請(qǐng)問(wèn)最小二乘法的標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)差中為何有b^2Sx^2一項(xiàng)

據(jù)一級(jí)計(jì)量注冊(cè)師基礎(chǔ)知識(shí)和事務(wù)一書，最小二乘法如果要擬合直線方程y=a+bx，其標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)差平方為
s_p²(y_j)=s_a²+x_j²s_b²+b²s_x²+2x_jr(a,b)s_as_b
這個(gè)公式我的直觀反映使用的是不確定度傳播率公式。
因?yàn)橐獢M合直線y=a+bx,應(yīng)該不同的x_j有不同的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差，x_j是已知量，a和b是未知量，所以式中標(biāo)準(zhǔn)差或者協(xié)方差都是a和b的，這些我能理解。
但是對(duì)a求偏導(dǎo)為1，則a的偏導(dǎo)乘以其實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差平方為右邊第一項(xiàng)s_a²，對(duì)b求偏導(dǎo)應(yīng)該看作a和xj為常數(shù)，那么乘以其實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差平方后應(yīng)該是右邊第二項(xiàng)x_j²s_b²，那么請(qǐng)問(wèn)右邊第三項(xiàng)b²s_x²何來(lái)？
如果需要這一項(xiàng)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式，那么b和x應(yīng)該都是一個(gè)因變量，但是為何第四項(xiàng)又直接對(duì)b求偏導(dǎo)而沒(méi)x_j的事情？
我實(shí)在想不明白了，請(qǐng)大家給我指點(diǎn)。謝謝
ps：a和b相關(guān)么？我不知道，但是我覺(jué)得可能相關(guān)，所以這里要考慮其相關(guān)性，現(xiàn)實(shí)生活中可能相關(guān)，也可能不相關(guān)。因?yàn)閍是截距，b是斜率，斜率不同，一個(gè)模型截距也不同的情景還是有的。會(huì)有相反例子么？不知道這個(gè)理解是否正確？
ps:我又想了想，是不是我被不確定度傳播率公式套住了，其實(shí)這里并非一定要按照不確定度傳播率公式計(jì)算，而是需要考慮一個(gè)s_x，所以才有這么一項(xiàng)。但是，為什么公式是這個(gè)樣子？實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差公式不是貝塞爾公式么（這更不是極差較差公式吧）？這個(gè)公式怎么看都不是直接貝塞爾公式推導(dǎo)出來(lái)的，而是根據(jù)不確定度傳播率公式反推來(lái)的吧。因?yàn)樾枰紤]x_j重復(fù)性引入的不確定度，所以加了這個(gè)，不知道這樣想對(duì)么？

補(bǔ)充內(nèi)容 (2017-4-14 17:10):

文中r(a,b)是相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值，手殘打成了協(xié)方差，兩個(gè)都是表示相關(guān)性的。不過(guò)當(dāng)時(shí)確實(shí)寫錯(cuò)了。

從標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)差平方表達(dá)式來(lái)看
是將yj=a+bxj中a，b，xj做為三個(gè)未知量來(lái)看的，且a和b相關(guān)，xj和a，b都不相關(guān)。前三個(gè)平方和就是三個(gè)未知量標(biāo)準(zhǔn)差平方乘以它們的靈敏系數(shù)的平方，最后的交叉量是a和b相關(guān)的交叉量，xj和a，b都不相關(guān)，無(wú)交叉量。
理解的話，a和b都是由總數(shù)據(jù)根據(jù)最小二乘法計(jì)算得出的，有相關(guān)性是應(yīng)該的。。xj為啥做為未知量表示不知道。。。我只是從表達(dá)式看出來(lái)的，表達(dá)式含義應(yīng)該就是上面說(shuō)的，但為啥這樣，還得求大神解答。。

PS:不確定度傳播公式貌似也不是自創(chuàng)的吧？好像也有來(lái)源，我好像在史老的文章中看到過(guò)，一個(gè)很泛用的公式。

吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-4-17 10:07
從標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)差平方表達(dá)式來(lái)看
是將yj=a+bxj中a，b，xj做為三個(gè)未知量來(lái)看的，且a和b相關(guān)，xj和a，b都不相關(guān) ...

