誤差合成的“方根法”—— 測量計量理論與實務探討（1）

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                            誤差合成的“方根法”
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                                                                                                                                史錦順
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（一）誤差合成的兩種思路
       經典誤差理論的誤差合成，隨機誤差自身用“均方根法”，隨機誤差間用“方和根法”，系統誤差間用“絕對和法”。方法沒能統一。
       GUM為代表的不確定度理論，統一采用“方和根法”，對隨機誤差的處理與經典誤差理論相同，沒有問題；但對系統誤差的處理，用“方和根法”，出現嚴重問題。第一，合理性問題。在系統誤差合成的條件下，二量和的平方的展開式的交叉項，不能忽略，交叉系數是+1或-1，因而此時不確定度評定中的“假設不相關”是不成立的。第二，為實行“方和根法”，帶來五項難題：（1）需知誤差量的分布規律、（2）化系統誤差為隨機誤差、（3）假設不相關、（4）范圍與方差間的往返折算、（5）計算自由度。其中有的很難，如（1）（4）（5）；有的多數情況不對，如（3）；有的不可能，如（2）。
       本文在網上討論的基礎上，提出統一處理誤差合成的“方根法”。“方根法”體現誤差量的“絕對性”與“上限性”兩個特點，著眼于誤差范圍，統籌隨機誤差與系統誤差的處理，把系統誤差元與隨機誤差元都變成是誤差范圍的直接構成單元，用取“方根”的辦法實現誤差的絕對值化。為此，用可正可負的恒值β代表系統誤差元；用三倍的隨機誤差元3ξi 代表隨機誤差對誤差范圍的貢獻單元。這樣，系統誤差β與隨機誤差元3ξ對誤差范圍的貢獻權重相同，都是1。于是，公式推導與合成處理，都方便，給出的處理辦法，十分簡潔。
       不確定度理論的思路是將眾多的系統誤差化向隨機誤差。此乃“眾歸一”。但系統誤差多種多樣，化向隨機誤差很難，甚至不可能。這就是不確定理論煩難乃至不成立的根源。
       本文的思路是使隨機誤差對誤差范圍的權重為“1”，使其與系統誤差權重相同。此乃“一從眾”。達到此目的的方法極其簡單，就是對隨機誤差元乘以3。
       兩種思路，導致處理方法一繁一簡，難易分明。不確定度理論的煩難方法，基于不符合實際的臆想（用生產廠家不同、原理不同的多套儀器測量同一個量，系統誤差有分布）；本文的方法是基于客觀實際（用同一套測量儀器，重復測量中系統誤差為恒值）的嚴格推導。是非曲直，昭然若揭。
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（二）隨機誤差元構成的誤差范圍
       隨機誤差的處理，經典誤差理論有成熟、完美的處理方法。
       測量實踐中，人們易于認識隨機誤差。對常量的重復測量中，測得值的隨機變化就是隨機誤差。
       隨機誤差元可大可小，可正可負。有四個特性：
       （1） 單峰性：小誤差概率大；大誤差概率小
       （2） 對稱性：數值相同的正負誤差概率大致相等
       （3） 抵消性：求平均值時正負誤差可以抵消或大部分抵消
       （4） 有界性：很大的誤差概率很小。（以3σ為半寬的區間，包含概率99.73）。
       按統計理論，隨機誤差是正態分布。
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       對隨機誤差，有如下定義與關系：
       1 隨機誤差元等于測得值減測得值的期望值（當無系統誤差時，期望值是真值）。隨機誤差元的期望值是零。隨機誤差元為：
                 ξi = Xi- Z                                                                             （1）
       2 標準誤差定義為
                 σ =√(1/N)∑ξi                                                                       （2）
       3 貝塞爾公式用測得值的平均值代換（2）式中的期望值，得到：
                 σ =√{[1/(N-1)]∑[X-X(平)]^2}                                                （3）
       4 隨機誤差范圍
                 R = 3σ =3√(1/N)∑ξi^2
                    =√(1/N)∑(3ξi)^2                                                               （4）
       5 由公式（4），有：
                 R=3σ(ξ)= σ(3ξ)                                                                     （5）
       隨機誤差元的3倍值（3ξ），其方根值等于誤差范圍值。因此3ξ對誤差范圍的權重為1。因此3ξ在構成誤差范圍時與系統誤差的權重相同。以后，我們把隨機誤差元對誤差范圍的貢獻因子取為1/3，而系統誤差的貢獻因子取為1。        
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（三）單項系統誤差元構成的誤差范圍   
       系統誤差元用β表示。β是可正可負的恒值。
       單個系統誤差構成的誤差范圍
                 R =√(1/N)∑(βi)^2   
                   = |β|                                                                             （6）
       單個系統誤差對誤差范圍的貢獻是該系統誤差的絕對值。
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（四）誤差合成的理論基礎
       函數的改變量，等于函數對各個自變量偏微分的和。就是泰勒展開的一級近似。
                f(x,y) = f(xo,yo)+ (?f/?x) (x-xo)+ (?f/?y) (y-yo)                  （7）
                f(x,y) - f(xo,yo) =(?f/?x) Δx+ (?f/?y) Δy                             （8）
                Δf =(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy                                                 （9）
       公式（9）是偏差關系的普遍形式。對所研究的特定函數來說，?f/?x、?f/?y是常數。
       偏差關系用于測量計量領域，x是測得值，xo是真值, Δx是測得值x的誤差元；y是測得值，yo是真值，Δy是測得值y的誤差元；f(x,y)是代表被測量的函數值， f(xo,yo) 是函數的真值，Δf= f(x,y)-f(xo,yo) 是函數值的誤差元。
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（五）交叉因子的一般表達  
       設函數的誤差由兩項誤差Δx、Δy引起。由此，函數的兩項誤差元為：
                Δf(x) = (?f/?x) Δx
                Δf(y) = (?f/?y) Δy
       把分項誤差作用的靈敏系數與該項誤差歸并，記為：
                Δf(x) =ΔX
                Δf(y) = ΔY

