力 學 概 述（四）

　　動力學是理論力學的一個分支學科，它主要研究作用于物體的力與物體運動的關系。動力學的研究對象是運動速度遠小于光速的宏觀物體。動力學是物理學和天文學的基礎，也是許多工程學科的基礎。許多數(shù)學上的進展也常與解決動力學問題有關，所以數(shù)學家對動力學有著濃厚的興趣。
　　動力學的研究以牛頓運動定律為基礎；牛頓運動定律的建立則以實驗為依據(jù)。動力學是牛頓力學或經(jīng)典力學的一部分，但自20世紀以來，動力學又常被人們理解為側重于工程技術應用方面的一個力學分支。
　　動力學的發(fā)展簡史
　　力學的發(fā)展，從闡述最簡單的物體平衡規(guī)律，到建立運動的一般規(guī)律，經(jīng)歷了大約二十個世紀。前人積累的大量力學知識，對后來動力學的研究工作有著重要的作用，尤其是天文學家哥白尼和開普勒的宇宙觀。
　　17世紀初期，意大利物理學家和天文學家伽利略用實驗揭示了物質的慣性原理，用物體在光滑斜面上的加速下滑實驗，揭示了等加速運動規(guī)律，并認識到地面附近的重力加速度值不因物體的質量而異，它近似一個常量，進而研究了拋射運動和質點運動的普遍規(guī)律。伽利略的研究開創(chuàng)了為后人所普遍使用的，從實驗出發(fā)又用實驗驗證理論結果的治學方法。
　　17世紀，英國大科學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茲建立了的微積分學，使動力學研究進入了一個嶄新的時代。牛頓在1687年出版的巨著《自然哲學的數(shù)學原理》中，明確地提出了慣性定律、質點運動定律、作用和反作用定律、力的獨立作用定律。他在尋找落體運動和天體運動的原因時，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，并根據(jù)它導出了開普勒定律，驗證了月球繞地球轉動的向心加速度同重力加速度的關系，說明了地球上的潮汐現(xiàn)象，建立了十分嚴格而完善的力學定律體系。
　　動力學以牛頓第二定律為核心，這個定律指出了力、加速度、質量三者間的關系。牛頓首先引入了質量的概念，而把它和物體的重力區(qū)分開來，說明物體的重力只是地球對物體的引力。作用和反作用定律建立以后，人們開展了質點動力學的研究。
　　牛頓的力學工作和微積分工作是不可分的。從此，動力學就成為一門建立在實驗、觀察和數(shù)學分析之上的嚴密科學，從而奠定現(xiàn)代力學的基礎。
　　17世紀荷蘭科學家惠更斯通過對擺的觀察，得到了地球重力加速度，建立了擺的運動方程?；莞褂衷谘芯垮F擺時確立了離心力的概念；此外，他還提出了轉動慣量的概念。
　　牛頓定律發(fā)表100年后，法國數(shù)學家拉格朗日建立了能應用于完整系統(tǒng)的拉格朗日方程。這組方程式不同于牛頓第二定律的力和加速度的形式，而是用廣義坐標為自變量通過拉格朗日函數(shù)來表示的。拉格朗日體系對某些類型問題(例如小振蕩理論和剛體動力學)的研究比牛頓定律更為方便。
　　剛體的概念是由歐拉引入的。18世紀瑞士學者歐拉把牛頓第二定律推廣到剛體，他應用三個歐拉角來表示剛體繞定點的角位移，又定義轉動慣量，并導得了剛體定點轉動的運動微分方程。這樣就完整地建立了描述具有六個自由度的剛體普遍運動方程。對于剛體來說，內力所做的功之和為零。因此，剛體動力學就成為研究一般固體運動的近似理論。
　　1755年歐拉又建立了理想流體的動力學方程；1758年伯努利得到關于沿流線的能量積分(稱為伯努利方程)；1822年納維得到了不可壓縮性流體的動力學方程；1855年許貢紐研究了連續(xù)介質中的激波。這樣動力學就滲透到各種形態(tài)物質的領域中去了。例如，在彈性力學中，由于研究碰撞、振動、彈性波傳播等問題的需要而建立了彈性動力學，它可以應用于研究地震波的傳動。
