《史氏測(cè)量計(jì)量學(xué)說》征求意見稿（4）

                         《史氏測(cè)量計(jì)量學(xué)說》征求意見稿（4）

                                                                                                                              史錦順        

第3章 測(cè)量方程與誤差分析

       測(cè)量計(jì)量學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，應(yīng)用十分廣泛。許多項(xiàng)目，成績(jī)卓著，如原子頻標(biāo)，已有數(shù)人獲得諾貝爾獎(jiǎng)。然而，作為測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)的、又是最常用的測(cè)量方程，卻需要研究?，F(xiàn)行分析方法的主要問題是：只著眼物理公式，忽視計(jì)值公式，未反映出測(cè)量與計(jì)量的特點(diǎn)；未區(qū)分已知值與待測(cè)值；變量與常量混淆；進(jìn)行微分，物理意義不清，邏輯不順；分析結(jié)果可能差值錯(cuò)位，也可能差正負(fù)號(hào)。
       本書依據(jù)測(cè)量計(jì)量的特點(diǎn)，提出區(qū)分量值的方法。基于這個(gè)方法，提出測(cè)量方程的新概念。
       以測(cè)量方程為基礎(chǔ)，形成兩套分析誤差的規(guī)范化程序：
      （1）微分法：根據(jù)物理公式，寫出計(jì)值公式，建立測(cè)量方程；在測(cè)得值函數(shù)中，分辨變量、常量；對(duì)變量求微分，求得偏差、相對(duì)差。
      （2）差分法：依據(jù)物理公式，寫出計(jì)值公式，建立測(cè)量方程；寫出測(cè)得值函數(shù)的相對(duì)值形式，分辨變量、常量；將變量展成常量加小量，近似計(jì)算，求得偏差、相對(duì)差。

1 區(qū)分量值的方法         
       測(cè)量是人們定量認(rèn)識(shí)事物的手段。測(cè)量是將被測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)量相比較，以確定被測(cè)量與選定單位的比值。這個(gè)比值與所選單位結(jié)合起來，構(gòu)成測(cè)得值。
       物理學(xué)研究物理量的規(guī)律，物理公式表達(dá)物理量間的關(guān)系。物理公式超脫測(cè)量誤差。
       測(cè)量學(xué)的任務(wù)在于研究測(cè)得值。測(cè)量計(jì)量學(xué)的基礎(chǔ)是基礎(chǔ)測(cè)量（常量測(cè)量）。
       對(duì)基礎(chǔ)測(cè)量，要研究如何取得測(cè)得值（測(cè)量方法），如何使測(cè)得值接近真值（精度設(shè)計(jì)），給出測(cè)得值與真值的偏差程度（誤差分析）。要研究測(cè)得值的規(guī)律，就必須將測(cè)得值同真值區(qū)分開。要使測(cè)量中所用量的實(shí)際值同標(biāo)稱值相區(qū)分；使認(rèn)定值同實(shí)際值相區(qū)分。
       區(qū)分量值是筆者提出的關(guān)于測(cè)量計(jì)量學(xué)新理論的一項(xiàng)基本方法?！皡^(qū)分量值”，就是是區(qū)分測(cè)得值函數(shù)中的各量，并加標(biāo)記。
       體現(xiàn)測(cè)量原理的物理公式，是測(cè)量的基本依據(jù)。但物理公式中的量都是真值，我們承認(rèn)它、依賴它，但分析時(shí)不能直接應(yīng)用，而要設(shè)法代換。測(cè)量中用的測(cè)得量、標(biāo)準(zhǔn)量、已知量、標(biāo)稱量，要加腳標(biāo)，以示區(qū)別。量加了腳標(biāo)的公式，稱計(jì)值公式，在測(cè)量中實(shí)際運(yùn)用。不加腳標(biāo)的公式是原物理公式，不加腳標(biāo)的量值是真值（實(shí)際值）。
       物理公式代表的是物理規(guī)律，計(jì)值公式代表的是實(shí)際操作，測(cè)量中，二者共同作用。測(cè)量方程是物理公式與計(jì)值公式的聯(lián)立方程。測(cè)量方程必然反映出實(shí)踐與理論的差別、認(rèn)識(shí)與客觀的差別，這樣就可給出測(cè)得值與真值的差，即給出誤差。
       測(cè)量方程實(shí)現(xiàn)了用測(cè)得值、誤差值對(duì)真值的代換。
       從測(cè)量方程出發(fā)進(jìn)行誤差分析，邏輯順暢。于是，對(duì)測(cè)量計(jì)量學(xué)十分重要的誤差分析，有了明晰的物理意義，有了嚴(yán)格的數(shù)理邏輯。
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                            《史氏測(cè)量計(jì)量學(xué)說》征求意見稿（4.1）

