測量與計量的數學模型

                                             測量與計量的數學模型   

                                                                                                                                        史錦順

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本文闡述的測量與計量的數學模型，很簡單。這簡單、明了的模型很實用。由此，可以抵制那麻煩而又不可用的不確定度評定及其“建模”。

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（一）測量的數學模型

直接測量的數學模型就是測得值等于儀器示值：

                M(測) = M(示)                                                   （1）

由（1）可以推出誤差元的關系為：

                M(測) – Z = M(示) – Z

                ΔM(測) = ΔM(示)
                       r(測) = r(示)

誤差范圍是誤差元的絕對值的最大可能值

               │ r(測) │max= │r(示)│max

                R(測) = R(示)                                                      （2）

（2）式表明：測得值的誤差范圍，等于測量儀器的示值誤差范圍。

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測量儀器的示值誤差范圍，由測量儀器的基本誤差，測量儀器的附加誤差構成。測量儀器的基本誤差，由生產廠家給出，載入說明書，經計量公證。滿足儀器使用條件要求，并正確使用測量儀器的條件下，測量誤差就是測量儀器的基本誤差范圍。

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（二）測量的方法與結果表達

1 區分基礎測量與統計測量

測量者應明確所進行的測量是哪類測量。被測量是常量或慢變化量，那是基礎測量，如果被測量是快變化量，那是統計測量。在基礎測量中，被測量的變化遠小于測量儀器的誤差范圍；在統計測量中，測量儀器的誤差范圍，必須遠小于被測量的變化范圍。

2 根據測量的準確性要求，根據對上述兩類測量的分析，正確選用測量儀器。

3 要看儀器說明書，正確使用儀器，滿足儀器的使用條件。查驗合格證書。

4 測量要進行多次測量。由此，基礎測量可以減小測量的隨機誤差；經多次測量，統計測量才能給出統計量。只有示值很穩定的測量或非精密測量，才可以單次測量。

5 基礎測量，取平均值為測得值，以測量儀器的誤差范圍指標為測得值的誤差范圍。測量結果為：

                  L = M(平) ± R(測)                                （3）

6 統計測量要根據貝塞爾公式計算σ，注意用單值的σ表征分散性。

                  L = M(平) ± σ  （RMS）

                  L = M(平) ±3σ  （偏差范圍）

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（轉下頁）

（三）計量的數學模型

計量過程，用數學方法表達如下。

在計量的情況下，用被檢儀器“測量”計量標準，得儀器的示值M(測)。標準的標稱值為B。

誤差元關系：

              ΔM(測) = M(測) – B

              ΔM(測) = M(測) – Z – (B-Z )

              ΔM(測) = ΔM(測真) –ΔB(真)

              ΔM(測真)=ΔM(測) +ΔB(真)                                       (4)

ΔM(測) 是測得值的經測量得到的誤差（以標準的標稱值為參考）；ΔM(測真)是 儀器測得值的真誤差（以真值為參考的誤差）；ΔB(真)是標準的真誤差。（4）式體現計量標準在計量中形成的計量誤差。

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誤差范圍關系：

           │ΔM(測真)│max =│ΔM(測) +ΔB(真) │max

            R(測真) = │ΔM(測) │max +│ΔB(真) │max
                   R(測真) = R(測) + R(B)                                                (5)

    （5）式是誤差范圍的關系式，即：測得值的真誤差范圍，等于測得值的實驗誤差范圍加上標準的誤差范圍。

    （5）式就是計量的誤差方程。計量是考察誤差關系，因此它就是計量的數學模型。

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（四）計量的資格

計量的目的是求得測量儀器的真誤差范圍R(測真)，計量中直接得到的是R(測)。由（5）式知，計量標準的誤差范圍R(B)是計量的誤差。為計量準確，要求標準的誤差范圍R(B)要足夠小。標準指標與儀器指標之比（標議比）q值，是計量能否進行的資格條件，時頻界取q ≤ 1/10，是充分的；電子等界現取q ≤ 1/3，建議取q ≤ 1/4。

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(五) 不確定度評定的模型不當

不確定度論的模型要求給出測得值函數，這在計量與測量的場合，是既不可能，也是不必要的。測量計量工作中，把測量儀器當整體看，是不需要測量儀器的測得值函數的；況且，測量者與計量者一般不可能知道測得值函數（與儀器構造有關）。

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測量儀器的測得值函數，也就是測量儀器的數學模型，是測量儀器研制中的問題，不該混淆在測量計量中。讓計量人員建立測得值函數的模型，是沒道理的不合理要求。

不確定度評定的“建模”，第一混淆了場合，把儀器研制中的事，錯用到測量計量中。第二，混淆了對象和手段，錯把被檢儀器的性能摻和到檢定能力中。第三，不知道必須用單值的σ來表征變量的分散性，錯誤地除以根號N.

