數(shù)據(jù)處理

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實驗數(shù)據(jù)處理基本方法
數(shù)據(jù)處理是指從獲得數(shù)據(jù)開始到得出最后結(jié)論的整個加工過程，包括數(shù)據(jù)記錄、整理、計算、分析和繪制圖表等。數(shù)據(jù)處理是實驗工作的重要內(nèi)容，涉及的內(nèi)容很多，這里僅介紹一些基本的數(shù)據(jù)處理方法。
1.5.1 列表法
對一個物理量進(jìn)行多次測量或研究幾個量之間的關(guān)系時，往往借助于列表法把實驗數(shù)據(jù)列成表格。其優(yōu)點是，使大量數(shù)據(jù)表達(dá)清晰醒目，條理化，易于檢查數(shù)據(jù)和發(fā)現(xiàn)問題，避免差錯，同時有助于反映出物理量之間的對應(yīng)關(guān)系。所以，設(shè)計一個簡明醒目、合理美觀的數(shù)據(jù)表格，是每一個同學(xué)都要掌握的基本技能。
列表沒有統(tǒng)一的格式，但所設(shè)計的表格要能充分反映上述優(yōu)點，應(yīng)注意以下幾點：
1．        各欄目均應(yīng)注明所記錄的物理量的名稱(符號)和單位；
2．        欄目的順序應(yīng)充分注意數(shù)據(jù)間的聯(lián)系和計算順序，力求簡明、齊全、有條理；
3．        表中的原始測量數(shù)據(jù)應(yīng)正確反映有效數(shù)字，數(shù)據(jù)不應(yīng)隨便涂改，確實要修改數(shù)據(jù)時，應(yīng)將原來數(shù)據(jù)畫條杠以備隨時查驗；
4．        對于函數(shù)關(guān)系的數(shù)據(jù)表格，應(yīng)按自變量由小到大或由大到小的順序排列，以便于判斷和處理。
1.5.2 圖解法
圖線能夠直觀地表示實驗數(shù)據(jù)間的關(guān)系，找出物理規(guī)律，因此圖解法是數(shù)據(jù)處理的重要方法之一。圖解法處理數(shù)據(jù)，首先要畫出合乎規(guī)范的圖線，其要點如下：
1.選擇圖紙  作圖紙有直角坐標(biāo)紙(即毫米方格紙)、對數(shù)坐標(biāo)紙和極坐標(biāo)紙等，根據(jù)作圖需要選擇。在物理實驗中比較常用的是毫米方格紙，其規(guī)格多為 。
2.曲線改直  由于直線最易描繪,且直線方程的兩個參數(shù)(斜率和截距)也較易算得。所以對于兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系是非線性的情形，在用圖解法時應(yīng)盡可能通過變量代換將非線性的函數(shù)曲線轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性函數(shù)的直線。下面為幾種常用的變換方法。
(1) ( 為常數(shù))。令 ，則 ，即 與 為線性關(guān)系。
(2) ( 為常數(shù))。令 ，則 ，即 與 為線性關(guān)系。
(3) ( 和 為常數(shù))。等式兩邊取對數(shù)得， 。于是， 與 為線性關(guān)系， 為斜率， 為截距。
(4) ( 和 為常數(shù))。等式兩邊取自然對數(shù)得， 。于是， 與 為線性關(guān)系， 為斜率， 為截距。
3.確定坐標(biāo)比例與標(biāo)度  合理選擇坐標(biāo)比例是作圖法的關(guān)鍵所在。作圖時通常以自變量作橫坐標(biāo)( 軸)，因變量作縱坐標(biāo)( 軸)。坐標(biāo)軸確定后，用粗實線在坐標(biāo)紙上描出坐標(biāo)軸，并注明坐標(biāo)軸所代表物理量的符號和單位。
坐標(biāo)比例是指坐標(biāo)軸上單位長度(通常為 )所代表的物理量大小。坐標(biāo)比例的選取應(yīng)注意以下幾點：
