從解題到辨識誤差與不確定度

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                              從解題到辨識誤差與不確定度
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                                                                                       史錦順
-引言
       規矩灣錦苑先生認為：誤差表準確性，不確定度表可信性，是兩個性質不同、用途不同的參數，不能相比。都成先生出了個題目，請規矩灣錦苑先生計算。其目的是駁斥規矩灣的“兩個指標說”。我和都成的共識是：誤差與不確定度都是表征準確性的。
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       都成認為：不確定度體系是誤差理論的發展，意思是不確定度體系優于誤差理論，因此推廣應用是正確的。史錦順認為：不確定度體系是錯誤的。必須停止推行。這是我與都成的根本性的分歧。
       不同意見的交鋒，對雙方都是有益的。發現真理是進步；發現錯誤而改正之同樣是進步。愿同都成先生及諸位網友共勉之。      
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【都成原題】（見http://www.bkd208.com/forum.php?mod=viewthread&tid=216686&extra=page%3D1&page=2）
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【史錦順對題目的實用化修改】
       都成的題目，隱藏有不確定度解題的前提條件，作為考題可以，但現實中，是不可能有的。史錦順去掉那些附加的苛刻條件，變成一個現實的、可解的題目。

       題目：
       用伏安法測量某負載上的電功率。所選用的的儀器經檢定合格。儀器適用于本次測量的環境條件。按下列直接測量的測量結果，求間接測量電功率（P=VI）的測量結果。
      電壓測量結果；V_平 =100.00V， σ_V平=0.01V。 讀數處，儀器MPEV_V=0.06V。
      電流測量結果：I_平 = 5.000A，  σ_I平=0.001A。 讀數處，儀器MPEV_I=0.003A。


第一部分 史法誤差理論解題的理論基礎
1 誤差元公式推導
1.1 物理公式
       物理公式的量值是物理量的實際值，就是真值。
               P = VI                                                                            （1）
1.2 計值公式
       計值公式的值是測得值或標稱值（此題只有測得值）。
               P_測 = V_測I_測                                                                    （2）
1.3 求誤差元
A) 小量法
      誤差元是測得值與真值之差。由（1）（2）求誤差元rP
             r_P = ΔP = P_測-P  = V_測I_測 –VI                        
               = (V + ΔV_測) ( I + ΔI_測) – VI            
               =VI + IΔV_測 +VΔI_測 – VI   
               = IΔV_測 + VΔI_測                                                               （3）            

B）微分法
       （1）與（2）構成測量方程     
                P_測 – P = V_測I_測 - VI                                                       （4）
       測得值函數為
                 P_測 = V_測I_測 – VI + P                                               
                     =V_測I_測                                                                    （5）
測得值函數中，P、V、I是常量（初始量）；P_測、V_測、I_測是變量。
       對測得值函數在初始點作泰勒展開，并取一階近似
                P_測 = P + (?P_測/ ?V_測)(V_測-V)+ (?P_測/ ?I_測)(I_測-I)
                    = P + I_測ΔV_測 + V_測ΔI_測                                            （6）
       由（6），有     
                P_測 - P =  I_測ΔV_測 + V_測ΔI_測               
       即功率的誤差元為
                r_P = ΔP = I_測ΔV_測 + V_測ΔI_測                                            （7）            
       按泰勒展開要求，微分點在初始點，即（7）式中I_測應為I，而V_測應為V，這與（4）的表達形式是完全相同的。偏微分的直接結果(7)，更便于應用，而本質及計算結果與（4）相同。
               
2 求誤差范圍
2.1 誤差量的性質判別
       間接測量功率P，是通過直接測量電壓V 并直接測量電流I而完成的。電表的最大允許誤差VPEV，是制造廠給出的并經計量檢驗公證的。它以系統為主，也有隨機誤差。因不給出二者比例，按誤差量的上限性法則與誤差分析的保險原則，要按系統誤差計算。而測得的隨機誤差部分，可能是儀器的隨機誤差，也可能是被測量的微小變化，或環境等的隨機影響，因實測隨機誤差范圍（3σ平）不大于MPEV，可視為基礎測量，各項都算入誤差范圍中。這樣，功率的誤差元共四項：兩項系統誤差，兩項隨機誤差。

