合成不確定度的問(wèn)題

問(wèn)什么合成不確定度要用標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的平方和呢？我想說(shuō)的是，先把標(biāo)準(zhǔn)不確定度的平方先開方之后再代數(shù)和相加不就可以了么？比如有兩個(gè)分量，且不相關(guān)，那么：
c=√(a^2+b^2 )，可是為什么不直接√a+√b=c呢？

此C非彼C，呵呵，你的兩個(gè)C，√(a^2+b^2 與√a+√b相等嗎？換句話說(shuō)你計(jì)算的兩個(gè)C，它們是同一個(gè)東東嗎？

是不想等的，我知道，但是我不明白為什么偏要用平方和再開方？
把標(biāo)準(zhǔn)不確定度的分量先開方之后在代數(shù)和不就可以嗎？
麻煩您給我講講吧，謝謝您了

什么意思呀這是。。。。

蔚藍(lán)的大海 發(fā)表于 2015-7-8 12:19
是不想等的，我知道，但是我不明白為什么偏要用平方和再開方？
把標(biāo)準(zhǔn)不確定度的分量先開方之后在代數(shù)和不 ...

找一本有關(guān)隨機(jī)量分析的書看看——兩個(gè)互不相關(guān)的隨機(jī)量求和....會(huì)看到這個(gè)關(guān)系式的祖宗

看來(lái)我發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的根源了？貌似呀？

這個(gè)是根據(jù)“不確定度傳播律公式”來(lái)計(jì)算的，您可以看《一級(jí)注冊(cè)計(jì)量師基礎(chǔ)知識(shí)及專業(yè)實(shí)務(wù)（第三版）》下冊(cè)P250,(四）合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計(jì)算，只能幫您到這里了。

其實(shí)硬是套用公式我會(huì)的，但是我不明白的就是為什么(假設(shè)各分量不相關(guān))不先把標(biāo)準(zhǔn)不確定度的每個(gè)分量先開方，之后再相加，不就是合成的標(biāo)準(zhǔn)不確定度了么？而為什么要平方和之后再開方得到合成不確定度呢？核心就是，是開方后相加還是相加后再開方的問(wèn)題？

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       1#大海先生所提出的誤差合成問(wèn)題，表面上看是對(duì)知識(shí)了解的問(wèn)題，本質(zhì)上卻涉及“合成方法是否合理”這個(gè)重大的理論問(wèn)題。
       數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論，對(duì)象是隨機(jī)變量，取“方和根”是合理的。例如，頻率穩(wěn)定度，表征與處理的是頻率的隨機(jī)變化，因此，凡合成頻率穩(wěn)定度的場(chǎng)合，都可取“方和根”。在一般的測(cè)量中，測(cè)量?jī)x器既有隨機(jī)誤差也有系統(tǒng)誤差，一律取“方和根”，是沒(méi)有道理的。誤差理論，處理合成問(wèn)題，比較謹(jǐn)慎，只有隨機(jī)誤差，才取“方和根”。既有隨機(jī)誤差又有系統(tǒng)誤差的場(chǎng)合，取“絕對(duì)和”，這是保險(xiǎn)的。1980版的《數(shù)學(xué)手冊(cè)》，所載的誤差合成公式，就是“絕對(duì)合成”。先生所說(shuō)的先開方再相加，本質(zhì)就是“絕對(duì)合成”。你的主張是正確的。我支持你。你可進(jìn)一步充實(shí)自己；讓我們共同抨擊不確定度論。
       我認(rèn)為：“絕對(duì)合成”簡(jiǎn)單，不需要假設(shè)條件；合理、保險(xiǎn)；符合誤差量的上限性特點(diǎn)，就是講究絕對(duì)值的最大值。
       現(xiàn)行不確定度評(píng)定，一律取“方和根”，是必須假設(shè)“獨(dú)立”“隨機(jī)”“大量”等條件的。而絕大多數(shù)的應(yīng)用場(chǎng)合，并不滿足這些條件。請(qǐng)注意：不確定度論的這一假設(shè)條件不符合實(shí)際；因而這個(gè)作法是錯(cuò)誤的。
       下面是我的《史氏測(cè)量計(jì)量學(xué)》的第5章（本欄目發(fā)表過(guò)。已略作修改），供參考。
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第5章 誤差范圍與誤差合成          

