不確定度理論的五大難關(guān)(3)——可疑又難懂的自由度

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                  不確定度理論的五大難關(guān)(3)

                                ——第三關(guān)：可疑又難懂的自由度

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                                                                                                                                          史錦順

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（一）自由度該有自由

自由度的概念，本來是個嚴(yán)肅的物理概念。物理中，自由度又稱“維數(shù)”。戰(zhàn)場上，坦克是二維運(yùn)動，可以橫沖直撞，坦克的位置，由經(jīng)度、緯度來確定。是二維的。經(jīng)度可能取各種值，是一個自由度；維度可以取各種值，是一個自由度，一共是兩個自由度。飛機(jī)有經(jīng)度、緯度、高度三個自由度。潛水艇有經(jīng)度、緯度、水平面下深度三個自由度。航空母艦及水面艦艇船只，只有經(jīng)度緯度兩個自由度。由于空間的三維性，宇宙雖大，而每個物體的運(yùn)動，最多有三個自由度。

每一維都可以取各種值，不受限制，固有其名曰：“自由度”。火車在某段路上，可以前進(jìn)后退，卻不能脫離鐵路線橫行，又不能做垂直地面的運(yùn)動，因此火車在三維空間中，兩維受限制，只有一個自由度。

數(shù)學(xué)中，函數(shù)有N個變量，就稱有N個自由度。說得過去。因?yàn)槊總€變量都可自由取值。

函數(shù) f(x,y)=x+y，x可以自由取值，y可以自由取值，有兩個自由度。如果給定一種關(guān)系，x-y=c，c是常數(shù)，則自變量可以代換掉一個，y=c+x，則函數(shù)變成f(x)=2x+c。原來是兩個自變量即兩個自由度；加一個條件限制，自變量成為一個，自由度減少一個。

由上可知，自由度，該有自由。

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不確定度宣貫以來，說取N個示值，就是N個自由度。我認(rèn)為由此稱說自由度，自由度就太多了。一個自由度取一個數(shù)，哪還有“自由”的味道？

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統(tǒng)計測量的書中，確有N次獨(dú)立測量，有N個自由度的說法。我反對不確定度理論，卻不敢也不該反對統(tǒng)計理論。反復(fù)思考，統(tǒng)計理論意義下的自由度，我認(rèn)為是如下的意思。

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一場測量，N次取值。

M場測量，每場N次取值，總共有MN個數(shù)據(jù)。

橫排是次數(shù)，縱排是場數(shù)，有

        11，12， …… 1 N

        21，22， …… 2N

         ↓    ↓         ↓

       M1    M2   ……   MN

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     統(tǒng)計理論說N次獨(dú)立測量有N個取值，有N個自由度。由此討論遵從統(tǒng)計理論的不確定度理論的自由度。

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（二）疑問：貝塞爾公式的自由度是N-1嗎？

不確定度論講究自由度。第一處講自由度，說貝塞爾公式的自由度是n-1。我認(rèn)為，這是錯誤的。

n是數(shù)據(jù)量，即獨(dú)立測量的個數(shù)。統(tǒng)計理論的自由度，應(yīng)是有多少個獨(dú)立測量，就有多少個數(shù)據(jù)，就有多少自由度。自由度是對獨(dú)立測量說的，是對數(shù)據(jù)說的，自由度是多少，本質(zhì)說的是數(shù)據(jù)有多少個取值的可能。標(biāo)準(zhǔn)方差中是用偏差Xi-EX，是n個自由度，怎么到貝塞爾公式中用平均值代替數(shù)學(xué)期望，數(shù)據(jù)量還是n個，而自由度竟變成n-1了？如果取值的自由度是n-1,則應(yīng)是有n-1個數(shù)據(jù)就決定一切了，第n個數(shù)據(jù)不起作用，是個沒有自由度的必然量。這是不符合事實(shí)的，n個數(shù)據(jù)，哪個也不能少。例如取2個數(shù)據(jù)，是2個自由度，如果已知二數(shù)據(jù)之和為b，則知道X1，必知X2是b-X1,因而是1個自由度。但取殘差平方和時是一個也不能少的。具體計算一下。