       這里順便說一下，若總體的量值的分散性σ大于MPEV（即3σ大于MPEV的三倍），那就是統計測量了。統計測量中，測量儀器的誤差可略，而所測得的變化量屬于被測量的特性，必須按單值的分散范圍3σ給出。區分基礎測量與統計測量，是測量者的基本知識，由此方知測得值表征量的歸屬，也才能正確選擇測量儀器并正確表達測量結果。極為重要的信源頻率穩定度的測量（多普勒雷達、航天技術）、發射機發射功率穩定度的測量、最常見的電壓源的電壓穩定度測量、恒溫箱溫度穩定度的測量、用量極大的測量儀器指標中精密度的測量，都是對隨機變量的測量，都是“統計測量”，都必須用單值的σ而不能除以根號N。都成先生幾次就“統計測量”向我發難。我不回答，是覺得這不像是學術討論。提這種問題，本身是對我的一種藐視；由此而爭論，沒什么意思。而故意挖苦我（如卡尺評定問題，我認為是重要的基礎性問題，你認為不足掛齒），對不起，沒工夫奉陪。我肯定你刊物論文的意義（世界上能認識此文意義的人不多，你自己也未估計到其重要作用），是我對你的尊重，是我向你示好。你不領情也罷，反而斥責我。正是：拍馬拍到馬蹄上，是我自找挨踢。過去了的事，一笑了之；我們繼續真心論學術。

2.2 誤差合成公式
       經典測量學（如1980版《數學手冊》）按“絕對和”處理。     

       不確定度體系是“方差之路”，因測量者不知“分布”，又不知“相關性”，假設分布，假設不相關，都是陷阱。方差之路走不通。照抄照辦的，實際是錯誤的。任何人仔細想一想就會明白：不確定度評定要求知道誤差分布的具體形式、要求確認誤差間不相關；測量工作者無法知道這些，因此也就無法進行不確定度評定。至于“假設”，那不是科學工作者應有的基本素質。“假設”而不證明，行嗎？

       測量計量的統計是“時域統計”，系統誤差的方差為零。不能走“方差”的路線。
       兼顧系統誤差與實際誤差的特性，可以走“范圍合成”之路（錢鐘泰提出過，但他沒有給出實用的方案）。史錦順的辦法是“對范圍取方根”。史法不要求特定條件，簡單易行。
       將誤差元的表達式總體取平方，再開方，即可達到取絕對值的目的。而取最大值，符合了誤差的上限性法則。平方的過程中，有隨機誤差的交叉項可略。多項的小系統誤差，也有交叉項的抵消作用。這些，都可取“方和根”。但兩三項大系統誤差，必須取絕對值之和。
（詳見《史法測量計量學》第4章 誤差范圍與誤差合成，本欄目有。）

      功率P測量的誤差元是
              r_P = I_測ΔV_測 + V_測ΔI_測                                            
                = I_測(±MPEV_V±3σ_V平) + V_測(±MPEV_I±3σ_I平)
                = ±I_測MPEV_V±3σ_V平I_測 ±V_測 MPEV_I±3σ_I平V_測)                  （8）
       功率P測量的誤差范圍是
             R_P =√ (r_P²)max
                  =√ [(I_測MPEV_V + V_測MPEV_I)² +(3σ_V平I_測)²+(3σ_I平V_測)²]     （9）
3 表達測量結果
       測量結果的通常表達式：
                P = P_測 ± R_P                                                                   （10）  
       式（10）是測量結果的簡化的表達式。嚴格的表達式為：
                P_測 - R_P ≤ P ≤ P_測 + R_P                                                     （11）
       測量結果的區間表達式為
                [P_測 - R_P，P_測，P_測 + R_P]                                                   （12）

       測量結果表達式的物理意義：
       被測量的實際值P（經典測量學稱其為真值），在以測得值P_測為中心、以誤差范圍R_P（恒正）為半寬的區間中。被測量的最佳表征值是測得值P_測。被測量的實際值P可能比測得值P_測小些，但不會小于P_測 - R_P；被測量的實際值P可能大些，但不會大于P_測 + R_P。-
（未完待續）