（一）誤差量的特點(diǎn)     
    誤差，表明測(cè)得值與實(shí)際值（被測(cè)量的真值）的差距。誤差是個(gè)泛指的概念，包括誤差元與誤差范圍兩個(gè)概念。
    誤差元等于測(cè)得值減真值。誤差元是誤差概念的基本單元，表明誤差的物理意義與計(jì)算方法，是誤差理論的基礎(chǔ)。但對(duì)一項(xiàng)測(cè)量計(jì)量的表達(dá)對(duì)象，誤差元是可正可負(fù)、有大有小的量，不便直接表達(dá)與應(yīng)用。
    誤差量的特點(diǎn)是它的上限性。取誤差元的絕對(duì)值，就去掉了誤差元的正負(fù)號(hào)；取誤差元的絕對(duì)值的一定概率（99%）意義下的最大可能值，就把誤差元的多個(gè)可能值，變成了一個(gè)值，這個(gè)值就是誤差范圍。
    誤差范圍體現(xiàn)了誤差量的特點(diǎn)，簡(jiǎn)單、夠用；它被應(yīng)用于研制、計(jì)量、測(cè)量三大場(chǎng)合。研制是用計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)與物理機(jī)制建立儀器的誤差范圍；計(jì)量靠計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)、公證儀器的誤差范圍；測(cè)量是利用誤差范圍。人們用經(jīng)過(guò)計(jì)量合格的測(cè)量?jī)x器進(jìn)行測(cè)量，在得到測(cè)得值的同時(shí)，知道了該測(cè)得值的誤差范圍不超過(guò)測(cè)量?jī)x器誤差范圍的指標(biāo)值，只要測(cè)量?jī)x器的誤差范圍指標(biāo)滿足要求，人們就得到了夠格的測(cè)量結(jié)果，達(dá)到了測(cè)量的目的。
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    將誤差元變成誤差范圍，稱為誤差合成。誤差合成的任務(wù)就是兩條：去掉諸誤差元的正負(fù)號(hào)；找到諸誤差元共同作用產(chǎn)生的總誤差元的絕對(duì)值的最大可能值。
    一般量的特點(diǎn)是“雙限性”，就是不能過(guò)大，也不能過(guò)小。而誤差量不同，對(duì)誤差量的要求是不能過(guò)大，而越小越好，這是誤差量的“上限性”。因?yàn)檎`差元有正有負(fù)，所謂誤差大、誤差小，是只論絕對(duì)值，而不管正負(fù)號(hào)。
    考慮、選取誤差合成的方案，特別要注意誤差量的上限性。本書基于誤差量“上限性”的特點(diǎn)，提出“取絕對(duì)和好”的判斷。

（二）誤差范圍與兩個(gè)區(qū)間         
    通常的函數(shù)關(guān)系，是函數(shù)與自變量一一對(duì)應(yīng)。測(cè)量計(jì)量理論的函數(shù)關(guān)系，卻是一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)函數(shù)的一個(gè)區(qū)間。誤差范圍是函數(shù)區(qū)間的半寬。
    誤差元等于測(cè)得值減真值；誤差范圍是誤差元的絕對(duì)值的一定概率意義下的最大可能值。有這兩個(gè)定義，第4章推導(dǎo)了兩個(gè)區(qū)間的公式。
    研制、計(jì)量中用的測(cè)得值區(qū)間為：
          Z-R ≤ M ≤ Z+R                                        （4.9）
    Z是被測(cè)量的量值（真值），M是測(cè)得值，R是誤差范圍。
    測(cè)量中用的被測(cè)量量值區(qū)間為：
          M-R ≤ Z ≤ M+R                                       （4.15）
    以上兩個(gè)區(qū)間公式，即測(cè)得值公式與真值公式，是把誤差范圍的定義的最大值符號(hào)max去掉推導(dǎo)的結(jié)果，表明區(qū)間中全部量值點(diǎn)的關(guān)系，物理意義明確，表達(dá)完備。另有一種最常用的表達(dá)方式，那就是著眼點(diǎn)于區(qū)間邊界點(diǎn)，而得出的公式，有最簡(jiǎn)潔的形式，而實(shí)際內(nèi)容，與上二式等效。推導(dǎo)時(shí)不去掉最大值符號(hào)max，著眼點(diǎn)于區(qū)間邊界，即只用等號(hào)。

    A 測(cè)得值區(qū)間公式        
    基本公式
          │M – Z│max = R
    只著眼最大點(diǎn)，有
          │M – Z│ = R                                             （5.1）
    解絕對(duì)值方程（5.1）       
    當(dāng)M＞Z時(shí)，有
          M(大)=Z+R                                               （5.2）
    當(dāng)M＜Z時(shí)，有
          M(小)=Z-R                                                （5.3）
    綜合（5.2）式、（5.3）式，有
          M = Z±R                                                 （5.4）
    M(大)等于區(qū)間上邊界點(diǎn)，M(小)等于區(qū)間下邊界點(diǎn)。M的整個(gè)區(qū)間為：
          Z-R ≤ M ≤ Z+R                                         （4.9）
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    B 真值區(qū)間公式         
    基本公式
          │M – Z│max = R  
    只著眼最大點(diǎn)，有
          │M – Z│ = R                                              （5.1）
    解絕對(duì)值方程（5.1）
    當(dāng)M＞Z時(shí)，有
          Z(小) = M-R                                                （5.5）
    當(dāng)M＜Z時(shí)，有
          Z(大) = M+R                                                （5.6）
    綜合（5.5）式、（5.6）式，有
          Z = M±R                                                   （5.7）
    Z(大)等于區(qū)間上邊界點(diǎn)，Z(小)等于區(qū)間下邊界點(diǎn)。Z的整個(gè)區(qū)間為：
          M-R ≤ Z ≤ M+R                                          （4.15）

