請(qǐng)仔細(xì)看JJF1059.1和1059.2及相關(guān)知識(shí)再討論不確定度的是非 - 2

看了各位對(duì)“請(qǐng)仔細(xì)看JJF1059.1和1059.2及相關(guān)知識(shí)再討論不確定度的是非”的回復(fù)，我需要回答或說明的點(diǎn)有幾個(gè)，我先通過對(duì)隨機(jī)變量（x+y）與隨機(jī)變量x和y的分析，來說明相關(guān)系數(shù)的來源，進(jìn)而再說明：

所以，1、可知道相關(guān)系數(shù)（至少上面內(nèi)容中的相關(guān)系數(shù)）是由于有了隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差或方差概念的基礎(chǔ)上才有的，也只有這種相關(guān)系數(shù)才能代入合成公式，因?yàn)檫@種相關(guān)系數(shù)是從合成公式中規(guī)定出來的。Njlyx你提出的另外兩種相關(guān)系數(shù)，如果有來源，請(qǐng)給出推理過程，即使有推理過程，那也只適用于你推理過程中的合成公式。

2、另外再次強(qiáng)調(diào)，應(yīng)用相關(guān)系數(shù)需要是隨機(jī)變量。

3、系統(tǒng)誤差的相關(guān)系數(shù)為1，崔偉群先生并未有推理說明，而是直接認(rèn)為的，原文類似“顯然，系統(tǒng)誤差的相關(guān)系數(shù)為1“；Njlyx先生也未直說，只是通過他的C類相關(guān)系數(shù)（即史生生的求誤差的相關(guān)系數(shù)公式）可以計(jì)算得出，但我暫未發(fā)現(xiàn)他的C類相關(guān)系數(shù)合理來源，個(gè)人持保留態(tài)度。

4、數(shù)學(xué)上的知識(shí)是很嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，是高于?shí)踐的。應(yīng)用于實(shí)際工作，由于條件限制，只會(huì)引入不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娜藶橐?guī)定或增加更多的限制條件，但這也是人類真正厲害的地方：類似“模糊邏輯”。不確定度合成即是如此，不是每個(gè)分量都方便用或能用統(tǒng)計(jì)的方法得到，所以才有了B類的評(píng)定方法，由于B類的高度經(jīng)驗(yàn)性，應(yīng)用B類一定要注意合理，不然就會(huì)產(chǎn)生問題。系統(tǒng)誤差在未知時(shí)，對(duì)于所有該類計(jì)量器具的誤差，可以當(dāng)成是均勻分布的隨機(jī)變量；如果是已知的，當(dāng)然可以當(dāng)修正值處理，此時(shí)不在不確定度（分散性）的考慮范圍，當(dāng)然你一定要說我就是知道系統(tǒng)誤差但就是不修正，此時(shí)你也可以當(dāng)成是偏移一個(gè)系統(tǒng)誤差值的隨機(jī)變量，此變量是不對(duì)稱的，不能按GUM法、可以按蒙特卡羅法進(jìn)行不確定評(píng)定。

誤差相關(guān)肯定是一個(gè)相對(duì)普遍存在的問題，因?yàn)檫^去總認(rèn)為誤差有類別，只有隨機(jī)誤差之間才有相關(guān)性議題（系統(tǒng)誤差連方差都沒有），于是經(jīng)常是以誤差樣本的子樣本序列來統(tǒng)計(jì)其相關(guān)性，自然得到的經(jīng)常是不相關(guān)的結(jié)論。
現(xiàn)在，不確定度要討論的是總誤差之間的相關(guān)性，譬如：用于矩形長(zhǎng)寬測(cè)量的二把尺子，當(dāng)涉及面積結(jié)果的不確定度評(píng)定時(shí)，要考慮的是二把尺子各自輸出總誤差之間的相關(guān)性。
理論上講，任何二臺(tái)儀器，只要它們?cè)谒菰存溕嫌泄餐摹白嫦取?，“祖先”的誤差就同時(shí)包含在是他們的輸出總誤差中，這二臺(tái)儀器的輸出總誤差就必然存在相關(guān)性。譬如：同一廠商生產(chǎn)出來的二把鋼尺，甚至同一國(guó)家的二個(gè)不同廠商生產(chǎn)的鋼尺等。關(guān)鍵是量值溯源體系中“祖先”的誤差通常小小于儀器自身的誤差，儀器之間的誤差相關(guān)性通常很弱而可以按忽略來處理。但這仍然是一個(gè)理論實(shí)踐問題，畢竟強(qiáng)相關(guān)的可能是仍然存在的，不可能永遠(yuǎn)當(dāng)忽略處理。而傳統(tǒng)的計(jì)量檢測(cè)、儀器說明書等通常只給出儀器的標(biāo)準(zhǔn)差而從不提供其和其他儀器的協(xié)方差，這對(duì)于有多個(gè)B類分項(xiàng)的不確定度合成來說當(dāng)然就是一個(gè)困擾。
未來在不確定度理論體系的逐步完善后，計(jì)量檢測(cè)、儀器制造等領(lǐng)域或也將進(jìn)行一些操作規(guī)范的變革。必須指出的是，誤差之間的相關(guān)性是由誤差樣本序列的統(tǒng)計(jì)獲得的，誤差樣本的取樣方法當(dāng)然必須與要討論的相關(guān)性相一致。

