不確定度理論的五大難關(3)——可疑又難懂的自由度

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                  不確定度理論的五大難關(3)

                                ——第三關：可疑又難懂的自由度

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                                                                                                                                          史錦順

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（一）自由度該有自由

自由度的概念，本來是個嚴肅的物理概念。物理中，自由度又稱“維數”。戰場上，坦克是二維運動，可以橫沖直撞，坦克的位置，由經度、緯度來確定。是二維的。經度可能取各種值，是一個自由度；維度可以取各種值，是一個自由度，一共是兩個自由度。飛機有經度、緯度、高度三個自由度。潛水艇有經度、緯度、水平面下深度三個自由度。航空母艦及水面艦艇船只，只有經度緯度兩個自由度。由于空間的三維性，宇宙雖大，而每個物體的運動，最多有三個自由度。

每一維都可以取各種值，不受限制，固有其名曰：“自由度”。火車在某段路上，可以前進后退，卻不能脫離鐵路線橫行，又不能做垂直地面的運動，因此火車在三維空間中，兩維受限制，只有一個自由度。

數學中，函數有N個變量，就稱有N個自由度。說得過去。因為每個變量都可自由取值。

函數 f(x,y)=x+y，x可以自由取值，y可以自由取值，有兩個自由度。如果給定一種關系，x-y=c，c是常數，則自變量可以代換掉一個，y=c+x，則函數變成f(x)=2x+c。原來是兩個自變量即兩個自由度；加一個條件限制，自變量成為一個，自由度減少一個。

由上可知，自由度，該有自由。

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不確定度宣貫以來，說取N個示值，就是N個自由度。我認為由此稱說自由度，自由度就太多了。一個自由度取一個數，哪還有“自由”的味道？

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統計測量的書中，確有N次獨立測量，有N個自由度的說法。我反對不確定度理論，卻不敢也不該反對統計理論。反復思考，統計理論意義下的自由度，我認為是如下的意思。

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一場測量，N次取值。

M場測量，每場N次取值，總共有MN個數據。

橫排是次數，縱排是場數，有

        11，12， …… 1 N

        21，22， …… 2N

         ↓    ↓         ↓

       M1    M2   ……   MN

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     統計理論說N次獨立測量有N個取值，有N個自由度。由此討論遵從統計理論的不確定度理論的自由度。

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（二）疑問：貝塞爾公式的自由度是N-1嗎？

不確定度論講究自由度。第一處講自由度，說貝塞爾公式的自由度是n-1。我認為，這是錯誤的。

n是數據量，即獨立測量的個數。統計理論的自由度，應是有多少個獨立測量，就有多少個數據，就有多少自由度。自由度是對獨立測量說的，是對數據說的，自由度是多少，本質說的是數據有多少個取值的可能。標準方差中是用偏差Xi-EX，是n個自由度，怎么到貝塞爾公式中用平均值代替數學期望，數據量還是n個，而自由度竟變成n-1了？如果取值的自由度是n-1,則應是有n-1個數據就決定一切了，第n個數據不起作用，是個沒有自由度的必然量。這是不符合事實的，n個數據，哪個也不能少。例如取2個數據，是2個自由度，如果已知二數據之和為b，則知道X1，必知X2是b-X1,因而是1個自由度。但取殘差平方和時是一個也不能少的。具體計算一下。

      [X1-(X1+X2)/2]^2 + [X2-(X1+X2)/2]^2 =(X1-X2)^2 /4

式中X1、X2都在，哪個也不能缺，仍是2個自由度。

因此，說殘差之和等于零是一個約束條件，即限制數為1。由此可得自由度n= n - 1。 這句話是不對的。n個數據的自由度是n,而不是n-1。公式中用到數據之和，設為Z，這是多出一個值，自由度該加1，而多出的Z等于數據之和是約束條件，要減去1，自由度加1又減1，還是n。

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結論：貝塞爾公式的自由度是n，而不是n-1。您說，對嗎？