（三） 誤差范圍的人、繩、狗模型      
    真值、測(cè)得值、誤差元與誤差范圍的關(guān)系，可以比喻為人、繩、狗的關(guān)系。
    真值比做人，測(cè)得值比做狗，誤差就是人與狗的距離。人狗的位置差，時(shí)刻在變化，但距離的最大值被繩長(zhǎng)所限制。繩長(zhǎng)比做誤差范圍，是個(gè)單一值；人與狗的距離比做誤差元，從零可變到繩的長(zhǎng)度。
    固定人的位置，狗活動(dòng)在以人為圓心、以繩長(zhǎng)為半徑的圈內(nèi)。這像研制與計(jì)量中的測(cè)得值區(qū)間。測(cè)得值區(qū)間以真值為中心、以誤差范圍為半寬。
    某時(shí)觀測(cè)到狗的位置，則人必在以狗為圓心，以繩長(zhǎng)為半徑的圈內(nèi)。這像測(cè)量中的真值區(qū)間。被測(cè)量的量值區(qū)間（真值區(qū)間）以測(cè)得值為中心、以誤差范圍為半寬。
    繩長(zhǎng)限制了人與狗的距離。知道人的位置，可以找到狗；同樣，知道狗的位置，也可以找到人。
    同一誤差范圍，貫穿于測(cè)得值區(qū)間與被測(cè)量量值區(qū)間這兩個(gè)區(qū)間中，是測(cè)得值與真值之間變換換的基礎(chǔ)。研制中，確立真值到測(cè)得值的變換；測(cè)量中，利用測(cè)得值到真值的變換。誤差范圍決定兩個(gè)變換的質(zhì)量，也就是決定測(cè)量的水平。
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    測(cè)量?jī)x器的誤差范圍，在生產(chǎn)時(shí)被造就，而在計(jì)量時(shí)，被公證。能確認(rèn)誤差范圍之值，是因?yàn)橛?jì)量中有標(biāo)準(zhǔn)。而標(biāo)準(zhǔn)之標(biāo)稱值，可視為真值。定標(biāo)時(shí)、計(jì)量時(shí)的測(cè)得值區(qū)間，是測(cè)量?jī)x器的特性，它確定了測(cè)得值對(duì)真值的關(guān)系。測(cè)量?jī)x器的這個(gè)特性，在測(cè)量中將表現(xiàn)出來(lái)，即表達(dá)測(cè)得值與真值的關(guān)系，因此可由測(cè)量中得到的測(cè)得值來(lái)確定被測(cè)量的真值。
    研制與計(jì)量中，依靠真值確認(rèn)誤差范圍；測(cè)量中由已知的誤差范圍與測(cè)得值而得知被測(cè)量的量值。測(cè)量結(jié)果是測(cè)得值加減誤差范圍，被測(cè)量的真值包含在測(cè)量結(jié)果中。

（四）誤差范圍的重要性         
    1 誤差范圍是測(cè)量?jī)x器的測(cè)得值函數(shù)的簡(jiǎn)化表達(dá)；
    2 誤差范圍是測(cè)量?jī)x器性能的表征；誤差范圍指標(biāo)值是測(cè)量?jī)x器水平的標(biāo)志
    3 計(jì)量是對(duì)測(cè)量?jī)x器誤差范圍的檢驗(yàn)與公證。計(jì)量的作業(yè)是求得被檢儀器的實(shí)際誤差范圍值；儀器計(jì)量合格，就是指儀器的誤差范圍的實(shí)際值不大于儀器的誤差范圍指標(biāo)值。
    4 誤差范圍是測(cè)量中真值函數(shù)的簡(jiǎn)化表達(dá)。
    5 測(cè)得值與誤差范圍共同構(gòu)成測(cè)量結(jié)果。標(biāo)志測(cè)量水平的是誤差范圍。在滿足儀器使用條件、正確操作的條件下，測(cè)量者用測(cè)量?jī)x器的誤差范圍指標(biāo)值，當(dāng)作測(cè)得值的誤差范圍，是合理的、冗余的代換。因此，人們選用誤差范圍指標(biāo)夠格的測(cè)量?jī)x器進(jìn)行測(cè)量，在得到測(cè)得值的同時(shí)，也知道了測(cè)得值的誤差范圍。被測(cè)量的真值包含在測(cè)量結(jié)果中。于是人們就達(dá)到了測(cè)量的目的。

    測(cè)量?jī)x器的誤差范圍指標(biāo)（準(zhǔn)確度），是儀器生產(chǎn)的目標(biāo)，是計(jì)量合格性判別的標(biāo)準(zhǔn)，是使用者選用儀器與表示測(cè)量結(jié)果的依據(jù)。測(cè)量?jī)x器的研制、生產(chǎn)、使用，用一個(gè)誤差范圍指標(biāo)（準(zhǔn)確度）貫穿起來(lái)，是人類社會(huì)的組織效果，是人類文明的一種體現(xiàn)。

