討論：測量計量中用σ(平)，還是σ(單)？

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                       討論：測量計量中用σ(平)，還是σ(單)？                     
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                                                                                                                                           史錦順  
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       用貝塞爾公式算標準偏差σ，是測量計量的基本操作。
       標準偏差σ有兩個：單值的σ，記為σ(單)；平均值的σ，記為σ(平)。測量計量中該用σ(平)，還是σ(單)？這是個重要問題。而不確定度評定的一律用σ(平)，即一律除以根號N，是不確定度論的要害之一。為發展測量計量理論，為識別不確定度論之謬論，本文詳細考究兩種σ的適用場合，指出：除極特殊的場合外，σ(平)沒有用場。因此，人們該謹慎地對待除以根號N這項操作。
       本文的主張，不僅是同不確定度論唱反調，也與被公認的傳統測量計量理論有別。在以平均值為測得值的條件下，認為在通常的測量中以及一切計量中，表征量都該用單值的σ即σ(單)；而不該用平均值的σ即σ(平)。這一主張語出驚人，反對者肯定很多。但筆者堅信這是正確的，對實際測量計量工作，是有實用意義的，是重要的。筆者在三十五年的時頻、電子的測量計量的實踐中，也是這樣做的。
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       我國著名數學家華羅庚有個座右銘（電視片《華羅庚》）：“快發表，緩評論，立論靠自己，評論由人家”。我借用最后一句：僅供大家評論，并在題目上加討論二字，以表虔誠。不怕被批，不顧挨罵，斗膽掛出，僅供眾人品評、議論。
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       自己制造儀器，或買來的儀器，只要有夠格標準（源類標準，準確度高于儀器10倍以上），標準又能給出同被測量一致或極接近的標準值，則可現場確定儀器的系統誤差、σ、σ(平)這三項性能指標。這是一種極特殊的情況。在這種極特殊的情況下，基礎測量用σ(平) ，而統計測量用σ(單)。
       絕大多數測量場合，沒有計量標準，只能選用測量儀器。這是一般情況。理論的重點是解決一般情況下該怎樣處理。而把特殊情況，當特例，另行處理。本文把特殊情況與一般情況放在一起比較分析，就可以更明確一般情況的處理方法。
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（一）特殊情況：現場有計量標準
       1 測量儀器現場定標   
        第一次初測，測量儀器接被測量，測量3次，計算測得值L(平預)。
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       第二次接計量標準，以確定測量儀器的性能參數。置標準的值B(標)近似等于L(平預)。示值為J(i)，測量N次，N=25（一定要大于10）。
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       1.1 求平均值J(平)           
                     J(平) = [∑J(i)] /N                                                                          （1）
       1.2 將J(i)代入貝塞爾公式計算實驗標準偏差σ。σ是統計變量的單值分散性的表征量，記為σ(單)。
       1.3 求σ(平)
                     σ(平) = σ(單)/√N                                                                          （2）
       1.4 求測量點的系統誤差與修正值
       系統誤差的定義為期望值減真值
                     r(系)=J(期望值) – Z(標)                                                                （3）
       J(平)對J(期望值)的誤差范圍是3σ(平)，B與Z(標)的偏差范圍是R(B)，用已知量J（平）與B代換定義式中的J(期望值)與Z(標)，系統誤差的測量結果是：
                     r(系)= J(平) – B ±R(B)±3σ(平)  
                     r(系認定)= J(平) – B
                                    = r(系) ±R(B)±3σ(平)                                                   （4）
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       修正值為
                    C = – [J(平) – B]                                                                             （5）
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       2 現場定標后的現場測量            
       現場定標后，當即用該儀器測量被測量。操作與誤差分析計算如下。
       2.1 測得值為M(i)，求平均值M(平)
                    M(平) = [∑M(i)] /N                                                                          （6）
       2.2 將M(i)代入貝塞爾公式計算實驗標準偏差σ(測)。[σ(測)≈σ]
       2.3 求平均值的σ(測平)
                    σ(測平) = σ(測)/√N   [σ(測平)≈σ(平)]                                            （7）
       2.4 上述現場定標，已知測量點的系統誤差(與標準點臨近，可認為系統誤差相同)的測得值。已知
                    r(系認定)= J(平) – B =R(系)±R(B)±3σ(平)                                    （4）
       修正值為
                    C = – [J(平) – B]                                                                              （5）
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       修正前的測得值為
                    L=M(平) + r(測系) ±3σ(測平)                                                        （8）  
       不修正的表達式，就是（8）式。
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        2.5 修正后
                    L(修)=L+C= M(平) + r(系測) ±3σ(測平) – [J(平) – B]
                            = M(平) + r(系測) ±3σ(測平) – [r(系) ±R(B)±3σ(平)]
                            = M(平) +[r(系測) – r(系)]±3σ(測平)±3σ(平)±R(B)
       由于是現場定標與現場測量，被測量相近， r(系測)≈r(系)，二者相消。且σ(測平)≈σ(平)，有
                    L(修)= M(平)±6σ(平)±R(B)                                                            （9）
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       是否修正取決于修正前后誤差的比較。就是看│r(系)│與[3σ(平) +R(B)]哪個大，前者大，修正；后者大，不修正。還要顧及系統誤差的穩定性。系統誤差不穩定，r(系測)不是近似等于r(系)，也不宜修正。注意：測量儀器的測量點很多，各點系統誤差不同，一般難以修正。
       （8）（9）式是現場定標、當即測量的特種情況（定標點與測量點相同）的測量結果表達式與修正后的表達式，用平均值的標準偏差σ(平)表示隨機誤差。
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（二）通常的基礎測量（現場沒有計量標準）沒法用σ(平)           
        所用測量儀器的指標為R(儀)，經過計量，確保儀器的實際誤差范圍不大于R(儀)，但不知道R(儀)所包含的系統誤差與隨機誤差的具體值。通常，系統誤差為主；而隨機誤差次之，但無法確定系統誤差之值。可以通過N次重復測量，取平均值為測得值，這樣，測得值的隨機誤差較小。在被測量為常量的條件下，能夠確定σ(單)與σ(平)，但卻不能確定系統誤差的數值。測量儀器指標R(儀)是確定值，但僅僅是范圍值，是誤差元絕對值的上限。只知總誤差絕對值的上限是R(儀)，而不知總誤差的具體值，也不知隨機誤差與系統誤差的比例關系與實際合成方式， 通常無法確定取平均值對總誤差的改進程度。因此，表達測量結果的誤差范圍，只能保守地采用測量儀器的誤差范圍指標值。即
                    L= M(平) ± R(儀)                                                                           （10）
       就是說，通常情況的測量，取多次測量的平均值為測得值，知道對隨機誤差有改善，但卻只能用儀器的誤差范圍指標值來當測得值的誤差范圍。即測得的σ(平)沒法在測量結果中體現。也就是說，在通常的基礎測量中，表達測量結果不能用σ(平)。
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(三) 統計測量只能用σ(單)，而不能用σ(平)               
        統計測量的對象是準隨機變量，即一個大常值加一個小隨機變量。貝塞爾公式算得的σ與常量部分無關，僅僅是隨機變量部分的特性。隨機變量的表征量是單值的σ，即σ(單)；因而統計測量與σ(平)無關。統計測量只用σ(單)。
        有人說，取量值的平均值當測得值，就該用σ(平)。這是錯誤看法。從正態分布圖上可看出，量值取平均值，平均值加減3σ(單)，才能以99.73%的概率包含各個量值。如果以單值為表征量，以某單值為中心、以3σ(單)為半寬的區間，包含概率要小得多。如取 [平均值加3σ(單)] 的點為中心，則以3σ(單)為半寬的區間的包含概率僅約50%（約有一半的單值在區間外）.
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       請注意統計測量與基礎測量的不同。
       基礎測量的目的是確定單一的真值。以平均值為中心、以以單值為中心以3σ為半寬的區間可以套住真值，而以3σ(平)為半寬的區間也可以套住真值。因此說，“取量值的平均值時用σ(平)，而取量值的單值時用σ(單)，”是對的（假定系統誤差可略或不忘記系統誤差的作用）。而在統計測量的情況下，對象是統計變量，測量儀器的誤差可略，各個測得值都是真值。單值的變化量是對象的問題，對象的問題只能如實反映，區間必須包括99%的單個量值，因此，即使取平均值，也得用σ(單)，而不能用σ(平)。如果用平均值當中心，用3σ(平)當區間半寬，則該區間僅能包含客觀存在的統計變量的一小部分這顯然不行。此時包含區間的包含單值的概率很低（根號N分之一），是無用的區間。
       統計測量與基礎測量之根本不同在于：基礎測量的著眼點是一個真值；而統計測量的著眼點是量值（量值都是真值）的全體。

