力 學(xué) 概 述（七）

　　分析力學(xué)是理論力學(xué)的一個(gè)分支，它通過用廣義坐標(biāo)為描述質(zhì)點(diǎn)系的變數(shù)，以牛頓運(yùn)動(dòng)定律為基礎(chǔ)，運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的方法，研究宏觀現(xiàn)象中的力學(xué)問題。
　　分析力學(xué)是適合于研究宏觀現(xiàn)象的力學(xué)體系，它的研究對(duì)象是質(zhì)點(diǎn)系。質(zhì)點(diǎn)系可視為宏觀物體組成的力學(xué)系統(tǒng)的理想模型，例如剛體、彈性體、流體以及它們的綜合體都可看作質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)點(diǎn)數(shù)可由一到無窮。又如太陽系可看作自由質(zhì)點(diǎn)系，星體間的相互作用是萬有引力，研究太陽系中行星和衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的天體力學(xué)，同分析力學(xué)密切相關(guān)，在方法上互相促進(jìn)；工程上的力學(xué)問題大多數(shù)是約束的質(zhì)點(diǎn)系，由于約束方程類型的不同，就形成了不同的力學(xué)系統(tǒng)。例如，完整系統(tǒng)、非完整系統(tǒng)、定常系統(tǒng)、非定常系統(tǒng)等。
　　不同的系統(tǒng)所遵循的運(yùn)動(dòng)微分方程不同；研究大量粒子的系統(tǒng)需用統(tǒng)計(jì)力學(xué)；量子效應(yīng)不能忽略的過程需用量子力學(xué)研究。但分析力學(xué)知識(shí)在統(tǒng)計(jì)力學(xué)和量子力學(xué)中仍起著重要作用。分析力學(xué)對(duì)于具有約束的質(zhì)點(diǎn)系的求解更為優(yōu)越，因?yàn)橛辛思s束方程，系統(tǒng)的自由度就可減少，運(yùn)動(dòng)微分方程組的階數(shù)陸之降低，更易于求解。
　　分析力學(xué)的發(fā)源
　　1788年拉格朗日出版的《分析力學(xué)》是世界上最早的一本分析力學(xué)的著作。分析力學(xué)是建立在虛功原理和達(dá)朗貝爾原理的基礎(chǔ)上。兩者結(jié)合，可得到動(dòng)力學(xué)普遍方程，從而導(dǎo)出分析力學(xué)各種系統(tǒng)的動(dòng)力方程。1760～1761年，拉格朗日用這兩個(gè)原理和理想約束結(jié)合，得到了動(dòng)力學(xué)的普遍方程，幾乎所有的分析力學(xué)的動(dòng)力學(xué)方程都是從這個(gè)方程直接或間接導(dǎo)出的。
　　1834年，漢密爾頓推得用廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量聯(lián)合表示的動(dòng)力學(xué)方程，稱為正則方程。漢密爾頓體系在多維空間中，可用代表一個(gè)系統(tǒng)的點(diǎn)的路徑積分的變分原理研究完整系統(tǒng)的力學(xué)問題。
　　從1861年有人導(dǎo)出球在水平面上作無滑動(dòng)的滾動(dòng)方程開始，到1899年阿佩爾在《理性力學(xué)》中提出阿佩爾方程為止，基本上已完成了線性非完整約束的理論。
　　20世紀(jì)分析力學(xué)對(duì)非線性、不定常、變質(zhì)量等力學(xué)系統(tǒng)作了進(jìn)一步研究，對(duì)于運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性問題作了廣泛的研究。
　　分析力學(xué)的主要內(nèi)容
　　分析力學(xué)研究的主要內(nèi)容是：導(dǎo)出各種力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力方程，如完整系統(tǒng)的拉格朗日方程、正則方程，非完整系統(tǒng)的阿佩爾方程等；探求力學(xué)的普適原理，如漢密爾頓原理、最小作用量原理等；探討力學(xué)系統(tǒng)的特性；研究求解運(yùn)動(dòng)微分方程的方法，例如，研究正則變換以求解正則方程；研究相空間代表點(diǎn)的軌跡，以判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性等。