（五）誤差合成方法的比較        
     誤差合成，主要用于三種場(chǎng)合。研制測(cè)量?jī)x器時(shí)，依據(jù)儀器的測(cè)量方程，把構(gòu)成總誤差的各個(gè)測(cè)量因素，合成為總誤差范圍。直接測(cè)量時(shí)，依據(jù)直接測(cè)量的測(cè)量方程，把隨機(jī)誤差、各項(xiàng)系統(tǒng)誤差合成為總誤差范圍。間接測(cè)量時(shí)，依據(jù)間接測(cè)量的函數(shù)關(guān)系公式，把各個(gè)直接測(cè)量的誤差范圍，合稱為總誤差范圍。
    誤差合成有三種方法。
    （1）混合法   
    歷史上，標(biāo)準(zhǔn)的研制、測(cè)量?jī)x器的研制，誤差合成大都用混合法。就是對(duì)隨機(jī)誤差與項(xiàng)目較多的小的系統(tǒng)誤差，用方和根法；而對(duì)少數(shù)幾項(xiàng)大的系統(tǒng)性誤差，用絕對(duì)和法。這是一種直觀的判斷，沒(méi)有這方面的嚴(yán)格分析。歷史證明，混合法基本可用。
    （2）方和根法   
    取各項(xiàng)平方和的根。
    各量和的平方，等于各量平方的和再加上交叉乘積項(xiàng)之和。交叉乘積項(xiàng)之和可以忽略的條件是各量獨(dú)立而不相關(guān)。隨機(jī)誤差一般可認(rèn)為是不相關(guān)的。由于測(cè)量?jī)x器不僅有隨機(jī)誤差，還有系統(tǒng)誤差，而且系統(tǒng)誤差通常占主導(dǎo)地位，如何判別相關(guān)性，就是個(gè)難題。
    主張采用方和根法，是當(dāng)代的主流；但實(shí)際是一種行不通的空想。
    他們講道理時(shí)說(shuō)，當(dāng)分項(xiàng)間不獨(dú)立時(shí)，要計(jì)及相關(guān)系數(shù)，要計(jì)算協(xié)方差。而計(jì)算相關(guān)系數(shù)、計(jì)算協(xié)方差，極其麻煩。怎辦？通常都是設(shè)“獨(dú)立”、“不相關(guān)”；這是掩耳盜鈴的作法。不確定度理論推廣以來(lái)，對(duì)通常的相關(guān)或部分相關(guān)的情況，都按“不相關(guān)”處理，這是錯(cuò)誤的。
    所謂用“相關(guān)系數(shù)公式判別相關(guān)性”實(shí)際是行不通的。相關(guān)系數(shù)公式僅僅對(duì)隨機(jī)誤差才成立，包含有系統(tǒng)誤差的場(chǎng)合，相關(guān)系數(shù)公式不成立。現(xiàn)有的相關(guān)系數(shù)公式對(duì)系統(tǒng)誤差的靈敏度為零。一般儀器是以系統(tǒng)誤差為主的，而相關(guān)系數(shù)又與系統(tǒng)誤差無(wú)關(guān)，這樣，所謂相關(guān)性判別，實(shí)際是沒(méi)法計(jì)算的。大量規(guī)范、文件、書籍所說(shuō)的“假定不相關(guān)”，都是不符合實(shí)際的。是掩耳盜鈴。方和根法所要求的條件不成立，方法本身就沒(méi)有理論基礎(chǔ)。

    （3）絕對(duì)和法      
    各項(xiàng)分項(xiàng)誤差，絕對(duì)值相加。
    絕對(duì)和法的優(yōu)點(diǎn)：
    1 符合誤差量上限性的特點(diǎn)，不要求條件、保險(xiǎn)。
    2 符合最基本的數(shù)學(xué)原理（數(shù)學(xué)手冊(cè)方法）。
    3 實(shí)際性能到性能指標(biāo)有余量，信譽(yù)高。
    4 好算，設(shè)計(jì)者歡迎。
    5 有余量，合格性的臨界狀態(tài)少，計(jì)量易判別。
    6 可靠，測(cè)量者歡迎。
    7 鑒定會(huì)容易通過(guò)。
    8 促進(jìn)提高儀器性能。

（六）絕對(duì)和法的一般表達(dá)        
    絕對(duì)和法就是各項(xiàng)取絕對(duì)值后相加。
    絕對(duì)和法就是各分項(xiàng)誤差范圍（都是正值）相加。
    設(shè)測(cè)得值函數(shù)為
          M = f(X1,X2,X3)
    泰勒展開的一階項(xiàng)是
          ΔM = (?f/?X1) ΔX1+(?f/?X2) ΔX2+(?f/?X3) ΔX3
    誤差范圍為：
          R =│ΔM│max
            =│(?f/?X1) ΔX1+(?f/?X2) ΔX2+(?f/?X3) ΔX3│max
            =│?f/?X1││ΔX1│max + │?f/?X1││ΔX1│max + │?f/?X1││ΔX1│max
            =│?f/?X1│R1 + │?f/?X2│R2 + │?f/?X3│R3
            = R(1) + R(2) + R(3)

（七）絕對(duì)值合成法的常用公式           
    以下公式，參照《數(shù)學(xué)手冊(cè)》（科學(xué)出版社，1980版）編寫。這是六項(xiàng)最基本的誤差范圍合成公式?？上?，這些最基本的知識(shí)，一些人，包括某些專家，竟不知道。他們?cè)鯓佑?jì)算呢？一律取方和根。不僅不確定度論如此；一些誤差理論書也如此。前面講過(guò)，取方和根法的條件“不相關(guān)”，在有系統(tǒng)誤差的條件下，相關(guān)系數(shù)公式不成立。因此，方和根法沒(méi)有理論基礎(chǔ)。
    不確定度論指謫誤差理論沒(méi)有統(tǒng)一的誤差合成方法，從而主張一律取方和根。這是一條走不通的難路、死路。