（四）計量是統計測量            
       計量考究的是系統誤差，也包括σ(單)。計量中的σ(平)，不出現在結果的表達式中。（詳見《論計量是統計測量》一文）
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（五）A類不確定度評定對σ(單)、σ(平)的錯誤運用         
        1 對統計測量，本應是σ(單)，而錯誤的用σ(平)。除以根號N是錯誤的。除以根號N的作用，是抹殺隨機變量的變化特性。
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       2 對基礎測量，隨機誤差由測量儀器引起。測量儀器的誤差范圍為
                     R(儀)= R(系)+3σ(單)
       第一，儀器的指標本來是σ(單)，A類評定取σ(平)，是錯誤的。
       第二，系統誤差R(系)只在有計量標準的場合，即計量場合才能確定。因此在測量場合，A類評定不能完成獨立的評定。由此，不確定評定，不能沒有B類評定，而B類評定中的“說明書儀器規格”中，已包含儀器的隨機誤差范圍。A類評定，重計了。也就是說，對基礎測量來說，A類評定是多余的。
       對統計測量，對基礎測量，A類不確定度評定都不對，因此A類不確定度評定沒用。
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       綜上所述，σ(平)只在現場定標、現場測量的特殊情況下有用；而在統計測量中要用σ(單)；在通常的基礎測量中，要用儀器的誤差范圍指標值，不能用σ(平)；在計量中，表征量也是σ(單)，當前，卻是用σ(平)，大多數都用錯了。精密測量必須多次測量，必須取平均值，是對的，但要慎用σ(平)；如本文分析，絕大多數場合該用σ(單)。而不確定度評定的錯誤，產生的根源之一是σ(平)與σ(單)的混淆與錯位運用。         
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“而不確定度評定的一律用σ(平)，即一律除以根號N“ ？這不是事實！

