有效數字概念

在一本書上看到關于有效數字的概念，有點疑惑，請教各位大蝦：含有誤差的任何近似數，如果其絕對誤差界是最末位數的半個單位，那么從這個近似數左方起的第一個非零的數字稱為第一位有效數字。請問如何理解“其絕對誤差限是最末位數的半個單位”？

論壇里檢索“有效數字”一詞，共檢索到19次，發現除了位數修約外，大多數有效數字的概念、運算的問題都沒人回答，是何道理？

“度娘”搜到是這樣解釋的：一般測量值最后一個值，是估計值。將該估計值單位分為1/2的2個區域，是容易區別出在上半區還是下半區，雖然不能準確讀出正好0.5，
誤差≤丨0.5-觀察值丨
由此可見，不會超過0.5個單位。

是不是因為這個原因呀：http://gfjl.org/forum.php?mod=vi ... 8%E6%95%B0%E5%AD%97從不確定度到關于有效數字定義的探討

liuhuaxing 發表于 2018-7-14 15:32
“度娘”搜到是這樣解釋的：一般測量值最后一個值，是估計值。將該估計值單位分為1/2的2個區域，是容易區別 ...

度娘的答案參考參考就好，一般專業性的度娘答不上來或無法上頭條

　　測量誤差是普遍存在的，因此才會誕生“誤差理論”。因為測量誤差的普遍存在，一個測量結果與被測量的真值相比必是一個“含有誤差的近似數”。這個“近似數”要么通過人工修約得到，要么通過測量設備的自動修約得到，因此修約后的測量結果末位數總是帶有誤差的值。
　　根據國家標準GB8170《數值修約規則》對數字修約的規定，末位數后面的數按大于5進位，小于5舍棄，等于5按奇進偶舍處理，因此末位數的最大誤差必為“末位數的半個單位”。

規矩灣錦苑 發表于 2018-7-15 17:59
　　測量誤差是普遍存在的，因此才會誕生“誤差理論”。因為測量誤差的普遍存在，一個測量結果與被測量的真 ...

“……因此修約后的測量結果末位數總是帶有誤差的值。”，請問規版老前輩，修約之后，除末尾數之外的前1位或幾位數是否有誤差？或允許有誤差？

hulihutu 發表于 2018-7-15 21:28
“……因此修約后的測量結果末位數總是帶有誤差的值。”，請問規版老前輩，修約之后，除末尾數之外的前1 ...

　　修約是針對末位數的舉措，對末位數之前的數字并未采取任何變更措施，因此末位數之前的數字都是準確數字，沒有誤差，誤差只發生在末位數。

……因此末位數之前的數字都是準確數字，沒有誤差，誤差只發生在末位數
如果看了4樓的那篇文章，就會發現末位數之前的數字未必都是準確數字，有效數字的定義有點亂

規矩灣錦苑 發表于 2018-7-16 00:50
　　修約是針對末位數的舉措，對末位數之前的數字并未采取任何變更措施，因此末位數之前的數字都是準確數 ...

……因此末位數之前的數字都是準確數字，沒有誤差，誤差只發生在末位數
如果看了4樓的那篇文章，就會發現末位數之前的數字“未必”都是準確數字，有效數字的定義有點亂

hulihutu 發表于 2018-7-17 09:03
……因此末位數之前的數字都是準確數字，沒有誤差，誤差只發生在末位數
如果看了4樓的那篇文章，就會發 ...

　　對不起，我沒有發現4樓的那篇文章中，有“末位數之前的數字‘未必’都是準確數字”的相關內容，請你具體指出是哪個例子中的哪一段文字說明了“末位數之前的數字‘未必’都是準確數字”。

規矩灣錦苑 發表于 2018-7-17 13:35
　　對不起，我沒有發現4樓的那篇文章中，有“末位數之前的數字‘未必’都是準確數字”的相關內容，請你 ...

