對(duì)兩個(gè)σ的反思

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                                              對(duì)兩個(gè)σ的反思                        
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                                                                                                                                 史錦順
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（一）兩個(gè)σ          
       一回測(cè)量，測(cè)量N次。N個(gè)示值M(i)的平均值是測(cè)得值，記為M(平)。將N個(gè)示值M(i)代入貝塞爾公式，計(jì)算得標(biāo)準(zhǔn)偏差σ。標(biāo)準(zhǔn)偏差有單值的σ，記為σ(單)；另一個(gè)是平均值的σ，記為σ(平)。σ(平)等于σ(單)除以根號(hào)N。
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       σ(單)的特點(diǎn)：隨著測(cè)量次數(shù)N的增大，σ(單)趨近一個(gè)常數(shù)。這表明，當(dāng)N趨近于無窮大時(shí)，σ(單)的極限是個(gè)常數(shù)。此常數(shù)是σ(單)的期望值。一個(gè)統(tǒng)計(jì)變量的分散性，對(duì)應(yīng)于特定的σ(單) ，因此σ(單)是統(tǒng)計(jì)變量的表征量。
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       σ(平)的特點(diǎn)：σ(平)是測(cè)量次數(shù)的函數(shù)，隨著測(cè)量次數(shù)的增大，σ(平)以根號(hào)N分之一的速率減小；當(dāng)N趨于無限大時(shí)，σ(平)的期限值是零。σ(平)是個(gè)與測(cè)量次數(shù)N有關(guān)的值，且其期望值為零，因此，σ(平)不能當(dāng)統(tǒng)計(jì)變量分散性的表征量。
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       σ(單)與σ(平)的區(qū)分，體現(xiàn)在實(shí)際操作上，就是“是否除以根號(hào)N”。
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（二）經(jīng)典測(cè)量理論的說法              
       經(jīng)典的測(cè)量，被測(cè)量是常量，示值的隨機(jī)變化，是測(cè)量儀器的隨機(jī)誤差產(chǎn)生的。這是手段的問題。手段是可以而且應(yīng)當(dāng)改進(jìn)的，因此取σ(平)，即將σ(單)除以根號(hào)N。
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（三）統(tǒng)計(jì)測(cè)量           
       統(tǒng)計(jì)測(cè)量，測(cè)量儀器的誤差可略，測(cè)得值個(gè)個(gè)是被測(cè)量的真值。測(cè)得值的變化是被測(cè)量的實(shí)際變化。這個(gè)變化，必須如實(shí)反映，不得縮小。要用σ(單)來表征被測(cè)量的變化，不能用σ(平)。也就是說，統(tǒng)計(jì)測(cè)量的σ，不能除以根號(hào)N。
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（四）不確定度理論的規(guī)定            
       A類不確定度評(píng)定，測(cè)量N次，用N次測(cè)量的平均值表征被測(cè)量，規(guī)定用σ(平)來表征被測(cè)量的分散性，即將σ除以根號(hào)N，這對(duì)統(tǒng)計(jì)測(cè)量來說是錯(cuò)誤的，對(duì)基礎(chǔ)測(cè)量來說是多余的。