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（三）弱化自由度

學習不確定度理論的人都知道，自由度是個難點。正確的客觀規律，有實際用途的知識，再難也該學。但不確定度論講的自由度，一開始就不對（即將n誤解為n-1）；以后的內容，更難；至于對不對，天知道。反正像老史這樣的北大物理系六年制的畢業生，又經五十年苦讀、求真的人，就認可是自己學不懂。那么有多少人能學懂會用呢？學不懂，只好抄。可笑的是，一個樣板評定，估計國家計量院的可信度是80%，由此算等效的自由度。國家計量院的可信度，這樣低，那個自由度就很難讓人相信了。

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2011年2月，JJF1059.1《測量不確定度評定與表示》規范修訂起草小組，提出“本規范弱化了對給出自由度的要求”，這是正確的。說明，在中國計量界的學術高層，已認識到自由度無用的本質。

自由度的概念，無實際用途，難解難算，樣板評定中有人用，除數據量的自由度取n-1（這是錯的）外，都是些隨意的估計。筆者的意見是：既然弱化，就弱化到零吧。

既然自由度可以“弱化”，不確定度論就該弱化。

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最后，對比一下。

誤差理論，不講究自由度。不學、不用自由度。一切正常，這是正路。

不確定度理論，弄出個自由度來，還要求每個測量結果都說明自由度。而人們對自由度又學不懂、不會用。逼得人們違心地去抄襲，去蒙混；這實在是對計量人的褻瀆。怨氣滿腔的計量工作者，認清不確定度論的偽科學本質，堅決反對不確定度論！

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史老的評論走上了正軌，支持下。

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謝謝崔先生的鼓勵

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自由度n-1。這是用高中數學的知識都能解譯的，還在討論，更別說大學的概率論。。簡單通俗的說，這個自由度是針對偏差的，不是針對測量值。即"x(i)-x(平）"，不是“x(i)”。而n*x(平）=x(1)+...x(n)“，交換一下：【x(1)+...+x(n-1) 】-   (n-1)*x(平）=x(平）-x（n)。。再交換一下  【x(1)-x(平）】+... 【x(n-1)-x(平）】=-【x(n）-x（平)】，看出來了吧，前n-1個偏差可以決定最后一個偏差。。。。。。。。

n取多少，與評定的人有關，勤勞的、勤快的取得大點，懶惰的、偷奸耍滑的取得少點，呵呵，這也充分體現了不確定度的本質：不確定嘛。

回復 4# thearchyhigh

      先生說：
      自由度n-1。這是用高中數學的知識都能解譯的，還在討論，更別說大學的概率論。簡單通俗的說，這個自由度是針對偏差的，不是針對測量值。即"x(i)-x(平）"
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     史辯：
     先生把自由度的問題看得極簡單，認為沒有討論的價值。并且不無諷刺地說，高中數學知識都可以解決，更別說大學。把老史貶到初中以下去了。
     統計學明確規定：自由度是針對“獨立采樣量”講的；不是針對計算的量（中間量）說的。x(i)-x(平）叫殘差，是計算量，不是“獨立采樣量”。其中的X(平)是n個“獨立采樣量”計算出來的，少一個都不行。因此，既然“獨立采樣量”是n,自由度就是n,而不是n-1. 如果測量儀器測得的是差值（例如被測量與標準量的差值），那時自由度多少取決于“差值”的多少。因為此時的“差值”是“獨立采樣量”。
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     我認為：取得學術研究成果的關鍵有兩條：一是敢置疑，二是靠實踐。實踐最基本，但置疑卻是打開科學寶庫的鑰匙。如果上了書的，就認為當然正確，那將難有突破。
     這倒使想起幾個故事，詳見《駁不確定度論一百六十篇集》（P333）。雖然本網發表過，許多新網友可能不知道。題目是《創新始于置疑》。學術討論有些枯燥，看點文藝性的回憶錄，也許是個調劑。我寫了二百多篇學術性文章，有些網友奇怪，看了我的這篇文章，也許能得些啟發。本想在這里復印一下，怕浪費版面，請網友自己查吧。如有網友希望在這里看，我再復制。
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回復 1# 史錦順


