值得玩味的珠峰高程

值得玩味的珠峰高程

武漢大學(xué) 葉曉明

    我曾多次用珠峰高程的結(jié)果為案例來(lái)質(zhì)疑現(xiàn)有測(cè)量理論的誤差分類學(xué)說(shuō)。我之所以用這一案例，一者因?yàn)檫@一案例的知名度高，二者期望達(dá)到以子之矛攻子之盾的功效，以減輕我的論述工作量。現(xiàn)在通過(guò)網(wǎng)絡(luò)等多渠道的反饋，越來(lái)越覺(jué)得這個(gè)案例很值得玩味了。

    這個(gè)案例是這樣的。2005年國(guó)家測(cè)繪局給出珠峰高程測(cè)量結(jié)果為8844.43米，精度（標(biāo)準(zhǔn)偏差）為±0.21米。我的意圖是，一方面用精度與隨機(jī)誤差的對(duì)應(yīng)邏輯證明珠峰高程的誤差是隨機(jī)誤差，另一方面用誤差的定義（結(jié)果與真值之差）證明珠峰高程的誤差是恒定的偏差，應(yīng)該屬于系統(tǒng)誤差，從而展示現(xiàn)有測(cè)量理論的基本概念邏輯無(wú)法自圓其說(shuō)。現(xiàn)在總結(jié)起來(lái)，對(duì)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差±0.21米和珠峰高程誤差的關(guān)系的理解大體有三種：

1、  珠峰高程結(jié)果的誤差是個(gè)恒定的偏差，±0.21米表達(dá)這個(gè)偏差的可能存在區(qū)間的評(píng)價(jià)，是偏差值的不可確定的程度。這個(gè)偏差不存在系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差的分類問(wèn)題。

2、  珠峰高程結(jié)果的誤差是個(gè)隨機(jī)誤差，±0.21米表達(dá)這個(gè)隨機(jī)誤差的隨機(jī)變化范圍。

3、  珠峰高程結(jié)果的誤差是個(gè)恒定的偏差，也是隨機(jī)誤差，±0.21米表達(dá)未來(lái)相同測(cè)量條件下重復(fù)測(cè)量時(shí)測(cè)量結(jié)果的發(fā)散度。

    那么，在這三種答案中，您支持哪一種解釋呢？

    如果您支持第一種答案，那么很遺憾地告訴您：您不太可能是一個(gè)受過(guò)專業(yè)訓(xùn)練的測(cè)量學(xué)者，甚至很可能只是一個(gè)普通的老百姓，只是知道點(diǎn)測(cè)量概念的皮毛而已。因?yàn)橹С诌@一解釋的基本都來(lái)自非測(cè)量專業(yè)人士，當(dāng)年看到珠峰測(cè)量的新聞報(bào)道時(shí)大家都是這么理解的。

    如果您支持第2或第3答案，那么您很可能是一個(gè)受過(guò)專業(yè)訓(xùn)練的測(cè)量專業(yè)人士，對(duì)課本的概念邏輯具有較好的記憶，甚至是知名學(xué)者。因?yàn)闇y(cè)量教科書(shū)清楚地寫(xiě)著精度是重復(fù)測(cè)量結(jié)果的發(fā)散度，是對(duì)隨機(jī)誤差的評(píng)價(jià)，支持這二答案的基本都是測(cè)量專業(yè)人士。

    正確的答案只能有一個(gè)，那么是誰(shuí)呢？

    珠峰案例雖然知名度高，但測(cè)量過(guò)程太復(fù)雜，而其答案之一還涉及重復(fù)測(cè)量的過(guò)程，大家自然容易陷入思維死角（實(shí)際上這個(gè)案例根本就不需要追究其測(cè)量過(guò)程）。既然如此，我就換個(gè)簡(jiǎn)單的案例。

    作者用數(shù)顯卡尺測(cè)量一鋼珠的直徑為5.00毫米，根據(jù)卡尺的標(biāo)稱計(jì)量指標(biāo)推算出標(biāo)準(zhǔn)偏差為±0.023毫米。現(xiàn)在對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差±0.023毫米有三種解釋：

1、 鋼珠的直徑結(jié)果的誤差是個(gè)恒定的偏差，±0.023毫米表達(dá)這個(gè)偏差的可能存在區(qū)間的評(píng)價(jià)，是偏差值的不可確定的程度。這個(gè)偏差不存在系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差的分類問(wèn)題。