(1)原則上做到數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖上應(yīng)是可靠的，即坐標(biāo)軸上的最小分度( )對應(yīng)于實驗數(shù)據(jù)的最后一位準(zhǔn)確數(shù)字。坐標(biāo)比例選得過大會損害數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度。
(2)坐標(biāo)比例的選取應(yīng)以便于讀數(shù)為原則，常用的比例為“1∶1”、“1∶2”、“1∶5”(包括“1∶0.1”、“1∶10”…)，即每厘米代表“1、2、5”倍率單位的物理量。切勿采用復(fù)雜的比例關(guān)系，如“1∶3”、“1∶7”、“1∶9”等。這樣不但不易繪圖，而且讀數(shù)困難。
坐標(biāo)比例確定后，應(yīng)對坐標(biāo)軸進(jìn)行標(biāo)度，即在坐標(biāo)軸上均勻地(一般每隔 )標(biāo)出所代表物理量的整齊數(shù)值，標(biāo)記所用的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)與實驗數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。標(biāo)度不一定從零開始，一般用小于實驗數(shù)據(jù)最小值的某一數(shù)作為坐標(biāo)軸的起始點，用大于實驗數(shù)據(jù)最大值的某一數(shù)作為終點，這樣圖紙可以被充分利用。
4.數(shù)據(jù)點的標(biāo)出  實驗數(shù)據(jù)點在圖紙上用“+”符號標(biāo)出，符號的交叉點正是數(shù)據(jù)點的位置。若在同一張圖上作幾條實驗曲線，各條曲線的實驗數(shù)據(jù)點應(yīng)該用不同符號(如×、⊙等)標(biāo)出，以示區(qū)別。
5.曲線的描繪  由實驗數(shù)據(jù)點描繪出平滑的實驗曲線，連線要用透明直尺或三角板、曲線板等擬合。根據(jù)隨機(jī)誤差理論，實驗數(shù)據(jù)應(yīng)均勻分布在曲線兩側(cè)，與曲線的距離盡可能小。個別偏離曲線較遠(yuǎn)的點，應(yīng)檢查標(biāo)點是否錯誤，若無誤表明該點可能是錯誤數(shù)據(jù)，在連線時不予考慮。對于儀器儀表的校準(zhǔn)曲線和定標(biāo)曲線，連接時應(yīng)將相鄰的兩點連成直線，整個曲線呈折線形狀。
6.注解與說明  在圖紙上要寫明圖線的名稱、坐標(biāo)比例及必要的說明(主要指實驗條件)，并在恰當(dāng)?shù)胤阶⒚髯髡咝彰⑷掌诘取?br /> 7.直線圖解法求待定常數(shù)  直線圖解法首先是求出斜率和截距，進(jìn)而得出完整的線性方程。其步驟如下：
(1)選點。在直線上緊靠實驗數(shù)據(jù)兩個端點內(nèi)側(cè)取兩點 、 ），并用不同于實驗數(shù)據(jù)的符號標(biāo)明，在符號旁邊注明其坐標(biāo)值(注意有效數(shù)字)。若選取的兩點距離較近，計算斜率時會減少有效數(shù)字的位數(shù)。這兩點既不能在實驗數(shù)據(jù)范圍以外取點，因為它已無實驗根據(jù)，也不能直接使用原始測量數(shù)據(jù)點計算斜率。
(2)求斜率。設(shè)直線方程為 ，則斜率為
                            (1-5-1)
(3)求截距。截距的計算公式為
                            (1-5-2)
【例7】金屬電阻與溫度的關(guān)系可近似表示為 ， 為 ℃時的電阻， 為電阻的溫度系數(shù)。實驗數(shù)據(jù)見下表，試用圖解法建立電阻與溫度關(guān)系的經(jīng)驗公式。