補充內容 (2019-12-9 15:16):
“兼顧系統誤差與實際誤差的特性”應為“兼顧系統誤差與隨機誤差的特性”

（續前）

第二部分 伏安法測量電功率的實用解題（誤差理論）
2.1 計算測得值        
             P_測 = V_測I_測
                  =100.00V × 5.000A      
                  =500.0 W                                                                （13）
2.2 誤差范圍計算
       電功率測量的誤差元
              r_P = (?P_測/ ?V_測) ΔV_測 + (?P_測/ ?I_測) ΔI_測
                  =  I_測ΔV_測 + V_測ΔI_測                                   
                =  I_測(±MPEV_V±3σ_V平) + V_測(±MPEV_I±3σ_I平)
                =±I_測MPEV_V±3σ_V平I_測 ±V_測 MPEV_I±3σ_I平V_測)                 （14）
       電功率測量的誤差范圍
              R_P =√ (r_P²)_max
                  =√ [(I_測MPEV_V + V_測MPEV_I)² +(3σ_V平I_測)²+(3σ_I平V_測)²]      
                  =√ [(5.000A×0.06V + 100.00V×0.003A)²
                     + (3×0.01V×5.000A)²+(3×0.001A×100.00V)²]
                  =√[(0.30+0.30)² + 0.15² + 0.30²] W
                  = √ (0.36+0.0225+0.090) W
                  = 0.687W
                  = 0.7 W                                                                 （15）            

2.3 測量結果表達
              P = P_測 ± R_P                                               
                =500.0 W ± 0.7W                                                        （16）   


第三部分 不確定度體系的作法質疑
1 測量計量工作中，研制場合可能有“臺域統計”，而計量場合、應用測量場合，都是按時間順序進行的重復測量，是“時域統計”。不確定度體系的“分布”，都是“臺域統計”。統計方式錯位，是不確定度體系的根本性錯誤，
2 誤差合成中的相關性問題，本來是多項式平方中的交叉項問題，一經引申為“相關性”就全亂了。兩項系統誤差合成，最大值必然是二項的絕對值之和，假設不相關是陷阱，說成必然不相關（GUM/JJF1059）是嚴重的錯誤。
3 科學與工業、貿易，必須憑實測數據說話。假設什么分布，假設不相關，而又不去證明，也不能證明。這說明，不確定度體系是不能實際應用的偽科學。教員考學生，違心的假設，本就不應該；而實際工作中，假設就要犯大錯誤。除了一些糊涂蟲以外，哪個實際工作者敢假設？相信不確定度體系的人，請您捫心自問：你敢在實際工作中“假設”嗎？
4 比較“不確定度評定”的評定結果與誤差理論的計算結果，就此問題來說，差值是比較大的。我的計算結果，誤差范圍（準確度、準確度等級、極限誤差、最大允許誤差MPEV）是0.7W；而被都成認可的、規矩灣的計算結果擴展不確定度是0.36W。為什么差那么多？根源是走不通而強行的“方差路線”，是不合理的“一律方和根”。

第四部分 理論正誤的檢驗
       理論正誤的檢驗，可以是邏輯，可以是實驗，也可以是拋開各種理論的具體實際計算。
       本題的開頭，那位網友的計算，就是一種證明方法。
       誤差理論的測量結果表達式為
                P_測 - R_P ≤ P ≤ P_測 + R_P                                                （17）
       不確定度體系的測量結果表達式（GUM）為
                y - U ≤ Y ≤ y +U                                                           （18）
       二者都聲稱被測量真值在給定的區間中。比較（17）（18）二式，可知常規應用中，
U相當于R_P。
        算一算（17）（18）給出的被測量值的極限值，看看哪個符合“具體實際計算值”。
【A】電壓電流相乘的直接計算值
       單項誤差合成，一個系統，一個隨機，取范圍的“方和根”
             R_V = √ [MPEV_V² + (3σ_V平)²]
                = √ (0.062+0.032)
                = √ (0.0036+0.0009)
                =√0.0045
                =0.067V
             R_I = √ [MPEV_I² + (3σ_I平)²]
                =√0.0032+0.0032
                  =√0.000018
                = 0.00424