    對于例子【具體計算一下。

      [X1-(X1+X2)/2]^2 + [X2-(X1+X2)/2]^2 =(X1-X2)^2 /4

式中X1、X2都在，哪個也不能缺，仍是2個自由度。】

——從結果來看，其‘自由度’好像是只有一個了：只與差值 △X=（X1-X2）有關了！

在“評估”出“測量不確定度”時，給出相應的“自由度”真的是沒有什么實際意義的，在沒有人“保證”所論‘隨機量’究竟服從什么‘分布’的情況下，由“自由度”表達對‘分布’參數的‘評估’質量，基本是‘扯淡’！ ....“測量不確定度”的“評估”‘自由度’只有假想條件下的‘學術’意義---可能只對“數學”有意義！......“測量不確定度”的實際“評估”質量只能由“實踐”來‘檢驗’--- 對于“基準”以下“對象”的“測量不確定度”，可以依靠“上級”來‘核查’，或由人們可以確認的效應來判斷；對于“基準”的“不確定度”（不準確度）---這只是少數‘專家’的事情，不知有多少是給了‘自由度'的？

　　我一直都在強調不確定度不是誤差也不是誤差范圍，不確定度的作用是定量評判測量結果的“可疑度”或可信性、可靠性。誤差理論告訴我們任何測量結果都不是符合定義的“被測量真值”，都含有大小不等的誤差。因此，我們必須建立一種思維，對任何測量結果都應該先打個問號表示懷疑，“我在我的工程中使用這個測量結果可靠嗎？”，這就是可信性問題，不確定度就是為了解決這個可信性或可靠性的量化評判問題。在解決了這個疑問后才能放心大膽的使用或廢棄這個計量結果。
　　我現在先回避n次測量后以其平均值作為測量結果的自由度是n還是n－1，僅就這個n次測量結果的可靠性而言，自由度是否有存在價值的問題談談個人的觀點。前面說過不確定度是評判測量結果“可疑度”的參數，換句話說就是對測量結果的否定之大小，不確定度又是人為估計的結果難道不值得懷疑嗎？“自由度”就是對不確定度的懷疑參數，是對不確定度的否定之大小。根據否定之否定就是肯定的哲理，不確定度越小測量結果越可信，自由度是不確定度的否定，是測量結果的否定之否定，因此自由度越大測量結果越可信。
　　如此看來，以平均值作為測量結果時，測量次數n越多自由度也就越大，自由度越大測量結果越可靠也就是順理成章了。所以自由度還是有其存在價值的，這并不僅僅是少數專家的事，只不過因為人們對上級技術機構的測量結果歷來是信任的，信任的程度甚至都達到了100%。但不確定度評定理論仍然認為任何測量結果都有其不可信性（不確定度），哪怕是唯一的計量基準，其誤差不可測得而視為０，也仍然有其不確定度。JJF1059.1-2012的表4就是對上級技術機構測量結果的懷疑程度與自由度之間的關系。例如你對上級檢定結果的懷疑程度0.10（即10%)，自由度就是50，懷疑程度越大自由度越小，懷疑程度越小自由度就越大，一點都不懷疑，自由度就是∞。一般來說除了理論計算的量值、人們（國際上）共同約定的量值和極其穩定的國際基準、國家基準的量值自由度可以取∞，我們可以完全相信外，其它任何測量結果都應給予不同程度的懷疑，給予不同大小的自由度。

回復 7# njlyx


   

先生說：從結果來看，其‘自由度’好像是只有一個了：只與差值 △X=（X1-X2）有關了。

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史辯：差值△X=（X1-X2），就是兩個自由度。△X由獨立采樣量X1與X2共同決定，哪個也不能少，因此必是兩個自由度。如果給定一個條件X1+X2=C,C是常數，則X1、X2中可以代換一個，也就是獨立采樣只有一個，才能說自由度為1. 這個限定條件是真限定。

