《史氏測量計量學說》征求意見稿（4）

                         《史氏測量計量學說》征求意見稿（4）

                                                                                                                              史錦順        

第3章 測量方程與誤差分析

       測量計量學是一門基礎學科，應用十分廣泛。許多項目，成績卓著，如原子頻標，已有數人獲得諾貝爾獎。然而，作為測量學基礎的、又是最常用的測量方程，卻需要研究。現行分析方法的主要問題是：只著眼物理公式，忽視計值公式，未反映出測量與計量的特點；未區分已知值與待測值；變量與常量混淆；進行微分，物理意義不清，邏輯不順；分析結果可能差值錯位，也可能差正負號。
       本書依據測量計量的特點，提出區分量值的方法。基于這個方法，提出測量方程的新概念。
       以測量方程為基礎，形成兩套分析誤差的規范化程序：
      （1）微分法：根據物理公式，寫出計值公式，建立測量方程；在測得值函數中，分辨變量、常量；對變量求微分，求得偏差、相對差。
      （2）差分法：依據物理公式，寫出計值公式，建立測量方程；寫出測得值函數的相對值形式，分辨變量、常量；將變量展成常量加小量，近似計算，求得偏差、相對差。

1 區分量值的方法         
       測量是人們定量認識事物的手段。測量是將被測量與標準量相比較，以確定被測量與選定單位的比值。這個比值與所選單位結合起來，構成測得值。
       物理學研究物理量的規律，物理公式表達物理量間的關系。物理公式超脫測量誤差。
       測量學的任務在于研究測得值。測量計量學的基礎是基礎測量（常量測量）。
       對基礎測量，要研究如何取得測得值（測量方法），如何使測得值接近真值（精度設計），給出測得值與真值的偏差程度（誤差分析）。要研究測得值的規律，就必須將測得值同真值區分開。要使測量中所用量的實際值同標稱值相區分；使認定值同實際值相區分。
       區分量值是筆者提出的關于測量計量學新理論的一項基本方法。“區分量值”，就是是區分測得值函數中的各量，并加標記。
       體現測量原理的物理公式，是測量的基本依據。但物理公式中的量都是真值，我們承認它、依賴它，但分析時不能直接應用，而要設法代換。測量中用的測得量、標準量、已知量、標稱量，要加腳標，以示區別。量加了腳標的公式，稱計值公式，在測量中實際運用。不加腳標的公式是原物理公式，不加腳標的量值是真值（實際值）。
       物理公式代表的是物理規律，計值公式代表的是實際操作，測量中，二者共同作用。測量方程是物理公式與計值公式的聯立方程。測量方程必然反映出實踐與理論的差別、認識與客觀的差別，這樣就可給出測得值與真值的差，即給出誤差。
       測量方程實現了用測得值、誤差值對真值的代換。
       從測量方程出發進行誤差分析，邏輯順暢。于是，對測量計量學十分重要的誤差分析，有了明晰的物理意義，有了嚴格的數理邏輯。
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                            《史氏測量計量學說》征求意見稿（4.1）

                                                                                                                                   史錦順        

第3章 測量方程與誤差分析（續1）

2 測量方程的一般形式
         測量方程就是把物理公式與計值公式聯立起來，組成一個整體。
       建立測量方程的核心思想是區分量值的概念。物理公式中的量都是客觀的量，準確的量，物理公式本身是超脫測量誤差的，從物理公式本身難尋誤差的蹤跡。測量中用以計算的根據是物理公式，但所用的量，與物理公式中的量是有區別的，把這個區別標示出來，便是計值公式。常用的區分標志有兩種，一種表示測量得出的值，可用m，r標示；另一種是認定的標準值或標稱值，用o或n來表示。這樣，量值分為三個檔次。三個檔次的量可以組成兩對。第一對是物理公式的量和測量得到的量。物理公式的量是實際量，測量得到的量是認識量，實際量與認識量相比，實際量是基本的，這第一對量，實際量是常量，認識量是變量。第二對是物理公式中的量與計量中認定的標準值或標稱值。第二對量中，標準值或標稱值是常量，而物理公式中的量是變量。因為物理公式中的量是可變的，而標稱值是不變的。
       把物理公式和計值公式聯立起來，就得出測量方程。
       被測量Y由諸Xi決定，Y是Xi的函數，諸Xi是構成Y的來源量。
       在測量方程中，各量成對。被測量的測得值Ym與被測量Y是一對。被測量Y是客觀存在，是常量，而被測量的測得值Ym是變量。決定Y的各來源量Xi，各有一個Xm或Xo與其對應。如Xi與Xim對應，則Xi是常量，Xim是變量；若Xj與Xjo對應，則Xj是變量，而Xjo是常量。
       設物理公式為：
              Y = f(X1,X2,……XN)                                                          (3.1)
       計值公式為：
               Ym= f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o)                                        （3.2）
式中斜杠“/”表示“或”。m表示測得值,o表示標稱值。m/o表示或者是測得值m,或者是標稱值o。例如X1m/o表示是X1m或者是X1o.
       聯立（3.1）（3.2），二者相除，得：
              Ym/Y = f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) / f(X1,X2,……XN)                (3.3)
       聯立（3.1）（3.2），二者相減，得：
             Ym -Y = f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) – f(X1,X2,……XN)               (3.4)
       (3.3)、(3.4)都是測量方程，依應用方便而選用。
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                        《史氏測量計量學說》征求意見稿（4.2）

