本帖最后由 史錦順 于 2013-12-20 09:33 編輯
誤差合成的算法 ——測(cè)量計(jì)量基本概念(8) 史錦順 -. 誤差合成的算法，是個(gè)爭(zhēng)議頗大的話題。上段講誤差范圍的確定，用的是絕對(duì)值相加。本文的基本觀點(diǎn)是：基于誤差量的特點(diǎn)，絕對(duì)值相加的方法，順理成章。這種方法，合理、簡(jiǎn)單、實(shí)用、最受歡迎。 - （一）歷史與現(xiàn)實(shí)情況 測(cè)量得到測(cè)得值。測(cè)量結(jié)果只有測(cè)得值不行，還要說(shuō)明誤差情況。測(cè)量結(jié)果的第一部分是測(cè)得值，第二部分是誤差的表征量。歷史上，測(cè)量結(jié)果有過(guò)不同的表征方法。第一部分都一樣，必然是測(cè)得值；第二部分卻不同，有過(guò)多種形式。因?yàn)檎`差元可正可負(fù)，不能取平均值，必須去掉正負(fù)號(hào)，于是出現(xiàn)如下幾種處理方式。 1 算術(shù)平均誤差（絕對(duì)值的平均值，不同絕對(duì)值等權(quán)） 2 標(biāo)準(zhǔn)誤差σ（用貝塞爾公式計(jì)算） 3 或然誤差（最可幾值，包含概率50%），γ=0.6745σ 4 范圍誤差（最大值減最小值） 5 誤差范圍（取3σ，包含概率99.73%） 6 擴(kuò)展不確定度（不確定度理論主張取2σ，包含概率95.45%） - 測(cè)量?jī)x器與計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)，其性能取決于各項(xiàng)誤差因素。分項(xiàng)誤差構(gòu)成總誤差，其計(jì)算方法稱誤差合成。 1993年以前，誤差理論講誤差合成，主流是混合法，既不一律絕對(duì)值相加，也不一律均方合成，而是看相關(guān)系數(shù)，只有隨機(jī)的、相關(guān)系數(shù)為零的項(xiàng)才能均方合成，其他項(xiàng)絕對(duì)值相加。在實(shí)際工作中，分析相關(guān)性，并非易事，于是通常的處理辦法是：明顯的隨機(jī)量，如示值的隨機(jī)波動(dòng)量，均方根處理，絕對(duì)值較小而又項(xiàng)目較多的誤差項(xiàng)目（正負(fù)抵消的機(jī)會(huì)較大），按方和根處理，而數(shù)量較少且數(shù)值較大的項(xiàng)目，按絕對(duì)值相加。課題成果或新產(chǎn)品鑒定會(huì)上，常常為合成方法而爭(zhēng)論。多用方和根合成，常常有非議，因?yàn)樗阈×苏`差范圍，即高估了性能指標(biāo)；而絕對(duì)值合成，沒(méi)有爭(zhēng)議，研制者既已在低估自己，別人也不好說(shuō)三道四。 - 1993年以后，以GUM為代表的不確定度論，主張一律均方合成。不確定度論的前提是“系統(tǒng)誤差修正以后”，怎樣怎樣；其實(shí)，對(duì)大量測(cè)量?jī)x器，并不修正系統(tǒng)誤差。因?yàn)閷?duì)系統(tǒng)誤差，常常是在分析與測(cè)量的基礎(chǔ)上給出其范圍值，不好修正。況且一臺(tái)測(cè)量?jī)x器有成千上萬(wàn)個(gè)實(shí)用測(cè)量點(diǎn)，一般沒(méi)有共同的、數(shù)值相同的系統(tǒng)誤差項(xiàng)，難于修正。而逐點(diǎn)修正又不便于使用者。因此測(cè)量?jī)x器通常不修正。方和根合成法的前提是二量之和的平方，等于二量平方的和，交叉項(xiàng)的總效果為零，這一點(diǎn)，對(duì)于系統(tǒng)性誤差，也難于讓人信服。況且，均方合成之值較小，不保險(xiǎn)，也難怪人們有疑慮。不確定度論主張一律均方合成，主要理由是計(jì)算方法統(tǒng)一的主觀需要，而并沒(méi)有客觀的實(shí)在理由。不顧事實(shí)的強(qiáng)詞奪理，形成不確定度論的一大敗筆。 以上大致是歷史與現(xiàn)狀。以下是筆者的認(rèn)識(shí)與主張。 - （二）誤差量的特點(diǎn) 誤差量，既是量值，也不是量值。