      [X1-(X1+X2)/2]^2 + [X2-(X1+X2)/2]^2 =(X1-X2)^2 /4

式中X1、X2都在，哪個也不能缺，仍是2個自由度。

因此，說殘差之和等于零是一個約束條件，即限制數(shù)為1。由此可得自由度n= n - 1。 這句話是不對的。n個數(shù)據(jù)的自由度是n,而不是n-1。公式中用到數(shù)據(jù)之和，設(shè)為Z，這是多出一個值，自由度該加1，而多出的Z等于數(shù)據(jù)之和是約束條件，要減去1，自由度加1又減1，還是n。

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結(jié)論：貝塞爾公式的自由度是n，而不是n-1。您說，對嗎？

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（三）弱化自由度

學(xué)習(xí)不確定度理論的人都知道，自由度是個難點(diǎn)。正確的客觀規(guī)律，有實(shí)際用途的知識，再難也該學(xué)。但不確定度論講的自由度，一開始就不對（即將n誤解為n-1）；以后的內(nèi)容，更難；至于對不對，天知道。反正像老史這樣的北大物理系六年制的畢業(yè)生，又經(jīng)五十年苦讀、求真的人，就認(rèn)可是自己學(xué)不懂。那么有多少人能學(xué)懂會用呢？學(xué)不懂，只好抄。可笑的是，一個樣板評定，估計國家計量院的可信度是80%，由此算等效的自由度。國家計量院的可信度，這樣低，那個自由度就很難讓人相信了。

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2011年2月，JJF1059.1《測量不確定度評定與表示》規(guī)范修訂起草小組，提出“本規(guī)范弱化了對給出自由度的要求”，這是正確的。說明，在中國計量界的學(xué)術(shù)高層，已認(rèn)識到自由度無用的本質(zhì)。

自由度的概念，無實(shí)際用途，難解難算，樣板評定中有人用，除數(shù)據(jù)量的自由度取n-1（這是錯的）外，都是些隨意的估計。筆者的意見是：既然弱化，就弱化到零吧。

既然自由度可以“弱化”，不確定度論就該弱化。

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最后，對比一下。

誤差理論，不講究自由度。不學(xué)、不用自由度。一切正常，這是正路。

不確定度理論，弄出個自由度來，還要求每個測量結(jié)果都說明自由度。而人們對自由度又學(xué)不懂、不會用。逼得人們違心地去抄襲，去蒙混；這實(shí)在是對計量人的褻瀆。怨氣滿腔的計量工作者，認(rèn)清不確定度論的偽科學(xué)本質(zhì)，堅(jiān)決反對不確定度論！

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史老的評論走上了正軌，支持下。

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謝謝崔先生的鼓勵

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自由度n-1。這是用高中數(shù)學(xué)的知識都能解譯的，還在討論，更別說大學(xué)的概率論。。簡單通俗的說，這個自由度是針對偏差的，不是針對測量值。即"x(i)-x(平）"，不是“x(i)”。而n*x(平）=x(1)+...x(n)“，交換一下：【x(1)+...+x(n-1) 】-   (n-1)*x(平）=x(平）-x（n)。。再交換一下  【x(1)-x(平）】+... 【x(n-1)-x(平）】=-【x(n）-x（平)】，看出來了吧，前n-1個偏差可以決定最后一個偏差。。。。。。。。

n取多少，與評定的人有關(guān)，勤勞的、勤快的取得大點(diǎn)，懶惰的、偷奸耍滑的取得少點(diǎn)，呵呵，這也充分體現(xiàn)了不確定度的本質(zhì)：不確定嘛。