                                                                                                                                   史錦順        

第3章 測(cè)量方程與誤差分析（續(xù)1）

2 測(cè)量方程的一般形式
         測(cè)量方程就是把物理公式與計(jì)值公式聯(lián)立起來，組成一個(gè)整體。
       建立測(cè)量方程的核心思想是區(qū)分量值的概念。物理公式中的量都是客觀的量，準(zhǔn)確的量，物理公式本身是超脫測(cè)量誤差的，從物理公式本身難尋誤差的蹤跡。測(cè)量中用以計(jì)算的根據(jù)是物理公式，但所用的量，與物理公式中的量是有區(qū)別的，把這個(gè)區(qū)別標(biāo)示出來，便是計(jì)值公式。常用的區(qū)分標(biāo)志有兩種，一種表示測(cè)量得出的值，可用m，r標(biāo)示；另一種是認(rèn)定的標(biāo)準(zhǔn)值或標(biāo)稱值，用o或n來表示。這樣，量值分為三個(gè)檔次。三個(gè)檔次的量可以組成兩對(duì)。第一對(duì)是物理公式的量和測(cè)量得到的量。物理公式的量是實(shí)際量，測(cè)量得到的量是認(rèn)識(shí)量，實(shí)際量與認(rèn)識(shí)量相比，實(shí)際量是基本的，這第一對(duì)量，實(shí)際量是常量，認(rèn)識(shí)量是變量。第二對(duì)是物理公式中的量與計(jì)量中認(rèn)定的標(biāo)準(zhǔn)值或標(biāo)稱值。第二對(duì)量中，標(biāo)準(zhǔn)值或標(biāo)稱值是常量，而物理公式中的量是變量。因?yàn)槲锢砉街械牧渴强勺兊?，而?biāo)稱值是不變的。
       把物理公式和計(jì)值公式聯(lián)立起來，就得出測(cè)量方程。
       被測(cè)量Y由諸Xi決定，Y是Xi的函數(shù)，諸Xi是構(gòu)成Y的來源量。
       在測(cè)量方程中，各量成對(duì)。被測(cè)量的測(cè)得值Ym與被測(cè)量Y是一對(duì)。被測(cè)量Y是客觀存在，是常量，而被測(cè)量的測(cè)得值Ym是變量。決定Y的各來源量Xi，各有一個(gè)Xm或Xo與其對(duì)應(yīng)。如Xi與Xim對(duì)應(yīng)，則Xi是常量，Xim是變量；若Xj與Xjo對(duì)應(yīng)，則Xj是變量，而Xjo是常量。
       設(shè)物理公式為：
              Y = f(X1,X2,……XN)                                                          (3.1)
       計(jì)值公式為：
               Ym= f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o)                                        （3.2）
式中斜杠“/”表示“或”。m表示測(cè)得值,o表示標(biāo)稱值。m/o表示或者是測(cè)得值m,或者是標(biāo)稱值o。例如X1m/o表示是X1m或者是X1o.
       聯(lián)立（3.1）（3.2），二者相除，得：
              Ym/Y = f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) / f(X1,X2,……XN)                (3.3)
       聯(lián)立（3.1）（3.2），二者相減，得：
             Ym -Y = f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) – f(X1,X2,……XN)               (3.4)
       (3.3)、(3.4)都是測(cè)量方程，依應(yīng)用方便而選用。
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                        《史氏測(cè)量計(jì)量學(xué)說》征求意見稿（4.2）