一些權(quán)威人物稱誤差是量值，這有一定道理，誤差量有單位、有數(shù)值。從有單位、有數(shù)值這個(gè)角度說(shuō)，誤差是量值。但要注意，更全面地看，就顯出誤差量與量值有本質(zhì)的不同。 第一，量值是事物的客觀屬性，與人的認(rèn)識(shí)與否無(wú)關(guān)。測(cè)得值是人的認(rèn)識(shí)，誤差是測(cè)得值與實(shí)際量的差距。誤差量與人的認(rèn)識(shí)密切相關(guān)，是人的認(rèn)識(shí)的產(chǎn)物。 第二，量值是客觀存在，大小一定，表達(dá)量值，不可大，也不可小，要正好。而測(cè)量的誤差卻不許大，而可以小，越小越好。對(duì)測(cè)量?jī)x器性能的表征來(lái)說(shuō)，又可以把誤差往大說(shuō)，而不可往小說(shuō)。 誤差量有如此兩個(gè)特點(diǎn)，也不好泛泛地稱它是量值。我們還是把量值與誤差量，區(qū)分稱說(shuō)，區(qū)別處理。本文則嚴(yán)格關(guān)注誤差量的特殊性。 測(cè)量，包括為其服務(wù)的計(jì)量與儀器制造，要求誤差越小越好。但以實(shí)踐對(duì)準(zhǔn)確度的要求為依據(jù)，人們定出誤差范圍的不同檔次，以方便于測(cè)量?jī)x器的制造與選用?；巨k法就是規(guī)定誤差范圍的指標(biāo)。誤差范圍是誤差絕對(duì)值的上限。僅此而已。有了誤差范圍的指標(biāo)，就規(guī)定了儀器生產(chǎn)的要求、計(jì)量公證的標(biāo)準(zhǔn)，使用者選用儀器與表示測(cè)量結(jié)果的依據(jù)。測(cè)量?jī)x器的研制、生產(chǎn)、使用，用一個(gè)誤差范圍指標(biāo)（準(zhǔn)確度），貫穿起來(lái)，是人類社會(huì)的組織效果，一種人類文明的體現(xiàn)。 誤差量的“上限性”，是誤差量的特有屬性，它必然體現(xiàn)于一切有關(guān)的測(cè)量計(jì)量理論中。在人類對(duì)誤差量的認(rèn)識(shí)與表達(dá)歷史上，出現(xiàn)過(guò)多種表示方法，但以“誤差范圍”應(yīng)用最廣。全世界用過(guò)的以及正在用的測(cè)量?jī)x器，都標(biāo)有準(zhǔn)確度，就是誤差范圍指標(biāo)值。不同稱呼有許多，如極限誤差、誤差限、最大允許誤差、準(zhǔn)確度等級(jí)等等，實(shí)際都是誤差范圍。 誤差量的上限性，決定了誤差量表征量“誤差范圍”的廣泛應(yīng)用。誤差范圍怎樣計(jì)算？考慮這個(gè)問(wèn)題的根本依據(jù)，就是誤差量的上限性。 - （三）誤差范圍的計(jì)算 測(cè)量講究準(zhǔn)確，準(zhǔn)確是測(cè)量的靈魂。計(jì)量以標(biāo)準(zhǔn)的準(zhǔn)確保證測(cè)量?jī)x器的準(zhǔn)確，準(zhǔn)確是計(jì)量的命脈。準(zhǔn)確是測(cè)量?jī)x器與計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)性能水平的標(biāo)志。準(zhǔn)確的程度用誤差來(lái)衡量。誤差元等于測(cè)得值減真值，可正可負(fù)；誤差范圍是誤差元絕對(duì)值的一定概率（3σ，99.73%）意義下的最大可能值，恒正。誤差元是誤差概念的元素，說(shuō)明誤差的物理意義；誤差可正可負(fù)，時(shí)大時(shí)小，不便于應(yīng)用。實(shí)用的是誤差范圍。誤差范圍怎樣計(jì)算合理？這個(gè)問(wèn)題爭(zhēng)議很大，本文表明筆者的一種觀點(diǎn)。 - 什么叫合理，什么叫不合理？符合客觀規(guī)律就是合理，不符合客觀規(guī)律就是不合理。討論誤差的表征法，必須根據(jù)誤差量的特點(diǎn)。 由各項(xiàng)誤差，計(jì)算總誤差，通常叫誤差合成。有人以為過(guò)去的誤差理論，沒(méi)有誤差合成的辦法，這是不符合歷史的錯(cuò)誤說(shuō)法。