              V_上限 = 100.00+0.067
                         = 100.067V
              V_下限 = 100.00-0.067
                          =99.933
               I_上限 =5.000+0.00424
                   =5.00424
               I_下限 =5.000 - 0.00424
                   =5.00424
                    =4.99576
               P_上限 = V_上 I_上
                   = 100.067V×5.00424A
                    =500.76W
               P_下限 = V_下I_下
                   =99.933V×4.99576A
                     =499.24W                        

【B】誤差理論（史法）的計算值
               P_上限 =  P_測 + R_P
                      = 500.0W+0.69W
                      =500.69W

                P_下限 =  P_測 - R_P
                      = 500.0W - 0.69W
                      = 499.31W

【C】不確定度體系計算值（規矩灣錦苑計算，都成認可）
               P_上限 =  P_測 + U
                      = 500.0W + 0.36W
                      =500.36W
                                   
                P_下限 =  P_測 - U
                      = 500.0W – 0.36W
                      = 499.64W

       區間半寬與直接計算之差
            誤差理論  半寬絕對差 0.69-0.76 = - 0.07     
                      半寬相對差(區間相對差) - 0.07/0.76 = -9.2%
            不確定度  半寬絕對差 0.36-0.76 = -0.40
                      半寬相對差（區間相對差） –0.40/0.76= -53%

結論
       誤差量的相對誤差約10%，是可以接受的。誤差理論是可行的。
       誤差量的相對誤差大于50%，是不能允許的。不確定度體系不能用。
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（全文完）

不做一定的"假設"，如何解決實際問題？………您不也"假定"了是所謂"基礎測量"，而不是所謂"統計測量"么？……關鍵是，"假設"要基本合理，有適當的"依據"。   譬如，您以電壓、電流的"測得值"分散性較小（所謂"實驗標準偏差值"較小）--- 可以"合理"的認為是"表"的隨機性所導致，因而可以"假定"被測的電壓、電流都是"常量"，也許是"適當"的！  那么，既然被測量是"常量"，測量結果的"最大誤差"便"不應"超出"表"的MPEV，您為何還要"加入"由"測得值"散布貢獻的"成份"呢？    如果被測量是"常量"的"假定"果然成立，那多次"重復測量"所得"測量結果"的"測量誤差(范圍)"就應該小于"表"的MPEV框定的"范圍"！…… 如果不能"確認"被測量是"常量"，問題就難有"確定無疑"的解，只能"適當"的另做"假定"了…

2016年2月15日我曾發了一份關于計量不是您定義的“統計測量”和“交叉系數”是否可用的最后陳述。時隔近4年，看來您的觀點并未改變，其它觀點也并未改變，觀點已根深蒂固，已沒有再討論的必要，只期待您上書國務院的結果，再沒有結果，估計也就這樣了。

njlyx 發表于 2019-12-9 15:21
不做一定的"假設"，如何解決實際問題？………您不也"假定"了是所謂"基礎測量"，而不是所謂"統計測量"么？… ...

        我說題目是基礎測量而不是統計測量，是基于所給出的條件的分析與判斷，包括必要的“包容”與“通融處理”，而不是“假設”。假設而不求證就會演變成錯誤。GUM與JJF1059,三個條文規定系統誤差不相關，可按“方和根”處理，就是“假設”的惡果。難道你認為那是正確的嗎？
        沒有任何一本書說可按假設處理問題。假設成為處理問題的前提，是不確定度合成的需要，也是不確定度體系對科技人員的思想污染。不客氣地說，先生中毒不淺。

       這里就具體題目辨識誤差理論與不確定度體系的優劣，在大的方面先生應該表明自己的觀點。十多年的網上討論，我曾以先生為知音。現在看來，一切都過去了。你能針鋒相對地指出老史的錯誤，老史還是歡迎的。改正錯誤或辨清問題，都是高上一層樓。希望您著眼點高一點！
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史錦順 發表于 2019-12-9 12:24
（續前）