不對(duì)吧，這個(gè)明顯不是把x_j當(dāng)作未知量了。你看后面的協(xié)方差前面的系數(shù)，明顯沒(méi)有x_j什么是，里面的x_j是對(duì)b的常量來(lái)著。
而且根據(jù)最小二乘法的意思，就是知道離散點(diǎn)（x_j）去擬合一個(gè)不知道的

solarup 發(fā)表于 2017-4-17 16:34
不對(duì)吧，這個(gè)明顯不是把x當(dāng)作未知量了。你看后面的協(xié)方差前面的系數(shù)，明顯沒(méi)有x什么是，里面的x是對(duì)b的常 ...

把這個(gè)3個(gè)都當(dāng)未知量，然后把所有的交叉項(xiàng)都列出來(lái)，然后另xj和a相關(guān)性為0，xj和b的相關(guān)性為0，2xjr(a,b)sasb 就是a和
b的交叉項(xiàng)，其中a的靈敏系數(shù)為1，b的靈敏系數(shù)為xj，相關(guān)系數(shù)為r(a,b)。雖然不知道為啥這樣，但題中式子這么理解感覺(jué)最合適吧。。

吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-4-17 17:18
把這個(gè)3個(gè)都當(dāng)未知量，然后把所有的交叉項(xiàng)都列出來(lái)，然后另xj和a相關(guān)性為0，xj和b的相關(guān)性為0，2xjr(a,b) ...

我的意思就是這樣，如果真的x_j當(dāng)作未知了，那么第三項(xiàng)應(yīng)該還應(yīng)該乘以一個(gè)b才對(duì)吧。
所以我在Ps里面寫懷疑x_j根本就不是因?yàn)楫?dāng)作未知量了，而是因?yàn)檫@個(gè)式子本身是不確定度的式子，用不確定度去說(shuō)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差，而不確定度中不得不考慮x_j本身引入的不確定度分量，而這個(gè)分量的不確定度為bS_x.所以才有這一項(xiàng)。

solarup 發(fā)表于 2017-4-17 17:27
我的意思就是這樣，如果真的x當(dāng)作未知了，那么第三項(xiàng)應(yīng)該還應(yīng)該乘以一個(gè)b才對(duì)吧。
所以我在Ps里面寫懷疑x ...

第三項(xiàng)是這b2sx2項(xiàng)嘛？這項(xiàng)xj的靈敏系數(shù)是b，靈敏系數(shù)的平方乘以sx的平方，沒(méi)毛病?。?？？還要再乘個(gè)b？

本人不確定度入門不久，剛看到非線性函數(shù)時(shí)不確定度評(píng)定的一些方案，其中Y=A*B ,其中A和B都是未知量時(shí)，大概和題中后面bxj類似，可以參考。

吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-4-17 17:30
第三項(xiàng)是這b2sx2項(xiàng)嘛？這項(xiàng)xj的靈敏系數(shù)是b，靈敏系數(shù)的平方乘以sx的平方，沒(méi)毛病??？？？還要再乘個(gè)b？
...

你誤會(huì)了，是我沒(méi)說(shuō)清
我說(shuō)的是，如果算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，不需要算靈明度系數(shù)，也不需要進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算
但是這里是從不確定度傳播率公式來(lái)的，按照其公式，右側(cè)的第三項(xiàng)是要對(duì)偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行乘積的，相當(dāng)于這個(gè)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差式子右側(cè)第四項(xiàng)
但是從這個(gè)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差式子的右側(cè)第四項(xiàng)來(lái)看，只有a的偏導(dǎo)數(shù)1和b的偏導(dǎo)數(shù)xj相乘，沒(méi)有出現(xiàn)xj的偏導(dǎo)數(shù)系數(shù)b，所以我說(shuō)豈不矛盾？

solarup 發(fā)表于 2017-4-17 19:33
你誤會(huì)了，是我沒(méi)說(shuō)清
我說(shuō)的是，如果算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，不需要算靈明度系數(shù)，也不需要進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算
但是這 ...

