兩種西格瑪-誤差與不確定度辨析(9)

          兩種西格瑪-誤差與不確定度辨析(9)   

                                                   史錦順   

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（一）單值的西格瑪與平均值的西格瑪

西格瑪是方差的平方根。物理書上常稱其為均方根值。經典測量學稱其為標準誤差，變量統計理論稱其為標準偏差。

測量一組數據，共N個。代入貝塞爾公式計算。計算過程為：先求N個數據的平均值；各數據減平均值得N個殘差；每個殘差取平方；對各殘差的平方求和，得殘差的平方和；將殘差的平方和除以(N-1),再開方，即得到西格瑪。這是單值的西格瑪。此西格瑪表征每一個單個的測得值。也就是說，西格瑪是一組測量中各個單值的共同特征，是單值對期望值偏差的統計表征量，是單值的分散性的度量。在正態分布的條件下，三倍西格瑪是包含概率為99.73%的取值區間。

平均值的西格瑪，簡稱西格瑪(平)。西格瑪(平)等于西格瑪除以根號N。西格瑪(平)是平均值對期望值偏離的統計表征量。

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（二）基礎測量要用平均值的西格瑪

對常量的測量，稱基礎測量。

生活、生產、交易中的測量，是認識量值，求得量值，一般只測一次。

對常量進行精密測量，要進行多次。測一次是必要測量，另外的N-1次測量，是重復測量，又稱冗（róng）余測量。測得值的變化由測量儀器引起，測得值的分散性是手段問題，要用多次測量的方法減小手段的影響，要取平均值，用西格瑪(平)來表征測得值的平均值接近被測量真值的程度。

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對慢變量的測量，實際是基礎測量。例如測量晶振的日老化率，必須進行時間間隔為1日的2次測量。這2次測量是必要測量。現在通常的作法是每隔一日測量一次，共7次測量，冗余量為5（7減2）。注意，這里的一次測量的“次”，應是三到五個測得值的平均值。

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在基礎測量中，測得值的分散性由測量手段引入，稱隨機誤差。手段要改進，方法之一是增加測量次數，因而取平均值，用平均值的西格瑪來表征隨機誤差。

總之，基礎測量用平均值的西格瑪。

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（三）統計測量要用單值的西格瑪

對隨機快變量的測量，是統計測量。其模型是，每個測得值是準確值（誤差可略），測得值的變化，表現被測量本身的變化。取得單個測得值所用的時間稱采樣時間。每個測得值是采樣時間內的各時刻量值的平均值。單個測得值及其表征量，都是采樣時間的函數。這種表達模式，在時頻界，已成功應用。

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對迅速變化的量，測量只能進行一次。如發射運載衛星的火箭，測速、測距都無法重復，因為速度在變，距離更在變，此刻的值不等于下一刻的值。這樣，對測量系統的要求，是單值的西格瑪，而不是平均值的西格瑪。

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對統計測量來說，西格瑪是量值分散性的表征量，稱隨機偏差。3倍西格瑪是量值的變化范圍。平均值的西格瑪是平均值的變化特性，對單個客觀量的實際變化，已無實際意義。因此統計測量的表征量是單值的西格瑪，而不是平均值的西格瑪。

統計測量的標準偏差，是單值的西格瑪。

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例1 狼的活動范圍

一座小山的巖石洞中，有個狼窩，住著狼和幾只狼崽。狼每天外出巡獵，又要顧及狼崽，不時回窩照看，這樣就大致有個行動范圍。狼離小山的距離，簡稱狼距，在一個區間內。設每天狼的活動規律大體相同。

一天中抽樣測量狼距，測10次，算西格瑪為20公里，取3西格瑪為狼距范圍，是60公里。狼距平均值的西格瑪是7公里，狼距平均值的范圍是20公里。

如一天中抽樣測量狼距1000次，算西格瑪為20公里，狼距范圍是60公里；西格瑪(平)為0.7公里，狼距平均值的范圍是2公里。

小山周圍是大草原，雜居著羊和兔。羊國布告：按狼距3西格瑪是危險區，即小山60公里范圍，羊等莫入。兔國布告：按狼距3西格瑪(平)是危險區，即小山2公里范圍（或寫成20公里），兔等莫入。

結果很明顯。3西格瑪是狼可能到達的范圍；3西格瑪（平）無安全上的意義。羊國以3西格瑪（60公里）為危險范圍是正確的。兔國采用3西格瑪(平)，危險范圍僅2公里（或20公里），上當。