千百種的測(cè)量?jī)x器與測(cè)量工具，歷史上都是給出“準(zhǔn)確度”指標(biāo)的，每臺(tái)儀器都標(biāo)有“準(zhǔn)確度”數(shù)值，不合成怎來(lái)這個(gè)數(shù)？十大類計(jì)量，有幾百種計(jì)量基準(zhǔn)、標(biāo)準(zhǔn)，都標(biāo)有準(zhǔn)確度，都是諸誤差因素的合成結(jié)果，不可能沒(méi)有合成計(jì)算。（合成計(jì)算是研制者的事，體現(xiàn)于測(cè)量?jī)x器、計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)立項(xiàng)論證、成果鑒定論證、學(xué)術(shù)論文中。） 不確定度論出世以來(lái)，為了給自己的出世找借口，公然說(shuō)準(zhǔn)確度是定性的。這是完全不顧歷史事實(shí)的一種胡說(shuō)，是現(xiàn)代版的指鹿為馬。明明準(zhǔn)確度都給出具體數(shù)值，怎能說(shuō)是定性的？歷史就是歷史，事實(shí)就是事實(shí)，GUM也好、VIM也好，誰(shuí)也否定不了歷史，而不顧事實(shí)說(shuō)謊話，是一種反科學(xué)的可恥行為。幾個(gè)美國(guó)人說(shuō)“準(zhǔn)確度是定性的”，事實(shí)如何呢？筆者手頭有一本美國(guó)HP公司的1995年的測(cè)量?jī)x器樣本，隨便翻幾頁(yè)，就找到三百多個(gè)給出特定值的準(zhǔn)確度，這是誰(shuí)也改變不了的歷史；在網(wǎng)上極易查到2013年的美國(guó)安捷倫公司、福祿克公司的測(cè)量?jī)x器樣本，各種儀器都標(biāo)著準(zhǔn)確度指標(biāo)的數(shù)值，這就是現(xiàn)實(shí)，那幾個(gè)說(shuō)“準(zhǔn)確度是定性的”的美國(guó)人，歪曲歷史，無(wú)視現(xiàn)實(shí)，在瞪眼睛說(shuō)瞎話……。我這里要聲明一下，我的行業(yè)是時(shí)間頻率計(jì)量，我遵從的計(jì)量法規(guī)是《JJF1180-2007時(shí)間頻率名詞術(shù)語(yǔ)》，此法規(guī)規(guī)定：準(zhǔn)確度是定量的，準(zhǔn)確度是偏差的范圍，并給出數(shù)字實(shí)例。我激烈反對(duì)、駁斥“準(zhǔn)確度定性論”，是有國(guó)家法規(guī)為后盾的。網(wǎng)友不必在老史是否守法上費(fèi)話。 - 不確定度論主張誤差合成一律取方和根。第一，這是為了跟經(jīng)典誤差理論鬧對(duì)立；第二否定誤差分類，否定對(duì)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差應(yīng)區(qū)分對(duì)待；第三，看到誤差理論處理辦法中的區(qū)分麻煩，而要給出一個(gè)統(tǒng)一的處理辦法，于是就主張統(tǒng)一到一律取方和根。 筆者深知，學(xué)問(wèn)較高的人主張分析相關(guān)系數(shù)。相當(dāng)多的人贊成取“方和根”，其理由是：似乎這樣不大不小，合適。這是把誤差量等同于一般量值，而產(chǎn)生的誤解。 筆者認(rèn)為，學(xué)術(shù)水平高，分析相關(guān)系數(shù)，不必異議，但這是極少數(shù)人的事，能做得精是好事。但不好推廣，也不一定必要。我認(rèn)為，注意到誤差量“上限性”的特點(diǎn)，取絕對(duì)值合成最好， - （四）主張算術(shù)合成 算術(shù)合成就是各分項(xiàng)誤差范圍（都是正值）相加。 設(shè)測(cè)得值函數(shù)為 M = f(X1,X2,X3) 泰勒展開(kāi)的一階項(xiàng)是 ΔM = (?f/?X1) ΔX1+(?f/?X2) ΔX2+(?f/?X3) ΔX3 誤差范圍為： R =│ΔM│max =│(?f/?X1) ΔX1+(?f/?X2) ΔX2+(?f/?X3) ΔX3│max =│?f/?X1││ΔX1│max + │?f/?X1││ΔX1│max + │?f/?X1││ΔX1│max =│?f/?X1│R1 + │?f/?X2│R2 + │?f/?X3│R3 = R(1) + R(2) + R(3) - 筆者的主張是取絕對(duì)值合成，即算術(shù)合成。理由如下。 1 符合最一般、最通用的誤差理論知識(shí) 如數(shù)學(xué)手冊(cè)（1980版） 設(shè)a是A的近似值，b是B的近似值 │a-A│≤Δa