       函數的誤差元式（9）變為：
                Δf=ΔX +ΔY                                                                       （10）
       對（10）式兩邊平方并求和、平均：
                (1/N)∑Δf^2=(1/N)∑(ΔX +ΔY)^2  
                      =(1/N)∑ΔX^2 + 2(1/N)∑ΔXΔY+(1/N)∑ΔY^2                   （11）
       （11）式右邊的第一項為σ(X)^2，第三項為σ(Y)^2; （11）式右邊的第二項是交叉項，是我們研究的重點對象。交叉項 為
                2(1/N)∑ΔXΔY =2【(1/N)(∑ΔXΔY) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}】×
                           {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}
                          = 2J√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]                            （12）
       （12）式中的J為：
                 J =(1/N)(∑ΔXΔY) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}             （13）
        稱J為交叉因子。
       （注：J在此前記為r，稱為相關系數。這和統計理論的相關系數，物理意義不一致。為澄清已有的混淆，本文稱J為交叉因子。）
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（六）隨機誤差間合成的交叉因子  
       對隨機誤差的合成，ΔX是ξx, 代換為[X-X(平)]；ΔY是ξy，代換為[Y-Y(平)]，有：
                 J =[1/(N-1)][∑[Xi-X(平)][(Yj-Y(平))] / [σ(X) σ(Y)]                    （14）
       由于ξx、ξy是隨機誤差，可正可負，可大可小，有對稱性與有界性，多次測量，是大量的，因此，隨機誤差間的合成的交叉因子為零（或可以忽略）。（14）式是當前不確定度論引用的統計理論的相關系數公式。
       隨機誤差合成，“方和根法”成立，有
                σ(f) =√[σ(X)^2+ σ(Y)^2]                                                      （15）
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（七）隨機誤差與系統誤差合成的交叉因子
       兩個分項誤差，一個是隨機的，記為ξ，考慮到對誤差范圍的權重，取單元量為3ξ（ΔX）；一個是系統的（重復測量中不變），記為β（ΔY）。
       代入公式（13），有
                 J =(1/N)(∑3ξiβ) / [σ(X) σ(Y)]                                                  （16）
       系統誤差元是常數可以提出來，有
                 J =(1/N) (3β∑ξi) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}                 （17）
       大量重復測量（例如N=20，N不得小于10）中，（17）式的∑ξi等于零或可以忽略，因此J近似為0，可以忽略。“方和根法”成立。
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（八）系統誤差與系統誤差合成的交叉因子
       設（13）式中ΔX為系統誤差βx ，ΔY為系統誤差βy，有
                 √[(1/N)∑ΔX^2]= |βx|                                                           （18）
