兩種西格瑪-誤差與不確定度辨析(9)

          兩種西格瑪-誤差與不確定度辨析(9)   

                                                   史錦順   

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（一）單值的西格瑪與平均值的西格瑪

西格瑪是方差的平方根。物理書(shū)上常稱其為均方根值。經(jīng)典測(cè)量學(xué)稱其為標(biāo)準(zhǔn)誤差，變量統(tǒng)計(jì)理論稱其為標(biāo)準(zhǔn)偏差。

測(cè)量一組數(shù)據(jù)，共N個(gè)。代入貝塞爾公式計(jì)算。計(jì)算過(guò)程為：先求N個(gè)數(shù)據(jù)的平均值；各數(shù)據(jù)減平均值得N個(gè)殘差；每個(gè)殘差取平方；對(duì)各殘差的平方求和，得殘差的平方和；將殘差的平方和除以(N-1),再開(kāi)方，即得到西格瑪。這是單值的西格瑪。此西格瑪表征每一個(gè)單個(gè)的測(cè)得值。也就是說(shuō)，西格瑪是一組測(cè)量中各個(gè)單值的共同特征，是單值對(duì)期望值偏差的統(tǒng)計(jì)表征量，是單值的分散性的度量。在正態(tài)分布的條件下，三倍西格瑪是包含概率為99.73%的取值區(qū)間。

平均值的西格瑪，簡(jiǎn)稱西格瑪(平)。西格瑪(平)等于西格瑪除以根號(hào)N。西格瑪(平)是平均值對(duì)期望值偏離的統(tǒng)計(jì)表征量。

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（二）基礎(chǔ)測(cè)量要用平均值的西格瑪

對(duì)常量的測(cè)量，稱基礎(chǔ)測(cè)量。

生活、生產(chǎn)、交易中的測(cè)量，是認(rèn)識(shí)量值，求得量值，一般只測(cè)一次。

對(duì)常量進(jìn)行精密測(cè)量，要進(jìn)行多次。測(cè)一次是必要測(cè)量，另外的N-1次測(cè)量，是重復(fù)測(cè)量，又稱冗（róng）余測(cè)量。測(cè)得值的變化由測(cè)量?jī)x器引起，測(cè)得值的分散性是手段問(wèn)題，要用多次測(cè)量的方法減小手段的影響，要取平均值，用西格瑪(平)來(lái)表征測(cè)得值的平均值接近被測(cè)量真值的程度。

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對(duì)慢變量的測(cè)量，實(shí)際是基礎(chǔ)測(cè)量。例如測(cè)量晶振的日老化率，必須進(jìn)行時(shí)間間隔為1日的2次測(cè)量。這2次測(cè)量是必要測(cè)量。現(xiàn)在通常的作法是每隔一日測(cè)量一次，共7次測(cè)量，冗余量為5（7減2）。注意，這里的一次測(cè)量的“次”，應(yīng)是三到五個(gè)測(cè)得值的平均值。

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在基礎(chǔ)測(cè)量中，測(cè)得值的分散性由測(cè)量手段引入，稱隨機(jī)誤差。手段要改進(jìn)，方法之一是增加測(cè)量次數(shù)，因而取平均值，用平均值的西格瑪來(lái)表征隨機(jī)誤差。

總之，基礎(chǔ)測(cè)量用平均值的西格瑪。

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（三）統(tǒng)計(jì)測(cè)量要用單值的西格瑪

對(duì)隨機(jī)快變量的測(cè)量，是統(tǒng)計(jì)測(cè)量。其模型是，每個(gè)測(cè)得值是準(zhǔn)確值（誤差可略），測(cè)得值的變化，表現(xiàn)被測(cè)量本身的變化。取得單個(gè)測(cè)得值所用的時(shí)間稱采樣時(shí)間。每個(gè)測(cè)得值是采樣時(shí)間內(nèi)的各時(shí)刻量值的平均值。單個(gè)測(cè)得值及其表征量，都是采樣時(shí)間的函數(shù)。這種表達(dá)模式，在時(shí)頻界，已成功應(yīng)用。

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對(duì)迅速變化的量，測(cè)量只能進(jìn)行一次。如發(fā)射運(yùn)載衛(wèi)星的火箭，測(cè)速、測(cè)距都無(wú)法重復(fù)，因?yàn)樗俣仍谧儯嚯x更在變，此刻的值不等于下一刻的值。這樣，對(duì)測(cè)量系統(tǒng)的要求，是單值的西格瑪，而不是平均值的西格瑪。

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對(duì)統(tǒng)計(jì)測(cè)量來(lái)說(shuō)，西格瑪是量值分散性的表征量，稱隨機(jī)偏差。3倍西格瑪是量值的變化范圍。平均值的西格瑪是平均值的變化特性，對(duì)單個(gè)客觀量的實(shí)際變化，已無(wú)實(shí)際意義。因此統(tǒng)計(jì)測(cè)量的表征量是單值的西格瑪，而不是平均值的西格瑪。

統(tǒng)計(jì)測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差，是單值的西格瑪。

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例1 狼的活動(dòng)范圍

一座小山的巖石洞中，有個(gè)狼窩，住著狼和幾只狼崽。狼每天外出巡獵，又要顧及狼崽，不時(shí)回窩照看，這樣就大致有個(gè)行動(dòng)范圍。狼離小山的距離，簡(jiǎn)稱狼距，在一個(gè)區(qū)間內(nèi)。設(shè)每天狼的活動(dòng)規(guī)律大體相同。

一天中抽樣測(cè)量狼距，測(cè)10次，算西格瑪為20公里，取3西格瑪為狼距范圍，是60公里。狼距平均值的西格瑪是7公里，狼距平均值的范圍是20公里。

如一天中抽樣測(cè)量狼距1000次，算西格瑪為20公里，狼距范圍是60公里；西格瑪(平)為0.7公里，狼距平均值的范圍是2公里。

小山周圍是大草原，雜居著羊和兔。羊國(guó)布告：按狼距3西格瑪是危險(xiǎn)區(qū)，即小山60公里范圍，羊等莫入。兔國(guó)布告：按狼距3西格瑪(平)是危險(xiǎn)區(qū)，即小山2公里范圍（或?qū)懗?0公里），兔等莫入。

結(jié)果很明顯。3西格瑪是狼可能到達(dá)的范圍；3西格瑪（平）無(wú)安全上的意義。羊國(guó)以3西格瑪（60公里）為危險(xiǎn)范圍是正確的。兔國(guó)采用3西格瑪(平)，危險(xiǎn)范圍僅2公里（或20公里），上當(dāng)。