誤差公式的可能錯誤與原因分析——測量計量基本概念(12)

             誤差公式的可能錯誤與原因分析   

                       ——測量計量基本概念(12)   

                                                                                                                                     史錦順   

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（一）誤差范圍公式

參照《數(shù)學手冊》（1978版，237頁）給出的量的代數(shù)和的誤差公式編寫。

A量的測得值是A(測)，真值是A(真)。

誤差元：

               r(A)= A(測)―A(真)                                                     （A.1）

誤差范圍是

              R(A)= │r(A)│max=│A(測)―A(真)│max                              （A.2）

B量的測得值是B(測)，真值是B(真)

誤差元：

              r(B)= B(測)―B(真)                                                         （B.1）

誤差范圍是

              R(B)= │r(B)│max=│B(測)―B(真)│max                                （B.2）

類似，合成量C的誤差范圍記為R(C).合成量D的誤差范圍記為R(D)。

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定理一： 二量和的誤差范圍等于二量誤差范圍之和

               C=A+B                                                                             （C.1）

               R(C)= R(A)+R(B)                                                            （C.2）

證明：

由基本公式（C.1）,誤差元為：

               r(C)= r(A)+r(B)                                                                （C.3）

誤差范圍為
                      R(C)=│r(C)│max = │r(A)+r(B)│max         

                            =│r(A)│max+│r(B)│max

                      = R(A)+R(B)                                                              （C.4）

定理一得證。

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定理二： 二量差的誤差范圍等于二量誤差范圍之和（是和，不是差）

               D = A―B                                                                           （D.1）

               R(D) = R(A)+R(B)                                                             （D.2）

證明：

由基本公式（D.1），誤差元為：

               r(D)= r(A) ―r(B)                                                               （D.3）

誤差范圍為
                      R(D)=│r(D)│max = │r(A) ―r(B)│max

誤差元是可正可負的量

               R(D)=[±│r(A)│―[±│r(B)│]max

                      = R(A)+ R(B)                                                                （D.4）

定理2得證。

以上是正確公式。

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（二）錯誤的誤差范圍公式

1 正確公式

基本的、物理意義符合客觀實際的公式，本文稱其為“構成公式”。設構成公式為：

               C=A+B                                                                                 （1.1）

誤差范圍公式

               R(C)= R(A)+R(B)                                                                （1.2）

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2 可能操作1

將（1.1）式移項

               A = C–B                                                                                （2.1）

（2.1）式由構成公式（1.1）式推得，數(shù)學上成立；但移項喪失了（1.1）式的物理意義，不是構成公式。

（2.1）為二量之差，據(jù)定理2 應有：

               R(A) = R(C)+R(B)                                                                （2.2）

3 可能操作2

將（1.1）式移項

               B = C–A                                                                                 （3.1）

（3.1）式由構成公式（1.1）式推得，數(shù)學上成立；但移項喪失了（1.1）式的物理意義，不是構成公式。

（2.3）為二量之差，據(jù)定理2 應有：

               R(B) = R(C)+R(A)                                                                （3.2）

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4  三個誤差公式中有兩個是錯誤公式

綜上，有三個誤差范圍公式：

               R(C)=R(A)+R(B)                                                                  （1.2）

               R(A)=R(C)+R(B)                                                                  （2.2）

               R(B)=R(C)+R(A)                                                                  （3.2）

（1.2）（2.2）（3.2）三個公式是矛盾的。

第一種判斷法：R(C)是整體，R(A)是部分，部分不可能大于整體，因而（2.2）錯誤；R(B)是部分，R(C)是整體，部分不能大于整體，因而（3.2）錯誤。

第二種判別法

聯(lián)立（1.2）（2.2）（3.2）三式，解得R(A)、R(B)、R(C)都是零，這顯然不可能。說明三式不能同時成立。其中（1.2）是對的；而（2.2）、（2.4）必是錯誤的。

總之，誤差公式（2.2）、（2.3）是錯誤公式。

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（三）出錯的原因

物理公式的物理意義必須確切。

基本物理公式，又稱物理公式的構成式，等號左端與等號右端有如下關系：

1 結構關系。等號左端為總量，右端為分量。即構成關系。

2 因果關系。等號右端為來源量。右端是因，左端是果。

物理公式等號的左右端移項之后，雖然數(shù)量關系對，可以用來計算，但物理公式一經移項，常常改變了物理意義，可能成為另一物理過程的表征。因此，由物理公式求誤差范圍公式的推演，應從物理公式的構成式出發(fā)。

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上述誤差范圍公式（2.2）、（2.4）推導所根據(jù)的物理公式，不是物理公式的構成式，故形成錯誤。

例

有兩個鋼棒，A鋼棒的測量結果為：

               L(A)=M(A)±R(A)

B鋼棒的測量結果為：

              L(B)=M(B)±R(B)

兩棒連接(設光滑端面緊密連接)，求總長度C的誤差范圍。

設M(A)為100.12mm，R(A)為0.10mm；M(B)為70.23mm，R(B)為0.07mm

1 正確算法
       物理公式(構成式)為

              L(C)=L(A)+L(B)                                                                   （3.1）

由此出發(fā)，根據(jù)定理一，合成量的誤差范圍為：

              R(C)= R(A)+R(B)                                                                 （C.2）

代入具體量值為
                     R(C)= 0.10mm+0.07mm = 0.17mm

A段誤差范圍0.10mm，B段誤差范圍0.07mm，這是測量事實，得到總長誤差范圍0.17mm,是正確的，是符合客觀事實的。

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2 錯誤算法

物理公式不用（3.1）而移項為：

               L(A) = L(C)-L(B)                                                                   （3.2）
       （3.2）式是二項之差，依定理二（二量差的誤差范圍等于二量誤差范圍之和）該有

               R(A)= R(C)+R(B)                                                                  （3.3）

已知實際情況是R(A)為0.10mm ，R(B)為0.07mm，R(C)為0.17mm，顯然，公式（3.3）是錯誤的。公式（3.3）錯誤表現(xiàn)在：部分大于總體，違反因果關系，數(shù)值關系錯誤。
       公式（3.3）為什么錯誤？是因為推導時所依賴的公式（3.2）式，不是物理公式的原型，不符合本來的物理意義，不是物理公式的構成式。因此不能做為推導的出發(fā)點。

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非常好，謝謝老師，認真學習。

3 可能操作2
將（1.1）式移項
               B = C–A                                                                                 （3.1）
（3.1）式由構成公式（1.1）式推得，數(shù)學上成立；但移項喪失了（1.1）式的物理意義，不是構成公式。
（2.3）為二量之差，據(jù)定理2 應有：
               R(B) = R(C)+R(A)               
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2.3式在哪？

回復 3# solarup
      
     原文：
    （3.1）式由構成公式（1.1）式推得，數(shù)學上成立；但移項喪失了（1.1）式的物理意義，不是構成公式。
    （2.3）為二量之差，據(jù)定理2 應有：
               R(B) = R(C)+R(A)           
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    其中（2.3）式應改為（3.1）式。
    謝謝您的指正。