                                                                                                                                   史錦順        

第3章 測(cè)量方程與誤差分析（續(xù)2）

3 誤差分析的微分法
3.1 微分法分析誤差的程序
       1 明確測(cè)量?jī)x器（或測(cè)量方案，下同）的物理機(jī)制，寫出表達(dá)物理機(jī)制的物理公式。
       2 對(duì)物理公式的量，按實(shí)際工作情況用腳標(biāo)標(biāo)記，得出計(jì)值公式。
       3 聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式，構(gòu)成測(cè)量方程。
       4 根據(jù)測(cè)量方程寫出被測(cè)量的測(cè)得值函數(shù)公式。
       5 分清測(cè)得值函數(shù)公式中的變量和與其對(duì)應(yīng)的常量。
       6 在常數(shù)點(diǎn)，對(duì)變量進(jìn)行全微分。
       7 將微分符號(hào)變成小量符號(hào)，得誤差元公式。
       8 依具體情況，方便時(shí)可表為誤差元的相對(duì)值形式。
       9 按“絕對(duì)和法”求得測(cè)得值的誤差范圍（見下章）。
3.2 誤差分析實(shí)例 微分法分析數(shù)字式頻率計(jì)誤差元
       以高穩(wěn)定的頻率源為基礎(chǔ)的精確的頻率測(cè)量，在現(xiàn)代高精度測(cè)量中占重要地位。
       計(jì)數(shù)式頻率計(jì)是最基本最常用的測(cè)頻儀器?，F(xiàn)行教科書上給出的計(jì)數(shù)式頻率計(jì)的公式為：
                f = N/T                                                                    （3.5）
       式中N為計(jì)數(shù)值，T為閘門時(shí)間。由于沒有區(qū)分測(cè)得值和實(shí)際值，用以分析，常常出錯(cuò)。此式明顯標(biāo)示，頻率與閘門時(shí)間成反比。由此，若內(nèi)標(biāo)頻率偏低，則閘門時(shí)間長，則頻率值?。黄鋵?shí)，恰恰相反：內(nèi)標(biāo)頻率偏低，必有閘門時(shí)間值偏大，必定頻率測(cè)得值偏大。
       式(3.5)是物理公式，不便直接用于分析測(cè)量問題；以往硬這樣做，難免出錯(cuò)。有些作者看到了這一點(diǎn)，用取絕對(duì)值的辦法來避免正負(fù)號(hào)的矛盾，這不能算錯(cuò)，但繞開矛盾，實(shí)際上也掩蓋了矛盾。
       要做幾種區(qū)分：區(qū)分頻率的測(cè)得值與實(shí)際值；區(qū)分閘門時(shí)間的標(biāo)稱值與實(shí)際值；區(qū)分N的顯示值與實(shí)際值。
       計(jì)數(shù)式頻率計(jì)的計(jì)值公式為：
                fm = Nr/Tn                                                               （3.6）
       式中fm是測(cè)得值（被測(cè)頻率的實(shí)際值是f），Tn是閘門時(shí)間的標(biāo)稱值(閘門實(shí)際時(shí)間是T)，Nr是計(jì)數(shù)器的指示值（N是理論值，等于1/fT），Tn 是閘門時(shí)間的標(biāo)稱值，通常為1秒，或1秒的10)^(±n）倍。
       分析測(cè)得值，就是分析測(cè)得值同實(shí)際值（真值）的差別，就是將測(cè)得值同實(shí)際值相比較。比較的方法之一是二者相除。實(shí)際值做除數(shù)，即做標(biāo)準(zhǔn)。
       計(jì)值公式(3.6)除以物理公式(3.5)，得測(cè)量方程：
             fm / f  = NrT/(NTn)                                                       （3.7）