第二部分 伏安法測量電功率的實用解題（誤差理論）

      這是我在《計量學報》發表的一篇文章：《試論測量不確定度與誤差理論的關系》，以前也貼出過，您不妨再瀏覽一下，看看k=3的擴展不確定度是否與合成的極限誤差相同！在主要誤差來源都估計為正態分布時，測量不確定度評定和經典的誤差理論是溫和的！只是分布的估計和包含因子的確定沒有把握好，造成不同評定者最后結果的差異。
      不確定度理論是誤差理論的發展，肯定是為了更加科學合理，當下的亂象是老師沒教好、專家沒指導好、學生沒學好、用者沒有應用好。
      不確定度理論不好，我們也可以重回到過去的誤差理論時代，現在好多教科書中都還有，典型的就是合肥工業大學費業泰老師主編的《誤差理論與數據處理》，其中既有經典的誤差理論，也有不確定度評定，有些簡單的用“極限誤差”我也覺得更好更方便。您的做法是：用一個“誤差元”的概念代替“測量誤差”，這是多余，因為您對“誤差元”的定義就是“測量誤差”的定義，您采用了“誤差范圍”的概念，來發展誤差理論，這個“誤差范圍”就相當于“擴展不確定度”，這是我們的共識，您說這個“誤差范圍”對應的概率是99%，好了，提到概率就得有對應的“分布”，正態、三角、梯形、均勻等都是有可能的，您是確定為哪一種？您也同樣繞不過去，您可能都估計為正態分布，但現實中這是不可能的。您同樣迷茫。正確的做法就對同一種儀器的示值誤差進行統計，就像我統計的0.1級電能表的結果為正態分布，儀器的制造者給出的結論，同行專家的經驗和研究成果等。
      經典的誤差理論存在瑕疵，經過全世界計量專家的努力發展才有了當下的GUM，有了我們的1059和1059.1，這不是鬧著玩的。您全面否定不確定度理論，這是您的權利，您的理論不也是對誤差理論的“發展”嗎？不然否定了不確定度用原來的就得了，只是您將誤差理論給發展爛了，首先“統計測量”的觀點錯了，“交叉系數”的觀點錯了，還有什么“方根”合成就沒聽說過。
      累了，到此結束吧！都不容易，請多保重！

都成 發表于 2019-12-10 09:41
這是我在《計量學報》發表的一篇文章：《試論測量不確定度與誤差理論的關系》，以前也貼出過，您不 ...

                          增加“誤差元”一詞的必要性
                                 —— 同都成先生辯論（1）
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                                                                                            史錦順
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【都成論點】
       您的做法是：用一個“誤差元”的概念代替“測量誤差”，這是多余，因為您對“誤差元”的定義就是“測量誤差”的定義，您采用了“誤差范圍”的概念，來發展誤差理論，這個“誤差范圍”就相當于“擴展不確定度”……

【史辯】
       “誤差”一詞，在測量計量界的實際應用中有幾種用法。有時是泛指的，有時是專用的。
       【甲】說“誤差定義為測得值減真值”，這個“誤差”是基本的、專用的，是可正可負的、非正即負的。
       【乙】說“銣頻標的誤差比銫頻標的誤差大”，這里的“誤差”，是指“誤差范圍”（MPEV/準確度/極限誤差），是恒正的數。
       【丙】“誤差理論”一詞中的“誤差”，是泛指概念，即包括【甲】所指的誤差，也包括【乙】所指的誤差。
       不確定度體系誕生前，上述三種誤差概念是清楚的，在不同的場合、不同的語義環境下，區分也并不難。
       不確定度體系一出世，首先攻擊【甲】誤差，說真值不可知，誤差不可求。“誤差不可求”，沒有了“誤差”，也就否定了誤差理論。
       又說，應用的是【乙】所指的誤差，不符合【甲】定義。這就是都成文中所說的誤差理論中的“概念麻煩”。當然，都成不過是鸚鵡學舌，其實這是不確定度體系炮制者對誤差理論的誣陷之詞。

       完善誤差理論的用語，既是抵制不確定度體系泛濫的需要，也是誤差理論自身發展完善的需要。
       把“誤差”區分為“誤差元”與“誤差范圍”，是對計量界習慣用語的一種細化，是把誤差一詞的多種功能，區分開，各行一職，易于理解，方便應用。