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請看，測量計量工作堅持誤差理論，則思路清晰、工作易干又實效；若信不確定度論，則想不通、干不好；何去何從，請網友與有關計量領導思之。

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路過學習了，希望大家一起進步

路過學習，一同進步

好的知識點，學習一下。

回復 1# 史錦順

（一）測量的數學模型
　　測量的數學模型即測量結果的測量模型，測量結果M(測)就是測量儀器上的讀數值M(測) = M(示)，因此測量的測量模型簡單來說就是：
　　M(測) = M(示)
　　如果要考慮所謂的“真值”問題，因為實際上真值不可知，只能用約定真值代替，測量儀器示值的真值就是儀器示值 M(示)加其修正值M(修)，此時的測量結果測量模型就應該是：
　　M(測) = M(示)＋M(修)
（二）測量的方法與結果表達
　　測得值就是測得值，一個測量只有一個測得值，不存在測得值誤差范圍。只存在測量結果的計量要求，即測量結果的允差，測量結果的允差就是圖紙工藝提出的合格與否判定標準。史老師所說的“測量儀器的示值誤差范圍”是測量時所用測量儀器的示值最大允許誤差，這個“允差”對同種同規格儀器是固定不變的，是相同的，是檢定規程規定的。每一臺儀器經檢定后的實際示值誤差是各不相同的，因此人們在使用不同個體的儀器實施測量時，每臺儀器的實際示值誤差對所得到的測量結果的影響肯定也是不相同的。上述兩個測量模型就足夠了，沒有必要繼續推導帶有“誤差范圍”或“偏差范圍”的測量模型。繼續推導實際上把簡單的問題復雜化了。

回復 2# 史錦順

（三）計量的數學模型
　　非常清楚史老師在這里所說的“計量”是狹義計量的范疇，是特指計量檢定或校準，不包含廣義計量的其它含義，恕我直接用“校準”一詞代替史老師所說的“計量”。
　　在實施校準時，用被校儀器“測量”計量標準，得儀器的示值M(測)，計量標準提供的輸出值為B，則校準所得到的被校儀器示值誤差ΔM(測)等于儀器示值與標準值之差，測量模型為：
　　ΔM(測) = M(測) – B
　　如果用引用誤差表示，則校準結果的測量模型還應該除以引用值（一般引用值用儀器的量程M），測量模型為：
　　δ(測) = [M(測)/M– B/M]×100%
　　同樣，史老師所說的計量標準的“誤差范圍”是計量標準的最大允許誤差，被校儀器的“誤差范圍”是被校儀器的最大允許誤差，都是由校準規范（或檢定規程）規定的固定不變的值，屬于計量要求的范疇，沒有必要，也不應該寫入測量模型。
（四）計量的資格
　　校準的目的是求得測量儀器的真誤差，實際上真值是不可得的，真誤差也就不可得，人們只能盡量獲得趨近于真誤差的誤差值。衡量通過校準得到的誤差值是否達到“趨近于真誤差”，即獲得的誤差值是否可信的判定標準正是1/3原則，即測量結果的不確定度必須小于被校儀器最大示值允差的1/3至1/10。計量標準的最大示值允差是影響校準結果不確定度的重要分量之一，所以才有“標準的誤差范圍”(即最大示值允差)“要足夠小”的要求，這就是計量標準是否可用于該校準項目的“資格”。
(五) 不確定度評定的模型不當
　　不確定度評定中要求正確給出測量模型，測量模型必須正確反映輸出量（測量結果）與各輸入量（各被測參數）之間的關系，這就是史老師說的函數關系。這種要求是科學的，正確的。
　　從上述對校準的描述可以看出，無非是使用的測量設備是計量標準，被測對象是被校儀器的示值誤差，校準活動本質上就是測量活動的一種。從上述校準結果的測量模型中，我們也沒有發現有必要“把儀器研制中的事，錯用到測量計量中”的現象存在，當然在儀器研制過程中分析其測量原理的不確定度時例外。不確定度評定要求的是實事求是，測量原理是什么就是什么，測量結果是怎么獲得的就按獲得的方法一五一十地寫出測量模型，同樣也是容不得混淆對象和手段。關于“錯誤地除以根號N”的問題，JJF1059.1-2012已經說得非常清楚，這個N指的是取多次測量平均值作為測量結果時的測量次數，如果僅僅用測量一次的測得值作為測量結果，這個N就是1，根號1仍然是1，其不確定度就是S，而不是S/√n（注n為重復試驗的次數），我們應該嚴格區分重復性試驗的次數n和實際測量的次數N，不能混淆為N＝n。
　　誤差理論正確反映了測量結果的準確性，功不可沒，但是不確定度反映了測量結果的可信性，同樣功不可沒，二者相輔相成，互為補充，并不是你死我活的關系。我們應該抱著同時接受光的波動說和粒子說一樣，同時接受誤差和不確定度。