　　是的，正如2樓所說，“而不確定度評定的一律用σ(平)，即一律除以根號N“ ？這不是事實！
　　事實是絕大多數測量都是以單次測量結果作為被測量的最終測量結果，因此絕大多數測量均使用了重復性實驗的實驗標準差σ(單)作為標準不確定度，擴展不確定度取包含因子k=2或3，因此擴展不確定度使用了2σ(單)或3σ(單)。只有少數測量結果規定測量N次取算術平均值時，標準不確定度才使用σ(單)除以根號N。不確定度評定的技術規范從未將σ(平)與σ(單)的混淆與錯位運用。
　　也許有少數評估者有錯誤使用的情況，這屬于個人的錯誤，不能當成不確定度評定技術規范的規定來抨擊，可以抨擊的是錯誤地使用了不確定度評定方法的少數人。

規矩灣錦苑 發表于 2014-11-18 15:57
　　是的，正如2樓所說，“而不確定度評定的一律用σ(平)，即一律除以根號N“ ？這不是事實！
　　事實是絕 ...

        多次測量，測量N次，有N個測得值，代入貝塞爾公式計算，得到σ，稱為σ(單)，σ除以根號N,得σ(平)。
       測量計量界當前的共識是：取平均值當測得值，則必須用σ(平)當測得值的表征量。取單值當測得值，則用σ(單)當表征量。不確定度評定的A類評定就是測量N次，取平均值為測得值，計算σ，除以根號N得σ(平)，σ(平)叫A類不確定度。我說的就是這個意思，是GUM/VIM/JJF1001/JJF1059 的明文規定，這怎么不是事實？用單值的σ可以嗎？不行的。
       我的主張是：對統計測量來說，測量N次，取平均值，要用σ(單)，因為σ(單)是統計變量的表征量，而σ(平)的期望值是零，不能當隨機變量的表征量。因此，A類不確定度評定，一律除以根號N,是錯誤的。只測量一次，沒有σ可談。講σ的事，必要條件是多次測量。而且是取平均值當測得值。
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史錦順 發表于 2014-11-18 18:49
多次測量，測量N次，有N個測得值，代入貝塞爾公式計算，得到σ，稱為σ(單)，σ除以根號N,得σ( ...