不思考一下：為什么那個(gè)系數(shù)叫“相關(guān)系數(shù)”？而沒有叫成別的？諸如史先生說的“交叉因子”？？

不確定度評(píng)論中輸入量的相關(guān)性確實(shí)是一個(gè)爭(zhēng)議比較大的點(diǎn)，從數(shù)學(xué)上看，有兩個(gè)可以肯定并且已經(jīng)被證明：
1）有數(shù)學(xué)關(guān)系，不一定相關(guān)；
2）相關(guān)，不一定在現(xiàn)實(shí)生活中有關(guān)系；


因此，進(jìn)一步可以臆測(cè)
現(xiàn)實(shí)生活中有關(guān)系，也不一定相關(guān)。

關(guān)于人們常拿同樣的一把尺子測(cè)量正方形的長(zhǎng)和寬舉的例子，嚴(yán)謹(jǐn)一點(diǎn)，只能說測(cè)量有關(guān)系，但測(cè)量結(jié)果不一定相關(guān)。

實(shí)際上研究相關(guān)的問題，首要要回答的是不確定度的兩個(gè)輸入量在B類評(píng)定中的具有隨機(jī)分布的特性是客觀存在的還是人們假設(shè)的？如果客觀存在，則在一組測(cè)量中，這種隨機(jī)特性是被保持的還是拋棄的？如果被保持，是否可以通過測(cè)量結(jié)果序列估算？
以上一系列問題如果僅僅依靠名詞文字辯說，不會(huì)有任何結(jié)論？只有通過從數(shù)學(xué)假設(shè)出發(fā)，一步一步推導(dǎo)才能得出一個(gè)比較靠譜的結(jié)論。


以上是個(gè)人一點(diǎn)拙見，僅供參考。

njlyx 發(fā)表于 2015-10-26 14:19
不思考一下：為什么那個(gè)系數(shù)叫“相關(guān)系數(shù)”？而沒有叫成別的？諸如史先生說的“交叉因子”？？
...

先是要表達(dá)什么，不是很明白。個(gè)人比較重視某一個(gè)概念或參數(shù)的物理意義或數(shù)學(xué)關(guān)系，至于叫什么，即然前人或大部分人已經(jīng)怎么叫了，只要實(shí)際意思沒變，就沒必要再“標(biāo)新立異”。至于史先生，他不認(rèn)可“相關(guān)系數(shù)”，所以才叫的“交叉因子”吧。

崔偉群 發(fā)表于 2015-10-26 14:48
不確定度評(píng)論中輸入量的相關(guān)性確實(shí)是一個(gè)爭(zhēng)議比較大的點(diǎn)，從數(shù)學(xué)上看，有兩個(gè)可以肯定并且已經(jīng)被證明：
1） ...

以上一系列問題如果僅僅依靠名詞文字辯說，不會(huì)有任何結(jié)論？只有通過從數(shù)學(xué)假設(shè)出發(fā)，一步一步推導(dǎo)才能得出一個(gè)比較靠譜的結(jié)論。




我非常認(rèn)可這句話，所以我才給出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理過程，而且文字描述也絕對(duì)不以偏概全，推理過程是什么就是什么，不會(huì)用這個(gè)推理過程去否定其它的東西。 像文中的一句話：“所以，1、可知道相關(guān)系數(shù)（至少上面內(nèi)容中的相關(guān)系數(shù)）是由于有了隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差或方差概念的基礎(chǔ)上才有的，也只有這種相關(guān)系數(shù)才能代入合成公式，因?yàn)檫@種相關(guān)系數(shù)是從合成公式中規(guī)定出來的。”，通過推理過程已經(jīng)可以否定“誤差合成的相關(guān)系數(shù)公式”，但我沒這樣說，只是強(qiáng)調(diào)推理中相關(guān)系數(shù)是這樣的，至于“誤差合成的相關(guān)系數(shù)公式”請(qǐng)給出推理過程。


另外，您的全文也是文字“描述”吧，特別是（1）和（2）中，有“不一定”字眼的語句，在邏輯學(xué)是肯定對(duì)的，因?yàn)椴灰欢ū旧戆ㄋ星闆r“部分是”、“全是”、“不是”。所以盡量不要用類似文字。

thearchyhigh 發(fā)表于 2015-10-26 20:58
先是要表達(dá)什么，不是很明白。個(gè)人比較重視某一個(gè)概念或參數(shù)的物理意義或數(shù)學(xué)關(guān)系，至于叫什么，即然前人 ...

