本帖最后由 史錦順 于 2017-4-21 12:11 編輯
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最小二乘法擬合公式的有關分析
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史錦順
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1 線性擬合公式的應用
因變量Y與自變量X間，大體有線性關系。
用實驗（實際測量），來確定Y對X的函數關系。測量N次，數據為：
X1 X2 …… Xi …… XN
Y1 Y2 …… Yi …… YN （1）
自變量X取準，誤差可略，認為無誤差。因變量Y是儀器的測得值，有誤差。Yi與Xi一一對應。
擬合得到的線性公式為：
Y = a + bX （2）
所謂“最小二乘法擬合”，就是依數據列（1）求得公式（2）。或者說是求得直線方程（2）的斜率b和截距a。
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時頻界，求頻標的漂移率（晶振稱老化率）普遍用最小二乘法。
“自變量”是時間t，ti =iT, T是時間單位（日或半日），誤差可略。“因變量”是頻標的頻率值fi，是儀器測得值，有誤差。
擬合得頻率值隨時間變化的線性公式為
f = fo + Kt （3）
將（3）式減去參考頻率f標，得頻差關系式為：
f - f標 = fo - f標 +Kt
Δf =Δfo + Kt （4）
為方便，通常表示為相對頻差
Δf /fo =Δfo /fo+ Kt/fo
δf = δfo + kt （5）
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要分清兩個不同的問題。
第一個問題是：已知頻率變化率k、初始頻差偏差δfo 的條件下，怎樣用公式（5）求得總偏差δf。
（5）式是個簡單的代數式。δfo與kt都是偏差，它們二者合成，就是代數運算，二者都是有符號、有數值的量，按“代數計算法則”計算就是了，搞不確定度合成，是看錯了對象，畫蛇添足，瞎胡算。
例1 已知晶振甲的老化率k= -3×10-10。2017年4月1日，用銫原子鐘測得晶振甲的相對頻差是 – 1.0×10-8，問到2017年7月10日，長期加電的晶振甲的頻差是多少？
解答：k= -3×10-8/日，δfo= - 1.0×10-8，t=100日，代入（5）式，得
δf = - 1.0×10-8 + (-3×10-10/日)×100日
= - 1.0×10-8 - 3×10-8
= - 4×10-8
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例2 對晶振甲，已知老化率k= -3×10-10，參照檢定規程的頻率調整法。2017年4月1日，用銫原子鐘調整晶振甲的相對頻差是 +1.0×10-8，問到2017年7月10日，長期加電的晶振甲的頻差是多少？
解答：k= -3×10-10/日，δfo= +1.0×10-8，t=100日，代入（5）式，得
δf = +1.0×10-8 + (-3×10-10/日)×100日
= +1.0×10-8 - 3×10-8
= - 2×10-8
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用最小二乘法，費力氣計算得到的公式（5），上兩例的應用是正確的。不確定度體系對公式（5）的處理，用什么“不確定度傳播律”，是錯誤的，是抹煞人類的智慧，否定知識。這是“不確定度體系是偽科學”判斷的又一個證據。請大家注意一個事實：凡用GUM法處理的計算問題，幾乎都是錯誤的。至于不確定度論說教中的“相關”“不相關”都是沒用的假話。初始頻差、線性變化率、時間，三者都完全是各自獨立的量，該認為是“不相關”；而三者共同構成總的頻差的量值，又怎能說不相關？其實初始頻差、變化產生的頻差，客觀上的作用必定是“代數和”，那種關于“相關性”的分析是沒有用的。
如果是估計“范圍”，起決定作用的是二項和平方展開式的交叉系數。這里是兩項系統誤差，算“范圍”也必須取“絕對和”，而不能是不確定度體系的“方和根”。“假設不相關”無用；“真不相關”也沒用。相關性的判別，與誤差合成法無關。
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上邊講的是第一個問題：擬合公式的應用；第二個問題是，測定（5）式中兩個量截距與斜率的誤差有多大？初始頻差的測量誤差易得；而求老化率k的誤差，是當今世界測量計量界的一大難題。葉德培先生在她的樣板評定中，缺失了（或者說弄錯了）。
老史先將老化率k的公式簡化；由此方見端倪。簡述如下。
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2 老化率公式的簡化
簡化公式的主要技巧是對稱編號。
取測量次數N為奇數，中間數為0，則上有(N-1)/2個號，下有(N-1)/2個號。
例如
1）測量晶振的頻率老化率（線性漂移率），測量7天。每天定時（例如9:00）測量。每日一個數據（三個頻率的平均值），對稱編號就是f(-3)、f(-2) 、f(-1)、f(0)、f(+1)、f(+2)、f(+3)。