│b-B│≤Δb
(a+b)的誤差=Δa+Δb (a-b)的誤差=Δa+Δb 從誤差的最一般知識(shí)不難看出，誤差計(jì)算的抓手是誤差范圍。 2 符合誤差范圍的定義 設(shè)誤差元為r, 誤差范圍為 R=│r│max 設(shè)誤差元是三個(gè)數(shù)的代數(shù)和 r = r(1) + r(2) - r(3) 則 R = │r│max = │r(1) + r(2) - r(3) │max = │r(1)│max + │r(2)│max +│r(3)│max = R(1)+R(2)+R(3) - （五）合成方法比較
方法一 混合法 據(jù)筆者所知，歷史上的合成方法，以混合法最多。明顯的隨機(jī)誤差，數(shù)值較小而項(xiàng)目較多的系統(tǒng)誤差，取方和根（將各項(xiàng)平方，求和，再開(kāi)方）。大的系統(tǒng)誤差取絕對(duì)值相加。 歷史證明，混合法基本可用。 - 方法二 方和根法 不確定度論主張一律采用方和根法合成。 要理由是期望統(tǒng)一算法。 反對(duì)誤差分類說(shuō)，認(rèn)為任何誤差都服從特定的分布規(guī)律。 不確定度論的方和根法：先將單項(xiàng)誤差范圍，除以因子，恢復(fù)至標(biāo)準(zhǔn)不確定度。將各個(gè)項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度平方，求和，開(kāi)方，得合成不確定度。乘因子2，得擴(kuò)展不確定度，包含概率95%。 - 【史評(píng)】 方和跟法起源于單項(xiàng)的重復(fù)測(cè)量的均方根法。均方根法表達(dá)的是隨機(jī)誤差。測(cè)得值對(duì)參考值之差，有正有負(fù)，不能取代數(shù)和。必須甩掉差值的正負(fù)號(hào)。去掉正負(fù)號(hào)的第一個(gè)辦法是取絕對(duì)值，求和，平均。第二個(gè)辦法是平方（正負(fù)號(hào)消失）平均，再開(kāi)方。貝塞爾巧妙地實(shí)現(xiàn)了用平均值代換期望值，推導(dǎo)出貝塞爾公式。于是，貝塞爾公式得到廣泛應(yīng)用，成為測(cè)量計(jì)量學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理的基礎(chǔ)。 著眼點(diǎn)于絕對(duì)值（去掉正負(fù)號(hào)）本來(lái)有兩種方法：取絕對(duì)值或取平方之根。由于貝塞爾的成就，使理論與應(yīng)用都聚焦于平方之根。對(duì)重復(fù)性測(cè)量的隨機(jī)誤差或隨機(jī)偏差，這樣做是恰當(dāng)?shù)?。而把這種方法，移植于性質(zhì)完全不同的測(cè)量?jī)x器研制中的誤差合成，就不一定是必須的。況且，某些特性構(gòu)成這種方式的原則性困難。 1 和的平方，通常不等于平方的和。即量間的相關(guān)系數(shù)不為零。而準(zhǔn)確計(jì)算相關(guān)系數(shù)又非易事。 2 不確定度論反對(duì)誤差分類。但系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差性質(zhì)不同，是抹煞不了的事實(shí)。不確定度論認(rèn)為系統(tǒng)誤差，也是隨機(jī)分布量；眼光甚大，例如說(shuō)，用很多臺(tái)測(cè)量?jī)x器測(cè)量同一量值，儀器的系統(tǒng)誤差必呈分布規(guī)律。但人們要處理的是用一臺(tái)儀器來(lái)測(cè)量。用許多儀器測(cè)量同一量，是虛構(gòu)。 3 都取方和根，等于承認(rèn)各量間的相關(guān)系數(shù)為零，也就是承認(rèn)二量和的平方等于平方的和，即交叉項(xiàng)的作用為零，這難于被人相信。 