史氏測量計量學說(7)——第6章 量傳與溯源的誤差方程

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                                       史氏測量計量學說(7)         
                                               ——第6章 量傳與溯源的誤差方程
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                                                                                                                                              史錦順          
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       研究測量，發明測量方法，選擇、構建測量方案，基本目標是減小測量誤差。研究計量，建立標準，是在更高層次上講究誤差。
       分析誤差，準確地計算誤差，是誤差理論的重要內容。本文建立誤差方程，解決了從誤差實驗值到誤差（以真值為參考）的計算問題。說明在真值未知的條件下，是可以計算誤差的。
       貝塞爾公式的精髓是用平均值代換真值（或統計學中的期望值），為實際計算提供了可能；誤差方程以上級標準的值代換真值，實現了用誤差范圍實驗值求誤差范圍，于是誤差范圍可算了。真值代換，是誤差方程的精華。
       當前，誤差理論隨真值概念的被貶而受冤，這里有認識論的根源，而誤差理論自身缺少計算方法，也是其蒙難的一個緣由。
       有了誤差方程，我們可以更全面地認識、論述誤差，更有根據地為真值正名，為誤差平反，重新豎起準確度的旗幟。相信，測量方程與誤差方程會使誤差理論面目一新。
       準確性用誤差來衡量。誤差是測得值與真值的差距。誤差一詞有雙重含義：誤差元與誤差范圍。誤差元定義為測得值減真值。誤差范圍是誤差元絕對值的最大可能值。在人們的習慣用語中，誤差范圍又簡稱為誤差。誤差元的概念，只在誤差理論一開始時用；而在誤差理論主要表達中，特別是在實際應用中，所稱的誤差，都是指誤差范圍。   
       誤差范圍的概念，實際應用中又區分為幾種。
       A 誤差范圍。以真值為參考標準的誤差元絕對值的最大可能值，有人稱其為真誤差范圍，本書簡稱為誤差范圍，測量儀器的誤差范圍記為R，N級計量標準的誤差范圍記為R(N)。
       B 誤差范圍實測值。以上級計量標準為參考標準，實測得到的誤差范圍（誤差元的絕對值最大可能值），稱誤差范圍的實測值,記為R(實驗)。
       C 誤差范圍指標值。測量儀器與計量標準的誤差性能標志值（規格）。
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1 誤差方程的基本形式        
1.1 測量儀器        
       用測量儀器測量標稱值為B的標準。
       M表示測得值，Z表示被測量的真值。B為標準的標稱值。r表示誤差元，R表誤差范圍。計量中是用測量儀器測量計量標準，被測量的真值就是標準的真值。
                   r = M - Z
                  R =|r|max
                     =|M - Z|max
                     =|(M-B)–(Z-B)|max
                     =|M-B|max +|Z-B|max
                     =|r(實驗)|max +|r(標)|max
                   R= R(實驗) + R(標)                                                                  （6.1）
         R是測量儀器的誤差范圍，R(實驗)是測得的誤差范圍，R(標)是標準的誤差范圍。-
1.2 計量標準      
       Z(N).表示N級標準的真值，B(N)為N級標準的標稱值。要確定N級標準器的誤差，要用上一級標準即N-1級標準器構成一臺N-1級標準測量儀器。N-1級標準測量儀器由N-1級標準器加比較儀器構成。要求比較儀器引入誤差可略，于是N-1級標準測量儀器與N-1級標準器誤差相同。用N-1級標準測量儀器測量N級標準器，得M(N-1)。
                  r (N)= B(N) – Z(N)
                  R(N) =|B(N) –M(N-1) + M(N-1) –Z(N)|max
                          =|B(N) –M(N-1)|max +|M(N-1) –Z(N)|max
                          =|r(N,實驗)|max +|r(N-1)|max
                  R(N) = R(N,實驗)+R(N-1)                                                          （6.2）
       R(N)是N級標準的誤差范圍（真誤差范圍），R(N,實驗)是測得的N級標準的誤差范圍實驗值，R(N-1)是N-1級標準的誤差范圍。
       (6.1)式、(6.2)式是誤差方程的基本形式。（6.1）式與（6.2）式的推導，可參考第5章誤差合成的定理一與定理二。
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2 量傳誤差方程                  
       量值傳遞是計量的基本工作方式。將基準的量值，在保證特定誤差范圍的條件下，逐等級傳遞給計量標準，直至測量儀器。
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              標準序號      0（基準）     1等        2等           3等  ……          N-1等                 N等
              誤差范圍     R(0)               R(1)      R(2)          R(3)                R(N-1)              R(N)
              誤差范圍     R(0)               KR(0)    K^2R(0)    K^3 R(0)         K^(N-1)R(0)     K^(N)R(0)
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       R(0)是基準的誤差范圍，不是靠上一等標準來賦值，而有專門的分析與測量的方法。
       R(i)表第i等標準的以真值為參考標準的誤差范圍。又稱真誤差范圍。
       K是量值傳遞因子，誤差范圍之比，下一等比上一等。K=1/q 。
       R(實驗測)是以上一等標準的標稱值為參考標準的誤差范圍的實測值。記為R(M).