       由測(cè)量方程，知測(cè)得值函數(shù)：
             fm = [NrT/(NTn)] f                                                        （3.8）
       注意，我們研究的是測(cè)量問題（可設(shè)想是在用幾臺(tái)儀器同時(shí)測(cè)量同一物理量），被測(cè)頻率的客觀值f是常量，測(cè)得值fm是變量。閘門時(shí)間標(biāo)稱值Tn是常量，閘門時(shí)間實(shí)際值T是變量。理論值N是常量；讀數(shù)Nr是變量。
       （3.7）式是測(cè)量方程，（3.8）式是測(cè)得值函數(shù)。微分法分析誤差，就是求測(cè)得值函數(shù)在常量點(diǎn)上的全微分。
       A 求微分
                dfm = [Nrf /(NTn)]dT+[Tf /(NTn)]dNr                            （3.9）
       B 誤差元：變量相對(duì)于常量的偏差量
                Δfm = [Nrf /(NTn)] ΔT+[Tf /(NTn)] ΔNr                         （3.10）
       C 相對(duì)差
      （3.10）式除以（3.8）式
                δfm = ΔT / T+ΔNr / Nr                                                 （3.11）
       因閘門時(shí)間由內(nèi)標(biāo)（頻率為fb）分頻而來，有
                 T = K(1/fb)
                ΔT/T = - Δfb/fb                                                             (3.12)
       將（3.12）式代入（3.11）式，得
                δfm = - Δfb/fb +ΔNr / Nr  
                 δfm = - δfb + δNr                                                           (3.13)
      （3.13）式表明，測(cè)得值與頻率計(jì)內(nèi)標(biāo)頻率成反比，即與時(shí)基成正比，是正確的，這糾正了只按物理公式求微分的不當(dāng)認(rèn)識(shí)。
       δfb是頻率計(jì)內(nèi)晶振引入的誤差項(xiàng)。其中包括：老化率、溫度效應(yīng)、晶振穩(wěn)定度等。δNr包括分辨力，計(jì)數(shù)器不穩(wěn)等引入的誤差項(xiàng)。本節(jié)講誤差分析的基本方法，只講主干部分，下續(xù)分析略。關(guān)于由誤差元合成為誤差范圍，下章講。
      （注： 本書符號(hào)說明：?jiǎn)为?dú)的δ，表示相對(duì)誤差范圍，恒正；δ后邊有某量的符號(hào)，表示該量的誤差元的相對(duì)值，可正可負(fù)。）
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　　物理公式是符合科學(xué)的理論計(jì)算公式，因此物理公式中的量都是符合該量定義的量，“物理公式中的量都是客觀的量，準(zhǔn)確的量，物理公式本身是超脫測(cè)量誤差的，從物理公式本身難尋誤差的蹤跡”，“物理公式中的量都是真值”，這是非常正確的，符合量的定義的量就是該量的真值。
　　但，這個(gè)“真值”是什么需要測(cè)量才能知道，實(shí)際測(cè)量活動(dòng)中，是測(cè)量就必有誤差，通過測(cè)量無法獲得真正的真值，只能獲得相對(duì)真的真值。如果將相對(duì)真值代入物理公式計(jì)算，計(jì)算得到被測(cè)量也必是相對(duì)真值，而不是真正的、符合定義的真值。所以在研究和討論“真值”、“測(cè)得值”、“誤差”、“誤差范圍”、“不確定度”時(shí)，我們千萬不能將相對(duì)“真”的真值與符合真值定義的真正的真值相互混淆，不能用等號(hào)將它們相連，不能相互偷換概念。

