值得玩味的珠峰高程

值得玩味的珠峰高程

武漢大學 葉曉明

    我曾多次用珠峰高程的結果為案例來質疑現有測量理論的誤差分類學說。我之所以用這一案例，一者因為這一案例的知名度高，二者期望達到以子之矛攻子之盾的功效，以減輕我的論述工作量。現在通過網絡等多渠道的反饋，越來越覺得這個案例很值得玩味了。

    這個案例是這樣的。2005年國家測繪局給出珠峰高程測量結果為8844.43米，精度（標準偏差）為±0.21米。我的意圖是，一方面用精度與隨機誤差的對應邏輯證明珠峰高程的誤差是隨機誤差，另一方面用誤差的定義（結果與真值之差）證明珠峰高程的誤差是恒定的偏差，應該屬于系統誤差，從而展示現有測量理論的基本概念邏輯無法自圓其說。現在總結起來，對這個標準偏差±0.21米和珠峰高程誤差的關系的理解大體有三種：

1、  珠峰高程結果的誤差是個恒定的偏差，±0.21米表達這個偏差的可能存在區間的評價，是偏差值的不可確定的程度。這個偏差不存在系統誤差、隨機誤差的分類問題。

2、  珠峰高程結果的誤差是個隨機誤差，±0.21米表達這個隨機誤差的隨機變化范圍。

3、  珠峰高程結果的誤差是個恒定的偏差，也是隨機誤差，±0.21米表達未來相同測量條件下重復測量時測量結果的發散度。

    那么，在這三種答案中，您支持哪一種解釋呢？

    如果您支持第一種答案，那么很遺憾地告訴您：您不太可能是一個受過專業訓練的測量學者，甚至很可能只是一個普通的老百姓，只是知道點測量概念的皮毛而已。因為支持這一解釋的基本都來自非測量專業人士，當年看到珠峰測量的新聞報道時大家都是這么理解的。

    如果您支持第2或第3答案，那么您很可能是一個受過專業訓練的測量專業人士，對課本的概念邏輯具有較好的記憶，甚至是知名學者。因為測量教科書清楚地寫著精度是重復測量結果的發散度，是對隨機誤差的評價，支持這二答案的基本都是測量專業人士。

    正確的答案只能有一個，那么是誰呢？

    珠峰案例雖然知名度高，但測量過程太復雜，而其答案之一還涉及重復測量的過程，大家自然容易陷入思維死角（實際上這個案例根本就不需要追究其測量過程）。既然如此，我就換個簡單的案例。

    作者用數顯卡尺測量一鋼珠的直徑為5.00毫米，根據卡尺的標稱計量指標推算出標準偏差為±0.023毫米。現在對標準偏差±0.023毫米有三種解釋：

1、 鋼珠的直徑結果的誤差是個恒定的偏差，±0.023毫米表達這個偏差的可能存在區間的評價，是偏差值的不可確定的程度。這個偏差不存在系統誤差、隨機誤差的分類問題。

2、 鋼珠的直徑結果的誤差是個隨機誤差，±0.023毫米表達這個隨機誤差的隨機變化范圍。

3、 鋼珠的直徑結果的誤差是個恒定的偏差，也是隨機誤差，±0.023毫米表達在未來相同測量條件下重復測量時測量結果的發散度。

    學者優先吧，先看第3種解釋——未來相同測量條件下重復測量時測量結果的發散度。這很簡單，拿卡尺在相同測量條件重復測量試試唄，您也可以親自實驗做一做。您一定會發現，實驗結論非常令人失望，發散度比±0.023毫米小得多，甚至基本就是±0.000毫米。這種解釋與事實不符。

    再看第2種解釋——隨機誤差的隨機變化范圍。這也很簡單，既然誤差是結果與真值之差，結果是不變的，誤差是隨機變化的，那么鋼珠直徑的真值（實際值）就是隨機變化的，±0.023毫米的隨機變化用手就能摸到。用得著摸嗎？傻呀？支持鋼珠直徑隨機變化的能量從哪里來？真能通過測量獲得這種無中生有的能量來源那還不發財呀？

    啊啊，只剩下第1種解釋了啊。第1種解釋對不對呢？老葉寫了這么多糟鄙現有理論的雜文，總該拿點真金白銀出來吧。

     現有誤差序列{△xi}的數學期望為0，某偏差△x是序列{△xi}中的一個成員。這樣，序列{△xi}的方差σ²(△x)就是就是序列{△xi}的發散性，也是偏差△x所存在的概率區間。即