回復(fù) 4# thearchyhigh

      先生說：
      自由度n-1。這是用高中數(shù)學(xué)的知識都能解譯的，還在討論，更別說大學(xué)的概率論。簡單通俗的說，這個自由度是針對偏差的，不是針對測量值。即"x(i)-x(平）"
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     史辯：
     先生把自由度的問題看得極簡單，認(rèn)為沒有討論的價值。并且不無諷刺地說，高中數(shù)學(xué)知識都可以解決，更別說大學(xué)。把老史貶到初中以下去了。
     統(tǒng)計學(xué)明確規(guī)定：自由度是針對“獨(dú)立采樣量”講的；不是針對計算的量（中間量）說的。x(i)-x(平）叫殘差，是計算量，不是“獨(dú)立采樣量”。其中的X(平)是n個“獨(dú)立采樣量”計算出來的，少一個都不行。因此，既然“獨(dú)立采樣量”是n,自由度就是n,而不是n-1. 如果測量儀器測得的是差值（例如被測量與標(biāo)準(zhǔn)量的差值），那時自由度多少取決于“差值”的多少。因?yàn)榇藭r的“差值”是“獨(dú)立采樣量”。
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     我認(rèn)為：取得學(xué)術(shù)研究成果的關(guān)鍵有兩條：一是敢置疑，二是靠實(shí)踐。實(shí)踐最基本，但置疑卻是打開科學(xué)寶庫的鑰匙。如果上了書的，就認(rèn)為當(dāng)然正確，那將難有突破。
     這倒使想起幾個故事，詳見《駁不確定度論一百六十篇集》（P333）。雖然本網(wǎng)發(fā)表過，許多新網(wǎng)友可能不知道。題目是《創(chuàng)新始于置疑》。學(xué)術(shù)討論有些枯燥，看點(diǎn)文藝性的回憶錄，也許是個調(diào)劑。我寫了二百多篇學(xué)術(shù)性文章，有些網(wǎng)友奇怪，看了我的這篇文章，也許能得些啟發(fā)。本想在這里復(fù)印一下，怕浪費(fèi)版面，請網(wǎng)友自己查吧。如有網(wǎng)友希望在這里看，我再復(fù)制。
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回復(fù) 1# 史錦順


    對于例子【具體計算一下。

      [X1-(X1+X2)/2]^2 + [X2-(X1+X2)/2]^2 =(X1-X2)^2 /4

式中X1、X2都在，哪個也不能缺，仍是2個自由度。】

——從結(jié)果來看，其‘自由度’好像是只有一個了：只與差值 △X=（X1-X2）有關(guān)了！

在“評估”出“測量不確定度”時，給出相應(yīng)的“自由度”真的是沒有什么實(shí)際意義的，在沒有人“保證”所論‘隨機(jī)量’究竟服從什么‘分布’的情況下，由“自由度”表達(dá)對‘分布’參數(shù)的‘評估’質(zhì)量，基本是‘扯淡’！ ....“測量不確定度”的“評估”‘自由度’只有假想條件下的‘學(xué)術(shù)’意義---可能只對“數(shù)學(xué)”有意義！......“測量不確定度”的實(shí)際“評估”質(zhì)量只能由“實(shí)踐”來‘檢驗(yàn)’--- 對于“基準(zhǔn)”以下“對象”的“測量不確定度”，可以依靠“上級”來‘核查’，或由人們可以確認(rèn)的效應(yīng)來判斷；對于“基準(zhǔn)”的“不確定度”（不準(zhǔn)確度）---這只是少數(shù)‘專家’的事情，不知有多少是給了‘自由度'的？