                 √[(1/N)∑ΔY^2]= |βy|                                                           （19）
       則系統誤差的交叉因子為
                 J =(1/N)(∑βxβy) / [|βx| |βy|]                                                （20）
                   =(1/N) (∑βxβy) / [ |βx| |βy| ]
                   =±1
       即有
                 |J|=1                                                                                  （21）
       當βx與βy同號時，系統誤差的交叉因子為+1；當βx與βy異號時，系統誤差的交叉因子為-1.
       當系統誤差的交叉因子為+1時，（11）式為：
                 | Δf | =|βx^2|+2|βx||βy| +|βy|^2   
       即有
                 | Δf | =|βx|+|βy|                                                                   （22）
       （22）式就是絕對值合成公式。
       當系統誤差的交叉因子為-1時，（22）式變為二量差的公式。因為通常只是知道系統誤差之誤差范圍，又鑒于誤差量“上限性”的特點，二量差的公式不能用。
       測量儀器的性能指標，給出的都是誤差范圍。
       單值量具，如果上級計量已給出修正值（不是一般的測得值，必須是給出的帶有修正誤差的修正值），并且已按修正值使用，則該量具的隨機誤差與修正前相同；而修正后的系統誤差等于修正值的誤差[(標準的系統誤差與隨機誤差)+被檢儀器的隨機誤差]。
       測量儀器，通常有幾千到幾十萬個測量點。上級計量部門通常只能給出十幾個到幾十個校準點的修正值。只有這些點（或很接近的點）能修正；杯水車薪，測量儀器的絕大部分的測量點是不能修正的。就是修正過的點，也還是有系統誤差的（等于校準時標準的系統誤差與隨機誤差，再加上被校儀器的隨機誤差）。由于被檢儀器的隨機誤差，經修正操作后轉化為被檢儀器的系統誤差，因此修正并不一定好。除單值量具外，通常，測量儀器是不修正的。
      通常，測量儀器的誤差范圍指標值由生產廠家給出，由計量部門公證，測量者按儀器指標應用。直接測量，測量儀器的指標，就可看做是測量的誤差范圍（只要符合儀器使用條件，環境等的影響，已包含在儀器的指標中）。間接測量，要按間接測量的函數關系進行誤差合成。測量儀器的誤差范圍指標值因以系統誤差為主，要視其為系統誤差值，按系統誤差處理。
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（九）關于合成方法的主張
       誤差合成，統一按“方根法”。對特定的誤差種類，“方根法”分化為“均方根法”、“方和根法”、“絕對和法”、“混合法”。
       通常，測量儀器以系統誤差為主。不能無視系統誤差的存在。考慮到系統誤差、隨機誤差都是客觀存在，提出如下主張：
       （1）隨機誤差序列，用“均方根法”，隨機誤差之間，用“方和根法”；
       （2）隨機誤差范圍與系統誤差范圍之間，用“方和根法”；
       （3）有多項中小系統誤差項，僅有一項大系統誤差（或沒有大系統誤差），它們之間的交叉系數，可能是+1，也可能是-1，有相互抵消、或部分抵消的作用，這樣，可以用“方和根法”。
       （4）直接測量僅有兩三項系統誤差，要用“絕對和法”（適用于研制中確定儀器指標）；
       （5）間接測量，僅有兩三項測量儀器的誤差范圍，要用“絕對和法”；
       （6）有多項誤差，在兩項或三項大系統誤差之間用“絕對和法”，其余的各種處理，用“方和根法”。總稱謂是“混合法”。
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補充內容 (2015-11-11 14:39):
（二）之（4）概率為99.73后加%號。