                                                                                                                                   史錦順        

第3章 測量方程與誤差分析（續2）

3 誤差分析的微分法
3.1 微分法分析誤差的程序
       1 明確測量儀器（或測量方案，下同）的物理機制，寫出表達物理機制的物理公式。
       2 對物理公式的量，按實際工作情況用腳標標記，得出計值公式。
       3 聯立物理公式與計值公式，構成測量方程。
       4 根據測量方程寫出被測量的測得值函數公式。
       5 分清測得值函數公式中的變量和與其對應的常量。
       6 在常數點，對變量進行全微分。
       7 將微分符號變成小量符號，得誤差元公式。
       8 依具體情況，方便時可表為誤差元的相對值形式。
       9 按“絕對和法”求得測得值的誤差范圍（見下章）。
3.2 誤差分析實例 微分法分析數字式頻率計誤差元
       以高穩定的頻率源為基礎的精確的頻率測量，在現代高精度測量中占重要地位。
       計數式頻率計是最基本最常用的測頻儀器。現行教科書上給出的計數式頻率計的公式為：
                f = N/T                                                                    （3.5）
       式中N為計數值，T為閘門時間。由于沒有區分測得值和實際值，用以分析，常常出錯。此式明顯標示，頻率與閘門時間成反比。由此，若內標頻率偏低，則閘門時間長，則頻率值小；其實，恰恰相反：內標頻率偏低，必有閘門時間值偏大，必定頻率測得值偏大。
       式(3.5)是物理公式，不便直接用于分析測量問題；以往硬這樣做，難免出錯。有些作者看到了這一點，用取絕對值的辦法來避免正負號的矛盾，這不能算錯，但繞開矛盾，實際上也掩蓋了矛盾。
       要做幾種區分：區分頻率的測得值與實際值；區分閘門時間的標稱值與實際值；區分N的顯示值與實際值。
       計數式頻率計的計值公式為：
                fm = Nr/Tn                                                               （3.6）
       式中fm是測得值（被測頻率的實際值是f），Tn是閘門時間的標稱值(閘門實際時間是T)，Nr是計數器的指示值（N是理論值，等于1/fT），Tn 是閘門時間的標稱值，通常為1秒，或1秒的10)^(±n）倍。
       分析測得值，就是分析測得值同實際值（真值）的差別，就是將測得值同實際值相比較。比較的方法之一是二者相除。實際值做除數，即做標準。
       計值公式(3.6)除以物理公式(3.5)，得測量方程：
             fm / f  = NrT/(NTn)                                                       （3.7）
       由測量方程，知測得值函數：
             fm = [NrT/(NTn)] f                                                        （3.8）
       注意，我們研究的是測量問題（可設想是在用幾臺儀器同時測量同一物理量），被測頻率的客觀值f是常量，測得值fm是變量。閘門時間標稱值Tn是常量，閘門時間實際值T是變量。理論值N是常量；讀數Nr是變量。
       （3.7）式是測量方程，（3.8）式是測得值函數。微分法分析誤差，就是求測得值函數在常量點上的全微分。
       A 求微分
                dfm = [Nrf /(NTn)]dT+[Tf /(NTn)]dNr                            （3.9）
       B 誤差元：變量相對于常量的偏差量
                Δfm = [Nrf /(NTn)] ΔT+[Tf /(NTn)] ΔNr                         （3.10）
       C 相對差
      （3.10）式除以（3.8）式
                δfm = ΔT / T+ΔNr / Nr                                                 （3.11）
       因閘門時間由內標（頻率為fb）分頻而來，有
                 T = K(1/fb)
                ΔT/T = - Δfb/fb                                                             (3.12)
       將（3.12）式代入（3.11）式，得
                δfm = - Δfb/fb +ΔNr / Nr  
                 δfm = - δfb + δNr                                                           (3.13)
      （3.13）式表明，測得值與頻率計內標頻率成反比，即與時基成正比，是正確的，這糾正了只按物理公式求微分的不當認識。
       δfb是頻率計內晶振引入的誤差項。其中包括：老化率、溫度效應、晶振穩定度等。δNr包括分辨力，計數器不穩等引入的誤差項。本節講誤差分析的基本方法，只講主干部分，下續分析略。關于由誤差元合成為誤差范圍，下章講。
      （注： 本書符號說明：單獨的δ，表示相對誤差范圍，恒正；δ后邊有某量的符號，表示該量的誤差元的相對值，可正可負。）
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　　物理公式是符合科學的理論計算公式，因此物理公式中的量都是符合該量定義的量，“物理公式中的量都是客觀的量，準確的量，物理公式本身是超脫測量誤差的，從物理公式本身難尋誤差的蹤跡”，“物理公式中的量都是真值”，這是非常正確的，符合量的定義的量就是該量的真值。
　　但，這個“真值”是什么需要測量才能知道，實際測量活動中，是測量就必有誤差，通過測量無法獲得真正的真值，只能獲得相對真的真值。如果將相對真值代入物理公式計算，計算得到被測量也必是相對真值，而不是真正的、符合定義的真值。所以在研究和討論“真值”、“測得值”、“誤差”、“誤差范圍”、“不確定度”時，我們千萬不能將相對“真”的真值與符合真值定義的真正的真值相互混淆，不能用等號將它們相連，不能相互偷換概念。