前人起名，大致都是比較講究的，就是注重盡量能表達(dá)其物理意義或數(shù)學(xué)關(guān)系。兩個(gè)量Y與X的“相關(guān)系數(shù)”就是要表達(dá)Y與X的“線性相關(guān)”的程度——即：它們的對(duì)應(yīng)序列值{ Y（j)、X（j）,j=.....}符合【  Y（j)=k X(j)，k不隨j變化】關(guān)系的程度。


考察兩個(gè)量“殘差”的“線性相關(guān)”程度，可得出皮爾蓀的那個(gè)相關(guān)系數(shù)rb ——
            【  Y（j)-Ya=k [ X(j)-Xa ]，j=1~n, k不隨j變化】?  Ya、Xa分別表示 Y（j)、X(j)的均值。
推導(dǎo)梗概：求“誤差平方和”；令“誤差平方和”取極小求出最佳比例系數(shù)k；最佳比例系數(shù)k下的那個(gè)最小“誤差平方和”除以“[Y（j)-Ya]的平方和”，就可導(dǎo)出rb —— rb=±1,對(duì)應(yīng)最小“誤差平方和”為零，線性比例關(guān)系【  Y（j)-Ya=k [ X(j)-Xa ]，j=1~n, k不隨j變化】完全符合，謂之“完全（線性）相關(guān)"; rb=0,則對(duì)應(yīng)最小“誤差平方和”與“[Y（j)-Ya]的平方和”相等，線性比例關(guān)系【  Y（j)-Ya=k [ X(j)-Xa ]，j=1~n, k不隨j變化】沒有絲毫吻合，謂之“不相關(guān)"。


注：“量值序列”的“平方和”通常稱之為該量值序列（“信號(hào)”）的“能量”，表達(dá)該“量值序列”的整體取值大小。

njlyx 發(fā)表于 2015-10-26 22:21
前人起名，大致都是比較講究的，就是注重盡量能表達(dá)其物理意義或數(shù)學(xué)關(guān)系。兩個(gè)量Y與X的“相關(guān)系數(shù)”[/bac ...

RB是正確的，就是你們說的協(xié)方差的那個(gè)，RB也只表示“線性相關(guān)程度”，這點(diǎn)非常對(duì)。我已經(jīng)給出推導(dǎo)過程。你用文字說的那些是推不出來的。我看只是最小二乘法求線性回歸及回歸誤差的過程，而且還是有問題的，最小二乘法也是基于殘差的，不是用誤差，公式對(duì)的，但文字描述錯(cuò)了。還有應(yīng)是Y=kX+b。另我問的是你說的RC，還有RA。

見下圖（橫X縱Y）：用RB計(jì)算相關(guān)系數(shù)是確定的，而用RC計(jì)算，隨真值不同就不同，等同于圖中的點(diǎn)上下平移或左右平移，求線性回歸，b值變化，不影響k值，所以線性相關(guān)系數(shù)是確定的，但用RA或RC計(jì)算就會(huì)變了，不符合實(shí)際情況。

問題的關(guān)鍵還是要對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行的必要的修正。比如尺子那個(gè)例子，如果帶入了修正值，就不存在明顯相關(guān)的系統(tǒng)誤差了，不確定度評(píng)定中的相關(guān)性問題自然引刃而解。況且校準(zhǔn)證書給出數(shù)據(jù)的原因，就是為了使用它的修正值，不然就和檢定證書使用上沒有區(qū)別了。所以帶入修正值必不可少。

285166790 發(fā)表于 2015-10-27 09:59
問題的關(guān)鍵還是要對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行的必要的修正。比如尺子那個(gè)例子，如果帶入了修正值，就不存在明顯相關(guān)的系 ...