    鑒于誤差量的“上限性”的特點(diǎn)，筆者認(rèn)為經(jīng)典測(cè)量理論的“絕對(duì)值合成法”，是簡(jiǎn)單的、現(xiàn)實(shí)可行的、保險(xiǎn)的；也是合理的、正確的。
    本章以數(shù)學(xué)的形式，推導(dǎo)絕對(duì)合成的公式，說(shuō)明經(jīng)典方法的嚴(yán)格性、合理性。須知：誤差合成是儀器設(shè)計(jì)者、測(cè)量方案設(shè)計(jì)者自己的事，這樣做，自己方便、有利別人，是嚴(yán)于律己的做法，易懂易學(xué)、處理方便又保險(xiǎn)，何樂(lè)而不為之？也許有人說(shuō)，這樣做，于己可以；要求別人，就不合理了。
    計(jì)量時(shí)，是要求別人。但是，計(jì)量靠的是標(biāo)準(zhǔn)，靠的是實(shí)測(cè)，計(jì)量對(duì)被撿對(duì)象的合格性判別，與誤差合成方法無(wú)關(guān)。
    如果某些特定場(chǎng)合，需要進(jìn)行誤差合成，最可信的方法是絕對(duì)值合成。
    本書推薦最基本的六大公式。好記，好用。
1 和的誤差公式      
    定理一：二量和的誤差范圍，等于二量的誤差范圍之和。
    證明
    1.1物理公式
          C=A+B  
    1.2計(jì)值公式
    對(duì)物理公式加標(biāo)號(hào)，m表測(cè)得值（下同）
          Cm=Am+Bm
    1.3測(cè)量方程
    聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式
          Cm-C =Am-A+Bm-B
    1.4 誤差范圍關(guān)系
    用r表誤差元，R表誤差范圍（下同）
    由測(cè)量方程
          r(C)=r(A)+r(B)
          │r(C)│max=│r(A)+ r(B)│max
                   =│r(A)│max+│r(B)│max
    誤差元的絕對(duì)值的最大可能值是誤差范圍，故有：
          R(C)=R(A)+R(B)  
    定理一得證。

2 差的誤差公式         
    定理二：二量差的誤差范圍，等于二量的誤差范圍之和（不是差）。
    證明
    2.1物理公式
          A=C-B
    2.2計(jì)值公式
          Am = Cm-Bm.
    2.3測(cè)量方程
    聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式
          Am-A = Cm-C – (Bm-B)
    2.4 誤差范圍關(guān)系
    由測(cè)量方程
          r(A)=r(C)-r(B)
          │r(A)│max=│r(C)- r(B)│max
                    =│r(C)│max+│r(B)│max
    誤差元的絕對(duì)值的最大可能值是誤差范圍，故有：
          R(A)=R(C)+R(B)  
    定理二得證。

3 積的誤差公式         
    定理三：二量積的相對(duì)誤差范圍，等于二量的相對(duì)誤差范圍之和。
    證明
    3.1物理公式
          C = A B
    3.2計(jì)值公式
          Cm = Am Bm
    3.3測(cè)量方程
    聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式，解得
          Cm/ C = A m Bm/(A B)
    3.4 誤差范圍關(guān)系
    由測(cè)量方程
         (C+ΔCm)/C = [(A+ΔAm)/A] [(B+ΔBm)/B]
         1+δr(C) =[(1+δr(A))][1+δr(B)]
         δr(C) =δr(A) +δr(B)
         │δr(C)│max =│δr(A)│max+│δr(B)│max
    誤差元的絕對(duì)值的最大可能值是誤差范圍，故有：
          δR(C)=δR(A)+δR(B)  
    定理三得證。

4 商的誤差公式        
    定理四：二量相除，商的相對(duì)誤差范圍，等于二量的相對(duì)誤差范圍之和。
    證明
    4.1 物理公式
          A = C / B
    4.2 計(jì)值公式
          Am = Cm / Bm
    4.3 測(cè)量方程
    聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式，解得
          Am/ A = [Cm /Bm] B/C  
    4.4 誤差范圍關(guān)系
    由測(cè)量方程
         (A+ΔAm)/A = [(C+ΔCm)/C] / [(B+ΔBm)/B]
         1+δr(A) =[(1+δr(C))] / [1+δr(B)] =[(1+δr(C)] [1-δr(B)]
         δr(A) =δr(C) -δr(B)
         │δr(A) │max=│δr(C) -δr(B) │max =│δr(C) │max +│δr(B) │max
    誤差元的絕對(duì)值的最大可能值是誤差范圍，故有：
         δR(A)=δR(C)+δR(B)   
    定理四得證。

5 冪的誤差公式          
    定理五：A等于B的n次方，則A的誤差范圍等于B的誤差范圍的n倍。
    證明
    5.1物理公式
          A =B^n  
    5.2計(jì)值公式
          Am = Bm^n  
    5.3測(cè)量方程
    聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式，解得
          Am /A= Bm^n/B^n
    5.4 誤差范圍關(guān)系
    由測(cè)量方程
         (A+ΔAm)/A = (Bm/B)^n= [1+δr(B)]^n
         1+δr(A) = 1+nδr(B)
         δr(A) = nδr(B)
         │δr(A) │max=│nδr(B) │max = n│δr(B) │max
    誤差元的絕對(duì)值的最大可能值是誤差范圍，故有：
         δR(A)= nδR(B)  
    定理五得證。