回復 6# 規矩灣錦苑

【規矩灣錦苑】

（一）測量的數學模型　　測量的數學模型即測量結果的測量模型，測量結果M(測)就是測量儀器上的讀數值M(測) = M(示)，因此測量的測量模型簡單來說就是：　　M(測) = M(示)
　　如果要考慮所謂的“真值”問題，因為實際上真值不可知，只能用約定真值代替，測量儀器示值的真值就是儀器示值 M(示)加其修正值M(修)，此時的測量結果測量模型就應該是：　　M(測) = M(示)＋M(修)
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【史辯】

前四行是正確的。這話與我的話沒有區別。第五行“如果要考慮所謂的‘真值’問題”是廢話，測量的目的是求得真值，一切理論，一切表達，都必須緊緊圍繞真值，任何脫離真值的想法、作法都是歧途。因此，這句話不該說，說了就等于否定前邊的話，因為測得值與儀器示值都是真值的寫照、真值的代表，要考慮的是，它們代表真值能代表到怎樣的程度，也就是準確到什么程度。

第五句中間那半句“真值實際上不可知”，是地道的不確定度論的語言，表現出極端錯誤的哲學觀念，不該由一個中國的計量人說出。如果今天的人還退步到“客觀之物不可知”的那種觀念，也就沒有必要討論學術問題了。既然都不可知，還怎能得知？我們學習、討論、爭論，總是有一個前提條件的，那就是客觀事物是可以認識的，是可知的。如果前提是“客觀之物不可知”，那就沒必要爭論了。

句中提到“約定真值”的概念，是不著邊的空話。計量學中的約定真值，是指國際計量單位的幾個國際約定。約定，要有實際內容、具體的形式。全世界的約定真值，數量很少，但起著統一全世界量值的作用。不確定度論出世以來，否定真值可知，而又不能不說真值，于是含含糊糊地到處講約定真值，似乎用約定真值來代替真值。這是不行的。量是物質、物體、現象的可定量確定的屬性，量的實際值就是真值。宇宙萬物各有各的真值，真值數量億億億億，說不清數不盡，誰能約定？誰來約定？隨手撿一石塊，它的重量有重量真值，體積有體積真值，硬度有硬度真值。誰能“約定”這一石塊的真值？放著明確的“真值”不用，卻去提那不存在的“約定真值”，這是不確定度宣貫以來，形成的直路不走 走彎路 的一股歪風。

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現在已是電子的時代，計算機技術已普及到各個領域，因此，測量儀器本該把修正值加在一起后再給出示值。況且，修正的事，是技術發展初期的事，沒見過哪臺精密測量儀器，還要修正。修正值即使有，也該加在示值中。單列個修正值，空給表達找麻煩。不可取。

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回復 6# 規矩灣錦苑

【規矩灣錦苑】

（二）測量的方法與結果表達　　測得值就是測得值，一個測量只有一個測得值，不存在測得值誤差范圍。只存在測量結果的計量要求，即測量結果的允差，測量結果的允差就是圖紙工藝提出的合格與否判定標準。史老師所說的“測量儀器的示值誤差范圍”是測量時所用測量儀器的示值最大允許誤差，這個“允差”對同種同規格儀器是固定不變的，是相同的，是檢定規程規定的。每一臺儀器經檢定后的實際示值誤差是各不相同的，因此人們在使用不同個體的儀器實施測量時，每臺儀器的實際示值誤差對所得到的測量結果的影響肯定也是不相同的。上述兩個測量模型就足夠了，沒有必要繼續推導帶有“誤差范圍”或“偏差范圍”的測量模型。繼續推導實際上把簡單的問題復雜化了。

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【史辯】

研究誤差理論，就是要研究測得值的誤差范圍。說“一個測量只有一個測得值，不存在測得值誤差范圍”，是錯誤的判斷。測量儀器有誤差，測得值與被測量真值有差距，這是客觀現實。怎樣表達測得值與真值的差距，這就是學問。定義 誤差元等于測得值減真值，這是基礎，但這還不夠，因為測量有隨機誤差，測得值本身可能是變化的量，誤差元可能不是定值。這是其一；其二，人們能確定的是誤差元的最大可能值，這個值就是誤差范圍。誤差范圍的概念，實用而又重要。誤差范圍可以確定，條件是要有計量標準；這一點在計量與儀器制造場合都可實現。沒標準，就沒法制造測量儀器，沒有標準就沒資格計量測量儀器。