C:\Users\h81\Pictures\有效位數？.PNG

規矩灣錦苑 發表于 2018-7-17 13:35
　　對不起，我沒有發現4樓的那篇文章中，有“末位數之前的數字‘未必’都是準確數字”的相關內容，請你 ...

Sorry，電腦問題，發不出截圖。以下摘錄了第二段。同一測量，出現了4位和5位兩種解讀，第4位到底是不是準確數字呀？

二、在測量不確定度的評定與表示中對有效數字的理解
　　JJF1059-1999 《測量不確定度的評定與表示》中沒有給出有效數字的定義，但使用了有效數字的概念，如8.13款:估計值的數值y和它的標準不確定度Uc(y)或擴展不確定度U的數值都不應該給出過多的位數。通常Uc(y)和U[以及輸入估計值xi的標準不確度度U(xi)]最多為兩位有效數字。輸入和輸出的估計值，應修約到與他們不確定度的位數一致。例如:如果y=10.057 62Ω其Uc(y)=27mΩ，則y應進位到10.058 Ω。
　　也就是說當不確定度取兩位有效數字時，輸出的估計值修約到與他們擴展不確定度的位數相一致后，其最后兩位均會是不確定的，但他們同樣是有效數字，這樣上面的10.058 Ω就是5位有效數字。如果按照前面4個有效數字的定義來判斷 10.058 Ω的有效數字的位數，由于Uc(y)=27 mΩ，則其最多為4位有效數字。

hulihutu 發表于 2018-7-18 07:22
Sorry，電腦問題，發不出截圖。以下摘錄了第二段。同一測量，出現了4位和5位兩種解讀，第4位到底是不是準 ...

　　謝謝你給出了詳細描述。例子中給出了最終測量結果的完整表述方法是：測得值為y=10.058 Ω，合成標準不確定度uc(y)=27 mΩ，測得值有5位有效數字。不確定度有兩位有效數字，但測得值和不確定度在相同的計量單位下的末位數已經對齊，是滿足國家規范的要求的。
　　uc(y)=27 mΩ有兩種情況：
　　一種情況是測得值是通過估讀到mΩ的個位數獲得的，此時測得值的mΩ十位數是準確的，沒有誤差，即測量結果10.058 Ω的小數部分是58mΩ，由于uc(y)=27 mΩ，測得值末位數8會存在著末位數的半個單位的誤差，即存在著0.5 mΩ的誤差，而前面的數字5是準確的數字，不存在誤差。這也是國家規范的這個例子的“通常”或“一般”的情況。
　　另一種情況是人們只能估讀到mΩ的十位數，無法估讀到mΩ的個位數，即測量結果10.058 Ω的小數部分58mΩ，十位數5是估讀的，存在著估讀誤差，個位數8估讀不出，而是計算得到，此時的測量結果通過修約只能給出y=10.06Ω，不能給出y=10.058 Ω，測得值末位數是6而不是8，末位數6會存在著末位數的半個單位的誤差，即存在著10÷2=5 mΩ的誤差，前面的數字0及更前面的數字都是準確數字，不存在誤差。這也就是JJF1059.1的5.3.8.1條注補充規定的“U的有效數字的首位為1或2時，一般應給出兩位有效數字”。此時，不確定度可能比測量結果的末位數多一位，出現兩者末位數可能對不齊的情況。

hulihutu 發表于 2018-7-17 11:22
Sorry，電腦問題，發不出截圖。以下摘錄了第二段。同一測量，出現了4位和5位兩種解讀，第4位到底是不是準 ...