1        2        3        4        5        6        7
/℃
10.5        26.0        38.3        51.0        62.8        75.5        85.7

10.423        10.892        11.201        11.586        12.025        12.344        12.679
圖1-5-1 銅絲電阻與溫度關(guān)系曲線
【解】溫度 起點 ，電阻 起點 。比例測算， 軸： ，故取為 ； 軸： ，故取為 。對照比例選擇原則知，選取的比例滿足要求。所繪圖線見圖1-5-1。
在圖線上取兩點 和 ，斜率和截距計算如下：
所以，銅絲電阻與溫度的關(guān)系為

1.5.3 逐差法
當(dāng)兩個變量之間存在線性關(guān)系，且自變量為等差級數(shù)變化的情況下，用逐差法處理數(shù)據(jù)，既能充分利用實驗數(shù)據(jù)，又具有減小誤差的效果。具體做法是將測量得到的偶數(shù)組數(shù)據(jù)分成前后兩組，將對應(yīng)項分別相減，然后再求平均值。
例如，在彈性限度內(nèi)，彈簧的伸長量 與所受的載荷(拉力) 滿足線性關(guān)系

實驗時等差地改變載荷，測得一組實驗數(shù)據(jù)如下表：
砝碼質(zhì)量/Kg        1.000        2.000        3.000        4.000        5.000        6.000        7.000        8.000
彈簧伸長位置/cm
求每增加1Kg砝碼彈簧的平均伸長量 。
若不加思考進(jìn)行逐項相減，很自然會采用下列公式計算

結(jié)果發(fā)現(xiàn)除 和 外，其它中間測量值都未用上，它與一次增加7個砝碼的單次測量等價。若用多項間隔逐差，即將上述數(shù)據(jù)分成前后兩組，前一組 ，后一組 ，然后對應(yīng)項相減求平均，即

這樣全部測量數(shù)據(jù)都用上，保持了多次測量的優(yōu)點，減少了隨機(jī)誤差，計算結(jié)果比前面的要準(zhǔn)確些。逐差法計算簡便，特別是在檢查具有線性關(guān)系的數(shù)據(jù)時，可隨時“逐差驗證”，及時發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)規(guī)律或錯誤數(shù)據(jù)。
1.5.4 最小二乘法
由一組實驗數(shù)據(jù)擬合出一條最佳直線，常用的方法是最小二乘法。設(shè)物理量 和 之間的滿足線性關(guān)系，則函數(shù)形式為

最小二乘法就是要用實驗數(shù)據(jù)來確定方程中的待定常數(shù) 和 ，即直線的斜率和截距。
圖1-5-2   的測量偏差
我們討論最簡單的情況，即每個測量值都是等精度的，且假定 和 值中只有 有明顯的測量隨機(jī)誤差。如果 和 均有誤差，只要把誤差相對較小的變量作為 即可。由實驗測量得到一組數(shù)據(jù)為 ，其中 時對應(yīng)的 。由于測量總是有誤差的，我們將這些誤差歸結(jié)為 的測量偏差，并記為 ， ，…， ，見圖1-5-2。這樣，將實驗數(shù)據(jù) 代入方程 后，得到

我們要利用上述的方程組來確定 和 ，那么 和 要滿足什么要求呢？顯然，比較合理的 和 是使 ， ，…， 數(shù)值上都比較小。但是，每次測量的誤差不會相同，反映在 ， ，…， 大小不一，而且符號也不盡相同。所以只能要求總的偏差最小，即

令                        
使 為最小的條件是
， ， ，
由一階微商為零得

解得                                        (1-5-3)
                      (1-5-4)
令 ， ， ， ， ，則
                            (1-5-5)
                           (1-5-6)
如果實驗是在已知 和 滿足線性關(guān)系下進(jìn)行的，那么用上述最小二乘法線性擬合(又稱一元線性回歸)可解得斜率 和截距 ,從而得出回歸方程 。如果實驗是要通過對 、 的測量來尋找經(jīng)驗公式，則還應(yīng)判斷由上述一元線性擬合所確定的線性回歸方程是否恰當(dāng)。這可用下列相關(guān)系數(shù) 來判別
                     (1-5-7)
其中 ， 。
圖1-5-3  相關(guān)系數(shù)與線性關(guān)系長
可以證明， 值總是在 和 之間。 值越接近 ，說明實驗數(shù)據(jù)點密集地分布在所擬合的直線的近旁，用線性函數(shù)進(jìn)行回歸是合適的。 表示變量 、 完全線性相關(guān)，擬合直線通過全部實驗數(shù)據(jù)點。 值越小線性越差，一般 時可認(rèn)為兩個物理量之間存在較密切的線性關(guān)系，此時用最小二乘法直線擬合才有實際意義，見圖1-5-3。

(摘自南航大)

[ 本帖最后由 lzl_1972 于 2007-8-4 09:39 編輯 ]

內(nèi)容很好，圖呢?完整一些就好了。