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（五）基礎(chǔ)測(cè)量的實(shí)際表達(dá)           
       基礎(chǔ)測(cè)量的模式：被測(cè)量是常量，測(cè)量儀器有誤差。測(cè)量儀器的誤差范圍指標(biāo)為R(儀)，R(儀)由系統(tǒng)誤差范圍R(儀系)與隨機(jī)誤差范圍R(儀隨)組成。
       測(cè)量儀器的性能指標(biāo)值由生產(chǎn)廠給出，由計(jì)量部門公證（有檢定證書）。
       人們?cè)谶M(jìn)行測(cè)量前，根據(jù)測(cè)量任務(wù)的要求，選用夠格的測(cè)量儀器。因此，測(cè)量者，必然知道所用測(cè)量儀器的誤差范圍的指標(biāo)值。
       測(cè)量者用測(cè)量儀器的誤差范圍的指標(biāo)值R(儀)，當(dāng)做測(cè)得值的誤差范圍，是冗余代換，簡單、合理、保險(xiǎn)。測(cè)量者的測(cè)量結(jié)果為：
                     L = M(平) ± R(儀)                                                                        （1）
       注意，R(儀)中包含儀器示值誤差的隨機(jī)誤差范圍R(儀隨)：
                    R(儀隨) = 3σ(單)                                                                           （2）
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       通常誤差理論中講的，基礎(chǔ)測(cè)量（常量與慢變化量的測(cè)量）的數(shù)據(jù)處理，是求
                    σ(平) = σ(單)/√N(yùn)                                                                           （3）
       必有
                    3σ(平) ＜＜ 3σ(單)
       因此當(dāng)已用R(儀)表達(dá)測(cè)量的誤差范圍時(shí)，已經(jīng)充分包含了測(cè)量的隨機(jī)誤差。因此，測(cè)量結(jié)果的表達(dá)中，不必加入新算的σ(平)這一項(xiàng)。
       結(jié)論：基礎(chǔ)測(cè)量，不必計(jì)入σ(平)。
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       學(xué)了誤差理論，知道測(cè)量多次，取平均值當(dāng)測(cè)得值，測(cè)得值的隨機(jī)誤差比取單值的隨機(jī)誤差小，就行了。因?yàn)橐脙x器的誤差范圍當(dāng)測(cè)得值的誤差范圍，已計(jì)入隨機(jī)誤差因素σ(單)，就不必計(jì)入σ(平)了。計(jì)入就重計(jì)了。
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（六）σ(平)無用說         
       在統(tǒng)計(jì)測(cè)量（快變量測(cè)量）中，必須用σ(單)來表征，因?yàn)棣?單)是隨機(jī)變量的表征量，而σ(平)不是隨機(jī)變量的表征量。不能用σ(平)。
       在基礎(chǔ)測(cè)量中，測(cè)量儀器的誤差范圍，已包含σ(單)，它遠(yuǎn)大于σ(平)，不該再另計(jì)入σ(平)。因此，基礎(chǔ)測(cè)量中，也用不著σ(平)。
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       結(jié)論：在基礎(chǔ)測(cè)量、統(tǒng)計(jì)測(cè)量中，都不用σ(平)。因此σ(平)無用。