問題的關(guān)鍵由于每個(gè)人的知識(shí)與理解不一樣，所以不同人是不一樣。但你的說法是對(duì)的。

thearchyhigh 發(fā)表于 2015-10-27 09:47
RB是正確的，就是你們說的協(xié)方差的那個(gè)，RB也只表示“線性相關(guān)程度”，這點(diǎn)非常對(duì)。我已經(jīng)給出推導(dǎo)過程。 ...

ra描述的是兩個(gè)量之間的“線性相關(guān)性”；


rb描述的是兩個(gè)“殘差”量之間的“線性相關(guān)性”；


rc描述的是兩個(gè)“測(cè)量誤差”量之間的“線性相關(guān)性”。


三者是相通的。rb、rc是ra的具體應(yīng)用。......你按 "Y=kX"的要求“回歸”【不允許有“b”】試試看？......如果只關(guān)心量相對(duì)于自身均值的“散布寬度”，那么由rb考慮“相關(guān)性”是合適的； 如果要關(guān)心量的“最大可能取值”，那便應(yīng)該由ra考慮“相關(guān)性”。

njlyx 發(fā)表于 2015-10-27 10:08
ra描述的是兩個(gè)量之間的“線性相關(guān)性”；

RA和RC只有你的文字說明，沒有來源。請(qǐng)先看懂我給的推理過程或者概率論中的推理過程（我在上一貼中有共享概率論第4章），如有問題歡迎指出，如果只是這樣的話，我們就沒必要討論了。糾正你的一句話：“rb描述的是兩個(gè)“殘差”量之間的“線性相關(guān)性”；應(yīng)該是”rb描述的是兩個(gè)量這間的“線性相關(guān)性”，需要通過殘差來計(jì)算“

thearchyhigh 發(fā)表于 2015-10-27 10:55
RA和RC只有你的文字說明，沒有來源。請(qǐng)先看懂我給的推理過程或者概率論中的推理過程（我在上一貼中有共享 ...

接受你“我們就沒必要討論了”的建議。但本人沒有理由接受你的那個(gè)“糾正”。


你的那些“推理"在“統(tǒng)計(jì)理論”中是比較基礎(chǔ)的內(nèi)容，本人似乎沒有“看不懂”。 “統(tǒng)計(jì)理論”中各種“算法”、概念都有一個(gè)根本性的“假定”：它所涉及的“樣本”值都是“真的”，都是所屬“總體”的“真實(shí)樣本”；只要“樣本”數(shù)量足夠多，就能“統(tǒng)計(jì)”出所屬“總體”的真實(shí)“特征值”——如“數(shù)學(xué)期望”的“真值”、“標(biāo)準(zhǔn)偏差”的“真值”、.....。

“測(cè)得值”序列顯然是“測(cè)得值”這個(gè)隨機(jī)總體的“真實(shí)樣本”，但通常不是“被測(cè)量（真）值”那個(gè)隨機(jī)總體的“真實(shí)樣本”，因?yàn)榭偹苤翰豢杀苊獾拇嬖凇皽y(cè)量誤差”。   

如果“測(cè)量不確定度”只是關(guān)心“測(cè)得值”的“散布（寬度）”，不關(guān)心“測(cè)量誤差”的事，那么， “統(tǒng)計(jì)理論”中各種“算法”、概念在此直接應(yīng)用沒有絲毫問題！ 基于rb表達(dá)的“相關(guān)性”，當(dāng)然能得到“合成量”的正確“散布（寬度）”。.... 只是，如此“測(cè)量不確定度”與“測(cè)量工作的‘品質(zhì)’”能有幾分關(guān)聯(lián)？