       R(實驗標)是以上一等標準的標稱值為參考標準的誤差范圍的標稱值。又稱實驗要求值，或目標值，由計算得出。記為R(T)。R(T)是R(M)的允許的最大可能值。
       下面求由誤差范圍計算誤差范圍目標值R(T)的公式。
       由一般式（6.2）
                  R(i) = R(T,i) + R(i-1)
                  R(T,i) = R(i)- R(i-1)
                  R(T,i) = R(i)[1-q]                                                                             （6.3）
       量傳是實際操作，是用i-1級標準考核i級標準的合格性。由于存在（6.3）式的誤差方程關系，因此i級標準的合格標準不是R(i)，而是R(T,i).
       誤差范圍的以上一等的標準為參考標準的實測值記為R(M,i)。
       當
                  R(M,i) ≤ R(T,i)                                                                                （6.4）
時，判為合格；否則不合格。
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3 溯源誤差方程            
3.1 測量儀器溯源誤差方程  
       M表示測得值，Z表示真值。Z(N).表示N級標準的真值，M(N)為N級標準儀器的測得值。B(N)為N級標準的標稱值。r表示誤差元，R表誤差范圍。
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（1）檢驗測量儀器誤差，要用N級標準測量儀器或N級標準器。
       A 用被檢測量儀器和N級標準測量儀器同測一量（其真值為Z），被檢測量儀器測得值為M，N級標準測量儀器測得值為M(N)。
                  M – Z = M – M(N) + M(N) – Z  
                  R = R(實驗) + R(N)                                                                          （6.5）
       B 用被檢測量儀器測量N級標準器，標準器標稱值為B(N)、真值為Z(N)
                  M – Z(N)= M – B(N) + B(N) – Z(N)
                  R = R(實驗) + R(N)                                                                          （6.6）
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（2）檢驗N級標準測量儀器的誤差或檢驗N級標準器的誤差，要用N-1級標準測量儀器或N-1級標準器。
       A 測同一量，N級標準測量儀器測得值為M(N)，N-1級測量儀器測得值為M(N-1)
                  M(N) – Z = M(N) – M(N-1) + M(N-1) – Z
                  R = R(N實驗) + R(N-1)                                                                     （6.7）
       B 用N級標準測量儀器測量N-1級標準器，其標稱值B(N-1)、真值Z(N-1)
                  M(N) – Z(N-1) = M(N) – B(N-1) + B(N-1) – Z(N-1)
                  R(N) = R(N實驗) + R(N-1)                                                                 （6.8）
       C 求N級標準器的誤差，要用N-1級標準測量儀器來測它
                  B(N) – Z(N) = B(N) – M(N-1) + M(N-1) – Z(N)
                  R(N) = R(N實驗) + R(N-1)                                                                 （6.9）
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（3）同理可知
                  R(N-1) = R(N-1實驗) + R(N-2)   
                  R(N-2) = R(N-2實驗) + R(N-3)     
                  ……
                  R(2) = R(2實驗) + R(1);               
                  R(1) = R(1實驗) + R(0)               
       R0是基準誤差，由基準給出。
       以上各式逐一寫出，并用后式代替前式的最后一項，有
                  R = R(實驗) + R(N)
                  R = R(實驗) + R(N實驗) + R(N-1)
                  R = R(實驗) + R(N實驗) + R(N-1實驗) + R(N-2)
                  R = R(實驗) + R(N實驗) + R(N-1實驗) + R(N-2實驗) + R(N-3)
       以下再代換掉R(N-3)……，最后成為
                  R = R(實驗) + R(N實驗) + R(N-1實驗) + R(N-2實驗) + ……