　　分析力學(xué)解題法和牛頓力學(xué)的經(jīng)典解題法不同，牛頓法把物體系拆開成分離體，按反作用定律附以約束反力，然后列出運(yùn)動(dòng)方程。
　　分析力學(xué)中也可用變分原理(如漢密爾頓原理)導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)微分方程。它的優(yōu)點(diǎn)是可以推廣到新領(lǐng)域(如電動(dòng)力學(xué))和應(yīng)用變分學(xué)中的近似法來解題。從20世紀(jì)60年代開始，為了設(shè)計(jì)復(fù)雜的航天器和機(jī)器人的需要，發(fā)展多剛體系統(tǒng)，并且跳出了使用動(dòng)力學(xué)函數(shù)求導(dǎo)的傳統(tǒng)方法來建立動(dòng)力學(xué)方程，所建立的方程能方便地應(yīng)用電子計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。
　　在量子力學(xué)未建立以前，物理學(xué)家曾用分析力學(xué)研究微觀現(xiàn)象的力學(xué)問題。從1923年起，量子力學(xué)開始建立并逐步完善，才在微觀現(xiàn)象的研究領(lǐng)域中取代了分析力學(xué)。但是，掌握分析力學(xué)的一些基本知識(shí)有助于學(xué)好量子力學(xué)。例如用分析力學(xué)知識(shí)求出漢密爾頓函數(shù)，再化成漢密爾頓算符，又自漢密爾頓-雅可比方程化成波動(dòng)力學(xué)的基本方程——薛定諤方程等。
　　愛因斯坦提出相對(duì)論時(shí)，也曾把分析力學(xué)的一些方法應(yīng)用于研究速度接近光速的相對(duì)論力學(xué)。

　　運(yùn)動(dòng)學(xué)是理論力學(xué)的一個(gè)分支學(xué)科，它是運(yùn)用幾何學(xué)的方法來研究物體的運(yùn)動(dòng)，通常不考慮力和質(zhì)量等因素的影響。至于物體的運(yùn)動(dòng)和力的關(guān)系，則是動(dòng)力學(xué)的研究課題。
　　用幾何方法描述物體的運(yùn)動(dòng)必須確定一個(gè)參照系，因此，單純從運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)看，對(duì)任何運(yùn)動(dòng)的描述都是相對(duì)的。這里，運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性是指經(jīng)典力學(xué)范疇內(nèi)的，即在不同的參照系中時(shí)間和空間的量度相同，和參照系的運(yùn)動(dòng)無關(guān)。不過當(dāng)物體的速度接近光速時(shí)，時(shí)間和空間的量度就同參照系有關(guān)了。這里的“運(yùn)動(dòng)”指機(jī)械運(yùn)動(dòng)，即物體位置的改變；所謂“從幾何的角度”是指不涉及物體本身的物理性質(zhì)(如質(zhì)量等)和加在物體上的力。
　　運(yùn)動(dòng)學(xué)主要研究點(diǎn)和剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。點(diǎn)是指沒有大小和質(zhì)量、在空間占據(jù)一定位置的幾何點(diǎn)。剛體是沒有質(zhì)量、不變形、但有一定形狀、占據(jù)空間一定位置的形體。運(yùn)動(dòng)學(xué)包括點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)兩部分。掌握了這兩類運(yùn)動(dòng)，才可能進(jìn)一步研究變形體(彈性體、流體等)的運(yùn)動(dòng)。
　　在變形體研究中，須把物體中微團(tuán)的剛性位移和應(yīng)變分開。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、位移、速度、加速度等運(yùn)動(dòng)特征，這些都隨所選的參考系不同而異；而剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)還要研究剛體本身的轉(zhuǎn)動(dòng)過程、角速度、角加速度等更復(fù)雜些的運(yùn)動(dòng)特征。剛體運(yùn)動(dòng)按運(yùn)動(dòng)的特性又可分為：剛體的平動(dòng)、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、剛體平面運(yùn)動(dòng)、剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)和剛體一般運(yùn)動(dòng)。