　　我一直都在強(qiáng)調(diào)不確定度不是誤差也不是誤差范圍，不確定度的作用是定量評判測量結(jié)果的“可疑度”或可信性、可靠性。誤差理論告訴我們?nèi)魏螠y量結(jié)果都不是符合定義的“被測量真值”，都含有大小不等的誤差。因此，我們必須建立一種思維，對任何測量結(jié)果都應(yīng)該先打個問號表示懷疑，“我在我的工程中使用這個測量結(jié)果可靠嗎？”，這就是可信性問題，不確定度就是為了解決這個可信性或可靠性的量化評判問題。在解決了這個疑問后才能放心大膽的使用或廢棄這個計量結(jié)果。
　　我現(xiàn)在先回避n次測量后以其平均值作為測量結(jié)果的自由度是n還是n－1，僅就這個n次測量結(jié)果的可靠性而言，自由度是否有存在價值的問題談?wù)剛€人的觀點(diǎn)。前面說過不確定度是評判測量結(jié)果“可疑度”的參數(shù)，換句話說就是對測量結(jié)果的否定之大小，不確定度又是人為估計的結(jié)果難道不值得懷疑嗎？“自由度”就是對不確定度的懷疑參數(shù)，是對不確定度的否定之大小。根據(jù)否定之否定就是肯定的哲理，不確定度越小測量結(jié)果越可信，自由度是不確定度的否定，是測量結(jié)果的否定之否定，因此自由度越大測量結(jié)果越可信。
　　如此看來，以平均值作為測量結(jié)果時，測量次數(shù)n越多自由度也就越大，自由度越大測量結(jié)果越可靠也就是順理成章了。所以自由度還是有其存在價值的，這并不僅僅是少數(shù)專家的事，只不過因?yàn)槿藗儗ι霞壖夹g(shù)機(jī)構(gòu)的測量結(jié)果歷來是信任的，信任的程度甚至都達(dá)到了100%。但不確定度評定理論仍然認(rèn)為任何測量結(jié)果都有其不可信性（不確定度），哪怕是唯一的計量基準(zhǔn)，其誤差不可測得而視為０，也仍然有其不確定度。JJF1059.1-2012的表4就是對上級技術(shù)機(jī)構(gòu)測量結(jié)果的懷疑程度與自由度之間的關(guān)系。例如你對上級檢定結(jié)果的懷疑程度0.10（即10%)，自由度就是50，懷疑程度越大自由度越小，懷疑程度越小自由度就越大，一點(diǎn)都不懷疑，自由度就是∞。一般來說除了理論計算的量值、人們（國際上）共同約定的量值和極其穩(wěn)定的國際基準(zhǔn)、國家基準(zhǔn)的量值自由度可以取∞，我們可以完全相信外，其它任何測量結(jié)果都應(yīng)給予不同程度的懷疑，給予不同大小的自由度。

回復(fù) 7# njlyx


   

先生說：從結(jié)果來看，其‘自由度’好像是只有一個了：只與差值 △X=（X1-X2）有關(guān)了。

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史辯：差值△X=（X1-X2），就是兩個自由度。△X由獨(dú)立采樣量X1與X2共同決定，哪個也不能少，因此必是兩個自由度。如果給定一個條件X1+X2=C,C是常數(shù)，則X1、X2中可以代換一個，也就是獨(dú)立采樣只有一個，才能說自由度為1. 這個限定條件是真限定。

原式

           △X=X1-X2                    （1）

因已限定  

           X1+X2=C                      （2）

有   

           X2= C-X1                     （3）   

（3）式代入（1）式有

           △X=X1-（C-X1）

              =2X1-C                    （4）

我說：原差值是兩個自由度，加一個限制條件，變成一個自由度，這是說得通的。

    如先生的說法，（1）的自由度是1，加上（2）的限制，（4）的自由度就是零了。這顯然不通。有一個X1在，它是獨(dú)立測量，就必須是一個自由度。如果說著眼點(diǎn)是差值，那2X1-C也是差值，自由度應(yīng)該是1，而不是零。

    對σ的自由度來說，平均值是n個獨(dú)立采樣值的計算結(jié)果，必須用n個值計算，一個都代換不掉。如果給定平均值是常數(shù)差C，那就可以代換掉一個采樣值，而自由度成為n-1.可惜，平均值是n個采樣值的計算結(jié)果，必須n個值到齊才行。

    還有一點(diǎn)，一個函數(shù)的自由度，由獨(dú)立變量決定，與函數(shù)表達(dá)式無關(guān)。

Y=X1+X2+X3+X4+X5，和數(shù)只有一個，能說是一個自由度嗎？不能。自由度應(yīng)該是5。

    阿侖方差的統(tǒng)計單元是二量之差。每組二值，連續(xù)采樣；取30組，差值是30個，但獨(dú)立采樣是60個值，只能說在自由度60.因?yàn)榻y(tǒng)計理論規(guī)定獨(dú)立采樣數(shù)等于自由度.當(dāng)然，阿侖方差不講究沒有實(shí)際用途的自由度。我的《測量計量學(xué)》也絕不提一句“自由度”這種廢話，因?yàn)樗鼘?shí)在沒用。沒法實(shí)驗(yàn)核對，也沒法實(shí)驗(yàn)證否。

    還有，如果函數(shù)是Y=(X1-X2)+(X1^2-X2^2)+(X1^3-X2^3),雖然差值有三種，因獨(dú)立變量只有X1與X2兩個，也僅能說自由度是2，而不能說是3，更不能說是1.