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       老史的這個(gè)說法，一定會(huì)備受責(zé)難。來吧，敬請(qǐng)大家批評(píng)！
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您對(duì)“基礎(chǔ)測(cè)量”的描述和處理我認(rèn)為是正確的。可是對(duì)于“統(tǒng)計(jì)測(cè)量”的描述和處理我不贊成。
您說：“ 統(tǒng)計(jì)測(cè)量，測(cè)量儀器的誤差可略，測(cè)得值個(gè)個(gè)是被測(cè)量的真值。”既然測(cè)得值個(gè)個(gè)是被測(cè)量的真值，也就是認(rèn)為個(gè)個(gè)測(cè)得值的不確定度為零，如果用平均值表示測(cè)量結(jié)果（應(yīng)該是這樣吧），則平均值的不確定度也必然為零，既然其不確定度為零，還有哪來的標(biāo)準(zhǔn)偏差。用σ(單)來表征被測(cè)量的變化可以這么規(guī)定，也可以用極差來表征被測(cè)量的變化，用σ(單)或其什么倍數(shù)來表示平均值的不確定度就不對(duì)了。
我剛參加了“全國電磁計(jì)量技術(shù)委員會(huì)直流和安規(guī)儀器工作組2014年年會(huì)”，期間與有關(guān)專家探討了計(jì)量是否為您定義的統(tǒng)計(jì)測(cè)量，計(jì)量真的不是統(tǒng)計(jì)測(cè)量，望史老三思。

　　（一）測(cè)量N次，N個(gè)測(cè)得值M(i)的平均值是測(cè)量結(jié)果，記為M(平)。用貝塞爾公式可計(jì)算得標(biāo)準(zhǔn)偏差σ，記為σ(單)，平均值的標(biāo)準(zhǔn)差σ(平)＝σ(單)/√N(yùn)，這都沒有錯(cuò)。σ(單)是每個(gè)測(cè)量結(jié)果M(i)的標(biāo)準(zhǔn)差，將隨測(cè)量次數(shù)N的增大趨近一個(gè)常數(shù)。σ(平)是測(cè)量結(jié)果M(平)的標(biāo)準(zhǔn)差，隨著測(cè)量次數(shù)N的增大趨近于0。這說明每個(gè)M(i)的標(biāo)準(zhǔn)差都是相同的，都是常數(shù) σ(單)，而M(平)的標(biāo)準(zhǔn)差 σ(平)隨著測(cè)量次數(shù)N的增加而減小，N→∞時(shí)， σ(平)→0。標(biāo)準(zhǔn)差反映了測(cè)量結(jié)果的隨機(jī)誤差（含未知系統(tǒng)誤差）的大小，這也說明了以多次測(cè)量的平均值為測(cè)量結(jié)果比單次測(cè)量結(jié)果的隨機(jī)誤差小，修正了已知系統(tǒng)誤差的情況下，平均值比單次測(cè)量結(jié)果更準(zhǔn)確，更貼近被測(cè)量真值。
　　（二）經(jīng)典的測(cè)量，被測(cè)量是常量，測(cè)量儀器的隨機(jī)誤差產(chǎn)生了測(cè)量結(jié)果的隨機(jī)變化，產(chǎn)生了測(cè)量結(jié)果的隨機(jī)誤差，當(dāng)然也還應(yīng)該包括人員估讀、環(huán)境條件的隨機(jī)變化對(duì)測(cè)量結(jié)果隨機(jī)誤差的影響。這的確是手段的問題，手段就是測(cè)量方法。手段是可以而且應(yīng)當(dāng)改進(jìn)的，但改變測(cè)量方法就意味著不是原來測(cè)量方法的標(biāo)準(zhǔn)差，取σ(平)＝σ(單)/√N(yùn)表征的測(cè)量結(jié)果M(平)的隨機(jī)誤差僅適用于指定的測(cè)量方法，改變測(cè)量方法，σ(單)和σ(平)都將改變。