      《史法測量計量學》的作法
       1 誤差元定義為測得值減真值。就是【甲】的含義。
       2 誤差范圍定義為誤差元的絕對值的一定概率（大于99%）意義上的最大可能值。就是【乙】的含義。
       3 誤差范圍是集合的概念，該集合的元素是誤差元。由誤差元構成誤差范圍。
       4 基于物理公式求誤差元，由誤差元而求誤差范圍，進而推導誤差合成公式，進而表達測得值區間與測量結果區間，表達測量結果；同樣程序，推導計量的誤差公式與合格性判別公式。從而實現誤差理論的公式化。
       基于十項法則而實現了理論公式化的《史法測量計量學》，使經典誤差理論面貌一新。而“誤差元”概念的提出，是誤差理論革新的基礎。
       不確定度體系是反面的例子。不確定度的架構：A、B標準不確定度、合成不確定度、擴展不確定度，其實，只是“集合量”而沒有構成集合的“單元量”。沒有元素的集合是“空集”。不確定度只說是“非負量”，怎么來的，卻不知。于是，也就沒法推演公式。
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       誤差元一詞提出后，便可順理成章地推導各種公式。其方便性，一用便知。請先生用用看。

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"測量誤差"與形形色色的任何"被測量"一樣，在人們關心的實用范圍內、以人們的有限認知能力來看，都是具有"一定概率散布范圍"的

njlyx 發表于 2019-12-12 12:45
"測量誤差"與形形色色的任何"被測量"一樣，在人們關心的實用范圍內、以人們的有限認知能力來看，都是具有" ...

(接上)
的"不確定量"，它們在特定"時空點"的具體取值(--所謂"元"值)是人們不能"確知"的，但人們可以實用"認知"其"概率散布范圍"的"中心值"及"寬度(考慮大多數情形下可能是對稱散布，一般用"半寬"做指標)"，邊用此"中心值"及"寬度(半寬)"這兩個"指標"值它的"實用值(實際應用時的取值范圍)"。………此"寬度(半寬)"便是所謂"測量不確定度"(即史先生稱謂的"誤差范圍"，只不過史先生的"誤差范圍"約定了99%的"包含概率"，而"不確定度"的"包含概率"沒有定"死"，需要應用時再"約")。………在籠統談到某"量"時，通常就是表達它的"元"值，應該無需再用前綴"元"申明。……需要"改善"的應該是對那"中心值"及"寬度(半寬)"的適當稱謂，避免與"元"混淆。……在報告"測量結果"時，應該"公認"測量誤差的"中心值"為0(否則，違背報告者的"良知"！)，便只有那個"寬度(半寬)"需要隨同"測得值"一起報告了。… 過去將"測量誤差"的這"寬度(半寬)"籠統表述為"測量誤差"，現在"另名"稱謂了，即可避免"誤會"。

以"測量誤差"的"(真)值"不可(確)知而否認其"地位"，應該是某些"專家"的觀點。若如此"認識"，那世上便沒有多少種(個)"量"有立足之地了！

"不確定度"方法沒那么"偉大"(除了表述方面順了一些，減少了一點可能的稱謂"混淆"，并沒有解決"誤差理論"中的根本"難題"--- "量"之間的"相關性"問題！ 相反，由于對"系統誤差"/"隨機誤差"分類的不恰當排斥，在"近似常量"的多次重復測量結果的處理上，似乎表現出"倒退"？)     也沒有史先生認為的那么"難堪"！

都成 發表于 2019-12-10 09:41
這是我在《計量學報》發表的一篇文章：《試論測量不確定度與誤差理論的關系》，以前也貼出過，您不 ...

通俗易懂，非常好

njlyx 發表于 2019-12-12 13:40
(接上)
的"不確定量"，它們在特定"時空點"的具體取值(--所謂"元"值)是人們不能"確知"的，但人們可以實用" ...

更正：  邊用   -->   便用

njlyx 發表于 2019-12-12 13:40
(接上)
的"不確定量"，它們在特定"時空點"的具體取值(--所謂"元"值)是人們不能"確知"的，但人們可以實用" ...

更正：
…"指標"值它的"實用…   -->    … "指標"值表達它的"實用…