　　是的，“多次測量，測量N次，有N個測得值，代入貝塞爾公式計算，得到σ，稱為σ(單)，σ除以根號N，得σ(平)”這沒有錯，“取平均值當測得值，則必須用σ(平)當測得值的隨機誤差表征量。取單值當測得值，則用σ(單)當其隨機誤差表征量”，也沒有錯。“不確定度評定的A類評定就是測量N次，取平均值為測得值，計算σ，除以根號N得σ(平)，σ(平)叫A類不確定度”則錯了，或者說這個說法不完整。
　　不確定度的A類判定方法是，首先選擇一個被測對象用被評定的測量方法進行重復性測量實驗，實驗次數N越大越好，通過重復性實驗和貝塞爾公式得到實驗標準差s，即您所講的σ，或σ(單)，這個標準差s將存檔備案。實際測量活動中如果標準、規范、規程、作業指導書等（以下簡稱技術文件）規定對被測量測量n次（n可能大于N也可能小于N或等于N）取平均值為測量結果，則該測量結果的標準不確定度為u＝s/√n。當技術文件未規定測量次數時視為默認測量者可進行單次測量的結果作為被測量測量結果，此時n＝1，u＝s/√n＝s/√1＝s，也就是您說的u＝σ＝σ(單)。單次測量的測得值作為被測量測量結果的情況遠比多次測量取平均值作為被測量測量結果的情況多得多，因此2樓說，“不確定度評定的一律用σ(平)，即一律除以根號N”這不是事實，而只是某確定條件下的事實，是取算術平均作為被測量測量結果，且測量次數n與進行重復性實驗時的測量次數N相等時，才是史老師您所說的狀況。
　　您說的“GUM/VIM/JJF1001/JJF1059 的明文規定”寫得也非常清楚，“當用算術平均值x(均)作為被測量估計值時”，被測量估計值的A類標準不確定度為s/√n（見JJF1059.1的4.3.2.1條）。被測量估計值即為測量結果，x(均)是測量n次的測得值算術平均。如果實際測量不是n次，而是n′次，標準不確定度就是s/√n′（見JJF1059.1的4.3.2.6條公式20）。如果失去了“當用算術平均值x(均)作為被測量估計值時”這個前提條件，僅僅是測量一次就給出測量結果，實際測量次數n′＝1，標準不確定度也就是s了（見JJF1059.1的4.3.2.4條最后一句話）。我們不能不顧前提條件，將有前提條件的一句話當成無條件限制的“一律”對待。GUM/VIM/JJF1001/JJF1059 的規定是“在……時”的條件下是s/√n，絕大多數的一般情況下并非s/√n，可能是s，也可能是s/√n′，到底是什么取決于實際測量次數n′。

規矩灣錦苑 發表于 2014-11-18 21:26
　　是的，“多次測量，測量N次，有N個測得值，代入貝塞爾公式計算，得到σ，稱為σ(單)，σ除以根號N， ...

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        討論問題，要抓住根本，直論主題。在測量N次、取平均值為測得值的條件下，分散性的表征量該用σ(平)還是σ(單)，這是問題的實質。
       史錦順的觀點是：現在的不確定度理論以及誤差理論的主流部分，都認為“在上述條件下，該用σ(平)，而不用σ(單)”，這是不對的。統計變量的表征量是σ(單)，應該用σ(單)；而σ(平)的期望值是零，不能當隨機變量的分散性的表征量。因此，對隨機變量的測量，即統計測量，該用σ(單)，而不能用σ(平)。
       無疑，史錦順對測量計量理論，提出了新觀點。對這個觀點，反對，可以說反對的理由；贊成，該說贊成的理由。扯別的，無益于主題的討論。
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       規矩灣先生，對老史這個觀點，你可以贊成，也可以反對。在這里談不同的N或n有什么意思？大N小n都是測量次數，有撇的n沒撇的n都是測量次數，你繞來繞去也還是除以根號次數的。任何有A類不確定度評定的地方，都是除以根號次數的，難道不是事實？講N的不同值的變化，是回避兩個西格瑪選取的合理性的質疑的一種花招。事實上，σ只是數據處理的一個過程，取σ(單)也好，取σ(平)也好，都要變成誤差范圍或擴展不確定度。用戶只能知道一個總結果，那里去知道評定者測量了幾次，所計算的σ又是多少？規矩灣的“評定的σ記入檔案”，說說而已，誰又能查你的檔案？這些沒譜的設想，說了也毫無意義，因為這根本就行不通。實用中，要知道σ，測量幾次就知道了，況且如今計算機普及的時代，σ是自動計算的，哪個笨蛋還去查檔案？買人家的儀器或設備，沒法查！
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史錦順 發表于 2014-11-19 09:31
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        討論問題，要抓住根本，直論主題。在測量N次、取平均值為測得值的條件下，分散性的表征量該用 ...