-
                                              再論交叉因子
-
                                                                                     史錦順
-
       統(tǒng)計(jì)理論的相關(guān)系數(shù)，可以用于對(duì)隨機(jī)誤差的分析，但不能用來分析有系統(tǒng)誤差存在的情況。而任何測(cè)量?jī)x器，都是存在系統(tǒng)誤差的，并且大多數(shù)測(cè)量?jī)x器的誤差范圍是以系統(tǒng)誤差為主的。因此，對(duì)誤差合成的分析，不能完全靠統(tǒng)計(jì)理論。
-
       測(cè)量計(jì)量理論中有測(cè)得值，還有真值。誤差元等于測(cè)得值減真值。
       統(tǒng)計(jì)學(xué)中的統(tǒng)計(jì)變量，各個(gè)是真值，沒有測(cè)得值與真值的差別。對(duì)統(tǒng)計(jì)測(cè)量來說，測(cè)得值等于真值，測(cè)得值（也就是真值）對(duì)應(yīng)統(tǒng)計(jì)理論的隨機(jī)變量。隨機(jī)變量不能區(qū)分測(cè)得值與真值，因此，統(tǒng)計(jì)理論的某些結(jié)論，不能用于誤差分析。用則出現(xiàn)誤導(dǎo)。
       統(tǒng)計(jì)理論中的相關(guān)系數(shù)，對(duì)隨機(jī)誤差分析，可以。
       統(tǒng)計(jì)理論中的相關(guān)系數(shù)，對(duì)系統(tǒng)誤差分析，不行。
       現(xiàn)在不確定度理論引用的統(tǒng)計(jì)理論的相關(guān)系數(shù)公式，分子的基本單元是殘差（測(cè)得值減平均值），對(duì)系統(tǒng)誤差來說，此基本單元為零。就是說，統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)系數(shù)公式對(duì)系統(tǒng)誤差的靈敏系數(shù)為零。就是說，系統(tǒng)誤差之間有多大的相關(guān)性，相關(guān)系數(shù)也是零。
-
       統(tǒng)計(jì)理論中，常量的方差為零。
       測(cè)量學(xué)中，測(cè)得值可能是常值，即隨機(jī)誤差可略；但有系統(tǒng)誤差。
       嚴(yán)格地說，測(cè)量既有系統(tǒng)誤差也有隨機(jī)誤差。二者比重可能不同。當(dāng)一個(gè)很大，而另一個(gè)很小時(shí)，這時(shí)就可以忽略很小的那個(gè)誤差，而只說很大的的那個(gè)誤差。因?yàn)槎呤恰胺胶透ā焙铣?，故二者的比例?/3時(shí)，忽略的誤差為1/18（5.4%）。
-
       當(dāng)只有系統(tǒng)誤差時(shí)，測(cè)得值在重復(fù)測(cè)量中不變，測(cè)得值是常值。此時(shí)系統(tǒng)誤差為常值。例如某種電子秤，誤差范圍為5克，而隨機(jī)誤差小于0.5克，稱重的測(cè)得值是一個(gè)常值。這是常見的情況。統(tǒng)計(jì)理論就描述不了這件事。
       在東市，用國(guó)產(chǎn)電子秤（誤差范圍是5克，分辨力1克），稱大米1000克。稱5次，示值都是1000克。
       表達(dá)為：
              W東= 1000克 ±5克
       在西市，用日本產(chǎn)電子秤（誤差范圍是5克，分辨力誤差1克），稱大米1000克。稱5次，示值都是1000克。
       表達(dá)為：
              W西= 1000克 ±5克
       回家后，東西市稱的大米放在一起。怎樣表達(dá)大米的總重量和誤差范圍？
       第一種，經(jīng)典誤差理論。
       東西市稱大米，都是只知道誤差范圍。示值不變，可見為未定系統(tǒng)誤差。誤差合成取“絕對(duì)和法”。合成誤差范圍是10克。
              W1 = 2000克±10克
       第二種，不確定度論（包括1980年后的一些誤差理論書籍）
       東市用中國(guó)秤，西市用日本秤，二者不相關(guān)，取“方和根法”。合成誤差范圍是7克。
              W1 = 2000克±7克
-
       哪種表達(dá)對(duì)呢？
       考慮各種可能。用不確定度評(píng)定的觀點(diǎn)，儀器誤差可設(shè)為均勻分布。
       易見，經(jīng)典誤差理論的表達(dá)是“上限”表達(dá)，對(duì)可能有的情況都成立。包含概率是99%。
       不確定度論的“均方根法”包含概率約為71%；錯(cuò)誤概率29%.
-
       有人說：誤差理論就是用統(tǒng)計(jì)理論處理誤差問題。這話不準(zhǔn)確。在歷史上，是先有誤差理論，后又統(tǒng)計(jì)理論。著名的貝塞爾公式，是十九世紀(jì)初，貝塞爾為解決天體觀測(cè)數(shù)據(jù)的誤差問題而提出來的。不久后興起的統(tǒng)計(jì)理論，移殖了貝塞爾公式，只是把原來的真值，變成數(shù)學(xué)期望。須知，測(cè)量的參考值是真值，因此，研究測(cè)量問題，不能照搬統(tǒng)計(jì)理論。隨機(jī)誤差研究可以用統(tǒng)計(jì)理論；但對(duì)系統(tǒng)誤差的研究，用統(tǒng)計(jì)理論就會(huì)出錯(cuò)。《JJF1059.1-2012》的三條判斷出錯(cuò)，正是忽略了系統(tǒng)誤差同一般統(tǒng)計(jì)變量的不同。系統(tǒng)誤差不能以其平均值為參考，而必須以真值為參考。一般的測(cè)量場(chǎng)合，沒有真值，無法實(shí)測(cè)系統(tǒng)誤差之值，在計(jì)量場(chǎng)合有計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)，有相對(duì)真值，可視為真值，便可以實(shí)測(cè)系統(tǒng)誤差，研究其特性，認(rèn)識(shí)其規(guī)律。
-
       下面是修改后的《論交叉因子》，其中有系統(tǒng)誤差合成時(shí)的交叉因子公式的推導(dǎo)。結(jié)論是，對(duì)系統(tǒng)誤差來說，“方和根法”回歸為“絕對(duì)和法”。
-------------------------------------------------------
-
                                          論交叉因子（修改稿）