原式

           △X=X1-X2                    （1）

因已限定  

           X1+X2=C                      （2）

有   

           X2= C-X1                     （3）   

（3）式代入（1）式有

           △X=X1-（C-X1）

              =2X1-C                    （4）

我說：原差值是兩個自由度，加一個限制條件，變成一個自由度，這是說得通的。

    如先生的說法，（1）的自由度是1，加上（2）的限制，（4）的自由度就是零了。這顯然不通。有一個X1在，它是獨立測量，就必須是一個自由度。如果說著眼點是差值，那2X1-C也是差值，自由度應該是1，而不是零。

    對σ的自由度來說，平均值是n個獨立采樣值的計算結果，必須用n個值計算，一個都代換不掉。如果給定平均值是常數差C，那就可以代換掉一個采樣值，而自由度成為n-1.可惜，平均值是n個采樣值的計算結果，必須n個值到齊才行。

    還有一點，一個函數的自由度，由獨立變量決定，與函數表達式無關。

Y=X1+X2+X3+X4+X5，和數只有一個，能說是一個自由度嗎？不能。自由度應該是5。

    阿侖方差的統計單元是二量之差。每組二值，連續采樣；取30組，差值是30個，但獨立采樣是60個值，只能說在自由度60.因為統計理論規定獨立采樣數等于自由度.當然，阿侖方差不講究沒有實際用途的自由度。我的《測量計量學》也絕不提一句“自由度”這種廢話，因為它實在沒用。沒法實驗核對，也沒法實驗證否。

    還有，如果函數是Y=(X1-X2)+(X1^2-X2^2)+(X1^3-X2^3),雖然差值有三種，因獨立變量只有X1與X2兩個，也僅能說自由度是2，而不能說是3，更不能說是1.

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回復 8# 規矩灣錦苑


      把不確定度就當做“誤差范圍”（置信概率不同），這已是很多人的共識，GUM的區間公式，VIM3的包含真值的區間，也都表明了這一點。你老先生還是堅持那個“可信性”“可疑度”之類的說法，那是你的自由，我不再就此問題與您對話了（其他方面當然可以討論），都說三年了，你不改口，還自以為正確，這不全怪你，你不過是上了當初不確定度論宣傳的當。你該結合那些不確定度評定的樣板，再想一想計量的實際，哪有什么“可信性”？都是誤差范圍嗎！
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回復 10# 史錦順

　　 把不確定度就當做“誤差范圍”（置信概率不同）雖然可能是業內一些人的共識，但這個“共識”顯然違背了術語“不確定度”的定義最本質的含義。“區間公式”是不存在的，VIM3的包含真值的區間存在，但不確定度只是這個區間的“寬度”（半寬），不是這個“區間”，不確定度并不關心區間在哪里，只表述該區間的寬度，我認為在探討不確定度理論時，誤差、誤差范圍、不確定度、區間、區間寬度、準確性、可信性（可靠性）等基本術語必須明確，不能相互混雜，相互替代。
　　不確定度是人們憑所掌握的測量過程全部信息估計出來的被測量真值存在區間的半寬，和測量結果的誤差及誤差范圍的大小毫無關系，只不過是被用來定量評判測量結果的可信性罷了。
　　“可疑度”的說法并不是我個人的發明，而是GUM在提出不確定度定義時一開始就認定的，我只不過認為這個提法的確可以非常簡單明了地與誤差和誤差范圍評定的準確性加以區分，因此強調了它，特別提醒大家必須嚴格區分不確定度與誤差范圍的本質區別，千萬不要將它們相混淆。一旦有絲毫的混淆或混同，用誤差理論來解釋不確定度，用準確性解釋可信性，就必然陷入不確定度不可理解，不確定度必須廢除的誤區之中。
　　實際測量工作，包括實際計量檢定/校準工作，都離不開給出測量結果（包括檢定結果和校準結果），這些測量結果的品質高低需要量化評判，準確性參數是其質量指標之一，但和所有的產品質量指標一樣準確性并非是唯一一個評判參數，的確還有別的質量評判參數，可信性參數就是其中之一。準確性雖然很重要，但準確性很高的測量結果可信性達不到要求同樣不能采用而必須廢除，另外選擇測量方法重新測量，往往準確性與可信性兩者，可信性是首先考慮的條件，只有保證了可信性滿足要求，才能進一步考慮測量結果的準確性是否達標。可信性和準確性均達到質量要求的測量結果才能決定“產品”合格，這個合格的測量結果才可被用來判定被測對象的符合性。