2、 鋼珠的直徑結(jié)果的誤差是個(gè)隨機(jī)誤差，±0.023毫米表達(dá)這個(gè)隨機(jī)誤差的隨機(jī)變化范圍。

3、 鋼珠的直徑結(jié)果的誤差是個(gè)恒定的偏差，也是隨機(jī)誤差，±0.023毫米表達(dá)在未來(lái)相同測(cè)量條件下重復(fù)測(cè)量時(shí)測(cè)量結(jié)果的發(fā)散度。

    學(xué)者優(yōu)先吧，先看第3種解釋——未來(lái)相同測(cè)量條件下重復(fù)測(cè)量時(shí)測(cè)量結(jié)果的發(fā)散度。這很簡(jiǎn)單，拿卡尺在相同測(cè)量條件重復(fù)測(cè)量試試唄，您也可以親自實(shí)驗(yàn)做一做。您一定會(huì)發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)論非常令人失望，發(fā)散度比±0.023毫米小得多，甚至基本就是±0.000毫米。這種解釋與事實(shí)不符。

    再看第2種解釋——隨機(jī)誤差的隨機(jī)變化范圍。這也很簡(jiǎn)單，既然誤差是結(jié)果與真值之差，結(jié)果是不變的，誤差是隨機(jī)變化的，那么鋼珠直徑的真值（實(shí)際值）就是隨機(jī)變化的，±0.023毫米的隨機(jī)變化用手就能摸到。用得著摸嗎？傻呀？支持鋼珠直徑隨機(jī)變化的能量從哪里來(lái)？真能通過(guò)測(cè)量獲得這種無(wú)中生有的能量來(lái)源那還不發(fā)財(cái)呀？

    啊啊，只剩下第1種解釋了啊。第1種解釋對(duì)不對(duì)呢？老葉寫(xiě)了這么多糟鄙現(xiàn)有理論的雜文，總該拿點(diǎn)真金白銀出來(lái)吧。

     現(xiàn)有誤差序列{△xi}的數(shù)學(xué)期望為0，某偏差△x是序列{△xi}中的一個(gè)成員。這樣，序列{△xi}的方差σ²(△x)就是就是序列{△xi}的發(fā)散性，也是偏差△x所存在的概率區(qū)間。即

    現(xiàn)在，有一個(gè)離散的重復(fù)觀測(cè)值序列{xi}，取其中的某一個(gè)xi作為最終測(cè)量結(jié)果x。這樣偏差△x=x-Ex就是誤差序列{△xi}={xi-Exi}中的一個(gè)成員，而序列{△xi}={xi-Exi}的數(shù)學(xué)期望也正好為0，因?yàn)?i>E△xi=E(xi-Exi)=Exi-Exi=0。這樣將△x=x-Ex代入上式就有：

    就是說(shuō)，測(cè)量結(jié)果x與其數(shù)學(xué)期望Ex之間的偏差△x=x-Ex存在于一個(gè)數(shù)學(xué)期望為0、標(biāo)準(zhǔn)偏差為σ(△x)的概率區(qū)間內(nèi)，標(biāo)準(zhǔn)偏差σ(△x)是一個(gè)偏差△x=x-Ex的概率區(qū)間的評(píng)價(jià)值！標(biāo)準(zhǔn)偏差原來(lái)是一個(gè)誤差的存在范圍的概念，表達(dá)測(cè)量者主觀對(duì)一個(gè)誤差的不可確定的程度---不確定度！就是說(shuō)，方差是誤差的方差，而不是測(cè)量結(jié)果的方差，跟測(cè)量結(jié)果x沒(méi)有直接關(guān)系。這就和現(xiàn)有教科書(shū)用公式σ²(x)=E(x-Ex)²把方差解釋成測(cè)量結(jié)果x的發(fā)散度有所不同了。

    當(dāng)然，如果以n個(gè)不同的xi的平均值作為最終測(cè)量結(jié)果x，這時(shí)的σ(△x)還將下降根號(hào)n倍。

    同樣的道理，數(shù)學(xué)期望與真值之差Ex-x_T也有它的標(biāo)準(zhǔn)偏差（概率區(qū)間值），因?yàn)樗彩菧y(cè)量產(chǎn)生的，追尋到它的上游測(cè)量也可以獲得其標(biāo)準(zhǔn)偏差。這樣，測(cè)量結(jié)果的總誤差的標(biāo)準(zhǔn)偏差自然按照概率法則合成即可獲得。