千萬不要被14樓這位給忽悠了，此人一貫在論壇忽悠新量友，大家一定要小心謹慎，切勿被其毫無根據的瞎編所誤導。

“有效數字”本就是可以測得到的，包括末位1至兩位存疑數字在內，具有實際意義的全部數字，稱之為“有效數字”。對于未修正的測量結果而言，也可以稱為“修正前的可靠數字”，與“誤差”沒有直接的關系，與“誤差”有關的叫“準確數字”，通常是指經修正后的測量結果(測得值)。

“修正”與“修約”是完全不同的兩個概念，此人將“有效數字”與“準確數字”扯到一起混為一談。您在10樓談及的“末位數之前的數字‘未必’都是準確數字”，本來很容易理解的東西，干了一輩子計量的“混九規”卻一頭霧水拎不清。您稱其為“規版”已是老黃歷了，現如今早已因學風惡劣，被論壇管理團隊逐出“版主”隊伍了。

JJF1059.1－2012第5.3.8.3條規定得清清楚楚：在相同計量單位下，被測量的估計值應修約到其末位與不確定度的末位一致。說明是先修約不確定度，后修約被測量的估計值。不可能像這位“忽悠大師”所說的：“不確定度可能比測量結果的末位數多一位，出現兩者末位數可能對不齊的情況。”這純粹就是信口開河的胡說八道，拿不出任何的證據與依據。

路云 發表于 2018-7-22 13:51
千萬不要被14樓這位給忽悠了，此人一貫在論壇忽悠新量友，大家一定要小心謹慎，切勿被其毫無根據的瞎編所 ...

謝謝前輩指點！在下基本上明白了。看來國內不少教科書中將有效數字定義為“由若干位可靠數字+1位可疑數字組成”是錯誤的。您提到的新定義和國外學術文獻及部分教科書中的應用一致了。謝謝！

hulihutu 發表于 2018-7-21 19:25
謝謝前輩指點！在下基本上明白了。看來國內不少教科書中將有效數字定義為“由若干位可靠數字+1位可疑數字 ...

我并沒有提出什么新定義，這只是我個人對“有效數字”的理解，用自己的語言表述出來而已。對絕對量而已，不確定度的首位，即表示與被測量估計值相對應的存疑數的首位。之所以說1至2位“存疑數”，就是考慮不確定度首位為1或2時，通常保留兩位有效數字的情況，其它情況不確定度都只保留1位有效數字，被測量估計值也只能修約至1位存疑數。

補充內容 (2018-7-22 15:13):
更正：第二句“對絕對量而已，…”更正為“對絕對量而言，…”。

　　理解國家規范應該全面理解，不應該是片面的，盲人摸象式的。另外每個人的理解都應該得到尊重，不能辱罵他人而鼓吹自己，技術討論中的謾罵行為是極不道德的，與傳統的中國文明禮貌和當代的社會主義核心價值觀格格不入。每天不忘罵街的某人在17樓能夠說出“考慮不確定度首位為1或2時，通常保留兩位有效數字的情況，其它情況不確定度都只保留1位有效數字，被測量估計值也只能修約至1位存疑數”的話，與另一個主題帖中此人堅持的觀點相比，的確也算他的一個進步。
　　對于15樓的觀點我不做任何評論，我歷來鼓勵各種不同觀點的正常發表，當然也鼓勵15樓觀點發表，唯獨反對極少數道德品質低劣的人動不動就喜歡給人扣帽子、挖苦諷刺和謾罵的行為。下面我只發表我的看法和觀點：
　　計量界常說的一句話是“確保測量結果的準確可靠”，計量學中的“準確”與“可靠”雖然有聯系，但的確不是同一個概念。因此，人們“測量誤差”量化評判測量結果的“準確性”，用“測量不確定度”量化評判測量結果的“可靠性”。但在數字修約中所講的“準確”和“可靠”是同一個含義，即準確的數字就是不必懷疑的數字，含有誤差的數字也就是值得懷疑的數字，懷疑的量化程度就是那個數字不準確的程度。
　　數字修約中，修約后的結果與未修約前的數據相比，只涉及修約結果的末位數，末位數前的數字并未改動。因此，這些數字是可靠的數字，或者說是沒有誤差的數字。所以說“末位數之前的數字都是準確數字”，也可以說“末位數之前的數字都是可信賴的數字”。值得懷疑或含有誤差的數字僅僅是末位數，因為只有末位數是經進位或舍棄尾數得到，存在著“舍入誤差”。舍或入的大小不會超過末位數代表的單位量值的一半。值得提醒的是，“不超過末位數代表的單位量值的一半”是舍入誤差，請不要與測量誤差，更不要與測量不確定度相混淆。