6 根的誤差公式         
    定理六：A等于B的n次方根，則A的誤差范圍等于B的誤差范圍的1/n倍。
    證明
    6.1 物理公式
          A =B^(1/n)
    6.2 計(jì)值公式
    對(duì)物理量加標(biāo)號(hào)，m表測(cè)得值
          Am = Bm^(1/n)
    6.3 測(cè)量方程
    聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式，解得
          Am /A= Bm^(1/n) / B^(1/n)  
    6.4 誤差范圍關(guān)系
    r表誤差元，R表誤差范圍。
         (A+ΔAm)/A = (Bm/B)^ (1/n)= [1+δr(B)]^ (1/n)
         1+δr(A) = 1+(1/n)δr(B)
         δr(A) = (1/n)δr(B)
        │δr(A) │max=│(1/n)δr(B) │max = (1/n)│δr(B) │max
    故有：
         δR(A)=(1/n)δR(B)
    定理六得證。

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蔚藍(lán)的大海 發(fā)表于 2015-7-8 17:13
其實(shí)硬是套用公式我會(huì)的，但是我不明白的就是為什么(假設(shè)各分量不相關(guān))不先把標(biāo)準(zhǔn)不確定度的每個(gè)分量先開方 ...

　　不確定度包含被測(cè)量真值的區(qū)間寬度（半寬），包含區(qū)間的性質(zhì)與概率區(qū)間的性質(zhì)相同，若干個(gè)包含區(qū)間如果相互之間并不相關(guān)或弱相關(guān)，合成方法就是均方根?！懊總€(gè)分量先開方，之后再相加”是“方根之和”。再?gòu)挠?jì)量單位的角度來(lái)看，以被測(cè)量的計(jì)量單位為“米”為例，米的平方和為平方米，再開方就仍然是“米”?？墒恰懊住钡钠椒礁傧嗉尤匀皇敲椎钠椒礁?，這和被測(cè)量的計(jì)量單位風(fēng)馬牛不相及，這種計(jì)算方法本身就不合乎常理。

       大海先生的表達(dá)方式出現(xiàn)矛盾。在文字?jǐn)⑹鲋姓f(shuō)的是“把不確定度的平方先開方”，這是對(duì)的，是取絕對(duì)值的操作；而公式表達(dá)為√a+√b=c，就出現(xiàn)了規(guī)矩灣先生指出的問(wèn)題(量綱問(wèn)題)。應(yīng)該是√(a^2)+√(b^2)=c

　　史老師說(shuō)的是，樓主描述出現(xiàn)了矛盾。但如果計(jì)算√(a^2)+√(b^2)=c，量綱問(wèn)題倒是不存在了，但這種平方再開方的做法是不是太不把自己的勞動(dòng)當(dāng)回事了，還不如不平方也不開方，直接取絕對(duì)值省事。但如果取兩個(gè)分量的絕對(duì)值之和進(jìn)行合成，那就表明兩個(gè)分量之間存在著強(qiáng)相關(guān)的關(guān)系，而不是不相關(guān)或弱相關(guān)的關(guān)系了。兩個(gè)分量存在強(qiáng)相關(guān)關(guān)系必須說(shuō)明理由，沒(méi)有依據(jù)的評(píng)估是不足為信的。

規(guī)矩灣錦苑 發(fā)表于 2015-7-9 09:37
　　史老師說(shuō)的是，樓主描述出現(xiàn)了矛盾。但如果計(jì)算√(a^2)+√(b^2)=c，量綱問(wèn)題倒是不存在了，但這種平方 ...

       1 平方再開方，實(shí)際就是取絕對(duì)值。沒(méi)有浪費(fèi)勞動(dòng)力的問(wèn)題。因?yàn)?，平方再開方，不需要對(duì)量值進(jìn)行操作，只是無(wú)論符號(hào)是正是負(fù)，平方后均為正；而一個(gè)正數(shù)開平方，獲得的根，定義為正值。因此，對(duì)一個(gè)量平方再開方，等效于對(duì)該量取絕對(duì)值。
       2 不能認(rèn)為平方再開方是自找麻煩；要注意，此做法在科學(xué)史上起過(guò)重要作用?？偭康扔谝粋€(gè)多項(xiàng)式，對(duì)總量的處理，平方再開方，對(duì)隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，就有新成果。
       2.1 二量代數(shù)和的平方等于二量平方之和。條件是二量均為隨機(jī)變量，交叉乘積項(xiàng)正負(fù)概率相等，求和時(shí)相互抵消，即交叉項(xiàng)之和為零。
       2.2 多個(gè)量代數(shù)和的平方等于各量平方之和。條件是各量均為隨機(jī)變量，交叉乘積項(xiàng)正負(fù)概率相等，求和時(shí)相互抵消，即交叉項(xiàng)之和為零。
       由上，隨機(jī)變量（條件是獨(dú)立、隨機(jī)、大量）可取“方和根”。
       3 由于誤差量的上限性，合成時(shí)取“絕對(duì)和”，是保險(xiǎn)的、最可信的。說(shuō)：強(qiáng)相關(guān)才能取絕對(duì)和是誤解。如果二量是完全正相關(guān)，結(jié)果是二量之和；如果是完全負(fù)相關(guān)，則結(jié)果為二量之差。如果相關(guān)系數(shù)在-1與+1之間（包括相關(guān)系數(shù)為零），其結(jié)果的絕對(duì)值必定不大于“絕對(duì)和”。因此，取絕對(duì)和為誤差范圍（誤差絕對(duì)值的上限），是不要求任何條件的，是必定正確的，因而是最可信的。
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沒(méi)有“二量代數(shù)和的平方等于二量平方之和”之說(shuō)的！ 即便是兩個(gè)互不相關(guān)的“隨機(jī)量”，或是兩個(gè)“相互正交”的函數(shù)（信號(hào)），說(shuō)的也是它們的“方均根值”，會(huì)呈現(xiàn)“和的平方等于平方之和”的關(guān)系！

