間接測量的誤差范圍公式——測量計量的基本公式(2)

                         間接測量的誤差范圍公式
                                           ——測量計量的基本公式(2)
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                                                                                                                    史錦順
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      以下公式，參照《數學手冊》（科學出版社，1980版）編寫。這是六項最基本的間接測量的誤差范圍公式。可惜，這些最基本的知識，一些人，包括某些專家，竟不知道。他們怎樣計算呢？一律取方和根。他們講道理時說，當分項間不獨立時，要計及相關系數，要計算協方差。而計算相關系數、計算協方差，極其麻煩。怎辦？通常都是設“獨立”、“不相關”；這是掩耳盜鈴的作法。不確定度理論推廣以來，對通常的相關或部分相關的情況，都按“不相關”處理，這是錯誤的。
      不確定度論指謫誤差理論沒有統一的誤差合成方法，從而主張一律取方和根。這是一條走不通的難路、死路。通常，測量者不可能去求相關系數。專家寫書都寫不出恰當的實例；一般人干不了這件事。本文說明：經典誤差理論有極其簡單的方法。本文介紹最基本的六大公式。好記，好用。
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      鑒于誤差量的“上限性”的特點，經典測量理論的“絕對值合成法”，是簡單的、現實可行的、保險的；也是合理的、正確的。
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      本文以數學的形式，說明經典方法的嚴格性、合理性。須知：誤差合成是儀器設計者、測量方案設計者自己的事，這樣做，自己方便、有利別人，是嚴于律己的做法，易懂易學、處理方便又保險，何樂而不為之？也許有人說，這樣做，于己可以；要求別人，就不合理了。
      計量時，是要求別人。但是，計量靠的是標準，靠的是實測，計量對被撿對象的合格性判別，與誤差合成方法無關。
      如果某些特定場合，需要進行誤差合成，最可信的方法是絕對值合成。方和根的作法，難于實現，因為求相關系數既難又煩。絕對值合成，既簡單方便，又可靠，不該忘記。
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（一）和的誤差公式
      定理一：二量和的誤差范圍，等于二量的誤差范圍之和。
      證明
      1 物理公式
               C=A+B
      2 計值公式
      對物理公式加標號，m表測得值（下同）
               Cm=Am+Bm
      3 測量方程
      聯立物理公式與計值公式
               Cm-C =Am-A+Bm-B
      4 誤差范圍關系
      用r表誤差元，R表誤差范圍（下同）
      由測量方程
               r(C)=r(A)+r(B)
               │r(C)│max=│r(A)+ r(B)│max
                               =│r(A)│max+│r(B)│max
      誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍，故有：
                R(C)=R(A)+R(B)                                      （1）