不要一天到晚念叨“傳統的中國文明禮貌和當代的社會主義核心價值觀”了，大家的耳朵都已經聽起了繭，自己說的一大堆的污言穢語避而不談，卻好意思在這里道貌岸然的扮演起“文明居士”，說穿了不就是做了婊子還想立牌坊。我有沒有進步，用得著你來褒獎嗎？與我另一個主題帖中堅持的什么觀點相比呀？貼出來給大家看看。又想編造什么謠言來惑眾是不是？

對于15樓的觀點我不做任何評論，我歷來鼓勵各種不同觀點的正常發表，當然也鼓勵15樓觀點發表，唯獨反對極少數道德品質低劣的人動不動就喜歡給人扣帽子、挖苦諷刺和謾罵的行為。

沒有那個能力評論就直說，要么就閉嘴滾一邊去，不要死要面子在這里硬扛，又拿不出任何證據反駁，卻又要嘴賤難耐的插嘴嚼舌。15樓哪句話“扣帽子”啦？哪句話不是事實呀？何來“挖苦、諷刺、謾罵”之理。此人向來就是在別人的證據事實面前死不認錯，拿不出任何證據事實也要說別人錯，東扯西繞、答非所問、正經歪念、斷章取義、偷換概念、信口開河、無中生有、蠻不講理、節外生枝、編造謊言、栽贓誣陷的施展惡劣學風，這也是全體量友所痛恨的毫無學術道德底線的“學術流氓”行徑。

但在數字修約中所講的“準確”和“可靠”是同一個含義，即準確的數字就是不必懷疑的數字，含有誤差的數字也就是值得懷疑的數字，懷疑的量化程度就是那個數字不準確的程度。

簡直就是胡說八道，“準確”程度是以偏移性指標來定量表征，“可靠”程度是以離散型指標來定量表征，前者用“誤差”，后者用“不確定度”。這完全是風馬牛不相及的兩回事兒。“懷疑的量化程度就是那個數字不準確的程度”，“不確定度”是不是懷疑的量化程度？它表示那個數字的不準確程度嗎？屁！它表示的是那個數的不確定程度。早就指出將“修約”與“修正”混為一談，還死不承認。

數字修約中，修約后的結果與未修約前的數據相比，只涉及修約結果的末位數，末位數前的數字并未改動。因此，這些數字是可靠的數字，或者說是沒有誤差的數字。所以說“末位數之前的數字都是準確數字”，也可以說“末位數之前的數字都是可信賴的數字”。值得懷疑或含有誤差的數字僅僅是末位數，因為只有末位數是經進位或舍棄尾數得到，存在著“舍入誤差”。舍或入的大小不會超過末位數代表的單位量值的一半。值得提醒的是，“不超過末位數代表的單位量值的一半”是舍入誤差，請不要與測量誤差，更不要與測量不確定度相混淆。

看看這位干了一輩子計量的“混混”，誤差的基本常識是多么的蹩腳。假設有一臺電子計價秤，1000g這一示值點的“示值誤差”為E＝+5.21g，“不確定度”U＝0.14g。如果用該秤對某物稱量3次，3次的稱量示值讀數為：1002.1g、1002.2g、1002.2g，平均值為1002.1666…g。按不確定度進行末位對齊修約得1002.17g。這是“修正”前對測量結果“修約”的全過程。請問，這兩位標紅的數字“2.1”沒有誤差嗎？不懂就承認不懂，不要在這里死要面子的裝懂。經“修正”后的最終測量結果為996.96g，這個標紅的“6”才能稱之為沒有誤差的、準確的、可靠的數。奉勸這位“混九規”，要么就閉門思過痛改前非，摒棄那萬人厭惡的“學術流氓”惡習，要么就繼續做你的“擰種”，不要成天穿著一身“文明居士”的道袍，戴著一副“傳承禮儀”的假面具，四處為婊子立牌坊化緣了。