2）測量晶振的頻率老化率。前7天。每天定時兩次測量（例如9:00、21:00）。每日兩個數據（每個數據是三次測量的平均值），第8天9:00得1數據。對稱編號就是f(-7)、f(-6) 、f(-5)、f(-4)、f(-3)、f(-2)、f(-1)、f(0)、f(+1) 、f(+2)、f(+3)、f(+4)、f(+5) 、f(+6)、f(+7)。
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要擬合的公式是
f = fo + Kt （3）
其中，fo是初始頻率，K是線性變化率。fo易獲知；主要作業是擬合直線斜率K。史錦順得到的簡化公式（參見附件）為：
K = ∑j=(-n)→n (fj –fr) j / [(N-1)N(N+1)T/12] （6）
簡化公式的主要技巧是對稱編號。
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【晶振日老化率速算法】
（1） 7天，每天1值
按時間順序標記數據：中間數標0，由0分界，順時序標1至3，逆時序標-1至-3。各數據減一常數之后的尾數乘標號，乘積累加，除以28，即得日老化率。
口訣：對稱編號，去整作差，號乘差累加，除以二十八。
（2）7周天，每天2點，共15點（第8天測一個點）
按時間順序標記數據：中間數標0，由0分界，順時序標1至7，逆時序標-1至-7。各數據減一常數之后的尾數乘標號，乘積累加，除以140，即得日老化率。
口訣：對稱編號，去整留零，累加號乘零，除以140。
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3 擬合誤差
擬合誤差指求截距與斜率的誤差。
斜率K的簡化（嚴格式）表達為：
K = ∑j=(-n)→n (fj –fr)j / [(1/12)(N-1)N(N+1)T] （6）
（6）式中，fr可以隨意取值，因此K的測量誤差與測量fj時的系統誤差的恒定值無關。測量晶振老化率用原子頻標，其系統誤差為恒定值（無頻率漂移）。因此誤差來自原子頻標與比對器的隨機誤差。隨機誤差取“方和根”。
令fr=0,有
K =∑j=(-n)→n fj j / [(1/12)(N-1)N(N+1)T] （7）
將fj 表達為：
fj = fjo + ξ （8）
（8）式代入（7）
K =∑j=(-n)→n (fjo+ξ)j / [(1/12)(N-1)N(N+1)T]
=∑j=(-n)→n fjo j / [(1/12)(N-1)N(N+1)T]
+∑j=(-n)→n ξ j / [(1/12)(N-1)N(N+1)T] （9）
由（9）知，K 的誤差為
ΔK=∑j=(-n)→n ξ j / [(1/12)(N-1)N(N+1)T]
Kσ=∑j=(-n)→n σ j / [(1/12)(N-1)N(N+1)T] （10）
測量用同一原子頻標與比對器。各次測量，隨機誤差相同，因此σ可提出來。分子成為j的平方求和，j從1到n，結果乘2.
Kσ2=2σ2（12+22+32……+n2）/分母2
= 2 (1/6) n(n+1)(2n+1) σ 2 /分母2 （查數學手冊得知自然數平方之和）
= (1/12)(N-1)N(N+1) σ 2 / 分母2
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Kσ = σ√[(1/12)(N-1)N(N+1)] / 分母
= σ√[(1/12)(N-1)N(N+1)] / [(1/12)(N-1)N(N+1)T]
Kσ =(σ/ T) /√[(1/12)(N-1)N(N+1)] （11）
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原子頻標的隨機誤差σ到老化率的傳遞系數，Kσ /σ
取樣間隔時間：日
N=3 1/√2
N=5 1/√10
N=7 1/√28
取樣間隔時間：0.5日（12小時）
N=15 1/√70
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附件 論最小二乘法
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論最小二乘法.doc
(292 KB, 下載次數: 46)
2017-4-21 11:53 上傳
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下載積分: 金幣 -1
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包括有關最小二乘法計算的三個材料：
《新概念測量學》（中卷）p8
《新概念測量學》（下卷）p52
《駁不確定度論一百六十篇集》p340
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閩公網安備 35020602000072號
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