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回復(fù) 8# 規(guī)矩灣錦苑


      把不確定度就當(dāng)做“誤差范圍”（置信概率不同），這已是很多人的共識，GUM的區(qū)間公式，VIM3的包含真值的區(qū)間，也都表明了這一點(diǎn)。你老先生還是堅(jiān)持那個“可信性”“可疑度”之類的說法，那是你的自由，我不再就此問題與您對話了（其他方面當(dāng)然可以討論），都說三年了，你不改口，還自以為正確，這不全怪你，你不過是上了當(dāng)初不確定度論宣傳的當(dāng)。你該結(jié)合那些不確定度評定的樣板，再想一想計量的實(shí)際，哪有什么“可信性”？都是誤差范圍嗎！
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回復(fù) 10# 史錦順

　　 把不確定度就當(dāng)做“誤差范圍”（置信概率不同）雖然可能是業(yè)內(nèi)一些人的共識，但這個“共識”顯然違背了術(shù)語“不確定度”的定義最本質(zhì)的含義。“區(qū)間公式”是不存在的，VIM3的包含真值的區(qū)間存在，但不確定度只是這個區(qū)間的“寬度”（半寬），不是這個“區(qū)間”，不確定度并不關(guān)心區(qū)間在哪里，只表述該區(qū)間的寬度，我認(rèn)為在探討不確定度理論時，誤差、誤差范圍、不確定度、區(qū)間、區(qū)間寬度、準(zhǔn)確性、可信性（可靠性）等基本術(shù)語必須明確，不能相互混雜，相互替代。
　　不確定度是人們憑所掌握的測量過程全部信息估計出來的被測量真值存在區(qū)間的半寬，和測量結(jié)果的誤差及誤差范圍的大小毫無關(guān)系，只不過是被用來定量評判測量結(jié)果的可信性罷了。
　　“可疑度”的說法并不是我個人的發(fā)明，而是GUM在提出不確定度定義時一開始就認(rèn)定的，我只不過認(rèn)為這個提法的確可以非常簡單明了地與誤差和誤差范圍評定的準(zhǔn)確性加以區(qū)分，因此強(qiáng)調(diào)了它，特別提醒大家必須嚴(yán)格區(qū)分不確定度與誤差范圍的本質(zhì)區(qū)別，千萬不要將它們相混淆。一旦有絲毫的混淆或混同，用誤差理論來解釋不確定度，用準(zhǔn)確性解釋可信性，就必然陷入不確定度不可理解，不確定度必須廢除的誤區(qū)之中。
　　實(shí)際測量工作，包括實(shí)際計量檢定/校準(zhǔn)工作，都離不開給出測量結(jié)果（包括檢定結(jié)果和校準(zhǔn)結(jié)果），這些測量結(jié)果的品質(zhì)高低需要量化評判，準(zhǔn)確性參數(shù)是其質(zhì)量指標(biāo)之一，但和所有的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)一樣準(zhǔn)確性并非是唯一一個評判參數(shù)，的確還有別的質(zhì)量評判參數(shù)，可信性參數(shù)就是其中之一。準(zhǔn)確性雖然很重要，但準(zhǔn)確性很高的測量結(jié)果可信性達(dá)不到要求同樣不能采用而必須廢除，另外選擇測量方法重新測量，往往準(zhǔn)確性與可信性兩者，可信性是首先考慮的條件，只有保證了可信性滿足要求，才能進(jìn)一步考慮測量結(jié)果的準(zhǔn)確性是否達(dá)標(biāo)。可信性和準(zhǔn)確性均達(dá)到質(zhì)量要求的測量結(jié)果才能決定“產(chǎn)品”合格，這個合格的測量結(jié)果才可被用來判定被測對象的符合性。

回復(fù) 9# 史錦順

關(guān)于統(tǒng)計量估計的“自由度”算法，本人是無力深究。一下是有人在網(wǎng)上發(fā)的東西(http://www.baidu.com/s?ie=utf-8&f=8&rsv_bp=1&ch=&tn=baidu&bar=&wd=%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E5%8F%82%E6%95%B0+%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%BA%A6&rn=&rsv_enter=0&inputT=18938)，似有道理....