                      + R(2實驗) + R(1實驗) + R(0,實驗)
       量值傳遞關系決定的級間誤差范圍之比值（上一級比下一級）為系數q，將以上各級誤差實驗值表為R(N實驗)的倍數（^表乘方，*表相乘）
                  R = R(實驗) + R(N實驗) + qR(N實驗) +q^2 *R(N實驗) +……
                      + q^(N-2)*R(N實驗) + q^(N-1)*R(N實驗) +q^N *R(N實驗)
       第2項以后把公因子R(N實驗)提出，成為首項為1，比值為q的N+1項的等比級數，
                  R = R(實驗) + R(N實驗) [ 1+ q + q^2 +……
                        + q^(N-2) + q^(N-1) +q^N ]                                                   （6.10）
       等比級數求和，略去q的高階項q^(N+1)。
       結果為
                   R = R(實驗) + R(N實驗)/(1-q)                                                         (6.11)
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3.2 計量標準溯源誤差方程           
       對N等計量標準(包括已納入計量系列的測量儀器)，(6.10)式改寫為：
                  R(N)= R(N實驗) [ 1+ q + q^2 +……+ q^(N-2) + q^(N-1) +q^N ]      
       解得
                  R(N) = R(N實驗)/(1-q)                                                                      (6.12)
       （6.11）式與（6.12）式是溯源誤差方程。
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4 誤差方程的意義        
4.1 經典計量學的作法            
       計量講究溯源性。誤差方程是關于溯源性的計算。
       計量單位的值，古代各國家、各地區不同。近代世界大發展、大交流，于是有了國際單位制。國際單位制，采用十進制，單位體系簡約、科學，現代為世界各國普遍采用。我國采用國際單位制。
       計量單位的定義由國際計量大會決定。
       復現單位量值的設施稱基準。我國的國家基準在中國計量科學研究院。基準校準一等標準，一等標準校準二等標準，依次類推，由N等標準校準或檢定測量儀器，這就是計量的量值傳遞系統，由上而下的量值流程稱量值傳遞；而測量儀器每年要向上級計量部門送檢，用N等計量標準確定儀器是否合格（是否符合誤差范圍指標），N等計量標準每年要用N-1等計量標準檢定，依此類推直至基準。這個由下到上的尋求量值準確性的過程稱為計量的溯源性。同一種量的測量儀器全國千千萬，但量值的準確性歸根結底都來自基準。   
       測量儀器的誤差范圍由N級標準來判斷，N級計量標準又由上級計量標準來確定，這是可行的，也是正確的方法。但由此產生的誤差（即誤差的誤差）是多少，這個問題可由誤差方程處理。學問簡單，卻沒人仔細推導。筆者給出簡明的誤差方程，證明經典作法是正確的。
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4.2 誤差方程計算         
       1 公式因子計算
                      q           1/3         1/4         1/5         1/6         1/8         1/10
                  1/(1-q)      1.50       1.33        1.25        1.20       1.14        1.11
       2 誤差范圍實驗值該擴大的百分比(K=1/q，是下一級對上一級誤差范圍之比)
                      q           1/3         1/4         1/5         1/6         1/8         1/10
                      K             3           4             5            6            8            10
              擴大百分比   50%      33%        25%      20%        14%        11%
       3 誤差范圍實驗值代替誤差范圍產生的相對偏差
                [R(實驗) – R] / R =R(實驗) / R–1 = - q  
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4.3 誤差方程的意義         
       推導中每步都用真值，但結果中不包含真值，實現了用標準值對真值的代換。   
       誤差方程完成的是上級標準值的功效到真值功效的過渡。
       誤差方程實現了從誤差實驗值到誤差（即真誤差）的計算。
       指出：目前我國某些計量領域中，q取1/3，偏大；應取1/4。隨著技術的發展，q會更小。
       有了誤差方程，可以解除對誤差理論的疑慮了。
       誤差方程出世了，誤差范圍（真誤差的范圍）可以計算了；所謂“真值未知，誤差不可求”的佯謬破解了。
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