定理一得證。
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（二）差的誤差公式
      定理二：二量差的誤差范圍，等于二量的誤差范圍之和（不是差）
      證明
      1 物理公式
               A=C-B
      2 計值公式
               Am = Cm-Bm.
      3 測量方程
      聯立物理公式與計值公式
               Am-A = Cm-C – (Bm-B)
      4 誤差范圍關系
      由測量方程
               r(A)=r(C)-r(B)
              │r(A)│max=│r(C)- r(B)│max
                             =│r(C)│max+│r(B)│max
      誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍，故有：
              R(A)=R(C)+R(B)                                        （2）
      定理二得證。
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（三）積的誤差公式
       定理三：二量積的相對誤差范圍，等于二量的相對誤差范圍之和。
       證明
      1 物理公式
               C = A B
      2 計值公式
               Cm = Am Bm
      3 測量方程
      聯立物理公式與計值公式，解得
               Cm/ C = A m Bm/(A B)
      4 誤差范圍關系
      由測量方程
              (C+ΔCm)/C = [(A+ΔAm)/A] [(B+ΔBm)/B]
              1+δr(C) =[(1+δr(A))][1+δr(B)]
              δr(C) =δr(A) +δr(B)
             │δr(C)│max =│δr(A)│max+│δr(B)│max
      誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍，故有：
              δR(C)=δR(A)+δR(B)                                     （3）
      定理三得證。
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（四）商的誤差公式
      定理四：二量相除，商的相對誤差范圍，等于二量的相對誤差范圍之和。
      證明
      1 物理公式
               A = C / B
      2 計值公式
               Am = Cm / Bm
      3 測量方程
      聯立物理公式與計值公式，解得
                Am/ A = [Cm /Bm] B/C
      4 誤差范圍關系
      由測量方程
               (A+ΔAm)/A = [(C+ΔCm)/C] / [(B+ΔBm)/B]
               1+δr(A) =[(1+δr(C))] / [1+δr(B)] =[(1+δr(C)] [1-δr(B)]
               δr(A) =δr(C) -δr(B)
              │δr(A) │max=│δr(C) -δr(B) │max =│δr(C) │max +│δr(B) │max
       誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍，故有：
              δR(A)=δR(C)+δR(B)                                          （4）
       定理四得證。
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（五）冪的誤差公式
      定理五：A等于B的n次方，則A的誤差范圍等于B的誤差范圍的n倍。
      證明
      1物理公式
               A =B^n
      2 計值公式
               Am = Bm^n
      3 測量方程
      聯立物理公式與計值公式，解得
               Am /A= Bm^n/B^n
     4 誤差范圍關系
     由測量方程
                (A+ΔAm)/A = (Bm/B)^n= [1+δr(B)]^n
                1+δr(A) = 1+nδr(B)
                δr(A) = nδr(B)
                │δr(A) │max=│nδr(B) │max = n│δr(B) │max
      誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍，故有：
                δR(A)= nδR(B)                                                （5）
      定理五得證。
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（六）根的誤差公式
      定理六：A等于B的n次方根，則A的誤差范圍等于B的誤差范圍的1/n倍。
      證明
      1 物理公式
               A =B^(1/n)
      2 計值公式
      對物理量加標號，m表測得值
               Am = Bm^(1/n)
      3 測量方程
      聯立物理公式與計值公式，解得
               Am /A= Bm^(1/n) / B^(1/n)
      4 誤差范圍關系
      r表誤差元，R表誤差范圍。
               (A+ΔAm)/A = (Bm/B)^ (1/n)= [1+δr(B)]^ (1/n)
               1+δr(A) = 1+(1/n)δr(B)
               δr(A) = (1/n)δr(B)
              │δr(A) │max=│(1/n)δr(B) │max = (1/n)│δr(B) │max
      故有：
               δR(A)=(1/n)δR(B)                                                    （6）
      定理六得證。
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　　呵呵，對不起史老師，我又有疑問了。我覺得│A+B│與│A│＋│B│似乎只有在A、B符號相同才可畫等號，符號不同不能畫等號。既然r是您說的“誤差元”，含有正負號，因此，│r(A)＋r(B)│max＝│r(A)│max＋│r(B)│max似乎并不妥。

回復 2# 規矩灣錦苑


    他表達的是“絕對值的最大可能值”，要點在“可能”兩個字上，并不是說必然相等。所以我覺得公式是對的。

剛才寫錯了，帖子能刪就好了。相關性分析很重要，這個如果忽視的話結論肯定是不準確的。

回復 4# 285166790

     你說“剛才寫錯了”，大概是指4#的已刪掉部分吧，因為我恰巧看見了。你3#的說法是正確的。現在別人只能看到你現在的3#、4#的文字，會誤解你現在的4#，是否定3#的發言。你是更改3#的看法嗎？

回復 3# 285166790

　　我與史老師同感，3樓與4樓都是您的帖子，放在一起令人一頭霧水，因此還請您能詳細表達您的意思到底是什么。
　　僅根據您在3樓回復我的帖子來看，您說，史老師表達的是“絕對值的最大可能值”，要點在“可能”兩個字上。但我在2樓說“│r(A)＋r(B)│max＝│r(A)│max＋│r(B)│max似乎并不妥”，這里的等式一個完整的等式推導，中間并無“可能”二字。
　　史老師使用的“可能”二字是用在之后的下一個結論的推斷：“誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍，故有：R(C)=R(A)+R(B)” 。對于史老師這個因果邏輯推斷，我的理解“可能”一詞是無關緊要的，簡單來說就是指：“誤差絕對值的最大值是誤差范圍，故有……”，準確地理解應該是指“誤差絕對值的最大值是誤差范圍的半寬，故有……”。我的理解得對不對就只有請史老師裁決了。

回復 5# 史錦順


   是的，4樓開始寫錯了，又刪不掉，還得湊十五個字才行。