-
1  理論基礎(chǔ)
       函數(shù)的改變量，等于函數(shù)對(duì)各個(gè)自變量偏微分的和。就是泰勒展開的一級(jí)近似。
              f(x,y) = f(xo,yo)+ (?f/?x) (x-xo)+ (?f/?y) (y-yo)                       （1）
              f(x,y) - f(xo,yo) =(?f/?x) Δx+ (?f/?y) Δy                                  （2）
              Δf =(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy                                                      （3）
       公式（3）是偏差關(guān)系的普遍形式。對(duì)所研究的特定函數(shù)來說，?f/?x、?f/?y是常數(shù)。
       偏差關(guān)系用于測(cè)量計(jì)量領(lǐng)域，x是測(cè)得值，xo是真值, Δx是測(cè)得值x的誤差元；y是測(cè)得值，yo是真值，Δy是測(cè)得值y的誤差元；f(x,y)是求得的函數(shù)值， f(xo,yo) 是函數(shù)的真值，Δf= f(x,y)-f(xo,yo) 是求得的函數(shù)值的誤差元。
-
2 交叉因子的一般表達(dá)
       設(shè)函數(shù)的誤差由兩項(xiàng)誤差Δx、Δy引起。由此，函數(shù)的兩項(xiàng)誤差元為：
             Δf(x) = (?f/?x) Δx
             Δf(y) = (?f/?y) Δy
       把分項(xiàng)誤差作用的靈敏系數(shù)與該項(xiàng)誤差歸并，記為：
             Δf(x) =ΔX
             Δf(y) = ΔY
       函數(shù)的誤差元式（3）變?yōu)椋?br />              Δf=ΔX +ΔY                                                                          （4）
       對(duì)（4）式兩邊平方并求和、平均：
            (1/N)∑Δf^2=(1/N)∑(ΔX +ΔY)^2  
                      =(1/N)∑ΔX^2 + 2(1/N)∑ΔXΔY+(1/N)∑ΔY^2                    （5）
       （5）式右邊的第一項(xiàng)為σ(X)^2，第三項(xiàng)為σ(Y)^2; （5）式的第二項(xiàng)是交叉項(xiàng)，是我們研究的重點(diǎn)對(duì)象。第二項(xiàng)為
              2(1/N)∑ΔXΔY =2【(1/N)(∑ΔXΔY) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}】×
                           {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}
                          = 2J√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]                             （6）
       （6）式中的J為：
               J =(1/N)(∑ΔXΔY) / {√[(1/N)∑ΔX^2] √[(1/N)∑ΔY^2]}               （7）
        稱 J 為交叉因子。
       （注：J在此前記為r，稱為相關(guān)系數(shù)。這和統(tǒng)計(jì)理論的相關(guān)系數(shù)，物理意義不一致。為澄清已有的混淆，本文稱J為交叉因子。）
-
3 隨機(jī)誤差間合成的交叉因子
       記隨機(jī)誤差元為 ξ，系統(tǒng)誤差元為 β。
       對(duì)隨機(jī)誤差的合成，ΔX是ξx, 代換為[X-X(平)]；ΔY是ξy，代換為[Y-Y(平)]，有：
               J =[1/(N-1)][∑[X-X(平)][(Y-Y(平))] / [σ(X) σ(Y)]                        （8）
       由于ξx、ξy是隨機(jī)誤差，可正可負(fù)，可大可小，有對(duì)稱性與有界性，多次測(cè)量，是大量的，因此，隨機(jī)誤差間的合成的交叉因子為零（或可以忽略）。（8）式是當(dāng)前不確定度引用統(tǒng)計(jì)理論的相關(guān)系數(shù)公式。
       隨機(jī)誤差合成，“方和根法”成立有
              σ(f) =√[σ(X)^2+ σ(Y)^2]                                                          （9）
-
4 隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差合成的交叉因子
       兩個(gè)分項(xiàng)誤差，一個(gè)是隨機(jī)的，記為ξ；一個(gè)是系統(tǒng)的（重復(fù)測(cè)量中不變），記為β。 代入公式（7），有
               J =(1/N)(∑ξiβ) /{√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}                       （10）
       系統(tǒng)誤差元是常數(shù)可以提出來，有
               J =(1/N) (β∑ξi) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}                     （11）
       精密測(cè)量，要進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量取平均值，ξi相當(dāng)于殘差，殘差之和為零。因此精密測(cè)量時(shí)，隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差的交叉因子可以忽略，因此，“方和根法”成立。
-
5 系統(tǒng)誤差與系統(tǒng)誤差合成的交叉因子