　　（三）統(tǒng)計(jì)測(cè)量，選擇的測(cè)量儀器的誤差相對(duì)于被測(cè)量的變動(dòng)量應(yīng)小到可忽略，這樣得到的測(cè)得值的變化才能視為被測(cè)量的實(shí)際變化。這個(gè)變化，必須如實(shí)反映，不得縮小。統(tǒng)計(jì)測(cè)量要的測(cè)量結(jié)果是被測(cè)對(duì)象變化量而不是平均值，因此要用σ(單)來表征被測(cè)量的變化量，不能用σ(平)，也就是說，統(tǒng)計(jì)測(cè)量的σ，不能除以根號(hào)N。但，若統(tǒng)計(jì)測(cè)量的測(cè)量結(jié)果需要的是算術(shù)平均值而不是被測(cè)對(duì)象變化量，則平均值的分散性和標(biāo)準(zhǔn)差就仍然是σ(平)。所以要不要將σ(單)除以√N(yùn)，關(guān)鍵仍然是看測(cè)量結(jié)果的性質(zhì)，而不是看常量測(cè)量還是統(tǒng)計(jì)測(cè)量。
　　（四）不確定度的A類評(píng)定方法，當(dāng)測(cè)量N次，用N次測(cè)量的平均值表征被測(cè)量測(cè)量結(jié)果時(shí)，規(guī)定用σ(平)來表征被測(cè)量測(cè)量結(jié)果的不確定度分量之一，σ(平)＝σ(單)/√N(yùn)是完全正確的。σ(平)＝σ(單)/√N(yùn)無論對(duì)統(tǒng)計(jì)測(cè)量還是常量測(cè)量來說都是正確的，當(dāng)N=1時(shí)，σ(平)＝σ(單)/√1＝σ(單)，這就是單次測(cè)量結(jié)果的不確定度分量之一，只不過這個(gè)σ(單)不是通過N次測(cè)量得到的，而是早先通過n次重復(fù)性實(shí)驗(yàn)得到的。
　　（五） 學(xué)了誤差理論，知道測(cè)量多次，取平均值當(dāng)測(cè)得值，測(cè)得值的隨機(jī)誤差比取單值的隨機(jī)誤差小，但還應(yīng)該知道取平均值作為測(cè)量結(jié)果時(shí)，隨機(jī)誤差與測(cè)量次數(shù)之間的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系就是平均值為測(cè)量結(jié)果時(shí)的隨機(jī)誤差表達(dá)式σ(平)＝σ(單)/√N(yùn)。用儀器的誤差范圍（允差）當(dāng)測(cè)得值的誤差范圍是近似的，是單次測(cè)量結(jié)果的誤差，因此測(cè)量結(jié)果的隨機(jī)誤差用σ(單)，但重復(fù)多次測(cè)量取平均值作為測(cè)量結(jié)果，既然史老師也承認(rèn)“測(cè)得值的隨機(jī)誤差比取單值的隨機(jī)誤差小”，到底小到什么程度也還是應(yīng)該知道，測(cè)量次數(shù)越多就會(huì)越小，否則做一兩次測(cè)量就可以的事沒有人傻乎乎地做十次八次上百次，因此這個(gè)σ(平)的確還是有計(jì)算的必要。
　　（六）在統(tǒng)計(jì)測(cè)量（快變量測(cè)量）中，“快變量”的變動(dòng)量必須用σ(單)來表征，因?yàn)棣?單)是隨機(jī)變量的表征量。而當(dāng)需要平均值作為該“快變量”的測(cè)量結(jié)果時(shí)，平均值的隨機(jī)誤差（注：不是某次測(cè)量的測(cè)量結(jié)果隨機(jī)誤差）仍應(yīng)該用σ(平)表征。
       在基礎(chǔ)測(cè)量中，測(cè)量儀器的誤差范圍，已包含σ(單)，它遠(yuǎn)大于σ(平)，不該再另計(jì)入σ(平)，這只是針對(duì)以單次測(cè)量的測(cè)得值我測(cè)量結(jié)果的情況，如果用N次測(cè)量取平均值作為測(cè)量結(jié)果，該測(cè)量結(jié)果的隨機(jī)誤差不是σ(單)而是σ(平)。這就是史老師所說“測(cè)量多次取平均值當(dāng)測(cè)得值，測(cè)得值的隨機(jī)誤差比取單值的隨機(jī)誤差小”的原因，因此，基礎(chǔ)測(cè)量中的多次測(cè)量取平均值作為測(cè)量結(jié)果，也離不開σ(平)，怎么能夠得出結(jié)論：在基礎(chǔ)測(cè)量、統(tǒng)計(jì)測(cè)量中都不用σ(平)，因此σ(平)無用的結(jié)論呢？

規(guī)矩灣錦苑 發(fā)表于 2014-11-3 12:18
　　（一）測(cè)量N次，N個(gè)測(cè)得值M(i)的平均值是測(cè)量結(jié)果，記為M(平)。用貝塞爾公式可計(jì)算得標(biāo)準(zhǔn)偏差σ，記為 ...

確實(shí)如此，實(shí)際測(cè)量過程中很多會(huì)要以平均值做為測(cè)量結(jié)果，這就離不開σ(平)