回復 9# 史錦順

關于統計量估計的“自由度”算法，本人是無力深究。一下是有人在網上發的東西(http://www.baidu.com/s?ie=utf-8&f=8&rsv_bp=1&ch=&tn=baidu&bar=&wd=%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E5%8F%82%E6%95%B0+%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%BA%A6&rn=&rsv_enter=0&inputT=18938)，似有道理....

例1：
估計總體的平均數（）時，由于樣本中的個數都是相互獨立的，任一個尚未抽出的數都不受已抽出任何數值的影響，所以自由度為。
例2：
估計總體的方差（）時所使用的統計量是樣本的方差，而必須用到樣本平均數來計算。在抽樣完成后已確定，所以大小為的樣本中只要個數確定了，第個數就只有一個能使樣本符合的數值。也就是說，樣本中只有個數可以自由變化，只要確定了這個數，方差也就確定了。這里，平均數就相當于一個限制條件，由于加了這個限制條件，樣本方差的自由度為。

回復 9# 史錦順


    關于統計量估計的“自由度”算法，本人是無力深究。以下是有人在網上發的東西(itongji.cn,鏈接發不了！)，似有道理....

例1：
估計總體的平均數（）時，由于樣本中的個數都是相互獨立的，任一個尚未抽出的數都不受已抽出任何數值的影響，所以自由度為。
例2：
估計總體的方差（）時所使用的統計量是樣本的方差，而必須用到樣本平均數來計算。在抽樣完成后已確定，所以大小為的樣本中只要個數確定了，第個數就只有一個能使樣本符合的數值。也就是說，樣本中只有個數可以自由變化，只要確定了這個數，方差也就確定了。這里，平均數就相當于一個限制條件，由于加了這個限制條件，樣本方差的自由度為。

　　樓上轉發的自由度算法我認為是有道理的，談論自由度一定要說清楚是什么東西的自由度。
　　當做n次測量計算其測得值的平均值時，每個樣本（每次測量）都是獨立和自由的，缺一不可，因此作為最終測量結果的平均值受到n個測量值的影響，每個測得值有一個自由度，平均值的自由度就是n。
　　在實驗標準偏差（σ）計算中，必須用到貝塞爾公式。自由度是“和的項數減去對和的限制數”，n次測量有n個測得值，和的項數就是n，對和的限制只有一個，即平均值與每個（次）測得值的差得到各次測得值的殘余誤差（簡稱殘差），殘差的平方和除以（n－1）開平方得到σ，因此計算實驗標準差（σ）時，受到了一次最小二乘法的限制，其自由度為n－1。如果測得n組結果按最小二乘法擬合的校準曲線確定t個被測量時，限制數變成了t個，自由度將是n－t。如果另外還有其它r個約束條件（限制數），自由度則為n―t―r。總之自由度由測量次數n及約束條件個數所決定。如果僅僅計算平均值，則因為沒有約束條件，即約束條件t＝０，所以平均值的自由度為n－0＝n。不確定度評定中的各分量自由度就是按照這個原則和JJF1059.1-2012的表4對上級測量結果的懷疑程度與自由度之間的對應關系確定的，

回復 6# 史錦順


   首先明確自由度是“不確定度的自由度”，不確定度主要分量是什么?  是標準偏差；標準偏差是通過什么計算的？是殘差的平方合再開方；那不確定的自由度不跟殘差關聯，和什么關聯？