    偏差x-Ex和Ex-x_T都是恒定的偏差，都有標(biāo)準(zhǔn)偏差，沒(méi)有性質(zhì)差異，不存在誤差分類的問(wèn)題。數(shù)學(xué)推理證明，這種新的方差概念解釋對(duì)貝塞爾公式、最小二乘法等沒(méi)有任何影響，但測(cè)量誤差理論的解釋中卻不需要精度、準(zhǔn)確度概念了，不確定度也不再是發(fā)散性而是誤差的概率區(qū)間內(nèi)涵。

    所以，一個(gè)非常遺憾的結(jié)論，平民老百姓對(duì)珠峰高程精度±0.21米的理解是最正確的。啊啊，事情是專業(yè)人士干的，但平民百姓的解釋反而正確，這實(shí)在太傷感情了。。。

                                                                                               2018 3 24

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2018-3-26 08:51 上傳

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推算出數(shù)顯卡尺的標(biāo)準(zhǔn)偏差±0.023mm，方法肯定錯(cuò)了！

劉耀煌 發(fā)表于 2018-3-26 09:49
推算出數(shù)顯卡尺的標(biāo)準(zhǔn)偏差±0.023mm，方法肯定錯(cuò)了！

那就請(qǐng)教一個(gè)。

yeses 發(fā)表于 2018-3-26 19:31
那就請(qǐng)教一個(gè)。

分度0.01mm的數(shù)顯卡尺小量程最大允許誤差MPEV是0.02mm，MPEV引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量0.0067mm。分辨力為0.01mm，引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量0.00289mm。示值變動(dòng)性（相當(dāng)于重復(fù)性）不超過(guò)0.01mm，重復(fù)性引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量應(yīng)該不到0.002mm。假設(shè)以上各影響因素相互獨(dú)立，按方和根法計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度0.008mm

劉耀煌 發(fā)表于 2018-3-26 20:23
分度0.01mm的數(shù)顯卡尺小量程最大允許誤差MPEV是0.02mm，MPEV引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量0.0067mm。分辨力為0. ...

你怎么就知道我用的是0.02mm?你怎么斷定必須是正態(tài)分布？難道MPE不包括分辨、重復(fù)、變動(dòng)在內(nèi)嗎？

yeses 發(fā)表于 2018-3-26 23:43
你怎么就知道我用的是0.02mm?你怎么斷定必須是正態(tài)分布？難道MPE不包括分辨、重復(fù)、變動(dòng)在內(nèi)嗎？ ...

是我理解有誤。卡尺檢定時(shí)的測(cè)量結(jié)果不確定度應(yīng)該考慮標(biāo)準(zhǔn)器的MPEV、卡尺的分辨力或重復(fù)性、卡尺與標(biāo)準(zhǔn)器（量塊）的溫差，環(huán)境溫度偏離標(biāo)準(zhǔn)檢定環(huán)境溫度、卡尺和標(biāo)準(zhǔn)器（量塊）的線膨脹系數(shù)不同引入的不確定度分量等。使用卡尺測(cè)量工件尺寸時(shí)的測(cè)量結(jié)果的不確定度不用再考慮卡尺分辨力和重復(fù)性，可以直接用其MPEV換算（測(cè)量環(huán)境在卡尺的正常使用環(huán)境時(shí)）。

常用數(shù)顯卡尺分辨力是0.01mm的、游標(biāo)卡尺分度值有0.02、0.05mm、0.1mm，分辨力0.01mm與分度值0.02mm的測(cè)量70mm以內(nèi)，其MPEV都是0.02mm。應(yīng)該假定服從平均分布，k=根號(hào)3，MPEV引入的不確定分量為0.012mm。分辨力/分度值0.05mm的測(cè)量70mm以內(nèi)，其MPEV都是0.05mm,MPEV引入的不確定分量為0.03mm。分辨力/分度值0.10mm的測(cè)量70mm以內(nèi)，其MPEV都是0.10mm,MPEV引入的不確定分量為0.06mm。

劉耀煌 發(fā)表于 2018-3-27 21:05
是我理解有誤。卡尺檢定時(shí)的測(cè)量結(jié)果不確定度應(yīng)該考慮標(biāo)準(zhǔn)器的MPEV、卡尺的分辨力或重復(fù)性、卡尺與標(biāo)準(zhǔn)器 ...

ok!
我以標(biāo)稱值0.04mm、矩形分布估計(jì)的，可能仍然會(huì)有爭(zhēng)議，但這不重要，此文的焦點(diǎn)本來(lái)就不在此。