根據(jù)不確定度傳播公式，a和b的交叉項(xiàng)只包含：a的偏導(dǎo)數(shù)1，b的偏導(dǎo)數(shù)xj，a和b的相關(guān)系數(shù)r（a，b），并不包含xj的偏導(dǎo)數(shù)b的吧。完成展開(kāi)的交叉項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該是：a和b的交叉項(xiàng)系數(shù)2xjr（a，b），a和xj的交叉項(xiàng)系數(shù)2br（a，xj），b和xj的交叉項(xiàng)系數(shù)xjbr（b，xj）。如果另后兩個(gè)相關(guān)系數(shù)為0，就是主樓的公式吧=。=我對(duì)不確定度傳播公式理解有誤？

吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-4-18 09:26
根據(jù)不確定度傳播公司，a和b的交叉項(xiàng)只包含：a的靈敏系數(shù)1，b的靈敏系數(shù)xj，a和b的相關(guān)系數(shù)r（a，b），并 ...

我的意思是，既然標(biāo)準(zhǔn)偏差公式前三項(xiàng)表明，x_j是一個(gè)未知量（輸入量），那么選用傳播率公式的時(shí)候，xj相當(dāng)于其中一個(gè)輸入量了。按照不確定度傳播率公式，應(yīng)該考慮xj和a與b的相關(guān)性，計(jì)算其相關(guān)系數(shù)，除非他們之間不存在相關(guān)性。，協(xié)方差為0。
a和b一個(gè)是截距，一個(gè)是斜率。a我不知道，b作為斜率肯定是和x_j相關(guān)的吧，怎么可能會(huì)是0呢（b值要由xj值得出呢）?？墒沁@里第三項(xiàng)只有計(jì)算了a和b的相關(guān)性，計(jì)算偏導(dǎo)的時(shí)候應(yīng)該既計(jì)算xj的偏導(dǎo)，又計(jì)算b的偏導(dǎo)，但是這里的相乘結(jié)果不是這樣。

solarup 發(fā)表于 2017-4-18 10:01
我的意思是，既然標(biāo)準(zhǔn)偏差公式前三項(xiàng)表明，x是一個(gè)未知量（輸入量），那么選用傳播率公式的時(shí)候，xj相當(dāng) ...

這就不清楚，我只是根據(jù)你給出的公式來(lái)理解的。如果這個(gè)給出的公式?jīng)]問(wèn)題，那么結(jié)論就是：a，b，xj都是未知量，且xj和a，b都不相關(guān)。至于為什么，我表示看不懂，抱歉=。=！標(biāo)準(zhǔn)差也能這樣算？？不過(guò)樓主，您可以自己模擬個(gè)數(shù)據(jù)試一試，r（xj，a）和r（xj，b）可以根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式算出來(lái)=。=！請(qǐng)問(wèn)能找到這個(gè)傳播公式的出處嘛？為啥標(biāo)準(zhǔn)差，不確定度的傳播都能用這個(gè)。。。

吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-4-18 10:18
這就不清楚，我只是根據(jù)你給出的公式來(lái)理解的。如果這個(gè)給出的公式?jīng)]問(wèn)題，那么結(jié)論就是：a，b，xj都是未 ...