例1：
估計總體的平均數(shù)（）時，由于樣本中的個數(shù)都是相互獨(dú)立的，任一個尚未抽出的數(shù)都不受已抽出任何數(shù)值的影響，所以自由度為。
例2：
估計總體的方差（）時所使用的統(tǒng)計量是樣本的方差，而必須用到樣本平均數(shù)來計算。在抽樣完成后已確定，所以大小為的樣本中只要個數(shù)確定了，第個數(shù)就只有一個能使樣本符合的數(shù)值。也就是說，樣本中只有個數(shù)可以自由變化，只要確定了這個數(shù)，方差也就確定了。這里，平均數(shù)就相當(dāng)于一個限制條件，由于加了這個限制條件，樣本方差的自由度為。

回復(fù) 9# 史錦順


    關(guān)于統(tǒng)計量估計的“自由度”算法，本人是無力深究。以下是有人在網(wǎng)上發(fā)的東西(itongji.cn,鏈接發(fā)不了！)，似有道理....

例1：
估計總體的平均數(shù)（）時，由于樣本中的個數(shù)都是相互獨(dú)立的，任一個尚未抽出的數(shù)都不受已抽出任何數(shù)值的影響，所以自由度為。
例2：
估計總體的方差（）時所使用的統(tǒng)計量是樣本的方差，而必須用到樣本平均數(shù)來計算。在抽樣完成后已確定，所以大小為的樣本中只要個數(shù)確定了，第個數(shù)就只有一個能使樣本符合的數(shù)值。也就是說，樣本中只有個數(shù)可以自由變化，只要確定了這個數(shù)，方差也就確定了。這里，平均數(shù)就相當(dāng)于一個限制條件，由于加了這個限制條件，樣本方差的自由度為。

　　樓上轉(zhuǎn)發(fā)的自由度算法我認(rèn)為是有道理的，談?wù)撟杂啥纫欢ㄒf清楚是什么東西的自由度。
　　當(dāng)做n次測量計算其測得值的平均值時，每個樣本（每次測量）都是獨(dú)立和自由的，缺一不可，因此作為最終測量結(jié)果的平均值受到n個測量值的影響，每個測得值有一個自由度，平均值的自由度就是n。
　　在實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差（σ）計算中，必須用到貝塞爾公式。自由度是“和的項(xiàng)數(shù)減去對和的限制數(shù)”，n次測量有n個測得值，和的項(xiàng)數(shù)就是n，對和的限制只有一個，即平均值與每個（次）測得值的差得到各次測得值的殘余誤差（簡稱殘差），殘差的平方和除以（n－1）開平方得到σ，因此計算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差（σ）時，受到了一次最小二乘法的限制，其自由度為n－1。如果測得n組結(jié)果按最小二乘法擬合的校準(zhǔn)曲線確定t個被測量時，限制數(shù)變成了t個，自由度將是n－t。如果另外還有其它r個約束條件（限制數(shù)），自由度則為n―t―r。總之自由度由測量次數(shù)n及約束條件個數(shù)所決定。如果僅僅計算平均值，則因?yàn)闆]有約束條件，即約束條件t＝０，所以平均值的自由度為n－0＝n。不確定度評定中的各分量自由度就是按照這個原則和JJF1059.1-2012的表4對上級測量結(jié)果的懷疑程度與自由度之間的對應(yīng)關(guān)系確定的，

回復(fù) 6# 史錦順


   首先明確自由度是“不確定度的自由度”，不確定度主要分量是什么?  是標(biāo)準(zhǔn)偏差；標(biāo)準(zhǔn)偏差是通過什么計算的？是殘差的平方合再開方；那不確定的自由度不跟殘差關(guān)聯(lián)，和什么關(guān)聯(lián)？