有三大場合：儀器制造、儀器計量、儀器使用，在這三大場合中，要有一個能貫通的表征量，才能使這三種場合，互為依托。這個量就是測得值的誤差范圍，簡稱誤差范圍。

測量時，由于被測量的真值未知（注意，這里說的是未經足夠準的測量儀器測量，是真值未知，不是真值不可知），因此不能具體算出特定的誤差元，但所用測量儀器是標有誤差范圍指標的，這個指標，表明測量儀器的性能，即其誤差范圍（誤差元的上限）是已知的，因此測量者在得知測得值的同時，是知道本次測量的誤差范圍的。這一點，正是儀器制造、計量、測量的貫通性，也正是計量工作的實效性。如果經過計量的測量儀器，還不知道誤差范圍的話，還要計量干什么？不確定度的評定，拋開計量，又沒有標準，評定是瞎評。

用同一型號的測量儀器去測量同一量，得到的測得值可能不同，但誤差范圍是相同的，這一點并不奇怪。測量要求的是測得值的誤差要有個限度，這個限度就是誤差范圍；而不是要求測得值的誤差一定要多大，小了不可以。混蛋才說誤差小了不可以。因此測量要求的是誤差范圍。型號相同，誤差范圍相同是好事，于是可在同型號儀器中，任選一臺。而不需必得用哪一臺。

史文繼續推導得到測得值的誤差范圍就是測量儀器的示值誤差范圍，這一點對糾正不確定度評定，是非常重要的。把測量儀器的誤差指標拿來當測得值的誤差范圍就完事了，何必去評定？評定也還是測量儀器誤差那一套。這是簡化，怎么是復雜化？誰在簡化？誰在復雜化？搞復雜化的是不確定度評定，老史說直接用測量儀器的指標就行了，這明明是簡化嗎！

順便說一下，“允差”的提法，不錯，但太局限。測量儀器的指標，是水平的標志、論價的條件、獲獎的資格，在計量中是合格性判別的底線，在測量中，是測量者選用的依據，并直接用于測量結果的表達。絕不是“允許”的問題。

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回復 7# 規矩灣錦苑

【規矩灣錦苑】

關于“錯誤地除以根號N”的問題，JJF1059.1-2012已經說得非常清楚，這個N指的是取多次測量平均值作為測量結果時的測量次數，如果僅僅用測量一次的測得值作為測量結果，這個N就是1，根號1仍然是1，其不確定度就是S，而不是S/√n（注n為重復試驗的次數），我們應該嚴格區分重復性試驗的次數n和實際測量的次數N，不能混淆為N＝n。
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【史辯】

快變量的分散性，該用單值的σ，還是該用平均值的σ(平)，是個重要的理論問題，更是一個嚴肅的實踐問題，要認真對待，切不可等閑視之。

國家計量院的陳成仁研究員，在“測量不確定度評定培訓講演稿_百度文庫”中，講到分散性要用單值的σ時，畫了個警示框框寫著“慢慢理解”，可見，單值σ表征隨機變量的特性這個問題，有個理解過程。你也該慢慢理解。至于JJF1059.1-2012 的那段話，是誤導。測量一次，根號n是1，等于沒說。須知，精密測量只測量一次是違規的。計量時測量100次，測量時測量20次，（排除N=1、n=1）,表達分散性的量都是σ，而不能除以根號N。老史這里交個底，在幾十年的測量計量工作中，特別是在處理宇航測量設備的數以萬計的數據處理中，都是給出單值的σ，盡管N或n都是100或20。我不能不遺憾的指出：JJF1059.1-2012的幾位制定者，在這個問題上弄錯了。錯誤就是錯誤，必須改正。統計量的分散性必須用單值的σ，在這個問題上不能用根號1等于1來敷衍。