我的個(gè)人理解：當(dāng)我們的測(cè)量模型大多是理論值的時(shí)候，我們沒(méi)什么可以搞B類評(píng)定的了。沒(méi)說(shuō)明書，沒(méi)資料，沒(méi)不確定度，啥都沒(méi)有，而剩下的A類就是重復(fù)性，重復(fù)性就是實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，于是乎這么來(lái)的。
說(shuō)實(shí)話我就是找不到出處?。〉窃趺纯催@個(gè)就是不確定度傳播率公式吧。
其實(shí)我覺(jué)得按最小二乘法的思想來(lái)說(shuō)，x_j絕對(duì)不是輸入量，是已知量，求直線不就是求a和b么。

solarup 發(fā)表于 2017-4-18 10:24
我的個(gè)人理解：當(dāng)我們的測(cè)量模型大多是理論值的時(shí)候，我們沒(méi)什么可以搞B類評(píng)定的了。沒(méi)說(shuō)明書，沒(méi)資料， ...

按公式看，xj存在sx，說(shuō)明這個(gè)xj肯定不是單值，應(yīng)該是一組值的平均值。樣本可能是這樣的的x1為5個(gè)數(shù)的平均值，x2為5個(gè)數(shù)的均值，x10為5個(gè)數(shù)的均值。然后x1~x10對(duì)應(yīng)10個(gè)y1~y10，根據(jù)這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使用最小二乘法，求出a和b，得y=a+bx。如此當(dāng)不確定分析的話，yj=a+bxj，xj確實(shí)會(huì)引入一個(gè)重復(fù)性分量=。=！但xj和a，b好像是相關(guān)的？弱相關(guān)，忽略不計(jì)？。。。。我怎么感覺(jué)想偏了。。

吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-4-18 10:44
按公式看，xj存在sx，說(shuō)明這個(gè)xj肯定不是單值，應(yīng)該是一組值的平均值。樣本可能是這樣的的x1為5個(gè)數(shù)的平 ...

為啥咱兩個(gè)理解的x_j不一樣？難道我理解的是假的最小二乘法？先吃飯去，回來(lái)再研究。

solarup 發(fā)表于 2017-4-18 10:24
我的個(gè)人理解：當(dāng)我們的測(cè)量模型大多是理論值的時(shí)候，我們沒(méi)什么可以搞B類評(píng)定的了。沒(méi)說(shuō)明書，沒(méi)資料， ...

說(shuō)實(shí)話我就是找不到出處??！但是怎么看這個(gè)就是不確定度傳播率公式吧。，向量和的三角形法則？模型基本一樣，角度正余弦和相關(guān)系數(shù)一樣是正負(fù)1。。

吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-4-19 09:13
說(shuō)實(shí)話我就是找不到出處?。〉窃趺纯催@個(gè)就是不確定度傳播率公式吧。，向量和的三角形法則 ...

請(qǐng)教，這里相關(guān)系數(shù)正負(fù)1有什么關(guān)系么？
嗯，我知道好像相關(guān)系數(shù)只是牽扯到合成不確定度不是方和根，而是不確定度求和。
不過(guò)相關(guān)系數(shù)是1協(xié)方差不見(jiàn)得是1吧？恕我魯愚，沒(méi)搞明白。

吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-4-18 10:44
按公式看，xj存在sx，說(shuō)明這個(gè)xj肯定不是單值，應(yīng)該是一組值的平均值。樣本可能是這樣的的x1為5個(gè)數(shù)的平 ...

我覺(jué)得如果按照這樣看，y=a+bx的話，為什么是弱相關(guān)？應(yīng)該是強(qiáng)相關(guān)吧。b是斜率，就是b=y/sqrt(x²+y²)，x增大不是b減小么？這不是負(fù)強(qiáng)相關(guān)？而且上面你說(shuō)是正負(fù)1，那么就是相關(guān)的意思，還是強(qiáng)相關(guān)。對(duì)，就是三角公式。

solarup 發(fā)表于 2017-4-20 13:11
我覺(jué)得如果按照這樣看，y=a+bx的話，為什么是弱相關(guān)？應(yīng)該是強(qiáng)相關(guān)吧。b是斜率，就是b=y/sqrt(x+y)，x增 ...

我只是基于公式的推測(cè)，也不是很理解。我說(shuō)的正負(fù)1，是說(shuō)它們的上下限都是正負(fù)1，和向量求和相似。。