       設(shè)（7）式中ΔX為系統(tǒng)誤差βx ，ΔY為系統(tǒng)誤差βy，有
                √[(1/N)∑ΔX^2]= |βx|                                                              （12）
                √[(1/N)∑ΔY^2]= |βy|                                                              （13）
       則系統(tǒng)誤差的交叉因子為
               J =(1/N)(∑βxβy) / [|βx| |βy|]                                                     （14）
                 =(1/N) (∑βxβy) / [ |βx| |βy| ]
                 =±1
       即有
               |J|=1                                                                                        （15）
       當(dāng)βxβy同號(hào)時(shí)，系統(tǒng)誤差的交叉因子為+1；當(dāng)βxβy異號(hào)時(shí)，系統(tǒng)誤差的交叉因子為-1.
       當(dāng)系統(tǒng)誤差的交叉因子為+1時(shí)，（5）式為：
                | Δf | =|βx^2|+2|βx||βy| +|βy|^2   
       即有
                | Δf | =|βx|+|βy|                                                                        （16）
       （16）式就是絕對(duì)值合成公式。
       當(dāng)系統(tǒng)誤差的交叉因子為-1時(shí)，（16）式變?yōu)槎坎畹墓?。因?yàn)橥ǔＶ皇侵老到y(tǒng)誤差之誤差范圍，又鑒于誤差量“上限性”的特點(diǎn)，二量差的公式不能用。
-
6 關(guān)于合成方法的主張
       通常，測(cè)量?jī)x器以系統(tǒng)誤差為主。不能無視系統(tǒng)誤差的存在。考慮到系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差都是客觀存在，提出如下主張：
       （1） 隨機(jī)誤差內(nèi)部，隨機(jī)誤差之間，用“方和根法”；
       （2） 隨機(jī)誤差范圍與系統(tǒng)誤差范圍之間，用“方和根法”；
       （3） 在兩項(xiàng)或三項(xiàng)大系統(tǒng)誤差之間用“絕對(duì)合法”
       （4） 如果有多項(xiàng)中小系統(tǒng)誤差項(xiàng)，他們之間的交叉系數(shù)，可能是+1，也可能是-1，有相互抵消、或部分抵消的作用，這樣，可以用“方和根法”（也可以用“絕對(duì)和法”）。
-
-------------------------------------------
-
       綜上所述，系統(tǒng)誤差在“方和根法”合成時(shí)，交叉項(xiàng)中的交叉因子是+1（相關(guān)系數(shù)為-1的解不能用）；這樣，“方和根法”，就回歸為“絕對(duì)和法”。
       測(cè)量?jī)x器的誤差，通常以系統(tǒng)誤差為主。在有系統(tǒng)誤差存在，特別是以系統(tǒng)誤差為主的通常情況下，交叉項(xiàng)中的誤差項(xiàng)，不是弱相關(guān)而是強(qiáng)相關(guān)（借用常用說法）。這樣，不確定度評(píng)定的通常的假設(shè)條件“不相關(guān)”，實(shí)質(zhì)不是說相關(guān)性問題，而是說交叉因子近似為零，交叉項(xiàng)可以忽略，這通常是不成立的。就是說，不確定度評(píng)定的“方和根法”是沒道理的。不確定度理論有五大難題：分布規(guī)律、不相關(guān)假設(shè)、變系統(tǒng)為隨機(jī)、范圍到方差的往返折騰、求自由度，都是自找麻煩，并無必要；不僅不必要，由于忽略交叉項(xiàng)，不合理地縮小誤差范圍，違背誤差量的上限性特點(diǎn)，成為工程的隱患。
-
       須知，不確定度論的五大難題都是為一個(gè)目標(biāo)，那就是推行“方和根法”。
       測(cè)量?jī)x器通常以系統(tǒng)誤差為主。在以系統(tǒng)誤差為主的通常情況下，“方和根法”是不成立的。“方和根法”這一目標(biāo)既然被否定，那五大難題也就不存在了。難道這不是皆大歡喜的好事嗎？
-
       1980年啟動(dòng)、1993年正式推廣的不確定度論（包括1980年后的一些誤差理論書籍），把系統(tǒng)誤差區(qū)分為已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差。說未定系統(tǒng)誤差，與隨機(jī)誤差有大致相同的性質(zhì)，于是可按隨機(jī)誤差的處理辦法處理未定系統(tǒng)誤差。又說，已定系統(tǒng)誤差已修正，于是儀器的誤差，包括隨機(jī)誤差與未定系統(tǒng)誤差，都可以按“方和根法”處理，就是可以忽略交叉項(xiàng)。
       這種混淆隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差性質(zhì)的認(rèn)識(shí)是不對(duì)的；以系統(tǒng)誤差為主的儀器誤差，按“方和根法”合成是錯(cuò)誤的。系統(tǒng)誤差是客觀存在。否定客觀，否定客觀規(guī)律，必然受到懲罰。談?wù)摻徊骓?xiàng)可忽略的“不相關(guān)假設(shè)”以及“方和根法”對(duì)以系統(tǒng)誤差為主場(chǎng)合的濫用，都是不確定度論破綻的暴露。
-
       著眼于“相關(guān)不相關(guān)”，是說不清交叉項(xiàng)是否可略的問題的。考察的對(duì)象必須是交叉因子，而不是相關(guān)系性?！禞JF1059.1-2012》，本來目的是說協(xié)方差（就是交叉項(xiàng)）可忽略的問題。三條都扯到“不相關(guān)”的問題上，于是，也就三條全錯(cuò)了。因?yàn)椤安幌嚓P(guān)”與忽略協(xié)方差是兩回事。忽略協(xié)方差等同于忽略交叉因子，卻不同于忽略相關(guān)系數(shù)。因此，這三條是誤導(dǎo)。
-