對(duì)于“測(cè)量誤差”這個(gè)“隨機(jī)量”，其“方均根值”就是所謂的“標(biāo)準(zhǔn)偏差”——就是“標(biāo)準(zhǔn)不確定度”對(duì)應(yīng)的那個(gè)玩意兒。

史錦順 發(fā)表于 2015-7-9 12:08
1 平方再開方，實(shí)際就是取絕對(duì)值。沒(méi)有浪費(fèi)勞動(dòng)力的問(wèn)題。因?yàn)椋椒皆匍_方，不需要對(duì)量值進(jìn)行操 ...

　　1 平方再開方，實(shí)際就是取絕對(duì)值。先平方再開方怎么還說(shuō)是沒(méi)有浪費(fèi)勞動(dòng)力呢？取絕對(duì)值的工作量是很簡(jiǎn)單的事，當(dāng)然比先去做先平方，然后再去做開方的工作量少得多。
　　2 先平方再開方的確是自找麻煩的工作。史老師所說(shuō)的兩件事并非是“先平方再開方”，正如14樓所說(shuō)，2.1所說(shuō)的“二量代數(shù)和的平方等于二量平方之和”一般情況下是不成立的，(a＋b)^2＝a^2＋2ab＋b^2，如若使(a＋b)^2＝a^2＋b^2，必須使2ab＝0，條件是a和b至少有一個(gè)為0。由此，史老師所說(shuō)的“2.2 多個(gè)量代數(shù)和的平方等于各量平方之和”更是不存在。
　　3史老師所說(shuō)“由于誤差量的上限性，合成時(shí)取‘絕對(duì)和’，是保險(xiǎn)的”在誤差理論中有道理，但在不確定度評(píng)定中，兩個(gè)不確定度分量的合成等于兩個(gè)分量之和是指其相關(guān)系數(shù)為+1的情況，這種是強(qiáng)正相關(guān)的兩個(gè)分量的合成。當(dāng)相關(guān)系數(shù)為－1時(shí)，合成不確定度就變?yōu)榉至恐畹慕^對(duì)值。要注意不確定度是個(gè)“半寬”值，絕無(wú)負(fù)數(shù)之說(shuō)?！叭〗^對(duì)和為誤差范圍（誤差絕對(duì)值的上限），是不要求任何條件的，是必定正確的”，這個(gè)說(shuō)法是誤差理論關(guān)于“準(zhǔn)確性”的說(shuō)法，這是正確的。但用于“可信性”則是錯(cuò)誤的，評(píng)判“可信性”的參數(shù)是“不確定度”不是“測(cè)量誤差”，在不能確定兩個(gè)不確定度分量強(qiáng)正相關(guān)的情況下隨意說(shuō)合成的不確定度是“絕對(duì)和”，自身就不足為信，怎么能用自身都不可信的一個(gè)值去評(píng)判測(cè)量方案或測(cè)量結(jié)果的可信性？

njlyx 發(fā)表于 2015-7-9 13:50
沒(méi)有“二量代數(shù)和的平方等于二量平方之和”之說(shuō)的！ 即便是兩個(gè)互不相關(guān)的“隨機(jī)量”，[/backc ...

          先生說(shuō)得對(duì)，沒(méi)有一般的“二量代數(shù)和的平方等于二量平方之和”（以下簡(jiǎn)稱特定關(guān)系）。我帖中的本意正是說(shuō)明“二量代數(shù)和的平方等于二量平方之和”這個(gè)特定的關(guān)系的應(yīng)用是限制很嚴(yán)的。在討論誤差的大背景下，只有隨機(jī)誤差且求統(tǒng)計(jì)平均值時(shí)才有這個(gè)特定關(guān)系。須知不確定度理論不分條件地到處用“方和根法”，正是錯(cuò)用了這個(gè)特定關(guān)系。因?yàn)橹挥谐姓J(rèn)這種特定關(guān)系成立，才有“方和根法”成立。在有系統(tǒng)誤差存在的條件下，這種特定關(guān)系不成立，因此“方和根法”不成立。而“絕對(duì)和法”不受此條件約束。
         

史錦順 發(fā)表于 2015-7-9 16:04
先生說(shuō)的對(duì)，沒(méi)有一般的“二量代數(shù)和的平方等于二量平方之和”（以下簡(jiǎn)稱特定關(guān)系）。我帖中的 ...