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回復 8# 史錦順

　　真值的確是不可得到的，這并不是不確定度評定的發現，而是誤差理論建立初期就發現的事實。誤差理論的核心建立在“任何測量都存在著誤差”，因此通過測量來得到被測量的真值是不可能實現的，如果人們有辦法得到被測量的真值，誤差理論也就遭到徹底顛覆而不復存在了。人們通過測量只能得到測量結果，測量結果總是不可避免的或多或少偏離被測量真值，這個測量結果偏離真值的大小就是誤差理論創建時命名的術語“誤差”。
　　術語“約定真值”同樣是誤差理論創建初期定義的基本概念之一。人們進行測量的目的是想找到被測量的真值，但因為誤差無處不在而使找到真值不可能，所以誤差理論才會定義一個“約定真值”的概念。早在1998版及更早版本的《通用計量名詞術語及定義》就定義了“約定真值”，意思是“約定采用的”的量值，“有時稱為指定值、最佳估計值、約定值或參考值”。常常是將高精度的測量結果“約定為”低精度測量結果的“真值”。由于多次測量的算術平均值比單次測量結果更接近于被測量真值，因此也“常常用某量的多次測量結果來確定約定真值”（引號中的文字見JJF1001-1998）。可見“約定真值”的概念并不是史老師所說的僅僅“是指國際計量單位的幾個國際約定”。計量科技發展到今天，術語“約定真值”已經被術語“參考量值”所取代，但其本質含義并沒有原則性改變。

回復 9# 史錦順

　　“測量儀器有誤差，測得值與被測量真值有差距”，這的確是大家共認的客觀現實。怎樣表達測得值與真值的差距？很簡單，二者相減就是“誤差”，這就是誤差理論的基礎之一。一個值減去一個值必然還是一個值，無論如何也無法得到一個區域或者“范圍”。“誤差范圍”的概念是人們對測量設備的誤差特性提出的“計量要求”，是由檢定規程、校準規范或測量設備生產標準（以下統稱技術標準）對測量設備提出的要求。每一個測量設備要投入使用，前提條件是其示值誤差滿足技術標準提出的“誤差范圍”要求。在史老師所說的“儀器制造、儀器計量、儀器使用”三大場合中，“要有一個能貫通的表征量，才能使這三種場合，互為依托”，這個量就是技術標準預先提出的“計量要求”，也就是史老師所說的“誤差范圍”。但是這個誤差范圍并不是史老師所說的“測得值的誤差范圍”。測得值（檢定結果或校準結果）只有具體的誤差值，或者最大誤差，而沒有“誤差范圍”，當其最大誤差不大于技術標準規定的計量要求（介于允許的誤差范圍之內）時，新制造的、經檢定的（史老師說的經計量的）、使用中的測量設備才能夠被判定為合格。
　　“用同一型號的測量儀器去測量同一量，得到的測得值可能不同”，應該說因此測量結果的誤差是不相同的。但由于“用同一型號的測量儀器”去測量同一量，技術標準對同一型號的測量儀器的計量要求是相同的，因此同一型號的測量儀器的“誤差范圍”是相同的，那么相同計量要求的測量設備給測量結果引入的不確定度分量也就是相同的，測量結果的可信性或可靠性必然是相同的。由于一個測量結果只有一個誤差，測量結果（史老師有時候用術語測得值代替）不存在誤差范圍，因此測量設備引入的不確定度分量是相同的并不等于說測量結果的誤差范圍是相同的。

回復 10# 史錦順

　　用不確定度衡量的是測量結果的可信性或者可靠性，不是測量結果的準確性，測量結果的準確性用誤差來衡量。
　　即便用誤差理論解釋多次測量的結果，當多次重復測量同一被測量取算術平均值作為測量結果時，隨著測量次數的增加，測量結果也就越接近被測量真值。當測量次數為∞時，以算術平均值為測量結果，該結果就是被測量真值。
　　用不確定度來解釋這個現象時，n趨近于∞，貝塞爾公式中根號里的分母（n－1）也趨近于∞，n′·(n－1)更趨近于∞。(n－1)趨近于∞，那么得到的標準偏差S或σ會趨近于0，不確定度也就趨近于0，測量結果的可疑度就會很小，可信性就會很大。一個準確性和可信性都很高的測量結果也就是高品質的“產品”。但是當已知實驗標準差S，實際測量的次數為n′＝1時，不確定度u＝S/√1＝S。無論實驗時實驗次數n是多大，100還是20，S（史老師說的σ）都是通過重復試驗得到的，是已知的，不確定度u都是S，這并沒有錯。
　　可是，如果實際給出的測量結果是通過20次測量得到的測得值取算術平均值，那么這個以算術平均值作為測量結果的不確定度就必須是u=S/√20。這個測量結果用誤差理論來解釋其誤差也一定小于單次測量的測得值作為測量結果的誤差，其準確度一定會高于單次測量結果的準確度。這怎么可以說是“用根號1等于1來敷衍”呢？這里一定要分清楚重復試驗求實驗標準差時的試驗次數n和此后測量獲得測量結果時的測量次數n′，n和n′所代表的測量次數并不是一回事，不能將它們畫等號。