                        《史氏測(cè)量計(jì)量學(xué)說》征求意見稿（4.3）

                                                                                                                          史錦順  

第3章 測(cè)量方程與誤差分析（續(xù)3）

4 誤差分析的小量法
       本書把小量計(jì)算法，作為一種獨(dú)立的處理誤差問題的方法。指出：小量法有比微分方法好的地方：作法與結(jié)果的物理意義明晰，逼著人去區(qū)分測(cè)得值，區(qū)分變量和常量。
4.1 小量計(jì)算公式
       微積分是物理學(xué)家牛頓發(fā)明的。這個(gè)方法幫助牛頓建立了物理學(xué)史上的偉業(yè)。微分法在工程分析中的應(yīng)用，總的來說，也是成功的。
       在處理誤差問題的特定條件下，還可以另辟途徑，用小量法。小量法不僅簡(jiǎn)便，還可以促進(jìn)建立測(cè)量方程，促進(jìn)分辨變量和常量，避免出現(xiàn)由于對(duì)微分法理解不當(dāng)而產(chǎn)生的錯(cuò)誤。本書的一項(xiàng)貢獻(xiàn)，是用小量法更正了教科書用微分法對(duì)多卜勒測(cè)速誤差的分析（見第12章）。
       在正常情況下，與量值本身相比，誤差量總是小量。我們將通常的量值加誤差的絕對(duì)形式寫成相對(duì)形式：
                    (A+ΔA)/A = 1+ΔA/A = 1+Δ
       式中將相對(duì)誤差δA記為Δ，必有Δ＜＜1。例如，Δ＜0.01?？疾斓溅ち考?jí)，Δ的2次方以及高次方項(xiàng)可略（同理，兩個(gè)或兩個(gè)以上不同Δ相乘項(xiàng)可略）。
                                  公式小集                                 
                        (1+Δ)^2 = 1+2Δ
                        (1–Δ)^2 = 1–2Δ
                        (1+Δ)^3 = 1+3Δ
                        (1–Δ)^3 = 1–3Δ
                        (1+Δ1) (1+Δ2) = 1+Δ1+Δ2
                        1/(1+Δ) = 1–Δ
                        1/(1–Δ) = 1+Δ
                        √(1+Δ)=1+Δ/2
                        √(1-Δ)=1–Δ/2
       這些易懂易記的小量公式，最常用。倘遇到其他運(yùn)算方式或函數(shù)形式，可查數(shù)學(xué)手冊(cè)，泰勒展開式略去2次方以上項(xiàng)即可。
4.2 小量法分析誤差的程序
       首先寫出物理公式，再寫出計(jì)值公式，將計(jì)值公式除以物理公式，便得到測(cè)量方程。由測(cè)量方程寫出測(cè)得值函數(shù)的相對(duì)值表達(dá)形式。分辨變量與常量，將變量展成常量加小量；近似計(jì)算（忽略二階以上小量），得相對(duì)誤差量。
4.3 實(shí)例 小量法分析數(shù)字式頻率計(jì)誤差元
1）測(cè)量方程的相對(duì)值形式
       計(jì)值公式(3.6)除以物理公式(3.5)，得頻率計(jì)的相對(duì)值形式的得測(cè)量方程：
               fm / f =NrT/(NTn)                                                     （3.7）
2）微變關(guān)系  
       變量   測(cè)得值fm；讀數(shù)Nr ；實(shí)際閘門時(shí)間T。
       A 對(duì)測(cè)量方程（3.7），變量展開成常量加小量
             ( f+Δfm) / f = (N+ΔNr) (Tn+ΔT)/(NTn)                       （3.14）
       B 相對(duì)差
              1+ δfm = 1+δNr +δT
              δfm = δNr +δT                                                         （3.15）
       因閘門時(shí)間由內(nèi)標(biāo)頻率（頻率為fb）分頻而來，有
              T =K(1/fb)
              Tn =K(1/fbo)         
             T / Tn = fbo/fb
              (Tn+ΔT)/ Tn  = fbo /(fbo+Δfb)
             ΔT/Tn = –Δfb/fbo                                    
             δT = – δfb                                                                    (3.16)
      將（3.16）式代入（3.15）式，得
              δfm = δNr – δfb                                                           （3.17）            
      小量分析法結(jié)果（3.17）與微分法分析結(jié)果（3.13）相同。
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