誤差的“統(tǒng)計(jì)平均值”也不存在那種“關(guān)系”的！...只有“誤差”的“均方根值”在其“統(tǒng)計(jì)平均值”為零時(shí)（此時(shí)的“均方根值”就是“標(biāo)準(zhǔn)偏差”值）才可能有這種“關(guān)系”！....當(dāng)今的“不確定度”分析限定了種種條件——【誤差的“統(tǒng)計(jì)平均值”為零】就是其“基本假定”之一？.....所謂的“不確定度”分析，就是在假定【誤差的“統(tǒng)計(jì)平均值”為零】的前提下，分析“誤差的可能散布寬度”。

兩個(gè)“統(tǒng)計(jì)平均值”都不為零的“誤差分量”是不可能“完全不相關(guān)”的！

謝謝大家的回答，我感覺(jué)這里的氣氛很好，有問(wèn)題各抒己見。
我感覺(jué)A類合成不確定度，好像真的忽略了一個(gè)問(wèn)題，就是用貝塞爾公式，求得的均值，也就是期值。假設(shè)在同一個(gè)測(cè)量系統(tǒng)中，當(dāng)測(cè)量次數(shù)趨近于無(wú)窮時(shí)候，實(shí)際上往往是30次以上就認(rèn)為是無(wú)窮了，當(dāng)然測(cè)量50次或是100次，或是更多就更好，當(dāng)然啊，還要考慮成本和實(shí)際應(yīng)用，也就是說(shuō)當(dāng)測(cè)量次數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)候，隨機(jī)誤差理論上是零了，但是系統(tǒng)誤差依然是存在的，這個(gè)是個(gè)常識(shí)吧，也就是說(shuō)A類不確定度求出來(lái)的A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度（用方差表示的）是一個(gè)包含了系統(tǒng)誤差的值，這個(gè)系統(tǒng)誤差是客觀存在的，但是具體的值你不知道，因?yàn)檎嬷的阋膊恢溃窍到y(tǒng)誤差是存在的，這是個(gè)定性問(wèn)題，可是B類不確定度和A類不確定度合成，我個(gè)人總感覺(jué)怪怪的，有點(diǎn)不倫不類，假設(shè)B類不確定度依然有系統(tǒng)誤差，B類中的系統(tǒng)誤差和A類的有沒(méi)有重復(fù)的呢？要是有了的話，就重復(fù)計(jì)算了，這就不對(duì)了，感覺(jué)矛盾，有問(wèn)題呀？

所以我感覺(jué)A類和B類合成的不確定度，有點(diǎn)不倫不類，為什么要合成呢？理論依據(jù)是什么？如果A類消除了隨機(jī)誤差的話，那么B類里的誤差是隨機(jī)誤差呢，還是系統(tǒng)誤差呢，還是兩個(gè)都包括了呢？他們合成我自我感覺(jué)怪怪的，不知道大家感覺(jué)呢？?jī)蓚€(gè)誤差不一樣的話，怎么合成呀？

不存在A類不確定度和B類不確定度，也不存在A類合成不確定度，只有不確定度的A類評(píng)定和B類評(píng)定，A類評(píng)定和B類評(píng)定出來(lái)的不確定度沒(méi)有本質(zhì)不同

要質(zhì)疑不確定度可否學(xué)點(diǎn)基本常識(shí)再來(lái)

這世界可真逆天，小學(xué)生都在質(zhì)疑微積分了

蔚藍(lán)的大海 發(fā)表于 2015-7-10 16:39
所以我感覺(jué)A類和B類合成的不確定度，有點(diǎn)不倫不類，為什么要合成呢？理論依據(jù)是什么？如果A類消除了隨機(jī)誤 ...

　　不確定度就是不確定度，不存在A類不確定度和B類不確定度，只存在評(píng)估不確定度時(shí)使用的方法是哪一種，A類和B類是指使用了第一種方法還是使用了第二種方法對(duì)不確定度進(jìn)行估計(jì)。不管用哪一種方法估計(jì)的不確定度，都是各種因素給測(cè)量方法或測(cè)量結(jié)果的可信性引入的分量，都可以合成求得“合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度”（包含因子k＝1時(shí)的總不確定度），乘以包含因子k（相當(dāng)于安全系數(shù)，k＞1）就是測(cè)量工程實(shí)際的測(cè)量不確定度。誤差不是不確定度，誤差是引入不確定度的原因，不確定度是誤差產(chǎn)生的不可信結(jié)果。

什么意思呀這是。。。。

很玄乎的不確定度，我覺(jué)得假設(shè)得太理想了！！！

幾句話：1、誤差分為系統(tǒng)誤差合隨機(jī)誤差  2、誤差合成分為系統(tǒng)誤差合成和隨機(jī)誤差合成 3、對(duì)于系統(tǒng)誤差合成采用全微分式（總誤差微增量=各分量靈敏度系數(shù)*分量增量之后相加之和），對(duì)于隨機(jī)誤差的合成各分量就用標(biāo)準(zhǔn)差u表示，其（靈敏度與u ）平方量之和加相關(guān)量=合成總u平方和，即書上的不確定度傳播率公式。   總結(jié)：既然是不確定度傳播則必然涉及隨機(jī)誤差，隨機(jī)誤差評(píng)定自然用標(biāo)準(zhǔn)偏差u表示，因此公式為書上那個(gè)平方根公式。

其實(shí)史老師說(shuō)出了根本意思，但是他估計(jì)沒(méi)提隨機(jī)誤差合成的推到，呵呵那個(gè)推到很繁瑣，