                        《史氏測量計量學說》征求意見稿（4.3）

                                                                                                                          史錦順  

第3章 測量方程與誤差分析（續3）

4 誤差分析的小量法
       本書把小量計算法，作為一種獨立的處理誤差問題的方法。指出：小量法有比微分方法好的地方：作法與結果的物理意義明晰，逼著人去區分測得值，區分變量和常量。
4.1 小量計算公式
       微積分是物理學家牛頓發明的。這個方法幫助牛頓建立了物理學史上的偉業。微分法在工程分析中的應用，總的來說，也是成功的。
       在處理誤差問題的特定條件下，還可以另辟途徑，用小量法。小量法不僅簡便，還可以促進建立測量方程，促進分辨變量和常量，避免出現由于對微分法理解不當而產生的錯誤。本書的一項貢獻，是用小量法更正了教科書用微分法對多卜勒測速誤差的分析（見第12章）。
       在正常情況下，與量值本身相比，誤差量總是小量。我們將通常的量值加誤差的絕對形式寫成相對形式：
                    (A+ΔA)/A = 1+ΔA/A = 1+Δ
       式中將相對誤差δA記為Δ，必有Δ＜＜1。例如，Δ＜0.01。考察到Δ量級，Δ的2次方以及高次方項可略（同理，兩個或兩個以上不同Δ相乘項可略）。
                                  公式小集                                 
                        (1+Δ)^2 = 1+2Δ
                        (1–Δ)^2 = 1–2Δ
                        (1+Δ)^3 = 1+3Δ
                        (1–Δ)^3 = 1–3Δ
                        (1+Δ1) (1+Δ2) = 1+Δ1+Δ2
                        1/(1+Δ) = 1–Δ
                        1/(1–Δ) = 1+Δ
                        √(1+Δ)=1+Δ/2
                        √(1-Δ)=1–Δ/2
       這些易懂易記的小量公式，最常用。倘遇到其他運算方式或函數形式，可查數學手冊，泰勒展開式略去2次方以上項即可。
4.2 小量法分析誤差的程序
       首先寫出物理公式，再寫出計值公式，將計值公式除以物理公式，便得到測量方程。由測量方程寫出測得值函數的相對值表達形式。分辨變量與常量，將變量展成常量加小量；近似計算（忽略二階以上小量），得相對誤差量。
4.3 實例 小量法分析數字式頻率計誤差元
1）測量方程的相對值形式
       計值公式(3.6)除以物理公式(3.5)，得頻率計的相對值形式的得測量方程：
               fm / f =NrT/(NTn)                                                     （3.7）
2）微變關系  
       變量   測得值fm；讀數Nr ；實際閘門時間T。
       A 對測量方程（3.7），變量展開成常量加小量
             ( f+Δfm) / f = (N+ΔNr) (Tn+ΔT)/(NTn)                       （3.14）
       B 相對差
              1+ δfm = 1+δNr +δT
              δfm = δNr +δT                                                         （3.15）
       因閘門時間由內標頻率（頻率為fb）分頻而來，有
              T =K(1/fb)
              Tn =K(1/fbo)         
             T / Tn = fbo/fb
              (Tn+ΔT)/ Tn  = fbo /(fbo+Δfb)
             ΔT/Tn = –Δfb/fbo                                    
             δT = – δfb                                                                    (3.16)
      將（3.16）式代入（3.15）式，得
              δfm = δNr – δfb                                                           （3.17）            
      小量分析法結果（3.17）與微分法分析結果（3.13）相同。
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