　　19世紀英國數(shù)學家漢密爾頓用變分原理推導出漢密爾頓正則方程，此方程是以廣義坐標和廣義動量為變量，用漢密爾頓函數(shù)來表示的一階方程組，其形式是對稱的。用正則方程描述運動所形成的體系，稱為漢密爾頓體系或漢密爾頓動力學，它是經(jīng)典統(tǒng)計力學的基礎，又是量子力學借鑒的范例。漢密爾頓體系適用于攝動理論，例如天體力學的攝動問題，并對理解復雜力學系統(tǒng)運動的一般性質起重要作用。
　　拉格朗日動力學和漢密爾頓動力學所依據(jù)的力學原理與牛頓的力學原理，在經(jīng)典力學的范疇內是等價的，但它們研究的途徑或方法則不相同。直接運用牛頓方程的力學體系有時稱為矢量力學；拉格朗日和漢密爾頓的動力學則稱為分析力學。
　　動力學的基本內容
　　動力學的基本內容包括質點動力學、質點系動力學、剛體動力學、達朗貝爾原理等。以動力學為基礎而發(fā)展出來的應用學科有天體力學、振動理論、運動穩(wěn)定性理論，陀螺力學、外彈道學、變質量力學，以及正在發(fā)展中的多剛體系統(tǒng)動力學等。
　　質點動力學有兩類基本問題：一是已知質點的運動，求作用于質點上的力；二是已知作用于質點上的力，求質點的運動。求解第一類問題時只要對質點的運動方程取二階導數(shù)，得到質點的加速度，代入牛頓第二定律，即可求得力；求解第二類問題時需要求解質點運動微分方程或求積分。
　　動力學普遍定理是質點系動力學的基本定理，它包括動量定理、動量矩定理、動能定理以及由這三個基本定理推導出來的其他一些定理。動量、動量矩和動能是描述質點、質點系和剛體運動的基本物理量。作用于力學模型上的力或力矩，與這些物理量之間的關系構成了動力學普遍定理。
　　剛體的特點是其質點之間距離的不變性。歐拉動力學方程是剛體動力學的基本方程，剛體定點轉動動力學則是動力學中的經(jīng)典理論。陀螺力學的形成說明剛體動力學在工程技術中的應用具有重要意義。多剛體系統(tǒng)動力學是20世紀60年代以來，由于新技術發(fā)展而形成的新分支，其研究方法與經(jīng)典理論的研究方法有所不同。
　　達朗貝爾原理是研究非自由質點系動力學的一個普遍而有效的方法。這種方法是在牛頓運動定律的基礎上引入慣性力的概念，從而用靜力學中研究平衡問題的方法來研究動力學中不平衡的問題，所以又稱為動靜法。
　　動力學的應用
　　對動力學的研究使人們掌握了物體的運動規(guī)律，并能夠為人類進行更好的服務。例如，牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，解釋了開普勒定律，為近代星際航行，發(fā)射飛行器考察月球、火星、金星等等開辟了道路。
　　自20世紀初相對論問世以后，牛頓力學的時空概念和其他一些力學量的基本概念有了重大改變。實驗結果也說明：當物體速度接近于光速時，經(jīng)典動力學就完全不適用了。但是，在工程等實際問題中，所接觸到的宏觀物體的運動速度都遠小于光速，用牛頓力學進行研究不但足夠精確，而且遠比相對論計算簡單。因此，經(jīng)典動力學仍是解決實際工程問題的基礎。
　　在目前所研究的力學系統(tǒng)中，需要考慮的因素逐漸增多，例如，變質量、非整、非線性、非保守還加上反饋控制、隨機因素等，使運動微分方程越來越復雜，可正確求解的問題越來越少，許多動力學問題都需要用數(shù)值計算法近似地求解，微型、高速、大容量的電子計算機的應用，解決了計算復雜的困難。
　　目前動力學系統(tǒng)的研究領域還在不斷擴大，例如增加熱和電等成為系統(tǒng)動力學；增加生命系統(tǒng)的活動成為生物動力學等，這都使得動力學在深度和廣度兩個方面有了進一步的發(fā)展。