4 計(jì)算的指導(dǎo)思想，像是對(duì)待一般量值，是求“合適值”，而不是找最大值。 5 合成計(jì)算結(jié)果偏小。又取2σ，可靠性95.54%，降低要求，丟失信譽(yù)。 - 方法三 算術(shù)和 對(duì)明顯的隨機(jī)誤差，如示值的重復(fù)性，測(cè)N次，求σ，以3σ為隨機(jī)誤差范圍。對(duì)其他單項(xiàng)誤差，不分屬性，一律尋找其絕對(duì)值的最大可能值，即其誤差范圍。 算術(shù)和法：取各個(gè)單項(xiàng)誤差范圍之和，就是測(cè)量?jī)x器的誤差范圍。 - 【史評(píng)】 1 符合最基本的數(shù)學(xué)原理（數(shù)學(xué)手冊(cè)方法） 2 符合誤差量的特點(diǎn)（上限性） 3 有實(shí)踐基礎(chǔ) 4 最保險(xiǎn) 5 簡(jiǎn)單易行，設(shè)計(jì)者歡迎 6 可靠，測(cè)量者歡迎 7 鑒定會(huì)容易通過(guò)。 - （六）回答幾點(diǎn)質(zhì)疑 1 有人說(shuō)：你都用絕對(duì)值相加，能保證相關(guān)系數(shù)都為1嗎？ 【史答】 計(jì)算相關(guān)系數(shù)，是計(jì)算交叉項(xiàng)貢獻(xiàn)大小的需要，僅僅是取方和根算法的產(chǎn)物。當(dāng)采用算術(shù)和法，即取絕對(duì)值相加時(shí)，因?yàn)槭乔笞畲蠓秶?，與相關(guān)不相關(guān)沒(méi)關(guān)系，不論相關(guān)系數(shù)多大，合成項(xiàng)的最大可能值都是各個(gè)單項(xiàng)的最大可能值之和。因此，避開(kāi)了相關(guān)系數(shù)。 - 2 能保證計(jì)量公正嗎？設(shè)計(jì)者低估自己有好處，而計(jì)量者不能低估被檢儀器的性能。 【史答】 指標(biāo)合成、給出，都是測(cè)量?jī)x器研制者的事。計(jì)量著眼點(diǎn)是測(cè)量?jī)x器的總指標(biāo)，不過(guò)問(wèn)、也不進(jìn)行分項(xiàng)誤差合成。計(jì)量憑標(biāo)準(zhǔn)憑實(shí)測(cè)，考察的是儀器的實(shí)際誤差范圍（測(cè)得值減真值的范圍），是否符合指標(biāo)。因此合成方法，與計(jì)量無(wú)關(guān)。個(gè)別測(cè)量?jī)x器給出的是分項(xiàng)指標(biāo)，那就只好按分項(xiàng)指標(biāo)檢定。如儀器同時(shí)給出合成方法，就該按總指標(biāo)檢定，則檢定既包括了分項(xiàng)指標(biāo)，也包括了合成方法的合理性。 - 3 是不是浪費(fèi) 【史答】 實(shí)際工作中，絕對(duì)地既保險(xiǎn)又不浪費(fèi)，是不可能的。況且，指標(biāo)僅是標(biāo)志問(wèn)題，不影響實(shí)際性能。國(guó)際最著名的測(cè)量?jī)x器公司，所以信譽(yù)高，重要的一點(diǎn)是指標(biāo)留有較大的余量。筆者驗(yàn)收過(guò)的國(guó)際著名品牌，實(shí)際誤差范圍常常小于其指標(biāo)的二分之一，甚至三分之一。當(dāng)然是余量越大越好。 成本與可靠性，誤差理論歷來(lái)偏重于可靠性，這是正確的方針。不確定度論把歷來(lái)的3σ，改為2σ，是倒退的錯(cuò)誤主張。一件有趣的事是：美國(guó)人的不確定度論主張“不浪費(fèi)”的2σ（包含概率95%），這個(gè)本來(lái)對(duì)生產(chǎn)廠有利的主張，美國(guó)的測(cè)量?jī)x器公司福祿克公司卻宣布：本公司為對(duì)用戶負(fù)責(zé)，所有儀器一率取包含概率99%，狠狠打了不確定度論一記耳光。一個(gè)實(shí)業(yè)公司，眼光竟遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于那推行不確定度論的八大國(guó)際學(xué)術(shù)組織！ - | 
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