史錦順 發(fā)表于 2015-10-27 16:13
-
                                              再論交叉因子
-

您說的基本都對(duì)，但指出一點(diǎn)嚴(yán)重錯(cuò)誤，一個(gè)常識(shí)錯(cuò)誤（大部分人都經(jīng)常犯，時(shí)間問題公式用中文表示了，需要的話改天有時(shí)間發(fā)個(gè)正式貼）：---------------------------------

回家后，東西市稱的大米放在一起。怎樣表達(dá)大米的總重量和誤差范圍？
       第一種，經(jīng)典誤差理論。
       東西市稱大米，都是只知道誤差范圍。示值不變，可見為未定系統(tǒng)誤差。誤差合成取“絕對(duì)和法”。合成誤差范圍是10克。
              W1 = 2000克±10克
       第二種，不確定度論（包括1980年后的一些誤差理論書籍）
       東市用中國(guó)秤，西市用日本秤，二者不相關(guān)，取“方和根法”。合成誤差范圍是7克。
              W1 = 2000克±7克

哪種表達(dá)對(duì)呢？
       考慮各種可能。用不確定度評(píng)定的觀點(diǎn)，儀器誤差可設(shè)為均勻分布。
       易見，經(jīng)典誤差理論的表達(dá)是“上限”表達(dá)，對(duì)可能有的情況都成立。包含概率是99%。
       不確定度論的“均方根法”包含概率約為71%；錯(cuò)誤概率29%.
----------------------------------------
不管相不相關(guān)，根據(jù)常識(shí)，結(jié)果應(yīng)該都是2000克±10克，只是結(jié)果的概率分布會(huì)有點(diǎn)不同，所以可推測(cè)用“方和根法”合成的結(jié)果也應(yīng)是2000克±10克，得到7的那是沒考慮到分布情況，當(dāng)然光推測(cè)是沒用的，現(xiàn)證明如下，如果完全不相關(guān)時(shí)合成過程：
每一個(gè)分量分別為5除根號(hào)3，得到分量的標(biāo)準(zhǔn)差
合成后為根號(hào)下（50/3)，約等于4，
然后問題來了，所得4是標(biāo)準(zhǔn)差，算擴(kuò)展結(jié)果，大都會(huì)認(rèn)為是開始除了根號(hào)3，現(xiàn)在乘上根號(hào)3吧，所以就得到7了，
實(shí)際應(yīng)該是，兩個(gè)不相關(guān)的均勻分布合成為三角分布（相關(guān)的合成還是均勻分布），包含因子為根號(hào)6，應(yīng)該乘上根號(hào)6，根號(hào)下（50/3*6）=根號(hào)下（100），結(jié)果為10。
所以要正確應(yīng)用知識(shí)才會(huì)有正確的結(jié)果。另外，一個(gè)概率常識(shí)錯(cuò)誤，即使結(jié)果為2000克±7克，錯(cuò)誤的概率也是10%左右，那是因?yàn)榘讶欠植籍?dāng)均勻分布處理，忽略了左右兩個(gè)尖角的面積。可以嚴(yán)格計(jì)算，因?yàn)楹铣筛怕适浅朔P(guān)系，不是加減關(guān)系，這兒只給出部分直觀過程，方便大家理解：都大于3.5結(jié)果大于7，概率15%*15%=2.25%，同理都小于-3.5小于7，概率2.25%，一部分錯(cuò)誤概率4.5%。實(shí)際應(yīng)用中95%左右的概率是可行的，所以為了方便，往往不考慮分布，直接當(dāng)正態(tài)分布，取k=2處理，結(jié)果為8，錯(cuò)誤概率5%左右，所造成的影響在允許范圍內(nèi)。

學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),頂

學(xué)習(xí)了，很好的帖子

我只能慢慢看，學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)，佩服各位大神