 15:17
這是史先生稱為旗手的馬先生評的一個不確定度，從測量值看，“手段”1E-8,“對象”1.8E-7，是典型“統(tǒng)計 ...

馬先生應(yīng)該沒錯。馬先生應(yīng)該是史先生認(rèn)定的高人，史先生應(yīng)該將自己批駁不確定度七大公式的觀點(diǎn)與馬先生交流一下，特別是“統(tǒng)計測量”和“交叉系數(shù)”的觀點(diǎn)，將結(jié)果及時與我們分享。

狼煙 發(fā)表于 2017-12-17 14:45
1 統(tǒng)計測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。
這是不是就意味著不管測量幾次，其結(jié)果的可信度基本是一樣 ...

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【史文】
       1 統(tǒng)計測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。
【狼煙先生質(zhì)疑】
       這是不是就意味著不管測量幾次，其結(jié)果的可信度基本是一樣的，沒有量級的差距？這可能嗎？那為何要增加測量次數(shù)？
【史辯】
       σ本身的標(biāo)準(zhǔn)偏差為
                 σ_σ = σ/√[2(N-1)]
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                                                     表 1
                 測量次數(shù) N            4            6              10               20               30                100      
               σ的相對分散性       41%        32%         24%           16%            13%               7%                                       
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       測量次數(shù)少時，σ的相對分散性（σ_σ/σ）大。N至少要取10。應(yīng)取20或30。時頻的短穩(wěn)測量規(guī)定取100.
       表1 說明，重復(fù)測量的次數(shù)N必須足夠大。
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       本題講的是“統(tǒng)計測量”，被測量是統(tǒng)計變量。
       當(dāng)被測量是常量時，測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ是測量儀器的隨機(jī)誤差。這時，分散性是手段的問題，手段可以改進(jìn)。測得值的隨機(jī)誤差是σ_平。就是說，對基礎(chǔ)測量（常量測量）來說可以除以根號N.
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【史文】
       2 量值必須取平均值。
【狼煙先生質(zhì)疑】
       在測量次數(shù)足夠多時，平均值和峰值是一樣的。測量次數(shù)減少時，平均值應(yīng)該先于峰值變化，因為在均值等于峰值時，隨便去掉一個測量結(jié)果（只要不是峰值）均值就變化，所以不能用均值。 -
【史辯】
       不知你說的“峰值”是什么？通常，峰值指最大可能值，平均值怎會等于峰值？弄不懂你表達(dá)的是什么情況，是什么意思。
       “不能用均值”是錯話。不論是基礎(chǔ)測量（被測量是常量），還是統(tǒng)計測量（被測量隨機(jī)變量），測量N次后，都必須用測量值的平均值M_平當(dāng)被測量的量值，這就是測得值。在統(tǒng)計測量中，隨機(jī)變量L的測量結(jié)果是：
                  L = M_平±3σ                                                                （1）
       我在文中已說明，取M_平當(dāng)測得值，以3σ為半寬的區(qū)間，包含L_i（L的全部可能值，這里不是常量測量的包含一個真值的問題）的概率是99.7%；如果取其他值，則包含概率可能很小。

史錦順 發(fā)表于 2017-12-18 17:42
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【史文】
       1 統(tǒng)計測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。

平均值等于峰值，能是什么峰值，概率峰值唄。

史錦順 發(fā)表于 2017-12-18 17:42
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【史文】
       1 統(tǒng)計測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。

統(tǒng)計測量這個概念是我唐突了，因為好久不在行業(yè)內(nèi)了，對概念還保留在過去的印象中。

我的理解是，統(tǒng)計測量是為了更準(zhǔn)確的測量被測量而增加測量次數(shù)，然后得出被測量的結(jié)論。如果您的統(tǒng)計測量的概念不一致，是我唐突，需要學(xué)習(xí)。