請史老師先到http://www.bkd208.com/forum.php?mo ... &extra=page%3D1中將計量是否為您定義的統計測量說清楚，沒了計量是統計測量，兩個西格瑪的問題也就解決了。請您務必仔細琢磨您的“統計測量”的定義，再仔細琢磨分析計量的特點是怎么符合或不符合您的“統計測量”的定義，可以先從量具的檢定分析開始。我的結論是計量不符合您定義的“統計測量”，符合您定義的“基礎測量”。

史錦順 發表于 2014-11-19 09:31
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        討論問題，要抓住根本，直論主題。在測量N次、取平均值為測得值的條件下，分散性的表征量該用 ...

　　分散性的表征量該用σ(平)還是σ(單)，這是問題的一個實質，該用σ(平)還是σ(單)的實質在于“分散性的表征量”所表征的對象是“單次測量”的測量結果，還是“多次測量”的平均值作為測量結果。因此，我不能簡單地回答反對還是贊成史老師的觀點，而是具體情況具體分析。
　　現在的不確定度理論以及誤差理論的主流部分都認為，以“單次測量”的測得值作為測量結果，分散性的表征量該用σ(單)，以“多次測量”的平均值作為測量結果，分散性的表征量該用σ(平)，只不過前者站在不確定度的A類評定方法上說，后者站在隨機誤差分析的角度上講。史老師所說的“統計變量的表征量是σ(單)，應該用σ(單)”，這是因為被測對象是“統計變量”自身的分散性，是一個一個獨立的測量結果之間的變化量，每個測量結果都是“單次測量結果”，所以應該用σ(單)。假設被測對象改為統計變量的“平均值”，而不是該統計變量自身的“分散性”，則以“平均值”為測量結果的“分散性”就應該用σ(平)了。A類評定方法獲得的標準不確定度也是如此，單次測量結果的標準不確定度必須用σ(單)，多次測量的平均值為測量結果，其標準不確定度必須用σ(平)。
　　在這里談n與N的不同是測量不確定度評定的需要。無論單次測量結果還是平均值為測量結果，要用A類評定方法評定其標準不確定度都必須進行重復性實驗，實驗次數越多越好，不妨實驗次數記作n（常見案例大多數取n=10）。實際獲得測量結果的測量次數由標準、規范、規程、作業指導書等技術文件規定，不妨記為N（JJF1059.1的n′），未規定測量次數的視為允許N＝1，絕大多數的測量N≠n。N=1時，標準不確定度用σ(單)，N＞1時的多次測量的平均值為測量結果，其標準不確定度必須用σ(平)，但此時的σ(平)≠σ(單)/√n，而是σ(平)＝σ(單)/√N。這就是我一再強調n與N不同的用意。
　　我贊成“事實上，σ只是數據處理的一個過程，取σ(單)也好，取σ(平)也好，都要變成誤差范圍或擴展不確定度。用戶只能知道一個總結果，無需知道測量了幾次，σ又是多少”，但作為不確定度評估者將“σ記入檔案”，是節約管理成本的一勞永逸的好事，不想記錄在案，愿意每次評定都花錢、花時間、花精力重新作重復性實驗也沒人反對。我說的有沒有譜，有沒有意義，行不行得通，大家可以仔細想一想。如今計算機普及的時代，σ可自動計算，也可自動記錄在案，自動查找。“檔案”可以是電子的，也不會有哪個笨蛋還去查紙質的檔案。測量幾次是技術文件的規定，憑知道σ可以知道重復試驗次數，實際測量了幾次，還是得查技術文件規定。買儀器，人家不一定告訴你實驗了多少次，但上述技術文件一定會規定獲得測量結果的檢驗、測量、檢定、校準的次數，不規定次數的就可以默認為允許做單次測量。

“測量計量界當前的共識是：取平均值當測得值，則必須用σ(平)當測得值的表征量。取單值當測得值，則用σ(單)當表征量。不確定度評定的A類評定就是測量N次，取平均值為測得值，計算σ，除以根號N得σ(平)，σ(平)叫A類不確定度。”
與史先生討論，難道以前的誤差理論不是這么做的嗎？早期的高校教材（1981年）《誤差理論與數據處理》中，算術平均值的標準差就是σ除以根號N。所以，這不是不確定度的“專利”。
至于您的觀點，學習中。

　　完全贊同９樓觀點，但補充一點是，如果N是重復試驗次數，用貝塞爾公式計算得到了σ，標準規范規定的測量次數不是N而是n′，例如假設：N=10，n′＝３，則以3次測量結果的平均值為測量結果時，A類不確定度評定方法得到的標準不確定度就應該是u＝σ(平)＝σ/√3，而不是u＝σ(平)＝σ/√10。

深圳漁民 發表于 2014-11-24 14:11
“測量計量界當前的共識是：取平均值當測得值，則必須用σ(平)當測得值的表征量。取單值當測得值，則用σ( ...