    現在，有一個離散的重復觀測值序列{xi}，取其中的某一個xi作為最終測量結果x。這樣偏差△x=x-Ex就是誤差序列{△xi}={xi-Exi}中的一個成員，而序列{△xi}={xi-Exi}的數學期望也正好為0，因為E△xi=E(xi-Exi)=Exi-Exi=0。這樣將△x=x-Ex代入上式就有：

    就是說，測量結果x與其數學期望Ex之間的偏差△x=x-Ex存在于一個數學期望為0、標準偏差為σ(△x)的概率區間內，標準偏差σ(△x)是一個偏差△x=x-Ex的概率區間的評價值！標準偏差原來是一個誤差的存在范圍的概念，表達測量者主觀對一個誤差的不可確定的程度---不確定度！就是說，方差是誤差的方差，而不是測量結果的方差，跟測量結果x沒有直接關系。這就和現有教科書用公式σ²(x)=E(x-Ex)²把方差解釋成測量結果x的發散度有所不同了。

    當然，如果以n個不同的xi的平均值作為最終測量結果x，這時的σ(△x)還將下降根號n倍。

    同樣的道理，數學期望與真值之差Ex-x_T也有它的標準偏差（概率區間值），因為它也是測量產生的，追尋到它的上游測量也可以獲得其標準偏差。這樣，測量結果的總誤差的標準偏差自然按照概率法則合成即可獲得。

    偏差x-Ex和Ex-x_T都是恒定的偏差，都有標準偏差，沒有性質差異，不存在誤差分類的問題。數學推理證明，這種新的方差概念解釋對貝塞爾公式、最小二乘法等沒有任何影響，但測量誤差理論的解釋中卻不需要精度、準確度概念了，不確定度也不再是發散性而是誤差的概率區間內涵。

    所以，一個非常遺憾的結論，平民老百姓對珠峰高程精度±0.21米的理解是最正確的。啊啊，事情是專業人士干的，但平民百姓的解釋反而正確，這實在太傷感情了。。。

                                                                                               2018 3 24

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2018-3-26 08:51 上傳

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推算出數顯卡尺的標準偏差±0.023mm，方法肯定錯了！

劉耀煌 發表于 2018-3-26 09:49
推算出數顯卡尺的標準偏差±0.023mm，方法肯定錯了！

那就請教一個。

yeses 發表于 2018-3-26 19:31
那就請教一個。

分度0.01mm的數顯卡尺小量程最大允許誤差MPEV是0.02mm，MPEV引入的標準不確定度分量0.0067mm。分辨力為0.01mm，引入的標準不確定度分量0.00289mm。示值變動性（相當于重復性）不超過0.01mm，重復性引入的標準不確定度分量應該不到0.002mm。假設以上各影響因素相互獨立，按方和根法計算合成標準不確定度0.008mm

劉耀煌 發表于 2018-3-26 20:23
分度0.01mm的數顯卡尺小量程最大允許誤差MPEV是0.02mm，MPEV引入的標準不確定度分量0.0067mm。分辨力為0. ...

你怎么就知道我用的是0.02mm?你怎么斷定必須是正態分布？難道MPE不包括分辨、重復、變動在內嗎？

yeses 發表于 2018-3-26 23:43
你怎么就知道我用的是0.02mm?你怎么斷定必須是正態分布？難道MPE不包括分辨、重復、變動在內嗎？ ...

是我理解有誤。卡尺檢定時的測量結果不確定度應該考慮標準器的MPEV、卡尺的分辨力或重復性、卡尺與標準器（量塊）的溫差，環境溫度偏離標準檢定環境溫度、卡尺和標準器（量塊）的線膨脹系數不同引入的不確定度分量等。使用卡尺測量工件尺寸時的測量結果的不確定度不用再考慮卡尺分辨力和重復性，可以直接用其MPEV換算（測量環境在卡尺的正常使用環境時）。

常用數顯卡尺分辨力是0.01mm的、游標卡尺分度值有0.02、0.05mm、0.1mm，分辨力0.01mm與分度值0.02mm的測量70mm以內，其MPEV都是0.02mm。應該假定服從平均分布，k=根號3，MPEV引入的不確定分量為0.012mm。分辨力/分度值0.05mm的測量70mm以內，其MPEV都是0.05mm,MPEV引入的不確定分量為0.03mm。分辨力/分度值0.10mm的測量70mm以內，其MPEV都是0.10mm,MPEV引入的不確定分量為0.06mm。

劉耀煌 發表于 2018-3-27 21:05
是我理解有誤。卡尺檢定時的測量結果不確定度應該考慮標準器的MPEV、卡尺的分辨力或重復性、卡尺與標準器 ...

ok!
我以標稱值0.04mm、矩形分布估計的，可能仍然會有爭議，但這不重要，此文的焦點本來就不在此。