對手段的不確定的認(rèn)定，確實是個大問題。這個是要盡量消滅被測量的影響。為了消滅被測量的影響，就要得出假定真值的盡量小的不確定度，如果不除以根號N，多次測量失去了意義。比較單次結(jié)果的最大標(biāo)準(zhǔn)偏差和多次測量除根號N的差距，可得手段的進(jìn)步空間。否則這2個偏差會很小吧，那么手段問題就都沒有了。

不在行業(yè)里，用詞不一定恰當(dāng)，請指教。

如果被測量穩(wěn)定，用正太分布的特征值，就應(yīng)該可以得到方法的進(jìn)步空間。
如果被測量不穩(wěn)定，相同條件下的一組測量數(shù)據(jù)，其數(shù)量再多也無法區(qū)分是被測量的不確定度還是方法手段的不確定度。

狼煙 發(fā)表于 2017-12-18 19:09
統(tǒng)計測量這個概念是我唐突了，因為好久不在行業(yè)內(nèi)了，對概念還保留在過去的印象中。

我的理解是，統(tǒng)計測 ...

史先生先不要考慮這個回復(fù)，我越想越混亂了，先留在那兒作為我不謹(jǐn)慎的證據(jù)吧。也方便我思路的延續(xù)。如果您愿意賜教更好

狼煙 發(fā)表于 2017-12-18 18:53
平均值等于峰值，能是什么峰值，概率峰值唄。

我好像把所求值當(dāng)成已知數(shù)用了

吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-12-18 12:03
單值的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ，隨著測量次數(shù)增大而趨于一個常數(shù)，它是隨機(jī)變量分散性的表征量。平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ平， ...

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【史文】
       單值的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ，隨著測量次數(shù)增大而趨于一個常數(shù)，它是隨機(jī)變量分散性的表征量。平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ_平，隨著測量次數(shù)增大而縮小，并趨于零。
【吳下阿蒙論述】
       史老對這句話進(jìn)行了論證，但這句話難道不正好反映了是否除以根號n的問題嘛？
【史評】
       不。這句話只是σ與σ_平對N的不同的關(guān)系，是它們本身的性質(zhì)。計量界沒有不同的理解。現(xiàn)在討論的是σ與σ_平的用法問題，就是：什么場合用σ，什么時候用σ_平。
       史錦順的理論是：在基礎(chǔ)測量（被測量是常量）中，用σ_平；在統(tǒng)計測量（被測量是隨機(jī)變量）中，用σ。
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【吳下阿蒙論述】
       對一個物理量測量10次的平均值A(chǔ)，對一個物理量測量20次的平均值B。那么A和B應(yīng)該哪一個更接近此物理量的真值呢？如果選用單次標(biāo)準(zhǔn)偏差，測的次數(shù)越多，偏差越大，這不是很不合理嘛？
【史評】
       測得值接近真值程度的概念，是基礎(chǔ)測量的概念。在基礎(chǔ)測量中，平均值B比平均值A(chǔ)更接近真值，計量界沒有不同認(rèn)識。單次標(biāo)準(zhǔn)偏差的標(biāo)準(zhǔn)偏差為
                 σ_σ = σ/√[2(N-1)]
隨著測量次數(shù)N增大，則σ_σ越來越小，就是說σ趨于一個穩(wěn)定值，不是越來越大。基礎(chǔ)測量的σ是測量儀器的隨機(jī)誤差，這是手段的問題，可以改進(jìn)，要用σ_平來表征M_平對真值的接近程度。就是說，在基礎(chǔ)測量中，取M_平用σ_平，即除以根號N.
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       在統(tǒng)計測量中，測量儀器的誤差范圍遠(yuǎn)小于被測量本身的變化，測得值各個是真值，此時沒有再稱真值的必要，測量值、真值、被測量的客觀值三者一致，稱為量值。統(tǒng)計測量的著眼點(diǎn)是被測的量值的隨機(jī)變化的特性。表征隨機(jī)變量分散性的量是單值的σ。σ本身還有分散性，標(biāo)準(zhǔn)偏差的標(biāo)準(zhǔn)偏差為
                 σ_σ = σ/√[2(N-1)]
       隨著測量次數(shù)N增大，則σ_σ越來越小，就是說σ趨于一個穩(wěn)定值，這個值是隨機(jī)變量的表征量。
       平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差是σ_平=σ/√N(yùn)，隨N的增大而縮小，并趨于零。它不是隨機(jī)變量本身的性質(zhì)，σ_平不能當(dāng)隨機(jī)變量的表征量。就是不能除以根號N.
       統(tǒng)計測量中用單值的σ，卻又必須取M_平當(dāng)測得值，才能保證包含概率。此點(diǎn)通常被誤解，必須弄清楚。其辦法是如主帖那樣，算一算各種情況下區(qū)間的包含概率，印象就深刻了，就明白了。
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       此后你敘述的兩種情況，第一種是基礎(chǔ)測量，除以根號N，用σ_平是對的；而第二種情況，穩(wěn)壓電源的電壓輸出值，是隨機(jī)變量，所用測量儀器的誤差范圍遠(yuǎn)小于電源電壓變化值。電壓值是統(tǒng)計變量，測量是統(tǒng)計測量。
       對統(tǒng)計變量的測量（統(tǒng)計測量），要遵守兩條：
       1）用σ，而不用σ_平，即不除以根號N；
       2）用M_平（量值取平均值）。
       你的作法是對的。
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       我提出的“兩類測量”區(qū)分的概念，是客觀存在，甚至是測量的一項法則，是必須遵守的，違者必錯。本欄目的那幾位有不同意見，我認(rèn)為是不理解這個客觀存在，更不承認(rèn)“兩類測量”理論對實際工作的指導(dǎo)意義。
       “兩類測量”的概念的提出，對不確定度體系是一個嚴(yán)重的打擊。馬鳳鳴先生按不確定度體系的作法，在統(tǒng)計測量中用σ_平，即除以根號N，是錯誤的。名人一經(jīng)上了不確定度體系的賊船，也要摔跟頭。
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       很高興看到，你的作法與我的理論巧合。更一般些，提高到理論的高度，就可以普遍應(yīng)用，就可以識破不確定體系的弊病與錯誤。
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結(jié)論：
       1 統(tǒng)計測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。
       2 量值必須取平均值。