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       歡迎各位網友就此文表態。或贊成，或反對，或修改，各種意見我都認真聽取。以往我回帖較少，此文因關系測量計量的最主要的基本操作，我將每帖必復。
       在認真研究各種意見的基礎上，我將再次修改。經幾輪反復后，擬向國家主管部門報告。如果得不到答復，再向國家領導機關報告。
       當前，國家推行“大眾創業，萬眾創新”。這是振興中華的偉大戰略，鼓舞我們努力奮斗。在測量計量界，突破GUM/VIM局限，創立有中華特色的測量計量新學說，就是體現這個戰略的具體行動。
       學習外國的先進的科學理論是絕對必要的。但要認真思考，消化了，才能吸收。特別是要有所鑒別，盲目地崇洋，就可能上當。
       置疑是創新的前奏。看出問題，不回避，就會有所前進。
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       我特別邀請與本文有關的如下兩位學者發表意見。
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崔偉群
       1、你曾對我的“誤差方程”提出尖銳意見，當時我們多次交鋒。雖然你持批評態度，但我由此而完善了誤差方程，我的收益不小。
       2、你關于“系統誤差相關系數為+1、-1的論文，對我啟發很大，成為我的誤差合成觀念從“絕對和法”到“方根法”轉變的基礎。這次我受益很大。
       3、你的兩類區分：第一類，用一套測量系統測量，第二類，用多套系統測量，其中這第二類使我對“系統誤差的隨機性”說、“系統誤差的分布”說，有了透徹的理解，弄清了這些說法的根源。原來這是天馬行空式的空想。盡管你尚把它當成一類，卻使我更看透不確定度論脫離人間實際的本質。更堅定了我全盤否定不確定度論的意志。
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李永新（njlyx）
       不久前才在網上搜查到你的身份，乃博士、教授、博導也。許多網友對我的論點持反對態度，而你卻別具慧眼，肯定我對不確定度論的指摘與抨擊。我曾說：你是我的知音。后來得知你的身份，更感到這種理解與支持的珍貴。
       語云：“人生得一知己足矣”。你能理解我的基本觀點，使我感到后繼有人（我生于1937.5，比你大25歲半）。望你能更進一步，打起反對不確定度論、建立中國式新理論的大旗。
       你的區分“量值的特性”與“測量的性能”的觀點，我很贊成，這就是我的區分對象與手段的觀點，正是我的“兩類測量說”的核心思想。你我相距幾千里，想到一塊了。說明：這是客觀規律，總會有人認識到。殊途同歸。這是項測量計量的奠基性的工作，希望你能抓緊時機寫成論文發表。（由于年齡、精力等的限制，我無力再在刊物上發表文章。）我已發表在網上的全部論述（三百二十篇短文），如果你需要的話，我無保留地全部贈送，不保留任何權益，包括名譽。
       這個“區分”的基本觀點，是否定不確定度論的利器（不確定度論在這個問題上混淆了），也是任何測量計量理論的基礎。你帶博士生，研究透不確定度論的錯誤、另樹旗子，足夠十個博士論文的課題內容。同國際計量委員會等八大學術組織戰斗而又能全勝，我看，值得有二十個博士與博士后共同或有序地為之戰斗。我確信，中國人在世界測量計量界扛旗的一天，一定會到來！
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史錦順 發表于 2015-11-12 15:52
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       歡迎各位網友就此文表態。或贊成，或反對，或修改，各種意見我都認真聽取。以往我回帖較少，此 ...