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        是的，你說的沒錯。
        此前，我認為不確定度論全錯，所以堅決反對不確定度理論；認為誤差理論有些不足，但無大錯。
        最近才認識到，測量計量界的理論問題更嚴重。不確定度全盤錯誤；當代的誤差理論，也有重大錯誤。
        測量N次，取平均值當量值的表征量，按貝塞爾公式計算σ(單)，除以根號N得σ(平)，用σ(平)當分散性的表征量。這是測量計量界的最最常用的作法。于是，剔除異常數據、西格瑪除以根號N，就成了測量計量必然的操作。 以下稱此為經典作法。
        這種經典作法，在經典測量學中是對的。因為經典測量學的對象是常量，被測量只有一個唯一的、不變的真值，測量的問題，測得值的系統偏差與隨機偏差都是測量儀器引起的。計算西格瑪是對隨機誤差的統計，表征由于隨機誤差產生的分散性。單值的西格瑪表征的分散性，是單個測得值對數學期望的偏離程度（根號內除以N是對平均值的偏離，根號內除以N-1，是對數學期望的偏離）。σ(平)是平均值對期望值的偏離。期望值與真值的偏離是系統誤差。
       對統計變量（一個大常量疊加一個小變量）的測量，我把它稱為“統計測量”。統計測量要表征的是：第一，量值本身是多少，第二，量值的變化范圍。因此，統計測量要取平均值來表達量值，稱最佳估計值，以回答第一個問題。回答第二問題，教科書上的標準回答，也是當前公認的回答是：既然取平均值，就要用平均值的西格瑪，即σ(平)。老史提出的新觀點是：對常量測量，理論上要用σ(平)，但實際上用不上，因為測量要用測量儀器，表達測量結果，必須是測得值（平均值）加減儀器的誤差范圍。而儀器的誤差范圍是用σ(單)確定的，測量中可以算σ(平)，它比σ(單)小得多，不該再計入誤差范圍。加上這個很小的量（精密測量N很大），也不合理，是多余的。
        隨著近代科學的發展，特別測量儀器的精密度的提高，統計測量越來越多。統計測量，測量儀器的誤差可略。測得值各個是真值。統計變量的分散性是各個量值對期望值的分散性，必須用σ(單)；表征的不是平均值的分散性，而不能用σ(平)。
        特別要注意到：計量是統計測量。因為計量時的手段的不良，遠遠小于對象的指標值或對象的變化量，要表征的是對象的問題，必須是單值西格瑪即σ(單)，而不能用平均值的西格瑪即σ(平)。檢定中，對儀器示值的西格瑪除以根號N,這就把被檢儀器的隨機誤差人為地降低根號N倍，是錯誤的。類似的機械零件的尺寸合格性檢驗、產品出廠檢驗、進貨驗收，凡有量值規格的，都是合格性判別的問題，都可稱為計量，都屬于統計測量，都應該用σ(單)，而不能用σ(平)。
        很高興先生看了我的文章，注意到我的新觀點，請先生提出你的看法。肯定有不同意見，沒關系，我愿意聽聽不同的見解，再仔細推敲我的新理論。
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補充內容 (2014-11-25 18:17):
修改說明：“當代的誤差理論，也有重大錯誤。”改為：現代誤差理論在“剔除異常數據”、“西格瑪除以根號”的問題上，也有嚴重錯誤。

　　我認為當代的誤差理論并無大錯。對被測量Y測量N次，取平均值X(均)當量值的表征量，按貝塞爾公式計算σ(單)，除以根號N得σ(平)，用σ(平)當X(均)分散性的表征量，即σ(平)當測量結果X(均)的隨機誤差，σ(單)為被測量Y的分散性區域半寬并不錯。在不確定度評定的A類方法中將σ(單)作為單次測量結果的標準不確定度，σ(平)＝σ(單)/√n′（注：不是√N，此時N為重復試驗次數，n′是獲得測量結果的實際測量次數），也沒有錯。
　　即便是史老師所說的統計測量，被測量Y是變化的，若用N次測量結果的平均值X(均)作為該統計量的測量結果，該測量結果X(均)的隨機誤差也還是σ(平)，該統計量Y的分散性用σ(單)表示。