　　運(yùn)動(dòng)學(xué)為動(dòng)力學(xué)、機(jī)械原理(機(jī)械學(xué))提供理論基礎(chǔ)，也包含有自然科學(xué)和工程技術(shù)很多學(xué)科所必需的基本知識(shí)。
　　運(yùn)動(dòng)學(xué)的發(fā)展歷史
　　運(yùn)動(dòng)學(xué)在發(fā)展的初期，從屬于動(dòng)力學(xué)，隨著動(dòng)力學(xué)而發(fā)展。古代，人們通過對(duì)地面物體和天體運(yùn)動(dòng)的觀察，逐漸形成了物體在空間中位置的變化和時(shí)間的概念。中國戰(zhàn)國時(shí)期在《墨經(jīng)》中已有關(guān)于運(yùn)動(dòng)和時(shí)間先后的描述。亞里士多德在《物理學(xué)》中討論了落體運(yùn)動(dòng)和圓運(yùn)動(dòng)，已有了速度的概念。
　　伽利略發(fā)現(xiàn)了等加速直線運(yùn)動(dòng)中，距離與時(shí)間二次方成正比的規(guī)律，建立了加速度的概念。在對(duì)彈射體運(yùn)動(dòng)的研究中，他得出拋物線軌跡，并建立了運(yùn)動(dòng)(或速度)合成的平行四邊形法則，伽利略為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)奠定了基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上，惠更斯在對(duì)擺的運(yùn)動(dòng)和牛頓在對(duì)天體運(yùn)動(dòng)的研究中，各自獨(dú)立地提出了離心力的概念，從而發(fā)現(xiàn)了向心加速度與速度的二次方成正比、同半徑成反比的規(guī)律。
　　18世紀(jì)后期，由于天文學(xué)、造船業(yè)和機(jī)械業(yè)的發(fā)展和需要，歐拉用幾何方法系統(tǒng)地研究了剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題，提出了后人用他的姓氏命名的歐拉角的概念，建立了歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和剛體有限轉(zhuǎn)動(dòng)位移定理，并由此得到剛體瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸和瞬時(shí)角速度矢量的概念，深刻地揭示了這種復(fù)雜運(yùn)動(dòng)形式的基本運(yùn)動(dòng)特征。所以歐拉可稱為剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)的奠基人。
　　此后，拉格朗日和漢密爾頓分別引入了廣義坐標(biāo)、廣義速度和廣義動(dòng)量，為在多維位形空間和相空間中用幾何方法描述多自由度質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)開辟了新的途徑，促進(jìn)了分析動(dòng)力學(xué)的發(fā)展。
　　19世紀(jì)末以來，為了適應(yīng)不同生產(chǎn)需要、完成不同動(dòng)作的各種機(jī)器相繼出現(xiàn)并廣泛使用，于是，機(jī)構(gòu)學(xué)應(yīng)運(yùn)而生。機(jī)構(gòu)學(xué)的任務(wù)是分析機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，根據(jù)需要實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)設(shè)計(jì)新的機(jī)構(gòu)和進(jìn)行機(jī)構(gòu)的綜合。現(xiàn)代儀器和自動(dòng)化技術(shù)的發(fā)展又促進(jìn)機(jī)構(gòu)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，提出了各種平面和空間機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析和綜合的問題，作為機(jī)構(gòu)學(xué)的理論基礎(chǔ)，運(yùn)動(dòng)學(xué)已逐漸脫離動(dòng)力學(xué)而成為經(jīng)典力學(xué)中一個(gè)獨(dú)立的分支。