本人是贊成使用“不確定度”表述的。對“測量不確定度”含義的理解附和都成先生的觀點。

站在希望“不確定度”應用健康發展的立場上，認同史先生指摘“不確定度”應用現狀中的大部分“問題”，以為它確實有待完善。但基本不贊成先生徹底否定“不確定度”表述的觀點。

在“不確定度”表述應用之前，大部分情況下都不會要求“測量者”在報告測量結果（測得值）時必須給出一個“可能的測量誤差范圍（測量誤差限）”值，相應的，對此【“可能的測量誤差范圍（測量誤差限）”值】的“求取”與“表達”缺乏統一的“規范”，俠義的“測量不確定度”“理論”可能就是這么個“規范”而已。先生對“測量誤差范圍”的“求取”方法及相應概念表述方面做了許多努力，所論概念明確、條理清晰，值得晚輩欽佩。只是以本人的認識，不能認同應該由【（測量）誤差（元）——（測量）誤差范圍】替代【（測量）誤差——（測量）不確定度】的“表述體系”。


另：本人并未對“（測量）不確定度”問題進行過系統“研究”，論壇上應該是各敘己見而已，還請先生不要拿網上搜來的那些虛名頭示眾。

補充內容 (2015-11-12 19:01):
各抒己見

njlyx 發表于 2015-11-12 17:43
本人是贊成使用“不確定度”表述的。對“測量不確定度”含義的理解附和都成先生的觀點。

站在希望“不確 ...

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        先生說：“站在希望‘不確定度’應用健康發展的立場上，認同史先生指摘‘不確定度’應用現狀中的大部分‘問題’，以為它確實有待完善。”

        先生又說：“（史）先生對‘測量誤差范圍’的‘求取’方法及相應概念表述方面做了許多努力，所論概念明確、條理清晰，值得晚輩欽佩。”

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        謝謝先生對本人抨擊不確定度論活動的肯定，以及對探索誤差范圍求法的很高的評價。

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        誠然，在對待不確定度論的基本態度上，我們是有分歧的。你已多次表述，不確定度的問題是應用的問題，是講解者、發揮者的問題。我則認為，不確定度論的錯誤是根本性的。在哲學、邏輯、物理概念、實際應用各個方面都有根本性的錯誤。它是不可知論與脫離實際的空想相結合而構成的怪胎，是一種給人找麻煩的偽科學。而且給重大工程造成隱患。我已寫出三百多篇網文予以揭發，這里就不重述了。如果有網友指出我的任何一篇文章沒道理，我將詳細答復。

        我相信先生的鑒別力，有時間可看看我那些文章。我確信：你終將識破不確定度論的假面具，認識到不確定度論的不可救藥的本質。當前，我們只能“求同存異”了。

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“不確定度”現狀中的許多“問題”，可能是不同行業應用時的關注點迥異而引起的認識“矛盾”，譬如對所謂“系統性”、“隨機性”是否應該分類處理的認識{ 贊成史先生對相關說法的批判：【‘系統性影響所引起的’分量/‘隨機性影響所引起的’分量】與【‘系統’分量/‘隨機’分量】的“稱謂”有什么本質區別？！近乎文字游戲。..... 問題的焦點其實是一部分人認為這兩者沒有區分的必要，而另一部分人則以為適當區分是有價值的。}

有一些問題是原有的“理論體系”就沒有很好理清楚的，諸如史先生現在費力就“誤差范圍”完善的方方面面，以及對相應“認識主體”的依賴性問題{ 無論叫“（測量）誤差范圍”，還是稱“（測量）不確定度”，都不會是一個純客觀的“指標”！}

當然，更多的則可能是具體應用者的理解“發揮”問題。

“不確定度”（表述）體系應該并不是鐵板一塊，它也在不斷的“改版”。相信它會越來越好！