主帖用了很大篇幅試圖證明結(jié)論1、2，實際上并沒有證明，對于結(jié)論1，并沒有任何支持性證明，這里面可能有個問題是大家理解的σ平不在一條道上，如果是這樣，無論如何爭論是不會有結(jié)果的，建議史先生把自己說的σ平的物理意義說明一下（比如重復(fù)測量條件下重復(fù)測量了100次，σ平物理意義是什么？），或許大家有可能理解您說的1 統(tǒng)計測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。

對于結(jié)論2， 事實上也沒有證明，隨機(jī)變量，越靠近總體均值，概率密度越高，這是不需要證明的。史先生還強(qiáng)調(diào)一個事實，“統(tǒng)計測量，個個是真值”，這是沒有疑問的，如此就不能說一次重復(fù)測量中一個測量結(jié)果比另一個測量結(jié)果好，也不能說數(shù)學(xué)期望就比其他測量結(jié)果好，因為每個測得值都是真值，都是等價的，沒有理由說一個真值比另一個真值更真，平均值并不優(yōu)越于任何一個真值

史錦順 發(fā)表于 2017-12-19 09:58
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【史文】
       單值的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ，隨著測量次數(shù)增大而趨于一個常數(shù)，它是隨機(jī)變量分散性的表征量。平 ...

謝謝解惑~~~~~~~~~

狼煙 發(fā)表于 2017-12-17 14:45
1 統(tǒng)計測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。
這是不是就意味著不管測量幾次，其結(jié)果的可信度基本是一樣 ...

我理解，重復(fù)性測量的n是和自由度相關(guān)的。如果重復(fù)測量的次數(shù)偏少，自由度低，您的標(biāo)準(zhǔn)差可信度是不足的。規(guī)程要求大于10次，但實際中，有時候要求更多。